2025中考数学复习冲刺之与高中数学知识衔接的信息给予问题（含解析）

专题09与高中数学知识衔接的信息给予问题

1,定义一种运算；sin（cif+/?）=sinacos/?+cosasinJ3,sin（cr-/?）=sinacos[3-cosasmfi.：

当a=45。，〃=30。时，5由（45。+30。）=变义走+受、！=逅土也，则sin15。的值为.

22224

2.若10*=N，则称》是以1。为底N的对数.记作：x=lgN.例如：1。2=10（）,则2=坨1。0；

则0=Igl.对数运算满足：当M>0,N>0时，lgM+lg?/=lg（ACV）,例如：Ig3+lg5=lgl5,

则（Ig5『+lg5xlg2+lg2的值为（）

A.5B.2C.1D.0

3.研究立体图形问题的基本思路是把立体图形问题转化为平面图形问题.

（1）阅读材料

立体图形中既不相交也不平行的两条直线所成的角，就是将直线平移使其相交所成的角.

例如，正方体ABCD-A，BzL”（图1）,因为在平面AA'CC中，CC'〃AA',AAZ与AB相交于点A,

所以直线AB与AA'所成的NBAA'就是既不相交也不平行的两条直线AB与CC'所成的角.

解决问题

如图1,已知正方体ABCD-A'BzCD',求既不相交也不平行的两直线BA'与AC所成角的大小.

图2

（2）如图2,M,N是正方体相邻两个面上的点；

①下列甲、乙、丙三个图形中，只有一个图形可以作为图2的展开图，这个图形是丙；

②在所选正确展开图中，若点M到AB,BC的距离分别是2和5,点N到BD,BC的距离分别是4和3,P是

AB上一动点，求PM+PN的最小值.

甲乙丙

4.某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究丫=@/(a>0)型抛物线图象.发现：如图1所示，该类

型图象上任意一点M到定点F(0,—)的距离MF,始终等于它到定直线1：y=-」-上的距离MN(该

4a4〃

结论不需要证明)，他们称：定点F为图象的焦点，定直线1为图象的准线，y=-上叫做抛物线的准线

4〃

方程.其中原点。为FH的中点，FH=20F=—,例如，抛物线y=：Y,其焦点坐标为F(0,,准线

2a22

请分别直接写出抛物线y=2x?的焦点坐标和准线1的方程：,.

(2)【技能训练】

如图2所示，已知抛物线y=!x?上一点P到准线1的距离为6,求点P的坐标；

8

(3)【能力提升】

如图3所示，已知过抛物线y=ax?(a>0)的焦点F的直线依次交抛物线及准线1于点A、B、C.若BC=

2BF,AF=4,求a的值；

(4)【拓展升华】

古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点C将一条线段AB

AC

分为两段AC和CB,使得其中较长一段AC是全线段AB与另一段CB的比例中项，即满足：——=~=

ABAC

1二1.后人把史二1这个数称为“黄金分割”把点C称为线段AB的黄金分割点.

22

如图4所示，抛物线的焦点F(0,1),准线1与y轴交于点H(0,-

4

1),E为线段HF的黄金分割点，点M为y轴左侧的抛物线上一点.当篝=后时，请直接写出

的面积值.

5.已知「2=丝区3,「3=5X4X3=10,4=6X5x4x3=15,…观察以上计算过程，寻找规律计算

“31X251X2X361X2X3X4

。5=

6.阅读以下材料:

对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔(J.Nplcr,1550-1617年)，纳皮尔发明对数是在指数书写方式之

前，直到18世纪瑞士数学家欧拉(Evlcr,1707-1783年)才发现指数与对数之间的联系.

对数的定义：一般地，若a'=N(a>0且aWl),那么x叫做以a为底N的对数，记作x=log,N,比如指

数式2"=16可以转化为对数式4=logzl6,对数式2=log525,可以转化为指数式5?=25.

我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：

loga(M*N)=logaM+logaN(a>0,aWl,M>0,N>0),理由如下：

mn

设logaM=m,logaN=n,则M=a,N=a,

.*.M>N=an，ean=:am+n,由对数的定义得m+n=loga(M*N)

又m+n=logaM+logaN

loga(M・N)=logaM+logaN

根据阅读材料，解决以下问题：

(1)将指数式34=81转化为对数式；

(2)求证：logaA=logaM-logaN(a>0,a#l,M>0,N>0)

N

(3)拓展运用：计算log69+log68-log62=.

7.阅读下面的材料：

如果函数y=/(%)满足：对于自变量元的取值范围内的任意修，入2,

(1)若尤1〈X2，都有7(%1)V/(九2)，则称/(龙)是增函数；

(2)若为VX2，都有了(X1)>/(X2),则称/(%)是减函数.

例题：证明函数了(无)=旦(x>0)是减函数.

X

证明：设0〈冗1<、2，

jA6x9-6xi6(x9-xi)

/(XI)-f(x2)=旦-旦=-2——L=——2__1_

X1x2xlx2xlx2

*.*0<Xl<X2，.*.X2_Xl>0,Xl%2>0・

X即/Ji)-/(无2)>0.

^6(X2I\>0

xlx2

(xi)>/(X2).・•・函数/(x)=—(x>0)是减函数.

X

根据以上材料，解答下面的问题：

已知函数/(x)=_L+x(%<0),

X

/(-1)=―—+(-1)=0,/(-2)=―1—+(-2)=-1

(-1)2(-2)24

(1)计算：/(-3)=,/(-4)=；

(2)猜想：函数/(尤)=-L+x(x<0)是函数(填“增”或“减”)；

X

(3)请仿照例题证明你的猜想.

专题09与高中数学知识衔接的信息给予问题(解析版)

1,定义一种运算；sin(cif+J3)=sinacos/?+cosasinJ3,sin(a-J3)=sinacos[3-cosasinjS.：

当a=45°,/=30。时，sin(450+30°)=Ylx《i+YlxL=®^,则sinl5。的值为

22224

V6-V2

【答案】

-4

【解析】根据sin(tz~/3)=sin。cos力一cosasin0代入进行计算即可.

sinl50=sin(45°-30°)

=sin45°cos300-cos45°sin30°

V273V21

=X---------------x—

2222

=&_显

~44~

_V6-V2

4­

故答案为：娓3.

4

【点睛】此题考查了公式的变化，以及锐角三角函数值的计算，掌握公式的转化是解题的关键.

2.若10,=N，则称x是以1。为底N的对数.记作：x=lgN.例如：1()2=100,则2=lgl。。；i()o=i,

则0=lgl.对数运算满足：当4>0,N>0时,lgM+lgA^=lg(ACV),例如：Ig3+lg5=lgl5,

则(Ig5『+lg5xlg2+lg2的值为()

A.5B.2C.1D.0

【答案】C

【解析】通过阅读自定义运算规则：lgM+lgN=lg(MN),再得到lgl0=l,再通过提取公因式后逐步

进行运算即可得到答案.

lgM+lgN=lg(W),

■■(Ig5)2+lg5xlg2+lg2

=lg5(lg5+lg2)+lg2

=lg5^glO+lg2

=lg5+lg2

=igio

=1.

故选C

【点睛】本题考查的是自定义运算，理解题意，弄懂自定义的运算法则是解本题的关键.

3.研究立体图形问题的基本思路是把立体图形问题转化为平面图形问题.

(1)阅读材料

立体图形中既不相交也不平行的两条直线所成的角，就是将直线平移使其相交所成的角.

例如，正方体ABCD-A，B，CD7(图1),因为在平面AA'CC中，CC〃AA',AA'与AB相交于点A,

所以直线AB与AA'所成的NBAA'就是既不相交也不平行的两条直线AB与CC'所成的角.

解决问题

如图1,已知正方体ABCD-A'B'LD',求既不相交也不平行的两直线BA'与AC所成角的大小.

(2)如图2,M,N是正方体相邻两个面上的点；

①下列甲、乙、丙三个图形中，只有一个图形可以作为图2的展开图，这个图形是丙；

②在所选正确展开图中，若点M到AB,BC的距离分别是2和5,点N到BD,BC的距离分别是4和3,P是

AB上一动点，求PM+PN的最小值.

甲乙丙

【答案】见解析。

【分析】(1)如图1中，连接BC'.证明AA，BC'是等边三角形，推出NBA'C'=60。，由题意可知

A，B是两条直线AC与BA，所成的角.

(2)根据立方体平面展开图的特征，解决问题即可.

(3)如图丙中，作点N关于AD的对称点K,连接MK交AD于P,连接PN,此时PM+PN的值最小，最小值

为线段MK的值，过点M作町，NK于J.利用勾股定理求出MK即可.

:.△葭BC7是等边三角形，

.♦.NBA'C'=60°,

■:AC〃屋C,

：.ZCA'B是两条直线AC与BA'所成的角，

二两直线BA'与AC所成角为60°.

(2)①观察图形可知，图形丙是图2的展开图，

故答案为：丙.

②如图丙中，作点N关于AD的对称点K,连接MK交AD于P,连接PN,此时PM+PN的值最小，最小值为线

段MK的值，过点M作MJJ_NK于J.

由题意在RtZ\MKJ中，ZMJK=90°，MJ=5+3=8,JK=8-(4-2)=6,

二MK=VMJ2+JK2=VS2+62=10,

.".PM+PN的最小值为10.

4.某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究丫=2/(a>0)型抛物线图象.发现：如图1所示，该类

型图象上任意一点M到定点F(0,—)的距离MF,始终等于它到定直线1：y=-」-上的距离MN(该

4a4a

结论不需要证明)，他们称：定点F为图象的焦点，定直线1为图象的准线，y=-上叫做抛物线的准线

4a

方程.其中原点。为FH的中点，FH=20F=—,例如，抛物线丫=：/，其焦点坐标为F(0,；),准线

2a22

请分别直接写出抛物线y=2x?的焦点坐标和准线1的方程：,.

(2)【技能训练】

如图2所示，已知抛物线y=，x?上一点P到准线1的距离为6,求点P的坐标;

8

(3)【能力提升】

如图3所示，已知过抛物线y=ax?(a>0)的焦点F的直线依次交抛物线及准线1于点A、B、C.若BC=

2BF,AF=4,求a的值;

(4)【拓展升华】

古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点C将一条线段AB

AC

分为两段AC和CB,使得其中较长一段AC是全线段AB与另一段CB的比例中项，即满足：——=3=

ABAC

避二1.后人把1二1这个数称为“黄金分割”把点C称为线段AB的黄金分割点.

22

如图4所示，抛物线y=』x2的焦点F(0,1),准线1与y轴交于点H(0,-1),E为线段HF的黄金

4

分割点，点M为y轴左侧的抛物线上一点.当篝=&时，请直接写出△HME的面积值.

【答案】(1)(0,—y=—,(2)4^2>4)或(—4^^,4)

88

1厂L

(3)a=-(4)行一1或3-正

【解析】【分析】(1)根据交点和准线方程的定义求解即可；

(2)先求出点P的纵坐标为4,然后代入到抛物线解析式中求解即可；

(3)如图所示，过点B作BDLy轴于D,过点A作AE，y轴于E,证明△FDBS/SFHC,推出方。=’-,

6a

则。D=O尸一。尸=」一，点B的纵坐标为二一，从而求出5。=走，证明△AEFs^BDF,即可求出

12a12a6a

点A的坐标为(-26，2+—),再把点A的坐标代入抛物线解析式中求解即可；

4a

(4)如图，当E为靠近点F的黄金分割点的时候，过点M作MNL1于N,则MN=MF,

先证明△MNH是等腰直角三角形，得至UNH=MN,设点M的坐标为(m,-m2)，贝ijMN=-m2+l=—m=HN,

44

求出…―2,然后根据黄金分割点的定义求出他=君一1,则也片《板,”=行一1；同理可求

当点E是靠近H的黄金分割点时的面积.

解：(1)由题意得抛物线y=2x?的焦点坐标和准线1的方程分别为(0,-),y=--,

88

故答案为：(0,-),y=--,

88

⑵解：由题意得抛物线y=-x2的准线方程为y=--=-2,

84〃

・・,点P到准线1的距离为6,

・••点P的纵坐标为4,

1

・•・当y=4时，一九29=4,

8

解得x=±4后，

二点P的坐标为（4后，4）或（一4后,4）；

（3）解：如图所示，过点B作BD_Ly轴于D,过点A作AEJ_y轴于E,

由题意得点F的坐标为F（0,」-）直线1的解析式为：y=-—,

4a4a

：.BD//AE//CH,FH=—,

2a

.,.△FDB^AFHC,

.BD_FD_FB

VBC-2BF,

.•.CF=3BF,

BDFDFB1

,........------------------——

'HCFHFC3'

FD=—

6a

：.OD=OF-DF=—,

12a

.,.点B的纵坐标为,

12a

--------CIX

解得》=走（负值舍去），

6a

AE//BD,

.".△AEF^ABDF,

・・・•也也

EFDF

・•・AE=y/3EF，

AE2+EF2=AF2^

•*.4EF2=AF2=16-

；.EF=2,

；•AE=2y[3，

.,.点A的坐标为（-2A/^，2H---）,

•*-48/一8〃一1二0,

（12a+l）（4a-l）=0,

解得（负值舍去）

【小问4详解】

o

H

图3

解：如图，当E为靠近点F的黄金分割点的时候，过点M作MNJ.1于N,贝。MN=MF,

・・,在RSMNH中，sin/A/HN二丝L克，

MHMH2

AZMHN=45°,

是等腰直角三角形，

ANH=MN,

1

设点M的坐标为（m,—m9）,

MN=—m+1=—m=HN,

4

m=—2

AHN=2,

・・,点E是靠近点F的黄金分割点,

HE=^^HF=6―1，

2

S"ME=；HE.NH=F1；

同理当E时靠近H的黄金分割点点，EF=亚7HF=V5-b

2

HE=2—由+\=3—杷，

••・S：E=：HE.NH=3Y,

综上所述，SAHME=245一2或S.ME=3—&

【点睛】本题主要考查了二次函数综合，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，等腰直角三角形的性

质与判定，黄金分割等，正确理解题意是解题的关键.

5.已知「2=之*=3,「3=5X4X3=10,4=6X5x4x3=15,…观察以上计算过程，寻找规律计算

^31X251X2X361X2X3X4

r5=.

---------

【答案】56

【解析】对于Cab(b<a)来讲，等于一个分式，其中分母是从1到b的b个数相乘，分子是从a开始乘,

乘b的个数.

••「2.3X2=3,「3.5X4X3=W,4.6X5X4X3=5

31X251X2X361X2X3X4

.♦5=8X7X6X5X4=56.

1X2X3X4X5

6.阅读以下材料：

对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔(J.Nplcr,1550-1617年)，纳皮尔发明对数是在指数书写方式之

前，直到18世纪瑞士数学家欧拉(Evlcr,1707-1783年)才发现指数与对数之间的联系.

对数的定义：一般地，若a*=N(a>0且a#l),那么x叫做以a为底N的对数，记作x=logaN,比如指

数式2，=16可以转化为对数式4=logzl6,对数式2=logs25,可以转化为指数式5?=25.

我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：

loga(M*N)=logaM+logaN(a>0,aW1,M>0,N>0),理由如下:

mn

设logaM=m,logaN=n,则M=a,N=a,

.*.M*N=am>an=am+n,由对数的定义得m+n=loga(M*N)

又m+n=logaM+logaN

.".loga(MeN)=logaM+logaN

根据阅读材料，解决以下问题：

(1)将指数式34=81转化为对数式；

(2)求证：loga—=logM-logaN(a>0,@#1,M>0,N>0)

Na

(3)拓展运用：计算log69+log68-log62=.

【解析】(1)4=log381(或log381=4),

故答案为：4=log381；

(2)证明：设logaM=m,logaN=n,则M=a\N=an,

ra-n

A—=a,由对数的定义得m-n=logaA,

NN

又•.•m-n=logaM-logaN,

loga—=logaM-logaN；

N

(3)log69+log68-log62=log6(9X84-2)=log636=2.

故答案为：2.

7.阅读下面的材料：

如果函数y=/(x)满足：对于自变量元的取值范围内的任意为，工2,

(1)若％1<必都有了(为)(%2)，则称/(%)是增函数；

(2)若都有了(%1)>/(%2)，则称/(X)是减函数.

例题：证明函数无)=旦(x>0)是减函数.