2025中考数学冲刺复习之勾股定理及其应用（含解析）

专题04勾股定理及其应用

1.如图，某地修建一座高BC=5m的天桥，已知天桥斜面AB的坡度为1:6，则斜坡AB的长度为（）

D.5y/3m

2.以下有关勾股定理证明的图形中，不是中心对称图形的是（）

3.如图，点A,B都在格点上，若凯=型亘，则AC的长为（）

A.V13B.&匡C.2A/13D.3^13

3

4.如图，在4X4的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1,E为BD与正方形网格线的交点，下列结

论正确的是（）

A.CE^ABDB.AABC^ACBDC.AC=CDD.ZABC=ZCBD

2

5.如图，在AAOB中，AO=1,BO=AB=2.将AAOB绕点0逆时针方向旋转90°,得到AA'OB',连接

2

6.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的

工作原理，如图1.筒车盛水桶的运行轨道是以轴心0为圆心的圆，如图2.已知圆心0在水面上方，且

©0被水面截得的弦AB长为6米，。。半径长为4米.若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦AB所在

直线的距离是（）

1

---水面

1

1

A.1米B.(4-V7)米C.2米D.(4+V7)米

7.如图，△ABC内接于。0,AB为。。的直径，D为。。上一点（位于AB下方），CD交AB于点E,若/BDC

=45°,60=6^2,CE=2DE,贝UCE的长为()

C.375D.473

8.如图，在RtZkACB中，NACB=90°,AC=6,BC=8,若以AC为直径的。。交AB于点D,则CD的长为

12B蜜C

~5-f

9.如图，四边形ABDC中，AC=BC,ZACB=90°,AD_LBD于点D.若BD=2,60=472-则线段AB的长

为.

10.如图，在6x6的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，其中A、B、C为格点，作，ABC的

外接圆，则8C的长等于.

11.如图,将一△ABC的斜边AB绕点A顺时针旋转a(0°<a<90°

)得到AE,直角边AC绕点A逆时针旋转B(0°<P<90°)得到AF,连结EF.若AB=3,AC=2,且a

+B=/B,则EF=.

B

12.如图，方格纸中每个小正方形的边长为1,线段AB和线段CD的端点均在小正方形的顶点上.

(1)在图中画出以AB为边的正方形点E和点F均在小正方形的顶点上；

(2)在图中画出以CD为边的等腰三角形COG,点G在小正方形的顶点上，且ACDG的周长为10+丽,

连接EG,请直接写出线段EG的长.

13.如图，点E为正方形ABCD外一点，NAEB=90°,将Rt^ABE绕A点逆时针方向旋转90°得到AADF,

DF的延长线交BE于H点.

(1)试判定四边形AFHE的形状，并说明理由；

(2)己知BH=7,BC=13,求DH的长.

14.如图，AB是。0的直径，点D在。0上，且/A0D=90°,点C是。。外一点，分别连接CA,CB、CD,

CA交。0于点M,交OD于点N,CB的延长线交。0于点E,连接AD,ME,且/ACD=/E.

(1)求证：CD是。。的切线；

(2)连接DM,若。。的半径为6,tanE=-,求DM的长.

3

15.如图，抛物线丁=-f+法+5与％轴交于A,3两点.

o

备用图

(1)若过点。的直线x=2是抛物线的对称轴.

①求抛物线的解析式；

②对称轴上是否存在一点P,使点3关于直线。尸的对称点8'恰好落在对称轴上.若存在，请求出点P的

坐标；若不存在，请说明理由.

(2)当0WxW2时，函数值丁的最大值满足3Ky<15,求b的取值范围.

专题04勾股定理及其应用（解析版）

1.如图，某地修建一座高BC=5m的天桥，已知天桥斜面AB的坡度为1:6，则斜坡AB的长度为（）

D.5y/3m

【答案】A

【解析】直接利用坡度的定义得出AC的长，再利用勾股定理得出A3的长.

•'z=1:，BC=5m>

BC51

AC-AC-Z/3

解得：AC=5日，

2

贝AB=S/BC"+AC-=J52+=10m•

故选：A.

【点睛】本题考查解直角三角形和勾股定理的实际应用.由坡度的定义得出AC的长是解答本题的关键.

2.以下有关勾股定理证明的图形中，不是中心对称图形的是（）

【解析】根据中心对称图形的概念求解.把一个图形绕某一点旋转180°,如果旋转后的图形能够与原来

的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形.

A.不是中心对称图形，符合题意;

B.是中心对称图形，不符合题意;

C.是中心对称图形，不符合题意；

D.是中心对称图形，不符合题意.

3.如图，点A,B都在格点上，若BC=2运，则AC的长为（）

A.V13B.里亘C.2^13D.35/13

3

【答案】B

【解析】根据勾股定理可以得到AB的长，然后由图可知AC=AB-BC,然后代入数据计算即可.

由图可得，

AB=J+,="36+16

3__

.\AC=AB-BC=2V13-2：/13=W13

33

4.如图，在4X4的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1,E为BD与正方形网格线的交点，下列结

论正确的是（）

R

A.CE^ABDB.AABC^ACBDC.AC=CDD.ZABC=ZCBD

2

【答案】D

【解析】根据勾股定理可以得到BC、CD、BD的长，再根据勾股定理的逆定理可以得到△

BCD的形状，利用相似三角形的判定与性质，可以得到EF的长，然后即可得到CE的长，从而可以得到CE

和BD的关系；根据图形，很容易判断aABC段ZkCBD和AC=CD不成立；再根据锐角三角函数可以得到NABC

和NCBD的关系.

由图可得，

=

^2+22=2-\/5,CD=yj2^+1^'BD=5/32+42=5,

.\BC2+CD2=(2遥)2+(“)2=25=BD2,

/•△BCD是直角三角形，

VEF/7GD,

.".△BFE^ABGD,

•••-E-F=BF,

DGBG

即史上，

34

解得EF=1.5,

.,.CE=CF-EF=4-1.5=2.5,

ACE=2^5=_1＞故选项A错误；

BD52

由图可知，显然AABC和ACBD不全等，故选项B错误;

VAC=2,CD=加，

.•.ACWCD,故选项C错误；

*/tanZABC=Ai_=A,tanZr,RF|=-^-=

AB2BC2娓2

.-.ZABC=ZCBD,故选项D正确；

5.如图，在AAOB中，A0=l,BO=AB=2.将AAOB绕点0逆时针方向旋转90°,得到aA，0B「连接

2

AA'.则线段AA'的长为（）

B'B

O

A.1B.V2C..1D.日志

【答案】B

【解析】由旋转性质可判定AAOA'为等腰直角三角形，再由勾股定理可求得AA'的长.

由旋转性质可知，OA=OA'=1,NA0A'=90°,

则AAOA'为等腰直角三角形，

•'•AA，=VOA2-K）AZ2=V^+i=V2-

6.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的

工作原理，如图1.筒车盛水桶的运行轨道是以轴心0为圆心的圆，如图2.已知圆心0在水面上方，且

。。被水面截得的弦AB长为6米，。。半径长为4米.若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦AB所在

直线的距离是（）

图1图2

A.1米B.（4-夜）米C.2米D.（4+夜）米

【答案】B

【解析】连接0C交AB于D,连接0A,根据垂径定理得到AD=1AB,根据勾股定理求出0D,结合图形计

2

算，得到答案.

解：连接0C交AB于D,连接0A,

•••点C为运行轨道的最低点，

.\OC±AB,

/.AD=-1-AB=3（米），

2

在RtZ\OAD中，OD=VOA2-AD2=V42-32=A^（米），

二点C至|弦AB所在直线的距离CD=OC-0D=（4-有）米，

图2

7.如图，△ABC内接于。0,AB为。。的直径，D为。0上一点（位于AB下方），CD交AB于点E,若/BDC

=45°,BC=6夜，CE=2DE,贝ICE的长为()

4后C.375D.473

【答案】D

【解析】连接C0,过点D作DGLAB于点G,连接AD,

.\ZCA0=ZCDB=45°,

：AB为。0的直径，

ZACB=ZADB=90°,

/.ZCAB=ZCBA=45°,

；BC=6夜,

/.AB=72BC=12,

V0A=0B,

ACOXAB,

.".ZC0A=ZDGE=90°,

VZDEG=ZCEO,

AADGE^ACOE,

.DEGE_lDG

**CE-OE-2-CO?

VCE=2DE,

设GE=x,则0E=2x,DG=3,

AAG=6-3x,BG=6+3x,

VZADB=ZAGD=90°,

NDAG=NBAD,

.,.△AGD^AADB,

，DG2=AG・BG,

・・・9=(6-3x)(6+3x),

Vx>0,

；・x=6，

・・・0E=2B

在Rt^OCE中，由勾股定理得：

CE=y/oE2+OC2=712+36=4上，

故选：D.

【点睛】本题主要考查了圆周角定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，作辅助线构造出4DGE

^△COE是解题关键

8.如图，在Rt^ACB中，ZACB=90°,AC=6,BC=8,若以AC为直径的。。交AB于点D,则CD的长为

D.5

【答案】C

【解析】由圆周角定理得到CDLAB,所以利用勾股定理首先求得AB的长度；然后利用等面积法来求CD的

长度即可.

,/以AC为直径的。0交AB于点D,

/.ZADC=90°,即CD_LAB.

在Rtz^ACB中，ZACB=90°,AC=6,BC=8,

则由勾股定理得到：AB=4人,2+BC2=462+82=10.

.­.-1AC»BC=-1AB-CD,BPyX6X8=yXIQ-CD-

故CD="

5

9.如图，四边形ABDC中，AC=BC,NACB=90°,AD_LBD于点D.若BD=2,CD=4、回，则线段AB的长

为.

【答案】前.

【解析】过点C作CE_LCD交AD于E,判断出NACE=/BCD,进而利用SAS判断出△ACE^A

BCD,得出AE=BD=2,CE=CD,进而利用勾股定理求出DE=8,即AD=10,最后用勾股定理即可得出结论.

解：如图，过点C作CELCD交AD于E,

.\ZECD=90°,

VZACB=90°,

/.ZACB=ZECD,

ZACB-ZBCE=ZECD-ZBCE,

ZACE=ZBCD,VAC=BC,

BC与AD的交点记作点F,

VZACB=90°,

.".ZAFC+ZCAE=90°,

VZAFC=ZDFB,

.\ZDFB+ZCAE=90o,

VZADB=90°,

・・・NDFB+NCBD=90°,

・・・NCAE=NCBD,

AAACE^ABCD(ASA),

・・・AE=BD,CE=CD,

在RtaDCE中，CE=CD=4&,

・，.DE=&CD=&X蚯=8,

VBD=2,

・・・AE=2,

・・・AD=AE+DE=2+8=10,

22=22=2,

在Rt^ABD中，根据勾股定理得，AB=7AD+BD710+2^26

故答案为2726-

10.如图，在6x6的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，其中A、B、C为格点，作，ABC

的外接圆，则5c的长等于.

【答案］叵

2

【解析】由AB、BC、AC长可推导出4ACB为等腰直角三角形，连接0C,得出NB0C=90°,计算出0B的

长就能利用弧长公式求出BC的长了.

【详解】:•每个小方格都是边长为1的正方形,

，AB=26，AC=VlO，BC=再,

.,.AC2+BC2=AB2,

/.△ACB为等腰直角三角形，

ZA=ZB=45°,

二连接OC,则/COB=90°,

VOB=75

...j,90・兀•如#＞兀

的长为：......-=-—

1802

【点睛】本题考查了弧长的计算以及圆周角定理，解题关键是利用三角形三边长通过勾股定理逆定理得出

△ACB为等腰直角三角形.

11.如图，将RtAABC的斜边AB绕点A顺时针旋转a(0°<a<90°)得至I]AE,直角边AC绕点A逆时

针旋转B(0°<3<90°)得至IJAF,连结EF.若AB=3,AC=2,且a+B=NB,则EF=.

【答案】V13-

【解析】由旋转的性质可得AE=AB=3,AC=AF=2,由勾股定理可求EF的长.

由旋转的性质可得AE=AB=3,AC=AF=2,

VZB+ZBAC=90°,且a+p=NB,

.\ZBAC+a+0=90°

；./EAF=90°

/-EF=7AE2+AF2=^

【点评】本题考查了旋转的性质，勾股定理，灵活运用旋转的性质是本题的关键.

12.如图，方格纸中每个小正方形的边长为1,线段AB和线段CD的端点均在小正方形的顶点上.

(1)在图中画出以AB为边的正方形ABEF,点E和点F均在小正方形的顶点上；

(2)在图中画出以CD为边的等腰三角形CDG,点G在小正方形的顶点上，且ACDG的周长为10+J而,

连接EG,请直接写出线段EG的长.

【答案】(1)画图见解析；(2)画图见解析，EG=5

【解析】(1)根据正方形的判定作图可得；

(2)根据等腰三角形与勾股定理可得答案.

【详解】解：(1)如图所示，正方形ABEF即为所求；

(2)如图所示，ZXCDG即为所求，由勾股定理，得EG=+22=6.

【点睛】本题考查作图-应用与设计、等腰三角形的性质、勾股定理、正方形的判定和性质等知识，解题

的关键是学会利用思想结合的思想解决问题，属于中考常考题型.

13.如图，点E为正方形ABCD外一点，ZAEB=90°,将Rt^ABE绕A点逆时针方向旋转90°得到aADF,

DF的延长线交BE于H点.

(1)试判定四边形AFHE的形状，并说明理由；

(2)已知BH=7,BC=13,求DH的长.

DC

【答案】见解析。

【解析】⑴利用旋转即可得到RtZ\ABE丝RtZiADF,再根据全等三角形的性质即可求证四边形AFHE的形

状；

(2)设AE=x，则BE=7+x,AB=13,利用勾股定理即可求出x,进而可求出DH的长.

解：(1)四边形AFHE是正方形，理由如下：

VRtAABE绕A点逆时针方向旋转90°得到AADF,

ARtAABE^RtAADF,

.\ZAEB=ZAFD=90°,

.\ZAFH=90°,

VRtAABE^RtAADF,

/.ZDAF=ZBAE,

又；NDAF+NFAB=90°,

.\ZBAE+ZFAB=90°,

；./FAE=90°,

在四边形AFHE中，ZFAE=90°,ZAEB=90°,ZAFH=90°,

，四边形AFHE是矩形，

又•；AE=AF,

矩形AFHE是正方形；

(2)设AE=x.则由(1)以及题意可知：AE=EH=FH=AF=x,BH=7,BC=AB=13,

在RtZ\AEB中，AB2=AE2+BE2,

即132=X2+(X+7)2,

解得：x=5,

.*.BE=BH+EH=5+7=12,

.\DF=BE=12,

又：DH=DF+FH,

；.DH=12+5=17.

14.如图，AB是。0的直径，点D在。。上，且/A0D=90°,点C是。0外一点，分别连接CA,CB、CD,

CA交。0于点M,交0D于点N,CB的延长线交。0于点E,连接AD,ME,且NACD=NE.

(1)求证：CD是。0的切线；

(2)连接DM,若00的半径为6,tanE=-,求DM的长.

3

【答案】(1)见解析；(2)上叵

5

【解析】(1)根据圆周角定理和等量代换可得NBAC=NACD,进而得出AB〃CD,由NA0D=90°可得0D

±

CD,从而得出结论；

(2)由tanE=—,可得tan/ACD=tan/OAN=tanE=1，在直角三角形中由锐角三角函数可求出ON、DN、

33

CD,由勾股定理求出CN,由三角形的面积公式求出DF,再根据圆周角定理可求出/AMD=45°,进而根据

等腰直角三角形的边角关系求出DM即可.

【详解】解：(1)VZACD=ZE,ZE=ZBAC,

ZBAC=ZACD,

；.AB〃CD,

.,.Z0DC=ZA0D=90°,

即OD±CD,

；.CD是。。的切线；

(2)过点D作DFLAC于F,

E

OO的半径为6,tanE=—=tanNACD=tanNOAN,

3

11

・・・ON=—OA=—X6=2,

33

ADN=0D-0N=6-2=4,

・・・CD=3DN=12,

在RtZXCDN中，

CN=y/DN2+CD2=44?+12?=4^/10，

由三角形的面积公式可得，

CN・DF=DN・CD,

即4^/10DF=4X12,

…口―6河

5

又：NAMD=^-NA0D=L义90。=45°,

22

.,.在RtZXDFM中，

DM=0DF=&X=今5.

15.如图，抛物线丁=一必+法+5与％轴交于A,3两点.

备用图

(1)若过点C的直线x=2是抛物线的对称轴.

①求抛物线的解析式；

②对称轴上是否存在一点P,使点8关于直线。尸的对称点8'恰好落在对称轴上.若存在，请求出点P的

坐标；若不存在，请说明理由.

(2)当0WxW2时，函数值V的最大值满足3<15,求b的取值范围.

【答案】(1)①y=—x?+4x+5；②存在，PQ,誓~)或q,-誓(2)4</?<7.

【解析】(1)①根据抛物线的对称轴公式即可求出解析式；

②如图1,若点P在x轴上方，点B关于0P对称的点B'在对称轴上，连接03'、PB,根据轴对称得到

OB'=OB,PB'=PB,求出点B的坐标，勾股定理得到3'(2,万)，再根据？6'=必，