安徽省“江南十校”2025届高三年级下册联考数学试题（含答案与解析）

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2025届安徽省“江南十校”联考

数学

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本

试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符

合题目要求，选对得5分，选错得0分.

z------_

L设复数l-i,则z的共相复数彳的虚部为（）

A.-iB.--iC.gD.--

2222

2.已知集合4={尤|-X2+尤+2>。},3={尤wN||左一1|<1},则（）

A.{1}B.{0,1}C.{0,1,2}D.{-1,0,1,2}

3.已知。是直线2x—y+l=0的一个方向向量，若2=（狐1）,则实数机的值为（）

11

A.—B.------C.2D.—2

22-

4.已知等差数列{4}的前n项和为S„,且几=120,等比数列也}的首项为1,若g=为，则地产

的值为（）

1「1

A.-B.—5C.D.5

55

5.已知角的顶点与坐标原点。重合，始边与x轴的非负半轴重合，角。的终边与圆。交于点

A（l,2&b动点尸以A为起点，沿圆周按逆时针方向运动到点点尸运动的轨迹长为?，当角夕的终边

为射线08时，tan£=（）

4拒-77-4729+4A/29+472

7777

6.已知双曲线白=1（。〉0］〉0）虚轴的两个端点分别为耳，52，左、右焦点分别为耳，歹2,若

cos/耳与鸟=—：,则双曲线的离心率为（）

A.B.-C.J5D.-

523

7.若函数〃X）=10g“X+10ga+iX是减函数，则实数。的取值范围是（）

32

8.已知x〉0,y〉0,x+3y=丁,2,则一H—的最小值为（）

xy

A.2A/2B.屈C.276D.2G

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合

题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知数据看,乙,…的平均数为10,方差为1，且y=2%+4（i=l,2,…,6）,则下列说法正确的是

（）

A.数据%,%，…，”的方差为4

B.数据看,…％的平均数为17

C.数据和々，…,/J。平均数为1。，方差大于1

D.若数据看,…，4的中位数为m,75%分位数为〃，则相<〃

10.如图，已知圆台的轴截面为ABCD,其中A3=38=12百,A£>=8,M为圆弧A3的中点，

DE=2EA'贝U（）

A.圆台的体积为208兀

IT

B.圆台母线所在直线与平面ABC。所成角的最大值为一

3

C.过任意两条母线作圆台的截面，截面面积的最大值为326

D.过C,瓦”三点的平面与圆台下底面的交线长为丝叵

5

11.已知定义在R上偶函数/(%)满足/(0)=2,/(3—x)+/(x)=l,设/(%)在R上的导函数为

g(x)，则()

A-g(2025)=0B.g1|]=：

2025

c.g(x+6)=g(x)D.

n=l

三、填空题；本题共3小题，每题5分，共15分.

12.曲线C：、=加工在点乂(1,e)处的切线方程为.

13.己知耳，工分别是椭圆工+上=1的左、右焦点，P,A3为椭圆上三个不同的点，直线Q4的方程

84

为x=2,且/APS的平分线经过点Q(l,0),设△AK%,ABK耳内切圆的半径分别为彳,々，则二=

r2

14.程大位(1533-1606)是明代珠算发明家，微州人.他所编撰的《直指算法统宗》是最早记载珠算开平

方、开立方方法的古算书之一，它完成了计算由筹算向珠算的转变，使算盘成为主要的计算工具.算盘其形

长方，周为木框，内贯直柱，俗称“档”.现有一种算盘(如图1)共三档，自右向左分别表示个位、十位

和百位，档中横以梁，梁上一珠，下拨一珠记作数字5：梁下五珠，上拨一珠记作数字1.例如：图2中算

盘表示整数506.如果拨动图1中算盘的3枚算珠，则可以表示不同的三位整数的个数为.

百位十位个位百位十位个位

图1图2

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.

15.一个不透明的盒子中装有规格完全相同的3个小球，标号分别为1,2,3,现采用有放回的方式摸球两

次，每次摸出1个小球，记第一次摸到的小球号码为，，第二次摸到的小球号码为八

(1)记“，+/＞，•/”为事件A,求P(A)；

(2)完成两次摸球后，再将与前面3个球规格相同的4号球和5号球放入盒中，并进行第三次摸球，且将

第三次摸到的小球号码记为左，号码次中出现偶数的个数记为X,求X的分布列及数学期望.

16.已知函数/(x)=l—asinx—cos2x,aeR.

⑴若a=2,求/(%)在(0,兀)上的极大值；

(2)若函数g(x)=/(x)—/1+x］，讨论函数g(E)在［0,可上零点的个数.

17.如图，在四棱锥E—ASCD中，底面A3CD为直角梯形，AB〃且=1,

2

AB±BC,ZADC=60°,cosNCDE=-,^ADE为等边三角形.

(1)若分别是棱AREC中点，证明：〃平面ABE；

(2)求平面BCE与平面ADE夹角的余弦值.

18.已知动点G(x,y)满足关系式旧+—叵)2_次+―招2=2.

(1)求动点G轨迹方程；

(2)设动点G的轨迹为曲线G，抛物线。2：炉=4〉的焦点为E，过G上一点尸作C?的两条切线，切

点分别为A3,弦A3的中点为M，平行于的直线/与C?相切于点Q.

①证明：三点共线；

②当直线/与。有两个交点时，求司的取值范围.

19.设｛4｝是各项均为正数无穷数列，其前〃项和为5“.

⑴若也“+2=4+1对任意neN*都成立，且2S„+1=S“+2.

①求数列｛%｝的通项公式；

②已知首项为占，公比4满足|同<1的无穷等比数列｛%〃｝,当〃无限增大时，其前〃项和无限趋近于常数

产，则称该常数为无穷等比数列｛五｝的各项和.现从数列｛a,,｝中抽取部分项构成无穷等比数列也｝,

1一4

且｛2｝的各项和不大于，，求々的最大值.

（2）若口用对任意〃eN*都成立，试证明：（卬见^^之.2见…4+1）上

参考答案

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符

合题目要求，选对得5分，选错得0分.

z---_

1.设复数l-i,贝厂的共轨复数5的虚部为（）

A.—iB.—iC.—•

222

【答案】D

【解析】

【分析】先对复数化简，然后求出其共辗复数，从而可求出N的虚部.

.12

i(l+i)1+111.

【详解】因为------1--1

(l-i)(l+i)22

-11

所以z=V-：i,

22

所以z的共辗复数彳的虚部为-.

2

故选：D

2.已知集合4=｛削一/+尤+2>0｝,3=卜€可上一1区1｝,则4门5=（）

A.{1}B.{0,1}C.{0,1,2}D.{-1,0,1,2}

【答案】B

【解析】

【分析】通过解不等式化简集合，根据集合的基本运算可得结果.

【详解】由题意得，A={x|X2-X-2<0}={X|-1<X<2},B={xeN|0<x<2}={0,l,2},

.-.APB={0,1}.

故选：B.

3.已知,是直线2x—y+l=0的一个方向向量，若。则实数加的值为（）

11

A.JB.——C.2D.-2

22

【答案】A

【解析】

【分析】先由直线方向向量定义结合直线方程求出直线的一个方向向量，再利用向量平行的坐标表示即可

求解.

【详解】因为直线2x-y+l=0的斜率为左=2,所以直线的一个方向向量为（1,2）,

所以若商=（顼1）,则2加一1=0,解得机=g.

故选：A.

4.已知等差数列{4}的前n项和为S„,且=120,等比数列{b“}的首项为1,若g=勿，则l°g<％

的值为（）

1「1

A.—B.—5C.—D.5

55

【答案】B

【解析】

【分析】先由等差数列前w项和公式结合下标性质求出W，进而求出等比数列也,}的公比即可计算求解.

【详解】由题得S15=—3^——=15。8=120=>/=8，

所以“=%=8,设等比数列{2}的公比为4,所以/=,=8nq=2,

则log*6=log25=-5.

22

故选：B

5.已知角名尸的顶点与坐标原点。重合，始边与x轴的非负半轴重合，角戊的终边与圆。交于点

A(l,2直}动点尸以A为起点，沿圆周按逆时针方向运动到点3,点尸运动的轨迹长为手，当角夕的终边

为射线08时，tan£=()

4A/2-77-4V29+4V2D9+4收

AA-------Rrc.-----------

7777

【答案】C

【解析】

【分析】先由题意结合三角函数、弧长公式等依次求出tana、圆。的半径和NAQB,再由

tan，=tan[a+：]结合两角和正切公式即可求解.

【详解】由题得1血&=述=2拒，且圆0的半径为r=(2后丫=3，

1

3兀

所以NA0B=4=4，

34

llyc(兀、tana+120+1(2行+1)_9+4虚

所以tanB—tan|a+|——.——

14)1-tana1-2。2(272-1)(272+1)7

故选：C

22

6.已知双曲线土■-2=l(a〉0,0〉0)虚轴的两个端点分别为用,生，左、右焦点分别为耳，耳，若

cos/44笈=—三，则双曲线的离心率为(

)

A3石3L5

RC.y/5D--

523

【答案】A

【解析】

b

【分析】由题意结合倍角公式以及cos/耳40=K即可求解

"bT.i-5

【详解】由题cosN耳用工=2cos2/耳—1=2

{4b2+c2)13'

所以9)2=402,即9a2=5。2,所以e2=：=2,即e=^5.

a255

7.若函数/(x)=log/+loga+/是减函数，则实数a的取值范围是()

【答案】B

【解析】

/、In(6/2+In(+a)20

【分析】根据r(x)vo可得」______2«o,利用,7求出〃的取值范围验证取舍可得结果.

Ina[ina<0

【详解】由题意得，函数/(%)定义域为(0,+a).

]n(a+l)+lnaIn.+q)

/(X)=logy+loga+F，二r(X)=-^―+1=

xma%ln(a+l)xlna-ln(a+l)xlntz-ln(a+l)

且awl,ln(a+l)>0,则山(°+°)《0,

Ina

2

[ln(a+<2)>0-i+J?

9•*a2+a>a)，解得-------<a<1，

Ina<02

-1+、/?,、ln(a2

当a=_L±wi时，储+a=1,/，力=_\/=(),不合题意，

2'，xlna-ln(a+l)

(后-1)

的取值范围是-y-―,1.

12)

故选：B

32

8.已知%>0,y>0,%+3y=%3,2,则—+一的最小值为()

xy

A.2A/2B.屈C.2nD.2G

【答案】D

【解析】

312(32丫

【分析】先化简得出一+—=xy,再应用基本不等式计算-+-的最小值即可求解.

%'Uy)

312

【详解】已知x〉0,y〉0,x+3y=/丁2,所以一+—=xy,

%y

（32丫

94129“13、=卫+—%2y=M+4x2>2y/36=12,

则

I》y）了+于+丁7+工匚小

当且仅当＞=4必，即％=，5/=近栏叵时等号成立，所以2的最小值为2若.

x23%y

故选：D.

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合

题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知数据再,々,…，玉,的平均数为1。，方差为1，且M=2%+4(，=1,2,…,6),则下列说法正确的是

()

A.数据%,＞6的方差为4

B.数据占,々,…,毛，%,%，…，%的平均数为B

C.数据看,马，…，/，io的平均数为10,方差大于1

D.若数据再,％2,…，％6中位数为加,75%分位数为〃，则能＜”

【答案】AB

【解析】

【分析】根据方差性质计算判断A,根据平均数及方差计算求解判断B,C,特例法，先从小到大排列，

计算中位数及分位数判断D.

【详解】对于A：数据…，”的方差为22x1=4,A选项正确;

对于B:数据为,％2,…,4,%,上，…，的平均数为

石+三+…+%+%+立+…+%=6义10+6*24=]7,B选项正确；

1212一

[丁U//rr-,口业X]+X,+,••+%+IO6X10+10

对于C:数据花,%，…，％6，1°的平均数为———------------=---------=10,

方差(%-10)2+-10)2+…+(%6-10)2+(10-10)2=6x1+0=g<],C选项错误；

17—7—7一.....

对于D：若取数据9,9,10,10,10,12,平均数为10,方差为1,

则中位数为根=空马=10,因为6x0.75=4.5,所以第5个数为75%分位数〃=10,

2

所以加=〃，D选项错误.

故选：AB.

10.如图，已知圆台的轴截面为ABCZ),其中A3=38=12百,8,舷为圆弧A3的中点,

DE=2EA>贝I()

A.圆台的体积为208兀

7T

B.圆台母线所在直线与平面ABCD所成角的最大值为一

3

C.过任意两条母线作圆台的截面，截面面积的最大值为32有

D.过C,£,M三点的平面与圆台下底面的交线长为当叵

5

【答案】ABD

【解析】

【分析】求出圆台的高，根据体积公式可得选项A正确；把圆台补成圆锥，根据母线力欣与平面ABCD

7T

所成的角最大可得选项B正确；利用两条母线所在直线夹角为一时截面面积最大可得选项C错误；找出过

2

C,E,M三点的平面与圆台下底面的交线，结合垂径定理可得选项D正确.

【详解】A.：AB=3C£>=12百,A£>=8,...圆台上底面圆半径为26，下底面圆半径为6豆，

...圆台的高人=,82—(6君—=4,

1(\2/―

...圆台的体积V=3兀x4x(26)+2君X6G+(6G)=208兀，A正确.

4由方得,71

B.由/z=4,BC=8,得sinN03C=—g,NOBCe0,NOBC=—.

86

如图，将圆台补成圆锥，顶点记为T,底面圆的圆心记为。，连接TO,A/O,MT,

为圆弧A3的中点，•••MOLAB.

人平面AMB,MOu平面AMB,，T0AMO,

TOC\AB=O,TO,AB?平面ABCD，二MO±平面ABCD,

：MOu平面7MO,.•.平面7Mo人平面ABCD,

ITTTIT

此时母线所在直线7M与平面ABCD所成的角最大，最大为SMTO,?MTO------=-,B正确.

263

C.由？ZBO2,08=66得，TO=6,BT=12,；.TC=12-8=4,

6

7T17T17T

当两条母线所在直线夹角为士时，截面面积最大，最大值为一创122sin-——仓Msin-=64C错误.

22222

D.如图，在梯形A3CD中，连接CE并延长交5A的延长线于点E,连接板交底面圆于点N,则脑V

为截面与底面圆的交线.

由0=三=2得,OF8A/34。3

AF=2A/3-OF=86，■■tan?OMF-----=-==-,cos?OMF-,

AFEAOM6^35

取肱V中点G,则OGAMN,MN=2MG,

:•MN=2义6/义cosNOMFD正确.

故选：ABD.

11.已知定义在R上的偶函数/(%)满足/(0)=2,/(3—x)+/(x)=l,设/(%)在R上的导函数为

g(x)，则()

A.g(2025)=0B.g1|］=；

2025

c.g(x+6)=g(x)D.2/5)=1011

n-\

【答案】ACD

【解析】

【分析】先由题设结合奇偶性和对称性性质、求导运算依次求出g(x)是奇函数、g(0)=0、函数/(九)

和g(x)是周期为6的函数和8⑶二8⑼二。即可依次分析判断ABC,由题设

〃0)=2,〃3-x)+/(x)=l依次求出/(1)+〃2)=〃4)+/(5)=1,〃3)=-1,〃6)=2即可判断

D.

【详解】由题得/(-x)=〃x),所以_/'(_%)=/'⑺即_g(f)=g(x),

所以g(x)是奇函数,故g(o)=o,

又由“3-力+/(%)=1得函数/(%)关于点［|■,；］对称，/(-%)+/(%+3)=1,

所以/(x)+/(x+3)=l,故/(x+3)=/(3—x)=/(x—3),

所以/(x+6)=/(x),即函数是周期为6的函数，

所以g(x)也是周期为6的函数，即g(x+6)=g(x),

由“3—x)+/(x)=l求导得一/'(3—x)+/'(x)=。即g(x)=g(3—x),

所以g(3)=g(0)=0,

对于A,g(2025)=g(6x337+3)=g(3)=0,故A正确；

对于B,由函数"力关于点［I，；］对称得g1|J=O,故B错误；

对于C,由上g(x)也是周期为6的函数，即g(x+6)=g(x),C正确；

对于D,由/(—x)+/(x+3)=l得/。)+/(2)=1,

且〃0)+〃3)=1即〃3)=—1,且〃—1)+〃4)=1即"4)=1—〃1),

且/(—2)+〃5)=1即〃5)=1—〃2),/(6)=/(0)=2

所以〃5)+/(4)=l—/(2)+l—/(1)=2—1=1,

所以/(1)+〃2)+/(3)+〃4)+〃5)+〃6)=1—1+1+2=3,

2025337x6+3

所以£/■(〃)=X/(")=337X3+〃1)+〃2)+〃3)=1011,故D正确.

n=ln=l

故选：ACD

【点睛】关键点睛：解决本题的关键是求出函数〃力和g(x)是周期为6的函数.

三、填空题；本题共3小题，每题5分，共15分.

12.曲线C：丁=》靖在点乂(1,e)处的切线方程为.

【答案】y=2ex-e

【解析】

【详解】试题分析：因为y'=e、+xe1所以切线斜率为2e,切线方程为y—e=2e(x—1),y=2ex—e

考点：导数几何意义

22

13.已知耳，工分别是椭圆土+2L=i的左、右焦点，P,A3为椭圆上三个不同的点，直线Q4的方程

一84

为x=2,且ZAPS的平分线经过点。(LO),设内切圆的半径分别为不々，则,=

r2

【答案】5

【解析】

+M闾+闺用

【分析】先由题意依次求出|A闾尸闾,|A司，忻用即可由S“"26求出ri，接着由

2

正切函数定义和两角和的正切公式结合点尸求出直线总的方程，进而求出直线过点耳，再联立椭圆方

程求出力即可同理4求出r2得解.

【详解】由题意可知|A闾=|尸用=Q=T==0,|A耳|=2"恒闾=30,闺闾=2c=4,

ci2y/2

所以由^=1R||^|=2A/2

s△ArFjrF

22

_____2_S__________2.2皿闺用=40=2-J2>

*=AFF

|A片+|A闾+闺用一/用+H用+寓用―4+4虚——

._2tanZFPQ_72_/r

所以tanNF2PDBR-2一口一20

2

所以*=tanX屋系所以几：丁=

x—2y[^y+2=0,

令y=0得x=—2,故直线尸3经过点片,

x—2^2y+2=0

联立《%22=>10_y2+—4=0,

——+—=1

I84

所以行为=_[=_[=>yB=一乎，

所以同理可得厂=2S.BFE=2%。%|可囚=.=2—6,

“一忸国+忸阊+。闾—忸制+忸一|+|耳阊—4+472-5

4_2-V2

—―------------』=3

所以马2—亚•

5

故答案为：5.

14.程大位(1533-1606)是明代珠算发明家，微州人.他所编撰的《直指算法统宗》是最早记载珠算开平

方、开立方方法的古算书之一，它完成了计算由筹算向珠算的转变，使算盘成为主要的计算工具.算盘其形

长方，周为木框，内贯直柱，俗称“档”.现有一种算盘(如图1)共三档，自右向左分别表示个位、十位

和百位，档中横以梁，梁上一珠，下拨一珠记作数字5：梁下五珠，上拨一珠记作数字1.例如：图2中算

盘表示整数506.如果拨动图1中算盘的3枚算珠，则可以表示不同的三位整数的个数为.

声

百位十位个位百位十位个位

图1图2

【答案】26

【解析】

【分析】分“百位”拨动3枚算珠、“百位”拨动2枚算珠、“百位”拨动1枚算珠三种情况罗列出可表示

的数据即可得解.

【详解】由题“百位”拨动3枚算珠可以表示的不同的三位整数有：300、700；

“百位”拨动2枚算珠可以表示的不同的三位整数有：210、250、201、205,610、650、601、605；

“百位”拨动1枚算珠可以表示的不同的三位整数有：120、102、160、106、111、151、115、155；

520、502、560、511、551、515、555.

则符合条件的三位整数的个数为26.

故答案为：26.

【点睛】关键点睛：解决本题的关键是理解题意，将问题拆分“百位”拨动3枚算珠、“百位”拨动2枚

算珠、“百位”拨动1枚算珠三种简单情况进行分析再整合即可得解.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.

15.一个不透明的盒子中装有规格完全相同的3个小球，标号分别为1,2,3,现采用有放回的方式摸球两

次，每次摸出1个小球，记第一次摸到的小球号码为i,第二次摸到的小球号码为九

(1)记“，+/>>/”为事件A,求尸(A)；

(2)完成两次摸球后，再将与前面3个球规格相同的4号球和5号球放入盒中，并进行第三次摸球，且将

第三次摸到的小球号码记为左，号码，，，女中出现偶数的个数记为X,求X的分布列及数学期望.

【答案】(1)-

9

(2)分布列见解析；居.

【解析】

【分析】(1)根据古典概型的计算公式即可求得答案.

(2)先确定X的取值，结合独立事件概率乘积公式及组合数求得每个值对应的概率，即可得分布列，继

而求得数学期望.

【小问1详解】

两次摸球，摸出的小球号码，"的所有情况共C；xC；=9种，

其中，满足+的情形有：

7=1时，/=1,2,3；，=2时，j=l；1=3时，J=l：共5种情况，

故P(A)W

【小问2详解】

X的可能取值为0,1,2,3,

_C；C；C；_12_4/v-C：C；C；+C；C：C；+C；C；C；_20_4

C3C3C54515'()C3C3C5459

c；c：c；+c；cC+c；c；c；Hwx_3「C；C；CL2

p(X=2)=

45'C3C3C545

故X的分布列为:

X0123

44112

p

1594545

4411216

故石(X)=Ox——+lx—+2x—+3x—

V7159454515

16.已知函数〃x)=l—asiiix—cos2x,a£R.

⑴若a=2,求〃力在(。,兀)上的极大值;

(2)若函数g(x)=/(x)—/[]+xJ,讨论函数g(x)在[0,可上零点的个数.

【答案】(1)极大值为0,(2)答案见详解

【解析】

【分析】(1)求出导数，列表分析/'(%)随x变化情况，根据单调性和极值定义求解；

(2)化简得g(x)=(cosx-sinx)[a—2(sinx+cosx)],令g(x)=0,得％=:或sinx+cosx=T,

分a<—2或a>2后，a=2叵,2<a<242>一24。<2讨论判断方程sinx+cosx=|■解得个数得

解.

【小问1详解】

当〃=2时，/(x)=1-2sinx-cos2x=2sin2x-2sinx,

贝U/'(x)=4sinxcosx—2cosx=4cosx[sinx-g],

令/'(x)=0,得x=：或£或学，

62o

因此，当X变化时，/(X),/'(力的变化情况如下表所示:

兀兀5兀

4~62~6

/‘(X)-0+0—0+

/(X)单调递减单调递增单调递减单调递增

所以当x时，”力有极大值，极大值为/3=0.

【小问2详解】

g(x)=f(x)-f\^+x=1一〃sinx—cos2x-l-asin—+x-cos2—+x

1212

=-asinx-cos2x+acosx—cos2x

=Q(cosx-sinx)-2cos2x

=(cosx-sinx)[a—2(sin尤+cosx)],

兀_p..Cl

当尤e[0,兀|时,由g(尤)=0得x=—或sinx+cosx=一

42

•后.71兀兀D7l

其中sm%+cosx=，2sm%+—，x+—G—,一贝Usinx+cosxe

I4J444

当a<—2或a>26'时，方程sinx+cosx=|■无解，此时函数g(x)只有一个零点x=：,

当a=20时，方程g(X)=0只有一解为x=:,此时函数g(x)只有一个零点，

当2<a<2后时，方程sinx+cosx=T有两个不同的解且均不等于2,此时函数g(x)有三个零点,

当—2Wa<2时，方程sinx+cosx=T有一解且不等于：，此时函数g(x)有两个零点.

综上，当。<一2或。》2夜时，函数g(x)只有一个零点，

当2<a<2加时，函数g(x)有三个零点,

当—2Wa<2时，函数g(x)有两个零点.

17.如图，在四棱锥E—ASCD中，底面ABCD为直角梯形，AB〃且=1,

2

AB±BC,NADC=60°,cosNCDE=-,^ADE为等边三角形.

(1)若M,N分别是棱AD,EC的中点，证明：肱V〃平面ABE；

(2)求平面BCE与平面ADE夹角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

⑵叵

7

【解析】

【分析】（1）通过线线平行得到平面ACVF//平面氏4E，进而证明〃平面ABE.

（2）通过分析可得MD,ME,MC两两互相垂直，建立空间直角坐标系，利用空间向量可求两平面夹角的余

弦值.

【小问1详解】

如图，取的中点连接MF,NF.

VM,N分别是棱AD,EC的中点，MF||AE,NF\\CD.

'：AB//CD,：.NF//AB.

,/MF//AE,MFcZ平面54E,AEu平面54E，

...A/F//平面B4E,同理可得即//平面5AE,

MFcNF=F,MF,NFu平面MNF,：.平面MNFII平面BAE，

Wu平面ACVF,.,.脑V〃平面ABE.

【小问2详解】

Xy

如图，连接CM,ME,AC,取。c的中点G,连接AG,

：AB〃CD且AB=^CD=1,，AB〃CG且AB=CG,

2

...四边形ABCG为平行四边形，故3C||AG,

■：AB±BC,：.AGVCD,且GZ）=1,

：NAZ>C=60°，，AD=2，故八4。。为等边三角形，

：.CM±AD,CM=6

•；VADE为等边三角形，/.DE=2,EM=区MELAD.

△CDE中，由余弦定理得，GE?=。。2+£>£2—2DC・£>E.COSNOE=4+4—2X2X2XL=6,

-4

•1.CM2+ME2=CE2>即CM，ME,故两两互相垂直.

以〃为原点建立如图所示空间直角坐标系，则。仅0,@,£（0,A/3,0）,D（l,0,0）,A（-l,0,0）,

由丽=3比得日，，

/

：.EC=（0Q,-6,6）,EB=——,—y/3,

n•EC=—y/3y+yf3z=0

设平面BCE的一个法向量为为=（羽y,z）,贝卜

n-EB=--x-y[3y+z-0

I22

令z=3,则y=3,x=—百，故为=（—若,3,3）.

而3J?]

取平面ADE的一个法向量沅=（0,0,1）,则cos庆，为==方]彳=下一

所

...平面与平面ADE夹角的余弦值为上

7

18.已知动点G（x,y）满足关系式旧+（y-6了一J/+（4+也产=2.

（1）求动点G的轨迹方程;

（2）设动点G的轨迹为曲线G，抛物线。2：*=4〉的焦点为E，过G上一点尸作G的两条切线，切

点分别为A3,弦A3的中点为河，平行于A3的直线/与G相切于点Q.

①证明：三点共线;

②当直线/与G有两个交点时，求|0尸|的取值范围.

【答案】（1）y2-x2=l（y<-l）

（2）①证明见解析；②耳的取值范围为,2.

I2J

【解析】

【分析】（1）由双曲线定义即可求解；

（2）①由切线方程和导数几何意义依次求出马=/，和=今即可得证;

②求出直线/的方程，与曲线q联立，利用判别式结合焦半径公式血刊=¥^即可求解.

【小问1详解】

则+(y—0)2一+(y+0)2=2即|GK|—|G阊=2<2后=|大司,

所以由双曲线定义可知动点G的轨迹是以片（0,0）,乙（0,-0）为焦点的双曲线的下支，且

a=l,c=^2=>Z?=1

所以动点G的轨迹方程为y2-x2=l（y<-l）.

【小问2详解】

(2A2、

anJb

①证明：由（1）曲线。1：9一12=l(y<-l),F(O,l),设P(工,%),Aa,—,Bb,—,

4JI4'

v2r

对函数p二、求导得y二万，

2廿h(2A<>2

所以两切线方程为：y———----=—(%—/?),即QX=2y+—,bx=2y+—

42V742V7I4J14