2025新高考数学复习专练：立体几何（30题）（原卷版）

黄金冲刺大题03立体几何

1.(2024•黑龙江•二模)如图，已知正三棱柱ABC-44。的侧棱长和底面边长均为2,M是的中点，N

是A耳的中点，尸是Bg的中点.

(1)证明：肱V〃平面4CP；

(2)求点P到直线MN的距离.

2.(2024•安徽合肥•二模)如图，在四棱锥尸-MCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，/朋。=60。,加是

侧棱PC的中点，侧面PAD为正三角形，侧面上4。_1_底面ABCD.

(1)求三棱锥/-ABC的体积；

(2)求AM与平面PBC所成角的正弦值.

3.(2023•福建福州•模拟预测)如图，在三棱柱ABC-A瓦G中，平面相CQJ_平面

ABC,AB—AC-BC-AA1-2,413=底.

AB

(1)设。为AC中点，证明：4。，平面4。8；

(2)求平面AA与与平面ACGA夹角的余弦值.

4.(2024•山西晋中•三模)如图，在六面体ABCDE中，BC=BD=娓,ECLED,且EC=ED=4i，AB

平行于平面CDE,AE平行于平面BCD,AE1CD.

⑴证明：平面XBE二平面CDE；

(2)若点A到直线CO的距离为2拒，尸为棱AE的中点，求平面尸与平面BCD夹角的余弦值.

5.(2024•辽宁•二模)棱长均为2的斜三棱柱ABC-A4G中，A在平面A8C内的射影。在棱AC的中点处,

尸为棱4与(包含端点)上的动点.

⑴求点尸到平面ABG的距离；

(2)若API平面求直线2G与平面1所成角的正弦值的取值范围.

6.(2024•重庆•模拟预测)在如图所示的四棱锥尸-A8CD中，已知AB〃C。，ZBAD=9Q\CD=2AB,APAB

是正三角形，点M在侧棱PB上且使得P。〃平面AMC.

⑴证明：PM=2BM；

(2)若侧面底面ABCD,CM与底面ABCD所成角的正切值为百，求二面角P-AC-3的余弦值.

7.(2024•安徽•模拟预测)2023年12月19日至20日，中央农村工作会议在北京召

积极发展特色农业，建设蔬菜大棚.如图所示的七面体

ABG-8EHF是一个放置在地面上的蔬菜大棚钢架，四边形是矩形，AB=8m,AD=4m,

ED=CF=lm,且即，CT都垂直于平面ABCZ),GA=GB=5m,HE=HF,平面ABG_L平面4BCD

⑴求点打到平面ABCD的距离；

(2)求平面8尸HG与平面AGHE所成锐二面角的余弦值.

8.(2024•重庆•模拟预测)如图，ACDE为菱形，AC=BC=2,NACB=120。，平面ACDEL平面ABC,点

尸在AB上，且诙=2FB,M,N分别在直线CD,A8上.

;D

A----------百巨B

(1)求证：b_L平面ACDE；

(2)把与两条异面直线都垂直且相交的直线叫做这两条异面直线的公垂线，若/E4c=60。，MN为直线C。，

AB的公垂线，求A舞N的值；

AF

(3)记直线BE与平面ABC所成角为a,若tan(z>Y红，求平面与平面CFD所成角余弦值的范围.

7

9.(2024•安徽•二模)将正方形ABCO绕直线A3逆时针旋转90。，使得C。到E尸的位置，得到如图所示的

几何体.

（1）求证：平面ACF_L平面3DE;

（2）点加为/）尸上一点，若二面角C-AM-E的余弦值为g,求/MW.

10.（2024•安徽黄山•二模）如图，已知为圆台下底面圆&的直径，C是圆&上异于42的点，。是圆

台上底面圆。2上的点，且平面D4c，平面ABC,DA=DC=AC=2,3c=4,E是CO的中点，济=2丽.

（2）求直线£）8与平面AE尸所成角的正弦值.

11.（2024•黑龙江哈尔滨•一模）正四棱台ABCD-4qGR的下底面边长为2后，\BX=^AB,M为BC中

点，已知点P满足衣=。-4）亚+•访+彳阈，其中几€（0,1）.

3?

（2）已知平面AMQ与平面ABCQ所成角的余弦值为1•，当2=:时,求直线DP与平面AMQ所成角的正弦值.

12.（2024•辽宁•三模）如图，在三棱柱ABC-ABC［中，侧面ACCH，底面ABC,AC=朋=2,

AB=1,BC=JL点E为线段AC的中点.

G

B

(1)求证：AB1〃平面BEG;

jr

(2)若/AAC=求二面角A-BE-Q的余弦值.

13.(2024•广东广州•一模)如图，在四棱锥尸-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，ADCP是等边三

IT

角形，/DCB=NPCB=1点、M,N分别为。尸和AB的中点.

(1)求证：MN〃平面P3C；

⑵求证：平面PBC1平面ABCD；

(3)求CM与平面RM)所成角的正弦值.

14.(2024•广东梅州•二模)如图，在四棱锥P-ABCD中，平面上4。，平面ABCD,底面ABCD为直角梯形,

△R4D为等边三角形，AD//BC,ADJ.AB,AD=AB=2BC=2.

P

(2)点N在棱PC上运动，求△ADN面积的最小值；

⑶点加为总的中点，在棱PC上找一点。，使得AM〃平面2。。，求黑的值.

15.(2024•广东广州•模拟预测)如图所示，圆台OR的轴截面AACq为等腰梯形，AC=2AA=2AG=4,8

为底面圆周上异于4c的点，且A3=3C,P是线段BC的中点.

⑴求证：GP//平面4AB.

(2)求平面\AB与平面3cB夹角的余弦值.

16.(2024•广东深圳•二模)如图，三棱柱A2C-人与。中，侧面8月QC，底面ABC,S.AB=AC,AB=AtC.

(1)证明：平面ABC；

⑵若A4,=BC=2,ZBAC=90°,求平面ABC与平面ABC1夹角的余弦值.

17.(2024•河北保定•二模)如图，在四棱锥尸-ABCD中，平面尸CD内存在一条直线所与A3平行，PA1.

平面ABCD,直线PC与平面ABCD所成的角的正切值为遮，PA=BC=2如，CD=2AB=4.

2

(1)证明：四边形ABC。是直角梯形.

(2)若点E满足而=2而，求二面角尸-EF-B的正弦值.

18.(2024•湖南衡阳•模拟预测)如图，在圆锥尸。中，P是圆锥的顶点，。是圆锥底面圆的圆心，AC是圆

锥底面圆的直径，等边三角形河是圆锥底面圆。的内接三角形，£是圆锥母线PC的中点，PO=6,AC=4.

p

(1)求证：平面BED_L平面ABD；

(2)设点M在线段尸。上，且31=2,求直线。欣与平面ABE所成角的正弦值.

19.(2024•湖南岳阳•三模)己知四棱锥尸-ABCD的底面ABCD是边长为4的菱形，ZZMB=60°,PA=PC,

PB=PD=2屈,M是线段尸C上的点，且定=4碇.

(1)证明：尸C_L平面

(2)点E在直线ZW上，求的与平面ABCD所成角的最大值.

20.(2024•湖南•二模)如图，直四棱柱ABCD-ABCJA的底面是边长为2的菱形，ABC=60%

面AG。.

Ci

(1)求四棱柱ABCO-44GA的体积;

(2)设点Q关于平面4G。的对称点为E，点E和点G关于平面a对称(E和a未在图中标出)，求平面

与平面a所成锐二面角的大小.

21.(2024•山东济南•二模)如图，在四棱锥尸-ABCD中，四边形ABC。为直角梯形，AB//CD,

ZDAB=ZPCB=60°,CD=1,AB=3,PC=273,平面PCS_L平面ABC®,尸为线段8C的中点，E为线段PF

上一点.

⑵当所为何值时，直线2E与平面BW夹角的正弦值为?

22.(2024•山东潍坊•二模)如图1,在平行四边形ABCD中，AB=2BC=4,ZABC=6O°,E为CD的中点,

将VADE1沿AE折起,连结BD,CD,且5。=4,如图2.

图2

(1)求证：图2中的平面ADE,平面ABCE；

(2)在图2中，若点尸在棱3D上，直线AF与平面ABCE所成的角的正弦值为叵，求点尸到平面DEC的

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距离.

23.(2024•福建•模拟预测)如图，在三棱锥尸—ABC中，尸A，PB,AB，BC,AB=3,BC=灰，已知二面角

P-AB-C的大小为6,ZPAB=3.

⑴求点P到平面A3c的距离；

(2)当三棱锥P-A5c的体积取得最大值时，求：

(I)二面角尸-AB-C的余弦值；

(II)直线尸C与平面所成角.

24.(2024•浙江杭州•二模)如图，在多面体A8CDP。中，底面ABCD是平行四边形,

/。45=60。,5。=27）。=445=4,又为30的中点，PQ//BC.PD±DC,QB±MD.

(1)证明：ZABQ=90°；

(2)若多面体ABCDPQ的体积为1,求平面尸CD与平面QAB夹角的余弦值.

25.(2024•浙江嘉兴•二模)在如图所示的几何体中，四边形A3CD为平行四边形，PAJ_平面ABCRPA〃,

(1)证明：平面PCDJ_平面PAC；

⑵若尸。=2鱼，求平面PCQ与平面DCQ夹角的余弦值.

26.(2024•浙江绍兴•二模)如图，在三棱锥尸-A5c中，AB=4,AC=2,NC4B=6O。，BC±AP.

⑴证明：平面ACP_L平面ABC；

(2)若上4=2,PB=4,求二面角P-AB-C的平面角的正切值.

27.(2024•河北沧州•一模)如图,在正三棱锥A-BCD中，8C=CD=班)=4,点尸满足AP=AAC，彳eQD,

过点尸作平面a分别与棱AB,BD,CD交于Q,S,7三点，且BCHa.

(1)证明：V2e(0,l),四边形PQST总是矩形；

(2)若AC=4,求四棱锥C-PQST体积的最大值.

28.(2024•湖北•二模)如图1.在菱形A8O)中，ZABC=120。，AB=4,AE=AAD,AF=/IAB(O<A<1),

沿EE将即向上折起得到棱锥P-BCDEP.如图2所示，设二面角P-£F-3的平面角为凡

图1

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⑴当儿为何值时，三棱锥尸-5CD和四棱锥P-&)£F的体积之比为w