2025年中考数学总复习：一次函数的图象与性质

微专题10一次函数的图象与性质

考点精讲

构建知识体系

一次函数

一依念

正比例函数（A-O）

________，教学建模

一次函数L图象特征

箕际何即---------

｛图象与性质）~十一经过象限

^_____^L增减性

•确定解析式卜-侍定系数法

图象的平移规律I-上加卜K.左加右猿

次南故的实际应用1c方程（纲）、不等式的关系］

考点梳理

1.一次函数的图象与性质（6年4考，常在函数综合题中涉及考查）

表达式y=kx-\-b（k,b为常数，且后0）（特别地，当6=0时，y=依为正比例函数）

k>0k<Q

b>0b—0b<0b>Qb=0b<0

图象

|yvy

♦y|yfJr

（草图）+•卜"•

o|/f>|XO\x

—/r4|O♦M.才■・

①画出草图②画出草图

经过的

、--、-二―*、—二-____________二、四二、三、四

象限

增减性y随x的1噌大而⑤________y随X的增大而⑥________

与坐标轴与％轴的交点坐标为⑦________（即令y=0）,与y轴的交点坐标为⑧______

的交点（即令x=0）

2.一次函数表达式的确定（6年5考，常在解答题中涉及考查）

（1）方法：待定系数法

（2）步骤：①先设一次函数的解析式为》=丘+6（后0）；

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②将图象上的两点巾），3（X2,⑶代入》二丘+6中，得到方程组+"

ly2=kx2-\-b

③解方程组可得匕b的值；

④将匕b代入所设解析式

3.一次函数图象的平移

平移前的

平移方式（冽＞0）平移后的解析式规律

解析式

向左平移m个单位y=k(x-\-m])+6

X左加右减

y=kx~\~b向右平移冽个单位y—k(x—rrib+b

(片0)向上平移冽个单位y=Ax+b+m等号右边整

向下平移m个单位y=Ax+b-m体上加下减

4.一次函数与方程（组）、不等式的关系（2024.10）

（1）与一元一次方程的关系

如图①，方程丘+6=0的解是一次函数^=丘+6的图象与％轴交点（点4）的横坐

标

（2）与二元一次方程组的关系

如图②，方程组［乃=七"十外的解是一次函数刃=抬%+从与方=段+为图象交

.2=七%+。2

点（点4）的横纵坐标的值

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图②

(3)与一元一次不等式的关系

①从“数”上看

(i)区+人>0的解集是在函数》=丘+6中，当y>0时％的取值范围；

(ii)区+6<0的解集是在函数中，当y<0时》的取值范围；

②从“形”上看

(i)br+Z?>0的解集是函数y=fct+Z?的图象位于x轴上方部分对应的点的横坐标

的集合；

(ii)丘+6V0的解集是函数的图象位于％轴下方部分对应的点的横坐标

的集合

Vy^kx^h

教材改编题练考点

1.已知一次函数

⑴该函数的图象经过—象限；

(2)该函数的图象与x轴的交点坐标为,与y轴的交点坐标为；

(3)已知点4(—1,巾)，3(3,/)在该函数的图象上，则"___物(填或"V")

2.已知直线>=丘(原0)经过点(3,6),则该直线的解析式为.

3.已知一次函数y=2x—5,将该函数的图象向左平移3个单位长度，得到的函

数表达式为..

4.如图，已知一次函数y=|x+l的图象分别与x,y轴交于4,3两点.

(1)方程|x+1=0的解为；

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(2)关于％的不等式0<1+1的解为.

ya

^<4O--------1

第4题图

高频考点

考点1一次函数的图象与性质(6年4考)

例1已知一次函数》=自+6(左，b为常数，度0),请解答下列问题：

(1)若6=3,一次函数的图象经过点4且y随x的增大而减小，则点4的坐标可

以为()

A.(-1,2)B.(1,-2)C.(2,3)D,(3,4)

(2)若则一次函数》=区+乃与>=左2%+左的图象可能是()

\\/Y

iK\/it\if\/i7\

［醇、•.IM•1\•

\\\/\J\

ABCI)

(3)若点(一2,-1),(1,—7)是该一次函数图象上的点，则下列各点在一次函数

图象上的是.

①(一2,-5),②(T,-3),③(0,-1),④(1,-5)

(4)若左>0,点4(xi,y\),5(X2,刃—2)是一次函数图象上两点，则为也(填

或"二,)

变式1(2024长沙)对于一次函数y=2x—1,下列结论正确的是()

A.它的图象与y轴交于点(0,-1)B.y随x的增大而减小

C.当时，y<0D.它的图象经过第一、二、三象限

变式2在同一平面直角坐标系中，函数》=-3%+6和3(6为常数，且

厚0)的图象可能是()

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Y./\>.

oI/A\*/o\\\*\\\\\*\I//*

/I\/I\\|\\YI

ARCI)

考点2一次函数解析式的确定(6年5考)

例2(待定系数法求解析式)已知一次函数》=自+贴加)的图象经过(1,-1),(2,

1)两点，该一次函数的解析式为.

例3(平移求解析式)已知一次函数歹=—2x+5.

(1)将该函数的图象向上平移4个单位长度，得到的函数图象的解析式

为;

(2)将该函数的图象向左平移加(加>0)个单位后，经过点(-1,1),则小的值

为.

例4(利用鼠b的几何意义求解析式)如图，已知4点坐标为(5,0),直线》=%

+6与％轴交于点C,与y轴交于点瓦连接48,a=75°,则匕的值为.

/C0|A(5,0h

例4题图

方法解读

一次函数》=丘+b(原0)中，

b的几何意义：直线与y轴交点的纵坐标；

k的几何意义：k>0时,y随工的增大而增大；左<0时,y随工的增大而减小.IkI

=tana(a为直线与x轴所夹锐角).

注：直线y=Ex+b(#0)与直线^=左加平行，则左i=M

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考点3一次函数与方程（组）、不等式的关系（2024.10）

例5（2024珠海模拟）如图，已知直线/i：y=3x+l和直线，2：＞=冽交于点

P（l,b）,则关于x,y的二元一次方程组P的解是________.

（y=3%+1

例5题图

变式3为了了解关于％的不等式一%+2＞冽%+”的解集，某同学绘制了y=一%

+2与》="工+”（加，”为常数，加R0）的函数图象如图所示，通过观察图象发现，

该不等式的解集在数轴上表示正确的是（）

变式3题图

真题及变式

命题点1一次函数的图象与性质（6年4考，常在函数综合题中涉及考查）

拓展训练

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1.在正比例函数y=（k+2）x中，y随％的增大而减小，则一次函数＞=（左一1）%

一左的图象不经过（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2.（2024长春）已知直线＞=丘+6（鼠b是常数）经过点（1,1）,且y随工的增大而

减小，则b的值可以是.（写出一个即可）

命题点2一次函数解析式的确定（6年5考，常在解答题中涉及考查）

3.（2023广东16（2）题5分）已知一次函数》二自+仅存0）的图象经过点（0,1）与点（2,

5）,求该一次函数的表达式.

拓展训练

4.（2024陕西）一个正比例函数的图象经过点4（2,加）和点3（",—6）,若点4与点

3关于原点对称，则这个正比例函数的表达式为（）

11

A.y=3xB.y~一3xC.y=^xD.y=一

命题点3一次函数的图象与不等式的关系（2024.10）

5.（2024广东10题3分）已知不等式kx+b＜0的解集是％V2,则一次函数》=自

+6的图象大致是（）

I）

拓展训练

6.（2024通辽）如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数》=左1%+4与》=左加+

岳（其中左色邦,kx，kl，bl,岳为常数）的图象分别为直线/1，/2.下列结论正确的

是（）

A.从+历＞0B.bib2＞0C.左i+后＜0D.kik2＜0

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第6题图

新考法

7.［真实问题情境］（2024中山三模）如图是某台阶的一部分，每一级台阶的宽度和

高度之比为2：1,在如图所示的平面直角坐标系中，点4的坐标是（一10,1）,

若直线》=丘+6同时经过点力，B,C,D,E,则上与6的乘积为（）

第7题图

A,-3B.3C.~5D,5

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考点精讲

LJL

①W②"N③一、三、四

④一、二、四⑤增大⑥减小⑦(一号,0)

⑧(0,b)

练考点

1.(1)第一、三、四(2)(；,0),(0,-1)(3)<

2.y=2x

3.y=2x+l

4.(1)%=—2(2)x>-2

高频考点

例1(1)B

⑵D

⑶②

(4)>

变式1A【解析】A.令x=0,则y=—1,.,.一次函数y=2x—1的图象与y

轴的交点为(0,—1),故A选项符合题意；,左=2>0,随x的增大而增大,

故B选项不符合题意；C.令>=0,则2x—1=0,解得•.%=2>0,.,.当工

寸，y>0,故C选项不符合题意；D「.喋=2>0,b=—1<0,•,.一次函数y

=2x—1的图象经过第一、三、四象限，故D选项不符合题意.

变式2A【解析】若b>0,则函数>=—3%+匕的图象过第一、二、四象限，

函数3的图象过第一、三、四象限；若6V0,则函数y=-3x+b的图象

过第二、三、四象限，函数》=反—3的图象过第二、三、四象限.故选项A符合

题意.

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例2y=2x—3【解析】•.•一次函数》二自+名后0)的图象经过(1,-1),(2,

k~\~b=—1,(k

解得一次函数的解析式为y=2x—3.

、2k+b=1,力二-3,

例3(l)y=~2x+9；(2)3.

例4?【解析】令y=x+b中％=0,则y=b,.*.5(0,b),令y=x+b中y

=0,则x=—b,；.C(—b,0),ZBCO^45°,'：a=ZBCO+ZBAO=75°,

：.ZBAO=30°,丁点4(5,0),：.OA=5,：.OB=b=OAtanZBAO^^~.

例51二:【解析】•.•直线y=3x+l经过点P(l,b),：.b=3+l,解得b=4,

4),...关于x,y的二元一次方程组卜=：%+?的解是£=；.

(y=3%+1(y=4

变式3C【解析】以两函数图象的交点为分界，直线>=冽X+”(加加)在直线y

=—x+2的下方时不等式一x+2>/nx+”,此时x<—1.故该不等式的解集在数轴

上表示如选项C所示.

真题及变式

1.C【解析】•.•正比例函数y=(k+2)%中，y随x的增大而减小，.,"+2<0,

即上V—2,—k>0,左一1<一3,J—>次函数》=(左一1)%一左的图象经过第一\

二、四象限，，该一次函数图象不经过第三象限.

2.2(答案不唯一)【解析】2直线y=区+6(原0)经过点(1,1),随(

的增大而减小，当左=—