2025年中考数学复习分类汇编：等腰三角形与直角三角形（28题）（附参考解析）

专题等腰三角形与直角三角形

一、单选题

（2024•广东广州•中考真题）

1.如图，在VA3C中，ZA=90°,AB=AC=6,。为边BC的中点，点E,尸分别在边

AC上，AE=CF,则四边形AED尸的面积为（）

A.18B.972C.9D.672

（2024・青海・中考真题）

2.如图，在Rt^ABC中，。是AC的中点，ZBDC=60°,AC=6,则BC的长是（）

A.3B.6C.V3D.3代

（2024.四川广元•中考真题）

3.如图，将VA2C绕点A顺时针旋转90。得到VADE,点8,C的对应点分别为点。，E,

连接CE,点。恰好落在线段CE上，若CD=3,BC=l,则A。的长为（）

C.2D.2夜

（2024.内蒙古包头•中考真题）

4.如图，在扇形AO3中，ZAOB=80°,半径OA=3,C是AB上一点，连接OC,。是OC

上一点，且OD=DC,连接BO.若3D_LOC,则AC的长为（）

A.

C

J

71_71-兀-

A.—B.—C.一D.兀

632

（2024•黑龙江牡丹江•中考真题）

5.小明同学手中有一张矩形纸片ABC£）,AD=12cm,CD=10cm,他进行了如下操作：

第一步，如图①，将矩形纸片对折，使AD与BC重合，得到折痕MN,将纸片展平.

第二步，如图②，再一次折叠纸片，把△ADN沿AN折叠得到△AON,AD交折痕MN于

点E,则线段EN的长为（）

24248

（2024•福建・中考真题）

6.小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”的平面图案.如图，其中△OAB与AODC

都是等腰三角形，且它们关于直线/对称，点E,尸分别是底边A3,CD的中点，OELOP.下

A.OBVODB.ZBOC=ZAOB

C.OE=OFD.ZBOC+ZAOD=180°

（2024.内蒙古赤峰.中考真题）

7.等腰三角形的两边长分别是方程X2_10X+21=0的两个根，则这个三角形的周长为（）

A.17或13B.13或21C.17D.13

（2024•内蒙古呼伦贝尔•中考真题）

8.如图，在VABC中，ZC=90°,ZB=30°,以点A为圆心，适当长为半径画弧分别交AB,AC

于点M和点N,再分别以点M,N为圆心，大于!的长为半径画弧，两弧交于点P,连

接AP并延长交BC于点D.若AACD的面积为8,则△ABD的面积是（）

A

C力b

A.8B.16C.12D.24

（2024.安徽.中考真题）

9.如图，在中，AC=3C=2,点。在A3的延长线上,S.CD=AB,则的长

是（）

C

ABD

A.屈一垃B.#-夜C.20-2D.2A/2-A/6

（2024.四川自贡・中考真题）

10.如图，等边丫4^（?钢架的立柱0），48于点。，4B长12m.现将钢架立柱缩短成DE,

/血）=60。.则新钢架减少用钢（）

C

，卜

//1、、

//':、、

，/1\\

//1\、

//1:、、

，/1!、、

/与\

ADB

A.（24-12^）mB.（24-8月）mC.（24-6^）mD.（24-4司m

（2024•天津•中考真题）

11.如图，VABC中，ZB=300,将VABC绕点C顺时针旋转60。得到ADEC,点AB的对

应点分别为RE,延长54交DE于点尸，下列结论一定正确的是（）

一

A.ZACB=ZACDB.AC//DE

C.AB=EFD.BF±CE

二、填空题

（2024•浙江•中考真题）

12.如图分别是VABC边A3,AC的中点，连接BE,DE,若ZAED=/BEC,DE=2,

则BE的长为________

A

BC

（2024.四川成都.中考真题）

13.如图，在平面直角坐标系xOy中,已知4（3,0）,5（0,2）,过点3作V轴的垂线/,尸为

直线/上一动点，连接P。，PA,则尸O+9的最小值为____

fc

O\AX

（2024•天津•中考真题）

14.如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A,F,G均在格点上.

（1）线段AG的长为；

（2）点E在水平网格线上，过点A,E,尸作圆，经过圆与水平网格线的交点作切线，分

别与AE,AF的延长线相交于点3,C,VABC中，点时在边BC上，点N在边43上，点

P在边AC上.请用不刻序的直尺，在如图所示的网格中，画出点M,N,P,使△MNP的

周长最短，并简要说明点M,N,P的位置是如何找到的（不要求证明）.

（2024•甘肃临夏•中考真题）

15.如图，等腰VA3C中，A5=AC=2,ABAC=120°,将VABC沿其底边中线AD向下

平移，使A的对应点A满足AA'=gAD,则平移前后两三角形重叠部分的面积是.

16.矩形ABCD的面积是90,对角线AC,BD交于点O,点E是BC边的三等分点,连接DE,

点尸是DE的中点，OP=3,连接CP,则尸C+PE的值为.

（2024•山东・中考真题）

17.如图，已知/M4N,以点A为圆心，以适当长为半径作弧，分别与A"、AN相交于

点B,C；分别以C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在NM4N内部相交于

点P,作射线分别以A,B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点。，

E,作直线OE分别与AB,AP相交于点尸，Q.若AB=4,"QE=675。,则尸到AN的

距离为.

M

无匕/尸

、乂I。-------------N

（2024•黑龙江齐齐哈尔•中考真题）

18.已知矩形纸片ABC£>,AB=5,3c=4,点P在边2C上，连接AP,将△钻尸沿AP所

在的直线折叠，点2的对应点为8,，把纸片展平，连接BB',CB',当VBCB'为直角三角形

时，线段CP的长为.

（2024•四川内江・中考真题）

19.如图，在VABC中，ZABC=60°,BC=8,E是3C边上一点，且3E=2,点/是VABC

的内心，3/的延长线交AC于点。，P是3D上一动点，连接尸E、PC,则PE+PC的最小

值为.

20.如图，在VABC中，AB=5,tanZC=2,则AC+@8C的最大值为

三、解答题

（2024•陕西・中考真题）

21.如图，已知直线/和/外一点A,请用尺规作图法，求作一个等腰直角VABC,使得顶

点8和顶点C都在直线/上.（作出符合题意的一个等腰直角三角形即可，保留作图痕迹，

不写作法）

A

（2024•黑龙江牡丹江•中考真题）

22.数学老师在课堂上给出了一个问题，让同学们探究.在RtaABC中，

ZAC8=90°,ABAC=30°,点D在直线BC上,将线段AD绕点A顺时针旋转60°得到线段AE,

过点E作族〃3C,交直线A8于点？

（1）当点。在线段8C上时，如图①，求证：BD+EF=AB；

分析问题：某同学在思考这道题时，想利用">=AE构造全等三角形，便尝试着在A8上截

取A〃=EF,连接DM,通过证明两个三角形全等，最终证出结论：

推理证明：写出图①的证明过程：

探究问题：

（2）当点。在线段BC的延长线上时，如图②：当点。在线段CB的延长线上时，如图③，

请判断并直接写出线段3D,EF,A3之间的数量关系；

拓展思考:

(3)在(1)(2)的条件下，若AC=6g,CD=2BD,贝

（2024•江西・中考真题）

23.追本溯源:

题（1）来自于课本中的习题，请你完成解答，提炼方法并完成题（2）.

（1）如图1,在VA3C中，3。平分NABC,交AC于点。，过点。作2C的平行线，交AB

于点E,请判断ABDE的形状，并说明理由.

方法应用：

（2）如图2,在645CD中，BE平分/ABC,交边AD于点E,过点A作AFXBE交DC的

延长线于点E交BC于点G.

①图中一定是等腰三角形的有（）

A.3个B.4个C.5个D.6个

②已知AB=3,BC=5,求CF的长.

（2024・山东威海・中考真题）

24.感悟

如图1,在中，点C,。在边8E上，AB=AE,BC=DE.求证：ZBAC=ZEAD.

（1）如图2,用直尺和圆规在直线BC上取点。，点E（点。在点E的左侧），使得

NEAD=NBAC,且DE=3C（不写作法，保留作图痕迹）；

图2

（2）如图3,用直尺和圆规在直线AC上取一点。，在直线2C上取一点E,使得

NCDE=NBAC,且（不写作法，保留作图痕迹）.

（2024•黑龙江大兴安岭地•中考真题）

25.已知VABC是等腰三角形，AB=AC,ZMAN=^ZBAC,/肱W在ZB4C的内部,

点、M、N在8C上，点M在点N的左侧，探究线段刚公NC、MN之间的数量关系.

由N54C=90。，AB=AC可知，将绕点A顺时针旋转90。，得到则CW=3尸

且NP3Af=90。，连接尸易证△⑷WP咨△AWN,可得MP=AfiV,在Rt△尸RW中，

BM2+BP2=MP2)贝U有3"+收=肱/.

(2)当ZBAC=60。时，如图②：当NBAC=120。时，如图③，分别写出线段刚公NC、MN

之间的数量关系，并选择图②或图③进行证明.

(2024•北京・中考真题)

26.已知/M4N=(z(O°<]<45。)，点、B,C分别在射线AN,AMh,将线段BC绕点8顺

时针旋转180。-2。得到线段BD,过点。作AN的垂线交射线AM于点E.

(1)如图1,当点。在射线AN上时，求证：C是AE的中点;

(2)如图2,当点。在NM4N内部时，作D尸〃AN,交射线AM于点F，用等式表示线段研

与AC的数量关系，并证明。

(2024•湖北武汉•中考真题)

27.如图是由小正方形组成的3x4网格，每个小正方形的顶点叫做格点.VA3C三个顶点都

是格点.仅用无刻度的直尺在给定网格中完成四个画图任务，每个任务的画线不得超过三条.

⑴在图（1）中，画射线交BC于点。，使平分VABC的面积；

⑵在（1）的基础上，在射线AD上画点E,使NECB=ZACB；

（3）在图（2）中，先画点F,使点A绕点/顺时针旋转90。到点C,再画射线AF交2C于点

G；

（4）在（3）的基础上，将线段45绕点G旋转180。，画对应线段（点A与点M对应，点

2与点N对应）.

（2024•吉林・中考真题）

28.如图，在VABC中，ZC=90°,ZB=30°,AC=3cm,AD是VABC的角平分线.动

点P从点A出发，以J§cm/s的速度沿折线AD-D3向终点B运动.过点P作尸。〃人3,交

AC于点。以尸。为边作等边三角形尸。石，且点C,E在PQ同侧，设点尸的运动时间为

t（s）（f>0）,VPQE与VA3C重合部分图形的面积为S（cm2）.

（1）当点尸在线段AD上运动时，判断△APQ的形状（不必证明），并直接写出AQ的长（用

含/的代数式表示）.

⑵当点E与点C重合时，求f的值.

（3）求S关于/的函数解析式，并写出自变量f的取值范围.

参考答案:

1.c

【分析】本题考查等腰直角三角形的性质以及三角形全等的性质与判定，掌握相关的线段与

角度的转化是解题关键.连接4D,根据等腰直角三角形的性质以及AE=CF得出

VADE^CDF,将四边形AEDF的面积转化为三角形ADC的面积再进行求解.

【详解】解：连接AD,如图：

VZBAC=90°,AB=AC=6,点。是2C中点，AE=CF

：.ABAD=NB=NC=45°,AD=BD=DC

NADE^CDF,

,・S四边形AEDF=+*^AAZ)F=^ACFD+^AA£>F=^AADC=ABC

又

•—、S△AADRCC=6x6x2—=18

==(

,•S四边形AEDF2^^ABC^

故选：C

2.A

【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等边三角形的判定和

性质.根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半结合等边三角形的判定得到AMC等边

三角形，据此求解即可.

【详解】解：：在Rt^ABC中，ZABC=90°,。是AC的中点，

BD=-AC=CD,

2

9：ZBDC=60°,

•••△5DC等边三角形，

BC=CD=-AC=-x6=3.

22

故选：A.

3.A

【分析】此题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，由旋转得

AC=AE,ZC4E=90°,DE=BC=\,推出八4。£是等腰直角三角形，CE=4,过点A

作于点“，得到HD=1,利用勾股定理求出AD的长.

【详解】解：由旋转得ZC4E=90°,

AAC=AE,NC4E=90。，DE=BC=1,

...aACE是等腰直角三角形，CE=CD+DE=3+1=4,

过点A作AHLCE于点”，

2

/.HD=HE-DE=2-1=1,

AD=y/AH2+HD2=A/22+12=45，

故选：A.

4.B

【分析】本题考查了弧长公式,等边三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质；连接5C,

根据BD1OC,易证△05。是等腰三角形，再根据03=。。，推出AC®。是

等边三角形，得到N8OC=60。，即可求出NAOC=20。，再根据弧长公式计算即可.

/.OB=BC,

「•△O5C是等腰三角形,

•・,OB=OC,

..OB=OC=BC,

△03。是等边三角形，

ZBOC=60°,

=80°,

・•.ZAOC=ZAOB-ZBOC=20°,

•••OA=3,

..20x3兀7i

,•AC——,

1803

故选：B.

5.B

【分析】本题考查了矩形与折叠问题，熟练掌握矩形的性质，折叠的性质，勾股定理是解题

的关键.

根据矩形的性质和折叠的性质推出N/W拉=NZZ4N,进而得出£A=4V,设E4=AN=Acm,

贝I]EM=(12-x)cm,根据勾股定理可得：AM2+ME2=AE2,列出方程求解即可.

【详解】解：•••四边形A5c。是矩形，

AB=CD=10cm,

r

由折叠可得：AM=^AB=5cmfAD=AD=12cmfMN±AB,ADAN=3AN，

・•・四边形AAWD是矩形，

：.MN\\AD,MN=AD=12cm,

：.ZDAN=ZANM,

:・ZANM=/D'AN,

：.EA=EN,

设_E4=EZV=xcm,贝!JEM=(12-x)cm,

在RtZWWE中，根据勾股定理可得：AM2+ME2^AE2,

§P52+(12-X)2=X2,

在,169

斛得：X=~~7，

24

即EN="^cm,

24

故选：B.

6.B

【分析】本题考查了对称的性质，等腰三角形的性质等;

A.由对称的性质得NAO3=/£)OC,由等腰三角形的性质得ZBOE^^ZAOB,

ZDOF=-ZDOC,即可判断;

2

B.ZBOC不一定等于NAQB,即可判断；

C.由对称的性质得AOAB%QDC,由全等三角形的性质即可判断；

D.过。作GAf_LO”,可得ZGOD=ZBOH,由对称性质得=/CO"同理可证

ZAOM=ZBOH,即可判断；

掌握轴对称的性质是解题的关键.

【详解】解：A.vOEYOF,

.-.ZBOE+ZBOF=90°,

由对称得ZAOB=ZDOC,

.・,点、E,尸分别是底边AB,的中点，△OAB与AODC都是等腰三角形，

ZBOE^-ZAOB,ZDOF^-ZDOC,

22

:.ZBOF+ZDOF=90°,

OB±OD,结论正确，故不符合题意；

B./BOC不一定等于NAO3,结论错误，故符合题意；

C.由对称得AOAB%ODC,

:点E,尸分别是底边AB,8的中点，

：.OE=OF,结论正确，故不符合题意；

<?

过。作GM_LOH,

ZGOD+/DOH=90°,

:NBOH+NDOH=90°,

ZGOD=ZBOH,由对称得NBOH=NCOH,

:.Z.GOD=Z.COH,

同理可证ZAOM=Z.BOH,

ZAOD+ZBOC=ZAOD+ZAOM+ZDOG=180°,结论正确，故不符合题意;

故选：B.

7.C

【分析】本题考查了解一元二次方程，等腰三角形的定义，三角形的三边关系及周长，由方

程可得再=3,%=7,根据三角形的三边关系可得等腰三角形的底边长为3,腰长为7,进

而即可求出三角形的周长，掌握等腰三角形的定义及三角形的三边关系是解题的关键.

【详解】解：由方程V一i0x+21=0得，%=3,x2=7,

：3+3<7,

...等腰三角形的底边长为3,腰长为7,

这个三角形的周长为3+7+7=17,

故选：C.

8.B

【分析】本题考查了尺规作图，含30。的直角三角形的性质，等腰三角形的判定等知识，由

作图知AD平分254。，则可求NC4D=NZMB=30。，利用含30。的直角三角形的性质得

出利用等角对等边得出AD=3D,进而得出=然后利用面积公式即

22

可求解.

【详解】解：：NC=90°,ZB=30。，

ZG45=60°,

由作图知：AD平分NBA。，

ZCAD=ZDAB=3Q°,

：.CD=^AD,ZB=ZBAD,

:.AD=BD,

：.CD^-BD,

2

BD2

S、ABD^BDAC

2

又AACD的面积为8,

△ABD的面积是2x8=16,

故选B.

9.B

【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，对顶角的性质，勾股定理，过点。作

£>E_LCB的延长线于点E,则/3ED=90。,由NACB=90。，AC=3C=2,可得AB=2百，

ZA=ZABC=45°,进而得到8=20,ZDBE=45°,即得VBDE为等腰直角三角形，得

到=设DE=BE=x,由勾股定理得（2+才+/，求出x即可求解，正确作

出辅助线是解题的关键.

【详解】解：过点。作DELCB的延长线于点E,则/血>=90。，

VZACB=90°,AC=3C=2,

AB=V22+22=2-J2>ZA=ZABC=45°,

:.CD=2屈,NDBE=45。,

；•VBDE为等腰直角三角形，

/.DE=BE,

设DE=BE=x,贝！］CE=2+x,

在RtACDE中，CE-+DE2=CD2,

（2+域+尤2=（2友『，

解得占=6-1,x2=-V3-1（舍去），

10.D

【分析】本题考查了等边三角形的性质，解直角三角形的应用.利用三角函数的定义分别求

得DE=2百，BE==AE,CD=673,利用新钢架减少用钢

=AC+BC+CD-AE-BE-DE,代入数据计算即可求解.

【详解】解：：等边VABC,CD_LAB于点。，力B长12m,

AD=BD=—AB=6m,

2

•；ABED=60°,

tan60。=些=5

DE

DE=2g,

BE=dDE?+BD2=46=AE，

•；ZC5D=60°,

/.CD=BD-tanZCBD=>J^BD=6石m,BC=AC=AB=12m,

，新钢架减少用钢=AC+BC+CD-AE-BE-DE

=24+6舁8舁2相=（24-46）1!1,

故选：D.

11.D

【分析】本题考查了旋转性质以及两个锐角互余的三角形是直角三角形，平行线的判定，正

确掌握相关性质内容是解题的关键.先根据旋转性质得N3CE=NACD=60。，结合48=30。,

即可得证3尸，CE,再根据同旁内角互补证明两直线平行，来分析AC〃小不一定成立；

根据图形性质以及角的运算或线段的运算得出A和C选项是错误的.

【详解】解：记正与CE相交于一点如图所示：

•/VABC中，将VABC绕点C顺时针旋转60°得到QEC,

：.N3CE=ZACD=60°

•；ZS=30°

...在ABHC中，ZBHC=180°-Z.BCE-ZB=90°

BFLCE

故D选项是正确的，符合题意；

设NACW=x°

ZACB=60°-x°,

,?ZB=30°

ZEDC=ABAC=180°-30°-（60°-x°）=90°+x。

ZEDC+ZACD=90°+x°+60°=150°+^0

不一定等于30。

/./EDC+NAC。不一定等于180。

，AC〃上不一定成立，

故B选项不正确，不符合题意；

VZACB=60°-x°,ZACD=6O°,x。不一定等于0。

/.ZACB=NACO不一定成立，

故A选项不正确，不符合题意；

将VABC绕点C顺时针旋转60°得到ADEC,

/.AB=ED=EF+FD

,BA>EF

故C选项不正确，不符合题意；

故选：D

12.4

【分析】本题主要考查三角形中位线定理和等腰三角形的判定，由三角形中位线定理得

DE//BC,BC=2DE=4,得出NC=ZAED=/BEC,得出BE=BC=4

【详解】解：E分别是VABC边AB,AC的中点，

，DE是VABC的中位线，

DE//BC,BC=2DE=4,

：.ZAED=ZC,

ZAED=ZBEC,

：.ZC=NBEC,

：.BE=BC=4,

故答案为：4

13.5

【分析】本题考查轴对称一最短问题以及勾股定理和轴对称图形的性质.先取点A关于直

线/的对称点A,连A'O交直线/于点C,连AC,得到AC=A'C,,再由轴对称图

形的性质和两点之间线段最短，得到当O,P,A三点共线时，PO+PA的最小值为A0,再

利用勾股定理求A'O即可.

【详解】解：取点A关于直线/的对称点A,连A'O交直线/于点C,连AC,

则可知AC=A'C,AA_L/,

PO+PA=PO+PA'>A'O,

即当O,P,A!三点共线时，尸。+上4的最小值为A'O,

:直线/垂直于y轴，

，A'A_Lx轴，

•••4(3,0),5(0,2),

/.AO=3,AA=4,

...在RLA'A。中，

AO=-JOAr+AA'2=732+42=5，

故答案为：5

A

14.V2图见解析，说明见解析

【分析】此题考查了勾股定理、切线的性质等知识，根据题意正确作图是解题的关键.

(1)利用勾股定理即可求解；

(2)作点M关于AB、AC的对称点M2,连接赫区、MtM2,分别与AB、AC相交

于点E、P,△ACVP的周长等于的长，等腰三角形的腰长为AM，当A"的

值最小时，叫“2的值最小，此时〃是切点，由此作图即可.

【详解】(1)由勾股定理可知，AG=EF=&，

故答案为：亚

（2）如图，根据题意，切点为M；连接ME并延长，与网格线相交于点/门取圆与网格

线的交点。和格点连接。”并延长，与网格线相交于点加2；连接加也2,分别与A3,

AC相交于点N,P,则点M,N,P即为所求.

【分析】本题考查平移的性质，相似三角形的判定和性质，三线合一，根据平移的性质，推

出AA跖SAAB'C,根据对应边上的中线比等于相似比，求出所的长，三线合一求出AD

的长，利用面积公式进行求解即可.

【详解】解：：等腰VA3C中，AB=AC=2,ZBAC=120°,

ZABC=30°,

：AD为中线，

AADJ.BC,BD=CD,

AD=—AB=1,BD=#）AD-y[3,

BC=26,

..•将YABC沿其底边中线AD向下平移，

AB'C//BC,B'C=BC=273,HG=AD=1,

^EF^AB'C,

.EFA'D

・.,AAr=-AD,

3

,22,2

DA,=-AD=-A,G=~,

333

.EFAD2

3

EF=

14^/324石

—X---------X—=----------

2339

故答案为：字

16.13或Vi而

【分析】本题考查了矩形的性质，三角形中位线定理，勾股定理.当CE＞的时，利用三角

形中位线定理求得CE=12,再求得矩形的边长，利用勾股定理求得DE的长，再根据斜边中

线的性质即可求解；当CE＜3E时，同理求解即可.

【详解】解：当CE＞即时，如图，

:矩形A3m

；.点。是3。的中点，

:点P是。E的中点，

BE=2OP=6,CP=PE=PD,

:点E是BC边的三等分点，

:.CE=2BE=12,BC=3BE=18,

:矩形ABC。的面积是90,

3cxe£>=90,

CD=5,

•'•DE+12?=13,

PC+PE=DE=13；

当CE<3E时，如图，

:矩形ABC。，

二点。是3。的中点，

,•,点P是。E的中点，

BE=2OP=6,CP=PE=PD,

:点E是BC边的三等分点，

ACE=-BE=3,BC=3+6=9,

2

:矩形ABC。的面积是90,

BCxCD=90,

：.CD=1O,

DE=A/32+102=A/109，

/.PC+PEDE=y/W9；

故答案为：13或对.

17.72

【分析】如图，过F作用，AC于H,证明/BAP=NC4P,DEJ.AB,AF=BF=^AB=2,

再证明ZFAH=45°,再结合勾股定理可得答案.

【详解】解：如图，过/作FH_LAC于//,

由作图可得：ZBAP=ACAP,DEJ.AB,AF=BF=-AB=2,

•：NPQE=67.5°,

ZAQF=67.5°,

・・・ZBAP=ZCAP=90°-67.5°=22.5°,

・•・ZFAH=45°,

：.AH=FH=—AF=y/2,

2

.../到AN的距离为&；

故答案为：夜

【点睛】本题考查了作图-复杂作图：基本作图，三角形的内角和定理的应用，勾股定理的

应用，等腰三角形的判定，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形

的基本性质，逐步操作.

18.|•或2

【分析】本题主要考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，

分两种情况进行讨论：当4CB'=90。时，当/M'C=90。，分别画出图形，求出结果即可.

【详解】解：：四边形ABCD为矩形，

ZBCD=ZADC=ZABC=ZBAD=90°,AB=CD^5,AD=BC=4,

当=90°时，如图所示：

•/ZBCD=90°,

...点"在CD上，

根据折叠可知：AB'=AB=5,BP=B'P,

设CP=x,则族=3'P=4-x,

DB'=y]AB'2-AD2=J52—42=3，

CB'=DC—DB'=5-3=2,

在Rt^CB'P中，根据勾股定理得：B'P-=B'C2+CP2,

即（4-X）2=22+X2,

3

解得：x=j

3

即CP=*

当NBB'C=90°,如图所示:

根据折叠可知：BP=B'P,

NPBB'=ZPB'B,

•/NPBB'+ZBCB'=90°,ZPB'B+ZPB'C=90°,

ZBCB'=ZCB'P,

PC=PB',

：.PC=PB,

•/BC=BP+PC=4,

：.CP=2；

3

综上分析可知：CP=］或2.

..3

故答案为：3或2,

19.2小

【分析】在A3取点尸，使成=3E=2,连接尸尸，CF,过点P作3c于X,利用三

角形内心的定义可得出=利用SAS证明ABEABEP,得出PF=PE,贝U

PE+PC=PF+PC>CF,当C、P、尸三点共线时，尸E+PC最小，最小值为CF,利用含

30。的直角三角形的性质求出利，利用勾股定理求出FH,CF即可.

【详解】解：在A3取点忆使BF=BE=2,连接Pb,CF,过点P作F”_L3c于X,

:/是VABC的内心,

/.3/平分/ABC,

ZABD=ZCBD,

又BP=BP,

:.ABFPmABEP(SAS),

：.PF=PE,

：.PE+PC=PF+PC>CF,

当C、P、尸三点共线时，PE+PC最小,最小值为CF,

'：FH1BC,ZABC=60。，

ZBFH=30°,

BH=-BF=1,

2

FH=ylBF2-BH2=>CH=BC-BH=7,

CF=yjCH2+FH2=2匹，

/.PE+PC的最小值为2屈\

故答案为：2屈.

【点睛】本题考查了三角形的内心，全等三角形的判定与性质，含30。的直角三角形的性质，

勾股定理等知识，明确题意，添加合适辅助线，构造全等三角形和含30。的直角三角形是解

题的关键.

20.50

【分析】过点2作3OLAC,垂足为。，如图所示，利用三角函数定义得到

6

Ac+Bc

T=AC+DC,延长。。到使EC=CD=x,连接班，如图所示，从而确定

B

叱

AC+C

5=AC+DC=AC+CE=AE,NE=45。,再由辅助圆-定弦定角模型得到点E在

AE是。。的弦，求AC+且BC的最大值就是求弦AE的最大值，即AE是直

上运动,

5

径时，取到最大值，由圆周角定理及勾股定理求解即可得到答案.

【详解】解：过点8作3£>_LAC,垂足为。，如图所示：

tanZC=2,

.•.在RtZXBCD中，设。C=x,则8D=2x,由勾股定理可得BC=&,

—==—,即或BC=DC,

BC氐55

AC+—BC=AC+DC,

5

延长0c到E,使EC=CD=x,连接BE,如图所示:

AC+—BC=AC+DC=AC+CE=AE,

5

VBD±DE,DE=2x=BD,

.•△瓦龙是等腰直角三角形，则NE=45。,

AC+且BC的最大值就是求弦AE的最大值，根据圆的性质可知，当弦AE过圆心。，即AE

5

是直径时，弦最大，如图所示:

z,x

*z/I:1\

；o/\•.•AE是。。的直径，

\/'/L/

A、、、一一一/B

/.ZABE=90°,

•.•ZE=45。，

「•4AB石是等腰直角三角形，

・・・AB=5,

，3E=AB=5,则由勾股定理可得AE=^AB1+BE2=50■，即AC+争C的最大值为50，

故答案为：572.

【点睛】本题考查动点最值问题，涉及解三角形、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质、

圆的性质、圆周角定理、动点最值问题-定弦定角模型等知识，熟练掌握动点最值问题-定弦

定角模型的解法是解决问题的关键.

21.见解析

【分析】本题考查了等腰直角三角形的定义，尺规作图.过点A作垂足为8,再

在直线/上截取点C,使3C=AB,连接AC,则VABC是所求作的等腰直角三角形.

【详解】解：等腰直角VABC如图所示：

22.(1)见解析；(2)图②：AB=BD-EF,图③：AB=EF-BD；(3)10或18

【分析】(1)在A3边上截取AM=EF,连接根据题意证明出ARUW/AAEF(SAS),

得到AF=D暇，然后证明出是等边三角形，得到取＞=&欣=。心，进而求解即可;

(2)图②：在3。上取点H,使BH=AB,连接并延长到点G使AG=AF,连接。G,

首先证明出△ABH是等边三角形，得到NB4H=60。，然后求出的H=NH4E,然后证明

出△E4石/△GW(SAS),得至lj跖=DG,ZAFE=ZG,然后证明出△D"G是等边三角形，

得到DH=DG=EF,进而求解即可；

图③：在£F上取点〃使AH=A尸，同理证明出△E4H0~W5(AAS),得到=

AB=EH,进而求解即可；

(3)根据勾股定理和含30。角直角三角形的性质求出5C=6,AB=12,然后结合CD=2B。,

分别(1)(2)的条件下求出5D的长度，进而求解即可.

【详解】(1)证明：在A3边上截取AM=£F,连接。A/.

在RtZXABC中，ZB=90°-ABAC=90°-30°=60°.

\-EF\\BC,

ZEFB=ZB=60°.

又・・・NE4Z)=60。，

:.ZEFB=ZEAD.

y.\-ZBAD=ZEAD-ZEAF,ZAEF=ZEFB-ZEAF,

.\ZBAD=ZAEF.

又・.•AD=A瓦AM=£7"

/.△ZMM^AAEF(SAS).

.\AF=DM.

ZAMD=ZEFA=180。—ZEFB=180。—60°=120°.

/.ZBMD=180。—ZAMD=180。—120°=60°.

vZB=60°,

:.ZBMD=ZB=ZBDM.

「.△5AZZ)是等边三角形.

:.BD=BM=DM,

\AB=AM+BM,

/.AB=EF+BD；

(2)图②：当点。在线段3c的延长线上时，AB=BD—EF,证明如下：

如图所示，在8。上取点”，使B“=AB,连接4〃并延长到点G使AG=AF,连接E»G,

A

**•AABH是等边二角形，

・•・NR4H=60。，

・・・线段AT＞绕点A顺时针旋转60。得到线段AE,

ZZME=60°,AE=AD,

ZBAH=ZDAE,

AZBAH-ZEAH=ZDAE-ZEAH,^ZBAE=ZHAD,

XVAG=AFf

：.年△GW(SAS),

；・EF=DG,ZAFE=ZG,

,:BD〃EF,

：.ZABC=ZF=ZG=60°,

'：ZDHG=ZAHB=60°,

・・・△D"G是等边三角形，

：.DH=DG=EF,

：.AB=BH=BD-DH=BD-EF；

图③：当点。在线段CS的延长线上时，AB=EF-BD,证明如下：

如图所示，在所上取点“使AH=AF,

EF//BC,

：.ZF=ZABC=60°,

9：AH=AF,

△AHF是等边三角形,

：.ZAHF=ZHAF=60°,

：.ZAHE=120。，

・・,将线段AD绕点A顺时针旋转60°得到线段AE,

AAD=AE,NDAE=60°,

：.ZDAB+ZEAH=1800-ZEAD-ZHAF=60°f

•・•ZD+ZZMB=Zz4BC=60°,

:.ZD:/EAH,

,/ZDBA=180°-ZABC=120°=ZEHA,

又•・•=

・・・△E4H^AAT>B（AAS）,

ABD=AH,AB=EH,

•・•AH=FH,

:・BD=HF,

:.AB=EH=EF-FH=EF-BD；

（3）如图所示，

：.AB=2BC,AB2=BC2+AC2,

/.（2BC）2=BC2+（6A/3）2,

JBC=6,

：.AB=2BC=U,

CD=2BD,BC=BD+CD,

・・・CD=-BC=2,

3

由（1）可知，BD+EF=AB,

：.EF=AB-BD=12-2=10；

如图所示，当点。在线段BC的延长线上时,

VCD<BD,与CD=23r>矛盾，

.••不符合题意；

如图所示，当点。在线段CB的延长线上时,

VCD=2BD=BD+BC,BC=6,

：.BD=BC=6,

由（2）可知，AB=EF-BD,

AB=2BC=12,

：.EF=AB+BD=12+6=18.

综上所述，£F=10或18.

【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理，等边三角形的性质和判定，含30。

角直角三角形的性质，解题的关键是掌握以上知识点.

23.（1）ASDE是等腰三角形；理由见解析；（2）①B；②CF=2.

【分析】本题考查了平行四边形的性质和等腰三角形的判定和性质等知识，熟练掌握平行四

边形的性质和等腰三角形的判定是解题的关键；

（1）利用角平分线的定义得到=利用平行线的性质得到=

推出ZBDE=ZABD,再等角对等边即可证明&BDE是等腰三角形；

（2）①同（1）利用等腰三角形的判定和性质可以得到四个等腰三角形；

②由①得=D/，利用平行四边形的性质即可求解.

【详解】解：（1）ABDE是等腰三角形；理由如下：

•・•&)平分/ABC,

・•・ZABD=ZCBD,

・：DE〃BC,

：.NBDE=/CBD,

:.ZBDE=ZABD,

；・EB=ED,

・•・△5。石是等腰三角形；

(2)①・・・nABC。中，

AE//BC,AB//CD,

同(1)ZABE=ZCBE=ZAEB,

：.AB=AE,

,:AFA.BE,

ZBAF=ZEAF，

u：AE//BC,AB//CD,

：.ZBGA=ZEAFfZBAF=ZF,

'：ZBGA=ZCGFf

：.ZBGA=ZBAG,ZDAF=ZF,/CGF=NF,

AB=AG,DA=DF,CG=CF,

即AABE、AASG.AADF、ACG尸是等腰三角形；共有四个,

故选：B.

②：DABCr)中，AB=3,BC=5,

：.AB=CD=3,BC=AD=5,

由①得尸，

CF=DF-CD=5-3=2.

24.见解析

【分析】本题主要考查全等三角形的判定及性质、尺规作图：

证明当44£0,即可求得NBAC=/E4£>；

应用(1)：以点A为圆心，以A3长度为半径作弧，交直线BC于一点，该点即为点E,以

点A为圆心，以AC长度为半径作弧，交直线BC于一点，该点即为点。，连接AD,AE-,

应用(2)：以点C为圆心，以AC长为半径作弧，交AC的延长线于一点，该点即为点。，

以点C为圆心，以8C长为半径作弧，交直线8C于一点，该点即为点E,连接DE.

【详解】感悟：

,/AB=AE,

,Z6=ZE.

在VABC和中

AB=AE

<NB=NE

BC=DE

，/BAC=NEAD.

应用：

(1)：以点A为圆心，以AB长度为半径作弧，交直线BC于一点，该点即为点E,以点A为

圆心，以AC长度为半径作弧，交直线2C于一点，该点即为点。，连接AD,AE,图形如

图所示.

(2)：以点C为圆心，以AC长为半径作弧，交AC的延长线于一点，该点即为点£>,以点

C为圆心，以3C长为半径作弧，交直线BC于一点，该点即为点E,连接。E,图形如图

所示.

根据作图可得：CD=AC,CE=BC,

又ZACB=NDCE,

:.AACB冬ADCE,

:.NCDE=NBAC,DE=AB.

A

25.图②的结论是：BM2+NC2+BM-NCMN2:图③的结论是:

BM2+NC2-BM-NC=MN2;证明见解析

【分析】本题主要考查等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，30度角所对的直角

边等于斜边的一半，勾股定理等知识，选②，以点8为顶点在VABC外作NABK=60。，在

8K上截取BQ=CN,连接QAQM,过点。作垂足为“，构造全等三角形，

得出AN=A。，ZCAN=ZQAB,再证明四△4VM,得到MN=QM.在RtAQHM

中由勾股定理得。82+碗2=。加2,即^-BQ+(BM+^BQ]=。知2,整理可得结论；

选③方法同②

【详解】解：图②的结论是：BM2+NC2+BMNC=MN2

证明：：AB=AC,N8AC=60。，

...VABC是等边三角形，

ZABC=ZACB=60°,

以点B为顶点在VABC外作/A6K=60。，在BK上截取BQ=CN,连接QAQM,过点Q

作QHL8C,垂足为H,

.,.△ACNdAB