2025年高考数学重难点复习特训：高考中的分段函数（六大题型）解析版

特训15高考中的分段函数（六大题型）

方法归纳

1.根据分段函数的函数值求自变量的值或解方程时，应根据分段函数各段的定义域分类讨论，结合各段的

函数解析式求解，要注意求出的自变量的值应满足解析式对应的自变量的区域.

2.分段函数的求值问题，应首先确定自变量的值属于哪个区间，然后选定相应的解析式代入求解.

3.分段函数与方程、不等式的交汇问题，一般要根据分段函数的不同分段区间进行分类讨论，最后应注意

检验所求参数值（范围）是否适合相应的分段区间.

题型归纳

目录：

♦题型01分段函数

♦题型02求参数范围

♦题型03解不等式

♦题型04零点'方程根等问题

♦题型05导数与分段函数

♦题型06分段函数的综合辨析

♦题型01分段函数

-l<x<0

1.函数y=的值域为.

0<x<2

【答案】0,搭

【分析】分TWxWO和0<x42两种情况，结合幕函数以及指数函数单调性求值域.

【解析】解：当TWxWO时，y=单调递减，所以函数的值域为［0』,

当0<xW2时，了单调递增，所以函数的值域为1

综上所述，函数>的值域为0,g.

故答案为：0,。

2.已知函数/(X)=2z"八为奇函数，贝!1。+6等于()

\ax+/zx,x〉O

A.-1B.1C.0D.2

【答案】C

【分析】根据给定条件，利用奇函数的定义求出。力值即可.

【解析】依题意，当%>0时，—x<0,贝(1/(%)=-/(一%)=-[(-x)2+(-%)]=-x2+x，

12

而当x>0时，f(x)=ax+bx,因此a/+-=一%2+工，则〃=一1]=1,f(x)=-x+x,

当x<0时，一x>0,贝|/(%)=-/(-%)=-[-(-%)2+(-%)]=/+],

又/(0)=0=—/(0),于是VXER,又x)=-/(t),

所以。二一1,6=1,所以a+b=O.

故选：C

3.定义在R上的函数满足〃x)=1)则;'(2021)=______,/(2023)=

[J>U

【答案】1-1

【分析】由分段函数的性质知/(x+6)=/(x),从而得到函数的周期为6,再计算相关值即可.

/、

【解析】因为〃x)t[log(,7(1J-x)(,x<一0),x>。,

所以/(x+6)=/(x+5)-/(x+4)=/(x+4)—/(x+3)—/(x+4)=—/(x+3),

则/(x+3)=-/(x),故/(x+6)=/(x),

即函数的周期7=6,

贝匹(2021)="6x337-1)=/(7)=*2=1,

/(2023)=/(337x6+1)=/(1)=/(0)-X-^)=

故答案为：1；-1.

♦题型02求参数范围

log2(x+l),-l<x<3

4.若函数/(x)=Qr，在(-1,+8)上单调递增，则。的取值范围是()

XH—,X>3

X

A.[-3,9]B.[-3,+8)

C.[0,9]D.(-co,9]

【答案】A

【分析】根据对数函数性质判断-1<xV3上/(x)的单调性和值域，结合其区间单调性及分式型函数的性质,

讨论参数确定参数范围.

【解析】当-1<XV3时，JV=log2(x+l)单调递增且值域为(一甩2],而“X)在(-1,+8)上单调递增,

则了=》+q在(3,+8)上单调递增，1.3+->2=>a>-3,

x3

当-3WaV0时，了=尤+q在(3,+8)上单调递增，满足题设；

X

当。〉0时，歹=x+区在(后,+8)上单调递增，此时只需即0<QV9；

X

综上，—3<tz<9.

故选：A

-x2-ax-5,x<1,

5.已知函数/(x)="是R上的增函数，则。的取值范围是是()

一,X>1

A.-3<«<0B.—3WaW—2C.a<-2D.a<0

【答案】B

【分析】两段函数都要增，在1附近也要增，列不等式组求解即可.

"2

一X-CLX—5,X<1,

【解析】/(尤)=a,是R上的增函数，则要满足：

一,X>1

a

1s—

2

<4Z<0,解得-2.

-l-tz-5<a

故选：B.

cX-l„l-x

-e------e------ax,x</11

2

6.已知/(%)=<(aeR)在R上单调递增，则。的取值范围是()

x+3

,X>1

,\[x+1

A.[-2,1]B.[-2,-1]C.(f』D.[-2,+s)

【答案】A

ex-1+el-xe-X-l+Iecl-X

【分析】根据条件，当无W1时，得到/'(x)=-------------a由题知/'(x)=—在(—e，l]上恒成

22

X-1_|_1_X「IT［'a

立，利用基本不等式，得到Pe+Pe后1,从而有aVl,再根据题设有幺^——。4匕，即可求解.

221+1

x_11_X

e-e八

---------ax,x<l

2

【解析】因为〃x)=

x+3।'

2

、“1n_r〃x+3,，/、X+2A/^'—3(A^~+1)—4

当X>1时，="刈=24(4+1)2=24(-+1)2'

x+3

所以尤>i时，r(x)>o,即/。)=耳力在区间(i,+8)上单调递增，

X-1_1-X

当xVI时，〃x)=J^--ax,

所以八x)JTj,,由题知"x)=e，T；T”0在(—8,1］上恒成立，

即1;;2。在(一8,1］上恒成立,

又巴甘12Lx2必『=1，当且仅当ei=e~,即x=l时取等号，所以aVI,

22

「IT—p1_11_i_Q

又由——«<—=2,得到。2—2,所以—

21+1

故选：A.

132

—X+ax—。+4,x>0,

7.函数/(x)=3'在R上单调，则。的取值范围是()

ax+cosx,x<0,

A.[1,3)B.(1,3]C.[1,3]D.(1,3)

【答案】C

【分析】利用导数分别求解xWO和x>0时的单调性，再结合“X)在R上递增，可得-a+4±l,即可求解.

【解析】由题意，函数/\x)在R上单调递增，当xVO时，/(x)=ax+cos尤，依题需使/''(x)=a-sinx20恒

成立，则心1；

2

当x>0时，由/■(无)=：尤3+办2一。+4在(0,+8)上递增，需使/'(司=》+2办±0在(0,+8)上恒成立，则

-a<0,即a20；

又由〃x)在R上递增，可得-a+4Nl,解得a43.

综上可得，。的取值范围是［1,3〉

故选：C.

8.已知函数/'(x)=",">0且"1),若函数/(x)的值域为R,则实数a的取值范

-ax4-2ax一a+3,x<1

围是()

A.(0,|B.11]C.[2,+co)D.[3,+oo)

【答案】B

【分析】分析可知当尤<1时，1(x)<3,由题意可知当xNl时，则/(x)=a*+a的值域包含[3,小)，分0<a<l

和。>1两种情况，结合指数函数性质分析求解.

【解析】当x<l时，贝!|/(%)=—办2+2〃工一〃+3=—4(%—1)2+3,

且Q>0,所以/(X)=(X-1)2+3<3,

若函数/⑴的值域为R,可知当Ml时,则/("=优+。的值域包含[3,+8),

若0<4<1,贝(]/(%)=优+。在[1,+8)内单调递减，

可得/(X)«/(1)=2G,不合题意；

若4>1,则/("=优+4在[1,+8)内单调递增，

可得/(无)2/⑴=2%则2.W3,解得1<。《；

综上所述：实数。的取值范围是.

故选：B.

Y2_2工r>0

2'一八在区间(私加+1)上单调递增，则皿的取值范围是()

-X+2xx<0

)9

A.(-*0]B.[0,1]

C.[-1,0]D.(-oo,-l]U[l,+<»)

【答案】D

【分析】通过分段函数的单调性，结合区间，转化求解加的取值范围即可.

Iy2_2YX>0

【解析】分段函数/(')=2/—八的图象如下：

\-x+2x,x<0

0^yx

函数的单调增区间为：(-8,0],[1,+8),

Y2_2YX>0

2c'-八在区间(加,加+1)上单调递增，

{-X+2x,X<0

则根+1W0或加21,解得：加工一1或加21,

故选：D

/、lg(x2+9),0<x<1,/、

10.已知函数/(%)=、)在区间(0,2)内单调递增，则。的取值范围为()

ax2+3x+2,l<x<2

A.一•|,+00]B.[2,+oo)C.[-5,+co)D.-Q]

【答案】A

【分析】由题意，需分x)=^+3x+2在(1,2)上单调递增,且〃(l"lg(l+9)=l,利用二次函数的性质分类

讨论可求。的取值范围.

【解析】易知当X€(0,l]时，/(X)单调递增，

由题意，需〃(x)="+3x+2在(1,2)上单调递增，且Ml)』g(l+9)=1,BPa>-4.

33

右a<0,则一；^—22,解得一"-<a<0；

2a4

若a=0,则%(x)=3x+2,满足题意;

3

若。>0,贝「三41恒成立.

2a

综上，。的取值范围是一：，+8).

故选：A.

11.已知函数f(x)=[(?一满足：对任意X",eR,当X产乙时，都有了/)——>0成立,

[X-ax+6,x>l$-/

则实数。的取值范围是()

A.[2,+oojB.^—,2C.D.[1,2]

【答案】C

【分析】利用增函数的定义并结合一次函数与二次函数性质列出不等式求解即可.

【解析】对任意再,马€1<,当x产4时都有0成立,

「(3〃-l)x+4(2,x<1

所以函数〃x)=2-二在R上是增函数，

[X-ax+6,x>1

3。一1>0

所以衿,解得所以实数。的取值范围是.

'JV.J_

3a—1+4。W1—a+6

故选：C.

♦题型03解不等式

(+4xx>0

12.已知函数/(力="；，'若则实数a的取值范围是______

[4x-x,x<0,

【答案】(0,+司

【分析】作出函数y=/(x)的图象，从而得y=/(x)在R上单调递增，令尸(无)=/(尤)-/(1-尤)，可得尸(x)上

在R上单调递增，将问题转化为尸(。)>尸(0),即可得答案.

【解析】因为当x>0时，一无<0,

/(-x)=-4x-x2=-/W,

当x<0时，一x>0,

/(-X)=/-4x=-/(X),

又〃0)=0,

综上，〃x)为R上的奇函数，

当x>0时，f(x)=x2+4x,

由二次函数的性质可知此时函数在(0,内)上单调递增，

又因为/(x)为R上的奇函数，

所以函数y=/(x)在R上单调递增,

作出函数y=/CO的图象，如图所示:

根据复合函数的单调性可知，-1(1-”在R上单调递增，

则尸(x)上在R上单调递增,且尸(0)=〃0)-/(1)=-5,

则将原不等式转化为尸⑷>-5=尸⑼，

解得a>0,

所以。的取值范围是(0,+8).

故答案为：(0,+8).

|x%2a

13.已知〃x)=；"且-2,则满足不等式/(x)-/(1-力>-3的x的取值范围是_____.

lx-3x,x<Cl

【答案】(-L+<»)

【分析】先利用导数研究了=/-3x的单调性，从而得出/(x)的单调性，再构造尸(x)=/(x)-/(l-x)判定

其单调性，解不等式即可.

【解析】易知y=x3-3xny'=3(x+l)(x-l),

则x<-l时，y'>0,y=x3-3x单调递增，

而。4-2,所以y=xL3x在(-叫。)上单调递增，

且q3-3a-a=a(a+2)(a-2)40,故有/(x)在R上单调递增，

由复合函数单调性知/(1-x)在R上单调递减，

令方(x)=/(x)-〃1一江则广(X)在R上单调递增，

又歹(-1)=〃-1)-/(2)=-3,

故>-30尸(X)>尸(-1)0x>-1.

故答案为：(-1,+8).

logx,0<x<2/、/、

14.已知函数/(x)=；92C，若/(。+1)-/(2°-1)20,则实数。的取值范围是.

2.x—3,x>2

【答案

【分析】先根据对数函数和一次函数的单调性判断分段函数的单调性，然后根据函数单调性解不等式即可

求解.

【解析】因为当xe(0,2]时，/(x)=log2X是单调递增函数，此时f(x)vf⑵=1，

当xe(2,+8)时，r(x)=2%—3是单调递增函数，此时r(x)〉/(2)=1，

log9x,0<X<2

所以/(无)=^i3x>2是定义在(0,+8)上的单调递增函数,

所以右/(Q+1)—f(2ci—1)>0即f(Q+1)Nf(2a—1)，

则Q+1>2Q—l>0,解得,<。V2.

故答案为：—<a<2

♦题型04零点、方程根等问题

2+2八

-----x<]

15.已知/(幻=2',则方程/[/(刈=2实数根的个数是()

|/og2(x-l)|,x>1

A.5B.6C.7D.8

【答案】C

【分析】由方程/"(切=2先求出/(x)=l或〃x)=3或〃x)=5,再解方程即可.

4

【解析】解:①当〃X)VI时,

o/（x）7

/[/«]=^^=2,

解得，/（x）=l,

_i_7

「•=1或1咋2（1）0，

：.x-\=—^x-\=2,

2

3

故x或x=3；

2

②若则/[/（刈中。g2（/a）—i）i=2,

，/a）-i=9或/（x）-i=4,

/W=j或/（尤）=5,

若/（x）=3，则三它或Hog2（xT）=],

4244

则x=-1或x=]+2*或x=1+2"；

若/（x）=5,贝lj^^=5或1log2（x-l）|=5,

贝1Jx=3（舍去）或工=1+2-5或X=1+25,

综上所述，方程/"(诩=2实数根的个数是7,

故选：C.

1-1尤-1|,尤W2,

16.己函数/(x)=则函数g(X)=/(X)-|1既的零点个数为

-f（x-T）,x>2.

【答案】6

【分析】根据函数g(x)的零点个数等价于函数/(x)与〃(x)=|啥|的图象交点个数，在同一坐标系下画出/(x)

与〃(x)=|lgx|的图象，由此求出结果.

【解析】函数g(x)的零点个数等价于函数/(x)与〃(x)=|lgx|的图象交点个数，

当x>2时，/(尤)=-/(x-2),

所以/(x+4)=-/(x+2)=/(x),

所以当x>2时，“X)是周期为4的函数；

2-x,l<x<2

当x42时，/（x）=l-|x-^

x,x<l

所以〃无)的图象如图所示，

在同一坐标系下画出〃(x)=|lgx|的图象,

因为0<lg9<l,所以两函数有6个交点，即函数g(x)有6个零点.

故答案为：6.

c,d互不相等，且/(")=/(»=/(c)=/(d),则a+6+c+d

A.[26,+oo)B.(14,+oo)

26例

C.D.

10

【答案】C

【分析】由分段函数的性质画出函数图象，若1(a)=f(6)=/(c)=f(d)=〃7a<6<c<",将问题转化为曲

线“X)与直线>=〃，的交点问题，应用数形结合判断交点的区间，结合绝对值函数、对数函数的性质可得

\<a<l<b<10<c<12</<14,c+d=10,ab=\,结合对勾函数的性质求范围即可.

【解析】令|lgx|=l,贝心='或工=10,令一/x+6=l,贝!]x=10或尤=14,

由解析式知：/(x)在(0』上递减且值域为(0,+s),在。/0]上递增且值域为(0』，在(10,12)上递减且值域

为(0,1),在(12,+s)上递增且值域为(0,+®).

作出了(无)的草图如下,

令/⑷=/伍)=/(c)=/(4)=加，不妨设a<b<c<",则a,b,c,d为曲线/(x)与直线>=〃，的交点横

坐标,

由图知：c+d=24,ab=\^―<a<\<b<\0<c<\2<d,

贝Ua+6+c+d=24+aH—,

a

由对勾函数可知'=。+!在上递减,故y=。+一€

aI用

a+6+c+d—24+aH—G

a

故选：C

5,

一x2,0<x<2

16

18.已知函数/（力是定义在R上偶函数，当x＞0时，/（%）=＜，若函数y=f（x）-机仅有4

个零点，则实数加的取值范围是（）

D.

【答案】A

【分析】首先根据/'（X）的性质画出函数/（X）图象，然后把函数了=/（x）-m仅有4个零点，转化为函数

y=/（劝与〉=加有4个交点，数形结合即可求解.

【解析】当0V尤V2时，/（x）=-1x2,此时/■（%）单调递增,

当x>2时，/(x)=I+1,此时/'（》）单调递减,

又函数/（无）是定义在R上偶函数，其图象关于〉轴对称作出函数/（x）图象:

，

5

-

4

-

Z_加

一

一

O\x

因为函数了=/（x）-加仅有4个零点，所以函数y=/（久）与＞=加有4个交点，

根据图象可知：1＜加＜；,即实数加的取值范围是

故选：A.

19.已知函数,若存在唯一的整数x,使得皿匚＜0成立，则所有满足条件的整

-4|x+l|+4,x＜0x-a

数a的取值集合为（）

A.{-2,-1,0,1}B.{-2,-1,0}C.{-1,0,1,2}D.{-1,0,1）

【答案】A

【分析】作出〃x）的图象，由不等式的几何意义：曲线上一点与（。,1）连线的直线斜率小于0,结合图象即

可求得。范围.

可得曲线/'（X）上只有一个点（x"（x））（x为整数）和点（。/）所在直线的斜率小于0,

而点（。,1）在动直线了=1上运动，

由/（一2）=0,/（-1）=4,/（0）=0,/（1）=2,且尤为整数，

可得当a4-3时，至少有点（-2,0）,（0,0）两个点满足小”1<0,不满足题意；

x-a

当-2VaV-l时，只有点（0,0）满足"“一1<0,满足题意；

x-a

当04a41时，只有点（T4）满足,（X）-1<0,满足题意；

x-a

当aW2时，至少有两个点（T4）,（l,2）满足"x）T<0,不满足题意；

x-a

综上所述，由。为整数，可得。的取值集合为卜2,-1,0,1}.

故选：A.

20.已知/■（无）=口??°<“">若a,b,c互不相等且。<b<c,且〃a）="6）=/（c）,则0+6+且的范围

\2-]nx,x>ec

是.

【答案】（3,2e+1）

e

【分析】画出函数/（X）的大致图象，根据图象知l<6<e,且IlnaRhW，lnb=2-lnc,再建

立6的函数并结合对勾函数求出范围.

-lnx,O<x<1

【解析】函数/(%)=lnx,l<xKe在(OJ,(e,+s)上单调递减，在(10上单调递增，/(e2)=0,

2-lnx,x>e

画出的图象,如图,

I2-Inx,x>e

因为。<6<。，由/(〃)=/3)=/(c),得l<6<e,e<c<e2,

e

由|lna|=|lnb|,得ln〃+lnZ)=O,即〃6=1,由lnb=2-lnc,得be=』,

于是a+b+J=5+b+处=)+26,由对勾函数性质知，y=工+26在(l,e)上递增，则3<：+2b<2e+L,

cbcobbe

21

所以4+6+—e的范围是(3,2e+—).

ce

故答案为：(3,2e+i)

e

2r2_xx<0

2L设函数小)=*+2；：。’且关于x的方程小卜帅⑻恰有3个不同的实数根%，%,

尤3(占<x2<x3),贝ijx,x2+X1X3+x2x3的取值范围是.

【答案】卜.

【分析】画出/⑺的图象，得到-；<为<0<%<1<%<2,o<m<l,并解得占=匕呼瓯，因为

Y-2x+»?=0的两根为X?和七，所以苫2+退=2,X2X3=m(0<m<1),Xlx2+x]x3+x2x3=----；+8%+机,

换元后求出取值范围.

【解析】画出函数/(x)=]〃-：‘xV°的图象，如下图：

-r+2x,x>0

因为关于X的方程=恰有3个不同的实数根匹,马，马(王</<马),

则一;<玉<0<工2<1<工3<2,0<m<1,2x^-xx=m,

所以占=匕+瓯或叱手以(舍去)，

又一一+2%=加，即%2一2%+冽=0的两根为工2和％3，所以々+%3=2,x2x3=m,

％

西入2+再工3=再(2+'3)=2%，x2x3=m(0<m<1),

_1—Vl+8m

x1x2+项％3+x2x3=2芯+x2x3=-----------Fm.

令Jl+8加=t,则加=—^―,因为0<根<1,所以1<1+8加<9,即/£(1,3),

1—11+8冽1—t/2—11c、2I/1\

--------------=——+-------=-(zt-2)2——n，

2+m2888V7

当/=2时，+机="L(/一2y—！取得最小值,最小值为一

288O

1-1+8ot2

又/=1或3时，^+ffl=l(?-2)--=0,

288

所以——<XX+X[%3+2XX<0.

8Y223

故答案为：

【点睛】方法点睛：将函数零点问题或方程解的问题转化为两函数的图象交点问题，将代数问题几何化,

借助图象分析，大大简化了思维难度，首先要熟悉常见的函数图象，还要熟练掌握函数图象的变换，包括

平移，伸缩，对称和翻折等，涉及零点之和问题，通常考虑图象的对称性进行解决.

♦题型05导数与分段函数

(x-1)+2x+sin(x-l)=3

22.设尤/eR,满足$.〉，则x+N=______.

(y-1)+2y+sin(j-l)=1

【答案】2

(x-1)5+2(x-l)+sin(x-l)=1

【分析】根据式子结构，构造同构的形式，定义函数/(x)=x5+2x+sinx,

(j^-1)5+2(y-l)+sin(y-l)=-l

判断出/(x)在R上单调递增且为奇函数，即可得至-1+>-1=0,即可求出结果.

(x-1)5+2(x-l)+sin(x-1)=1

可化为<

.(yT『+2(7-1)+sin(y-l)=-1

ia/(x)=x5+2x+sinx,函数定义域为R.

因为/"(^)=5x4+2+cosx>0,所以/(x)在R上单调递增.

Xf(-x)=(-x)5+2x(-x)+sin(-x)=-(x5+2x+sinx)=-f(x),所以/(x)为奇函数.

r/(-l)=l

所以由x二।可得x-1+y-1=0,所以x+y=2.

故答案为：2.

i.flog,>0「..

23.若函数/(x)=lnx_cx+；x2的图象存在垂直于>轴的切线，又g(x)=、»，且有gg⑴=1,

2[x+(a+by,x<0L」

贝！Ia+b+c的最小值为.

【答案】3

【分析】求出函数〃x)的导数/(X),由导数的几何意义可得了'(x)=0有解，由此求出。的最小值，再由分

段求出a+6的值即可得解.

【解析】依题意，函数/(x)=lnx-cx+gx2的定义域为(0,+oo),求导得八x)='_c+x,

由函数“X)的图象存在垂直于y轴的切线，则存在x0>0,使得/''(%)=工-c+%=0成立，

因此c」+x/2L%=2,当且仅当工=%,即迎=1时取等号，

%VX。%

Xg[g(l)]=g(log31)=g(0)=(tz+Z?)3=1,即a+b=l,贝lJq+6+c=l+c21+2=3,

所以Q+6+C的最小值为3.

故答案为：3

♦题型06分段函数的综合辨析

~2

/、x-2x,x>a

24.已知函数=।/、,给出下列四个结论：

log2(|x|+l),x<a

①对任意实数。，函数/'(x)总存在零点；

②存在实数。，使得函数/'(x)恒大于0；

③对任意实数。，函数/(X)一定存在最小值；

④存在实数。，使得函数1(x)在(-叫。)上始终单调递减.

其中所有正确结论的序号是.

【答案】①④

【分析】根据二次函数以及对数函数的性质即可求解零点，结合函数图象即可求解①，根据时，当

0<x<2时，/(X)=^2-2X<0,以及0<a时，由于/(0)=0,即可判断②，根据1<”2,结合二次函数

的性质即可求解③，根据。<0时，对数函数的性质即可判断④.

【解析】令，-2x=0,贝i]x=0或x=2,令log2(x|+l)=0,贝|x=0,

且y=f一2》和y=log2(|x|+1)的图象分别如下所示：

/、x2-2x,x>a

当Q«2时，/(%)=</.Ix的零点有工=0和x=2,

log2(|x|+l),x<tz

,、x2-2x,x>a

当。>2时，/(x=/、的零点有x=0,故①正确，

log2(|x|+l),x<tz

对于②，当a«0时，当0<%<2时，/(x)=x2-2x<0,不满足题意，

当0<a时，由于/'(0)=0,不满足/(x)恒大于0；故不存在实数。，使得函数/(无)恒大于0,②错误,

对于③，当1<。<2时，/(x)的图象如下所示：此时/'(x)不存在最小值；故③错误

对于④，当a<0,/(x)图象如下：函数/(x)在(-8,a)上始终单调递减.故④正确

故答案为：①④

V3sinTIX,Q<x<m

25.已知函数/(%)=<3me给出下列四个结论:

tan7rx,m<x<—

①存在m,使得/(x)没有最值;

②不存在m,使得/(x)有单调减区间；

③当机时，函数/只有两个零点；

④当加=1时，若a,b,c互不相等，且“。)=〃6)=〃。)，贝物+6+c的取值范围是

其中所有正确结论的序号是.

【答案】①③④

113「1一

【分析】对于①，取加=/画出函数图象可以判断；对于②，当5＜冽■时，函数在-,m单调递减；对

于③，当〃?时，画出函数图象，判断其与y=l有多少个交点即可；对于④，当加=1时画出函数图像，

数形结合求解范围即可.

【解析】对于①，取加=g时，/(X)图象如图所示：

此时函数不存在最值，故①正确;

此函数y=/(x)的图象与V=1只有两个交点，

所以函数y=/(x)T只有两个零点，故③正确;

对于④，当加=1时，图象如图所示:

因为/(。)=/㈤=/(c)不妨设a<b<c,

14

则有0<a<<1<^<—,

又因为关于x对称，

2

所以。+6=1,

以1+CG(2,—

6z+Z?+c—，故④正确.

故答案为：①③④

'l-|2x-3|,l<x<2

26.已知函数〃x)=Xc,给出下列四个结论.

,x>2

①若函数y=/(x)-区有4个零点，则实数左的取值范围为

②关于X的方程/(X)-上=0(〃£N*)有2〃+4个不同的解

③对于实数xe[1,小)，不等式2#(x)-3W0恒成立

④当xe[2i,2"](〃eN*)时，函数〃x)的图象与x轴围成的图形的面积为gxlxl=；

其中所有正确结论的序号是.

【答案】①③④

【分析】分区间讨论去掉绝对值号，作出函数图象，数形结合可判断①，特殊化取”=1可判断②，由数形

结合判断③，借助图象归纳规律可判断④.

3

【解析】当IVXVQ时，/(x)=2x-2；

3

当!<x<2Ht,/(x)=4-2x;

当2<x43,则1<2；，；

当3<x",则:<342,/(x)=1/ffl=2-^

当4<xV6,则2<743,〃x)=

当6<xV8,贝!!3<：W4,==；

221214

依次类推，作出函数/(无)的图像：

>

X

对于①，函数)=/(%)-履有4个零点，即歹=/(%)与歹=日有4个交点,

如图，直线夕=区的斜率应该在直线m,I的斜率之间，

又心=1勺="；.后故①正确；

6241246J

对于②，当〃=1时，/(%)=：有3个交点，与2〃+4=6不符合，故②错误；

3

对于③，对于实数、£[1,转)，不等式2货(%)-3<0恒成立，即/(%”恒成立，

2x

33

由图知函数/(%)的每一个上顶点都在曲线歹=「上，故/(x)(丁恒成立，故③正确;

2x2x

对于④，当X£[2〃T,21(〃£N*”也由图象可知：所求图象为高为贵的三角形，

所以函数，(x)的图像与x轴围成的图形的面积为:x(2〃-2〃一】卜击=；,故④正确;

故答案为：①③④

【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：

(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；

(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；

(3)数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，

利用数形结合的方法求解.

27.己知函数/(x)=[叫'：＞0,八若关于x的方程-2…)+/-1=0有碎©N)个不等的实根

[-X-4x+1,x＜0

网户2,…Xk，且网＜X2＜一＜4，则下列结论正确的是()

A.当。=0时，左=4B.当斤=2时，。的取值范围为0＜1

C.当左=8时，再+工4+%%=-3D.当斤=7时，。的取值范围为。,2)

【答案】C

【分析】令"/(X),求出方程〃一/一1=0的两根，数形结合可判断A选项；根据零点个数得出关

于。的不等式组，求出。的范围，可判断BD选项；利用二次函数的对称性与对数运算可判断C选项.

22

【解析】令t=f(x),贝！Jt-2at+“-l=0n0=a—1,t2=a+1,

A.当a=0时，％=T,才2=1，由/(无)=T有1解，/(x)=l有4解，故a=5,A错;

B.当左=2时，则方程〃无)=。-1、/(尤)=。+1各有一解，

当xWO时，/(x)=-x2-4x+l=-(x+2)2+5＜5,当且仅当x=-2时，等号成立，

—1＜0

由图可得|,解得。＜-1,B错；

C.当左二8时，如下图所示：

由图象可知，点(项,。-1)、1)关于直线X=—2对称，则再+%=-4,

由图可知,0<JC6<1,x7>1,由|lnM回InxJ可得In/=-拈-6，所以，七=一,

则％入7=1,因此，%+匕+%工7=-4+1=-3,C对;

0<4?—1<1—1<5

D.当左=7时，有两种情况:=1<。<2或《n〃=4,

l<tz+l<5[a+l=5

从而可得。的范围为（1,2）U{4},D错.

故选：C.

【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：

（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；

（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；

（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象,

利用数形结合的方法求解.

模拟精练

一、单选题

x2,x<1

1.(2017・山西吕梁•一模)已知函数/(%)=4，则/(X)的值域是()

XH----3,X>1

A.[!,+<»)B.[0,+t»)C.(L+8)D.[0,1)U(l,+oo)

【答案】B

【解析】考虑和x>l两种情况，根据二次函数性质结合均值不等式计算得到答案.

【解析】当xVl时，y=x2e[0,+oo）；

当x>l时，y=x+--3>2-74-3=1,当x=2时等号成立.

x

故函数值域为[0,+00）.

故选：B.

【点睛】本题考查了函数值域，均值不等式，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.

xa

y\-\X<1

2.（2018•江西南昌一模）设函数〃x）=尤+:]],若/⑴是「⑴的最小值，则实数。的取值范围为（）

A.[-1,2)B.[-1,0]C.[1,2]D.[1,+<»)

【答案】C

【分析】由X>1,求得〃x)的范围；再求得/(x)=2…的单调性，讨论”<1,“卢时函数”X)在9的最

小值，即可得到所求范围.

【解析】解：函数〃x)='k，

[x+l,x>1

若x>l,可得〃x)=x+l>2,

由/⑴是的最小值，

由于/(x)=，5

可得在x>a单调递增，在x<。单调递减，

若a<l,xW,则“X)在x=。处取得最小值，不符题意；

若。声，不让，则“X)在x=l处取得最小值，

且2”|黄，解得1Y?。，

综上可得a的范围是口，2].

故选：C.

【点睛】本题考查分段函数的最值的求法，注意运用分类讨论思想方法，以及指数函数的单调性，考查运

算能力，属于中档题.

(21TV>1

3.(2019・福建龙岩•三模)已知函数/(、)=2-'二1，若/(2x-2)N/(f—x+2),则实数x的取值范围是

()

A.[-2,-1]B.[1,+oo)

C.R