2025年高考数学核心考点特训：圆锥曲线拓展题型一（学生版+解析）

第81讲圆锥曲线拓展题型一

必考题型全归纳

题型一：定比点差法

例1.已知椭圆C：F+E=1(a>b>0)的离心率为且，过右焦点厂且斜率为发

a2b22

(k>0)的直线与C相交于A,3两点，若AF=3EB,求左

例2.已知；=过点P(0,3)的直线交椭圆于A,B(可以重合)，求周取值

范围.

22

例3.已知椭圆土+匕=1的左右焦点分别为F2,A,B,尸是椭圆上的三个动

62

点，且尸月=2月A,PF°=*B若九=2,求〃的值.

变式1.设匕，F2分别为椭圆;+y2=1的左、右焦点，点A,3在椭圆上,若月4=5F2B，

求点A的坐标

x2.

变式2.已知椭圆c：一十y,2=1，设过点尸(2,2)的直线/与椭圆C交于A，3，点Q是

2

12

线段AB上的点，且1PAi+网询'求点Q的轨迹方程.

题型二：齐次化

例4.已知抛物线C:：/=4x,过点(4,0)的直线与抛物线C交于P,。两点，O为坐

标原点.证明：ZPOQ=90°.

例5.如图，椭圆E:彳+产=1,经过点”(1,1),且斜率为左的直线与椭圆E交于不

同的两点尸，。(均异于点4(0,-1),证明：直线AP与A。的斜率之和为2.

例6.已知椭圆U7+V=1,设直线/不经过点6(0,1)且与C相交于A,8两点.若

直线鸟A与直线舄B的斜率的和为-1,证明：直线/过定点.

2*4

y2

变式3.已知椭圆U可+产=1,2(0,1),P,。为上的两个不同的动点，kBPkBQ^~,

求证：直线尸。过定点.

22

例7.(2024.全国•高三专题练习)椭圆方程「东+南=1(°>%>0),平面上有一点

尸(七,%).定义直线方程/：笔+咨1是椭圆r在点尸(七,%)处的极线.已知椭圆方程

ab

22

C:土+J.

43

⑴若P(L%)在椭圆C上，求椭圆C在点尸处的极线方程;

⑵若P(%,%)在椭圆C上，证明：椭圆C在点尸处的极线就是过点尸的切线;

(3)若过点P(-4,0)分别作椭圆C的两条切线和一条割线，切点为X,Y,割线交椭圆C于

M,N两点，过点M,N分别作椭圆C的两条切线，且相交于点Q.证明：Q,X,¥

三点共线.

例8.(2024・全国•高三专题练习)阅读材料:

(一)极点与极线的代数定义；已知圆锥曲线G：Ax2+Cy2+2Dx+2Ey+F=0,则称点

尸(%,%)和直线/：40%+。丁+。(%+%)+£；('+%)+/=。是圆锥曲线6的一对极点和

极线.事实上，在圆锥曲线方程中，以x°x替换以交替换式另一变量y也是如此)，

22

即可得到点P(X。，%)对应的极线方程.特别地，对于椭圆J+与=1,与点P(X°,%)对应

ab

的极线方程为华+整=1;对于双曲线(-4=1,与点尸(％,%)对应的极线方程为

abbb

警-誓=1;对于抛物线y?=2px,与点%)对应的极线方程为%,=「伉+”.即

aD

对于确定的圆锥曲线，每一对极点与极线是一一对应的关系.

(二)极点与极线的基本性质、定理

①当P在圆锥曲线G上时，其极线/是曲线G在点尸处的切线；

②当P在G外时，其极线/是曲线G从点尸所引两条切线的切点所确定的直线(即切点弦

所在直线)；

③当尸在G内时，其极线/是曲线G过点尸的割线两端点处的切线交点的轨迹.

结合阅读材料回答下面的问题：

(1)已知椭圆C：J+/=l(a>b>0)经过点P(4,0),离心率是孝，求椭圆C的方程并写

出与点尸对应的极线方程；

(2)己知。是直线/：y=-；x+4上的一个动点，过点。向(1)中椭圆C引两条切线，切

点分别为M，N,是否存在定点T恒在直线上，若存在，当=时，求直线

的方程；若不存在，请说明理由.

22

例9.(2024秋.北京.高三中关村中学校考开学考试)已知椭圆M：二+与=1(a>b>0)

ab~

过A(-2,0),B(0,1)两点.

(1)求椭圆M的离心率；

（2）设椭圆M的右顶点为C,点P在椭圆/上（尸不与椭圆〃的顶点重合），直线A8与

直线CP交于点。，直线2P交x轴于点S,求证：直线S。过定点.

变式4.（2024.全国•高三专题练习）若双曲线=9与椭圆c：片+片=1（。>6>0）共

"b2

4

顶点，且它们的离心率之积为孑.

（1）求椭圆C的标准方程;

（2）若椭圆C的左、右顶点分别为4，4,直线/与椭圆C交于P、Q两点，设直线47

与4Q的斜率分别为勺，k2,且勺-!及=0.试问，直线/是否过定点？若是，求出定点

的坐标；若不是，请说明理由.

变式5.（2024.全国•高三专题练习）己知椭圆E：W+¥=l（a>Z?>0）的离心率为且，且

过点，弓］,A,8分别为椭圆E的左，右顶点，尸为直线尤=3上的动点（不在x轴上），

E4与椭圆E的另一交点为C,PB与椭圆E的另一交点为。，记直线上4与网的斜率分别

（I）求椭圆E的方程;

（H）求夫的值；

（III）证明：直线CD过一个定点，并求出此定点的坐标.

题型四：蝴蝶问题

例10.（2003.全国.高考真题）如图，椭圆的长轴A4与x轴平行，短轴四也在＞轴上，中

心为A/(0,r)(Z?>r>0).

^（0,-b+r）

（1）写出椭圆的方程，求椭圆的焦点坐标及离心率;

（2）直线y=匕无交椭圆于两点C（x1,y1）,D（x2,%）（%＞0）；直线y=k2x交椭圆于两点

G（七,%），"（%,%）（%＞。）.求证：普=发；

（3）对于（2）中的中的在C,D,G,H,设C"交无轴于尸点，GD交x轴于Q点，求

证：IOPROQI（证明过程不考虑CH或GD垂直于x轴的情形）

22

例11.（2024.全国•高三专题练习）已知椭圆C：3+2=l（a＞力＞0）,四点4。』）,

ab

2(0,1)，A中恰有三点在椭圆c上.

（1）求椭圆c的方程;

（2）蝴蝶定理：如图1,A3为圆。的一条弦，M是A3的中点，过M作圆。的两条弦

CD,EF.若CF,即分别与直线A3交于点P,Q,则=

图1图2

该结论可推广到椭圆.如图2所示，假定在椭圆C中，弦的中点M的坐标为［0。］,且

两条弦CD,E尸所在直线斜率存在，证明：MP=MQ.

例12.（2021•全国•高三专题练习）（蝴蝶定理）过圆弦的中点M,任意作两弦8和

EF,CF与ED交弦AB于P、Q,求证：PM=QM.

变式6.（2024.全国.高三专题练习）蝴蝶定理因其美妙的构图，像是一只翩翩起舞的蝴

蝶，一代代数学名家蜂拥而证，正所谓花若芬芳蜂蝶自来.如图，已知圆M的方程为

x2+（y-Z?）2=r2,直线x=与圆”交于C（%%）,。（%,%），直线％=冲与圆M交于

双玉,为），户每,%）.原点。在圆Af内.

（2）设C/交x轴于点P,ED交x轴于点Q.求证：|OP|=|O2|.

22

变式7.（2024.陕西西安.陕西师大附中校考模拟预测）已知椭圆c：,+方=1（。>6>0）的

左、右顶点分别为点A,B,且|AB卜4,椭圆C离心率为：.

（1）求椭圆C的方程；

（2）过椭圆C的右焦点，且斜率不为0的直线/交椭圆C于M,N两点，直线AM,BN

的交于点Q,求证：点。在直线x=4上.

22

变式8.（2024.全国•高三专题练习）已知椭圆C：0+与=1。6>0）的左、右顶点分别为

ab

A,B,离心率为点为椭圆上一点.

（1）求椭圆c的标准方程；

（2）如图，过点C（0,1）且斜率大于1的直线/与椭圆交于M,N两点，记直线AM的斜

率为幻，直线的斜率为左2,若ki=2k2,求直线/斜率的值.

变式9.（2021秋•广东深圳•高二校考期中）已知椭圆C：/+g=l（a>6>0）的右焦点是

F（273,0）,过点尸的直线交椭圆C于A,B两点，若线段AB中点。的坐标为

（8百6）

\7

⑴求椭圆C的方程；

⑵已知尸（0,一勾是椭圆C的下顶点，如果直线ka+i（厚0）交椭圆C于不同的两点

N,且M,N都在以P为圆心的圆上，求左的值；

（3）过点。作一条非水平直线交椭圆C于R、S两点，若A,3为椭圆的左右顶点，记

直线AR、8s的斜率分别为幻、k2,则》是否为定值，若是，求出该定值，若不是，请说

明理由.

22

变式10.（2024.全国•高三专题练习）如图，已知椭圆C：A+与=l（a>6>0）的离心率为

ab

I，A,B分别是椭圆C的左、右顶点，右焦点F,BF=1,过/且斜率为左伏>。）的直

线/与椭圆C相交于N两点，M在x轴上方.

（1）求椭圆C的标准方程；

S3

（2）记入4™,次W的面积分别为加，S2,若=求左的值;

’2乙

（3）设线段政V的中点为。，直线OD与直线x=4相交于点E,记直线AW,BN,庄的斜

率分别为4,k2,k3,求为•（勺-%）的值.

变式11.（2024秋.福建莆田.高二莆田华侨中学校考期末）已知点在椭圆C：

乂+¥=1（°>>>0）上，0为坐标原点，直线/：=一萍=1的斜率与直线Q4的斜率乘

a2b1a12b2

积为一:

4

（1）求椭圆C的方程；

（2）不经过点A的直线/：y=^x+t（噂0且，eR）与椭圆C交于。Q两点，尸关于

2

原点的对称点为H（与点A不重合），直线A。，AH与，轴分别交于两点M,N,求证：

AM=AN.

变式12.（2022.全国•高三专题练习）极线是高等几何中的重要概念，它是圆锥曲线的一种

基本特征.对于圆f+y2=/,与点（七,%）对应的极线方程为％苫+%>=/，我们还知道如

果点（尤。,%）在圆上，极线方程即为切线方程；如果点（工,%）在圆外，极线方程即为切点弦

所在直线方程.同样，对于椭圆E+A=l，与点伍，%）对应的极线方程为等+咨=1.如

abab

22

上图，已知椭圆c：—+^=1,P（Yj）,过点P作椭圆C的两条切线B4,PB,切点分

437

别为A,B,则直线的方程为；直线与OP交于点则sin/PA四的最小值

第81讲圆锥曲线拓展题型一

必考题型全归纳

题型一：定比点差法

例1.已知椭圆C:g+t=l（4＞。＞0）的离心率为且，过右焦点/且斜率为左

a2b22

（左＞0）的直线与C相交于A,3两点，若AP=3EB,求左

【解析】由e=@,可设椭圆为反+产=加（"＞0）,

24'

设4%,%）,2（%,%），/（鬲,。），由=

X

Cm=%+32

1+3玉+3X=4^m

所以2

o=A±M%+3y2=。

1+3

2

=m(l)

按2酉己型（2）x9＜

匚…⑵等+9y2?=9/⑶

由([)-(3)得(%+现：%_^2+(%+3%)(乂_3y2)=—8加2—%_3工2=一^^■机，

m

又为+3X2=4A/3OTN%=^^-MnA(24,±f").

又_F(J^n,0)=>左=±J^.

例2.已知：+J=i,过点尸（0,3）的直线交椭圆于A,B（可以重合），求舄取值

范围.

【解析】设4(国,％),8(%,%)，尸(0,3)，由AP=XPB,

石+2X

0=-------2

1+A[玉+AX2=0

所以tyi+4%=3(1+4)

3二%+外2

1+2

4x^+9^=36(1)J4占2+9靖=36(1)

由＜配比(2)x1

222X2+9A2y2=36(3)

4X2+9y2=36(2)[4A22

=2

由(1)-(3)得：=>4(%,+Ax2')(<xl-Ax2)+9(y1+^2)(^1-^y2)36(l-A)

n（M_彳%）=4（；，）,又％+Ay2=3（1+2）=%=13+5A

3o

从而需

又y£[-2,2]n2£—5,——=We?5

22

例3.已知椭圆土+乙=1的左右焦点分别为K，F2,A,B,P是椭圆上的三个动

62

点，且尸耳=44A,PF[=NF田若九=2,求〃的值.

【解析】设尸（%,%）,A（x，x）,B（x2,y2）,,由尸耳=2耳A,尸鸟=〃鸟B得

%+2%.

-c=---------

1+2%+4%]=-c（l+九）

①月（-c,0）满足.

°二%+同%+孙=。

—1+2

Xg+

1+4x+//x=-c（l+4）

鸟（c,0）满足<=><02

0=%+〃％=°

1+4

2222

也+（）

A_=1（1）?+*=11

/b2ab

=>

22

%+%-11+誓"⑶

22（2）

Lba2b

（尤0-人1）（%+融）+（%-孙）（%+丹）

③由（1）-（3）得:=1-A2

a2b2

（"1：：：；；；；）="』（X。一.）一？°一孙又（天+越卜-。（1+几）

=>

a2c2,a2+c2曰田曰a2-c2a1+c2

=>2x=——A-----------,同理可得2/=------------//+---------

0CCC

一（几+〃）=2---------=（4+川=2.=―-=10=>/z=8.

cca—c

变式L设周，瑞分别为椭圆;+y2=1的左、右焦点，点A,3在椭圆上,若KA=5gB，

求点A的坐标

【解析】记直线耳4反向延长交椭圆于耳，由KA=5gB及椭圆对称性得A£=5耳4，

设A(X[,%)，B(x?,%)，F(-A/2,0)•

①由定比分点公式得

.屈='+5?

,-1+5=&+5尤2=-6A/2

0-%+5%bi+5y2=0

,1+5

彳+y；=Ki)1+城=1⑴

②又《：按力配型(2)x25・

25r2

2

---+y2=1(2)^^+25^=25⑶

③由(1)-(3)得(%+5%)(%-5々)+(%+5%)(/_5%)=_24n=60，

又玉+53=-60n%=0=>A(O,±1).

变式2.已知椭圆c：?"+y2=1，设过点尸（2,2）的直线/与椭圆C交于A，3，点。是

112

线段至上的点，且网+两一两求点Q的轨迹方程.

【解析】设A(占,％),B(x2,y2)>Q(x0,y0)

PQ\PQ_\PA\-\AQ\\PB\+\QB\_

由1----F+1----T二1----F------r1------乙=?：：------1-----：----：-Z

照|尸理\PQ\PA\PB|PA|\PB\

—MU511pA|」A。AQ

-----=2(2>0)，

1PAi\PB\\PB\\QBPBQB

AP=-APB'AQ=AQB-

2_%,-AX2

玉—Ax?=2(1-彳)

①AP=，PB，由定比分点得：，1-2

2”「分2、必_"2=2(1-2)

-1-2

石十九九2

%,+尢v,=%(1+2)

AQ=AQB＞由定比分点得,1+2n

一一+.月yl+Ay2=y0(l+A)

%一下二

X.2+2y.2=2⑴…，X+2y：=2(1)

②又，।1配比(2)x/

2222222

x2+2y2=2(2)Ax2+2Ay2=22(3)

③由（1）-（3）得：（玉+彳工2），（占一%W）+2，（yi+彳％），（丫1一彳%）=2（1-尤）

2,XQ(1+4),(1—丸)+4%,(1+4)•(1—丸)=20—分)

n2%+4%=2，即毛+2%=1闻+2%2<2).

题型二：齐次化

例4.已知抛物线Uy?=4x,过点（4,0）的直线与抛物线C交于P,。两点，O为坐

标原点.证明：ZPOQ=90°.

【解析1直线P。：X=叼+4,P&,%）,Q（〃，%）

由》=冲+4,得1=汨^

则由匕阳广得：yfS,

整理得：仕］+相2-1=0,即：二.&=_i.

\XJXXjx2

所以％・b="=T，

XxX2

则OP_LOQ,即：ZPOQ=90°.

例5.如图，椭圆+经过点且斜率为左的直线与椭圆E交于不

同的两点尸，。(均异于点A(O,-1),证明：直线AP与A。的斜率之和为2.

【解析】设直线P2：mx+n(y+l)=l,P(x1,y1),2(x2,y2)

贝Um+2〃=1.

JWC+n(y+1)=1

由，

—+/=1

2-

得：—+[(j+l)-l]2=l.

九2

贝U万+(y+1)2-2(y+l)[mx+n{y+1)]=0,

故-2m+g=

所以上11+&±L2L=2.

石x22n-l

即L+A=A±1+&±1=2・

玉x2

例6.已知椭圆C:三+V=i,设直线/不经过点心(0,1)且与C相交于A,8两点.若

直线EA与直线鸟8的斜率的和为-1,证明：直线/过定点.

【解析】设直线/:mx+〃(y-1)=1...........(1)

由C:三+y2=l,W—+[(y-l)+l]2=1

44

即：一+(y-l)2+2(y-l)=0...........(2)

由⑴⑵得：?+(…2+2(尸1)即+g一1)]=。

整理得：(1+2〃)(匕D+2m-^—!-+-=0

yxJx4

贝|]4+左=2二'+五二12m

-------——1J

1+2〃

贝lj2m=2孔+1,代入直线I:+—1)=1,得：/:(2〃+1)兀+2〃(>-1)=2

显然，直线过定点(2,-1).

/2

变式3.已知椭圆C:§+丁=1,5(0,1),P,。为上的两个不同的动点，%)即°=耳,

求证：直线PQ过定点.

工27

贝（JI_+，~[=>（3k2+l）x2+6kbx+3b2-3=0

y=kx+b

-6kb

X1+x

2：+3/，又因为

即4

3b2-3

砧=-----7

一1+3/

%-1y2-l_kxl+b-lkx2+b-l_kx1x2+左。-1）（玉+x2）+（Z?-1）"_2

^BP^BQ=

xxx23

化简得伍-=26?-2=>6=-3或6=1（舍去）.

即尸。直线为>=依-3,即直线尸。过定点（0,-3）.

题型三：极点极线问题

例7.（2024•全国•高三专题练习）椭圆方程「：W+冬=l（a>10）,平面上有一点

ab

产（%,%）.定义直线方程/：誓+4与=1是椭圆「在点尸（毛,%）处的极线.已知椭圆方程

ab"

⑴若RL%）在椭圆C上，求椭圆C在点尸处的极线方程;

⑵若尸（七,%）在椭圆C上，证明：椭圆C在点P处的极线就是过点尸的切线；

（3）若过点尸（Y,O）分别作椭圆C的两条切线和一条割线，切点为X,Y,割线交椭圆C于

M,N两点，过点“，N分别作椭圆C的两条切线，且相交于点Q.证明：Q,X,¥

三点共线.

【解析】⑴由题意知，当为=1时，%=±》3所以尸（弋3）或尸（1,-沙3

由定义可知椭圆C在点2%,%）处的极线方程为芋+早=1,

43

所以椭圆C在点尸（1；）处的极线方程为§=即无+2>-4=。

点PCI,-方处的极线方程为5一］=1，即x-2y-4=0

（2）因为P（x0,y。）在椭圆C上，所以!+?=1=3片+4乂-12=0,

由定义可知椭圆C在点2%,%）处的极线方程为平+邛=1,

43

当先=0时，/=±2,此时极线方程为尤=±2,所以P处的极线就是过点P的切线.

当％20时，极线方程为誓+W=my=-言x+』

4J斗九%

Qy2、

4%218%36-八

联立%，得驾+3x--^-x+--12=0.

14%27%%

143

9丫2“'J・网+4"2)=°.

A=(―2-4彗+

4弁

综上所述，椭圆C在点P处的极线就是过点尸的切线;

(3)设点。(%,%),〃(苍,、1),N(x2,y2),

由（2）可知，过点M的切线方程为小牛+当=1,

过点N的切线方程为/?：子+券=1.

।一%

因为心4都过点。（々,％）,所以有「3,

—-।丫2%=1

.43

则割线MN的方程为/。：苧+苧=1；

—4x

同理可得过点P（Y,O）的两条切线的切点弦XY的方程为l:—=l^x=-l.

34

又因为割线MN过点尸（-4,。），代入割线方程得夸=一1.

所以Q,X,y三点共线，都在直线x=-1上.

例8.（2024・全国•高三专题练习）阅读材料：

22

（一）极点与极线的代数定义；已知圆锥曲线G：Ax+Cy+2Dx+2Ey+F=0,则称点

P（XO,%）和直线/：A\）尤+Cy（）y+£＞（x+Xo）+E（y+%）+P=。是圆锥曲线G的一对极点和

极线.事实上，在圆锥曲线方程中，以/x替换以号或替换M另一变量y也是如此），

22

即可得到点P（x0,%）对应的极线方程.特别地，对于椭圆「+与=1,与点尸（%,y。）对应

ab

22

的极线方程为誓+萼=1;对于双曲线二-5=1,与点尸（修,%）对应的极线方程为

abbb

岑-翌=1；对于抛物线V=2px,与点P（%,%）对应的极线方程为%y=p（1+尤）.即

对于确定的圆锥曲线，每一对极点与极线是一一对应的关系.

（二）极点与极线的基本性质、定理

①当P在圆锥曲线G上时，其极线/是曲线G在点尸处的切线；

②当P在G外时，其极线/是曲线G从点尸所引两条切线的切点所确定的直线（即切点弦

所在直线）；

③当P在G内时，其极线/是曲线G过点尸的割线两端点处的切线交点的轨迹.

结合阅读材料回答下面的问题：

（1）已知椭圆C：《+《=1（。＞6＞0）经过点玳4,0）,离心率是1,求椭圆C的方程并写

ab2

出与点尸对应的极线方程；

⑵已知Q是直线/：y=无+4上的一个动点，过点。向（1）中椭圆C引两条切线，切

点分别为M，N,是否存在定点T恒在直线上，若存在，当MT=7N时，求直线

的方程；若不存在，请说明理由.

22

【解析】（1）因为椭圆二+2=1（。＞6＞0）过点P（4,0）,

ab

则31=1，得。=4,又e-力,

ab1a2

所以c=2遭，所以》2=/-/=4,

22

所以椭圆C的方程为工+匕=1.

164

根据阅读材料，与点P对应的极线方程为与+华=1,即x-4=0；

（2）由题意，设点。的坐标为（％,y°）,

因为点。在直线y=-gx+4上运动，所以％=-：/+4,

联立山:,得犬―8x+24=0,

y=——x+4

I2

△=64—4x24=—32<0,该方程无实数根，

所以直线y=-gx+4与椭圆c相离，即点。在椭圆c外，

又QM,0N都与椭圆C相切，

所以点。和直线是椭圆C的一对极点和极线.

22

对于椭圆工+<=1,与点。(%,%)对应的极线方程为生+耳=1,

164164

将%=-1与+4代入梨+耳=1,整理得％(x-2y)+16y-16=0，

2lo4

又因为定点7的坐标与马的取值无关，

x-2y=0x=2

所以,解得

16y—16=0y=i

所以存在定点7(2,1)恒在直线MN上.

当MT=7W时，T是线段的中点，

设河(3,乂)，刈孙％),直线MN的斜率为％,

--—I----=1

,164心力—y4x,+x42x211

则;%,两式相减,整理得且上二一77.七?=.丁T=F'即4二-不

22

xyx2-x116+y2lo2x122

—+—=1

所以当MT=77V时，直线MN的方程为y-l=(x-2),即x+2y-4=0.

22

例9.(2024秋・北京•高三中关村中学校考开学考试)已知椭圆M：二+与=1(a>b>0)

ab

过A(-2,0),B(0,1)两点.

(1)求椭圆M的离心率；

(2)设椭圆M的右顶点为C,点尸在椭圆M上(P不与椭圆用的顶点重合)，直线A8与

直线CP交于点。，直线8P交x轴于点S,求证：直线S。过定点.

【解析】⑴因为点A(-2,0),8(0,1)都在椭圆M上,

所以a=2,b=l.

所以c=a2—b2—-

所以椭圆M的离心率e=£=走.

a2

(2)由(1)知椭圆M的方程为二+丫2=1,C(2,0).

4-

由题意知：直线的方程为尤=2y-2.

设尸(%,%)1%*0,%R±1),Q(2yQ-2,yQ),S(xs,O).

因为C,P,。三点共线，所以有C尸〃CQ,CP=(x0-2,%),CQ=(2yg-2-2,ys),

所以(%-2)yQ=y0(2ys-4).

4yo

所以

所以

因为民s,尸三点共线,

1%—1

所以一=必」，即演=%

一演X。1-%

所以S(4，。).

4y0+2x0-4x0

所以直线的方程为x=fy+

4.1-%

2%-玉)+2

X(f4%-4%%+8%-4

即x=y+^-

1—%

又因为点P在椭圆”上，所以=4-4%2.

所以直线CS的方程为X=2-2%-X。(y-1)+2.

If

所以直线3过定点(2,1).

丫2,2

y

变式4.(2024•全国•高三专题练习)若双曲线――,2=9与椭圆二1(Q〉"O)共

ab

4

顶点，且它们的离心率之积为

(1)求椭圆。的标准方程;

(2)若椭圆c的左、右顶点分别为A,4,直线/与椭圆c交于尸、。两点，设直线4尸

与4。的斜率分别为《，k2,且匕一g网=0.试问，直线/是否过定点？若是，求出定点

的坐标；若不是，请说明理由.

4

【解析】（1）由已知得双曲线的离心率为血，又两曲线离心率之积为所以椭圆的离

心率为述；

3

由题意知。=3,所以c=2&，b=l.

所以椭圆的标准万程为/J.

（2）当直线/的斜率为零时，由对称性可知:

k[=-k2wO,不满足/=0,

故直线/的斜率不为零.设直线/的方程为％=少+”,

x=ty+n

2,得：（』+9）9+2山、+〃2一9=0,

由，X2,

—+V=1

19'

因为直线/与椭圆C交于P、。两点,

所以A=4/"2-4(/+9)(“2-9)>O,

整理得：r2-«2+9>0,

设P（%，M）、。（％，%），则

2tn*一9%%

…=-E—

Xj+3x23

因为《一y%2=。，

A

所以_L='=>+3=%(x「3)=%(f%+"3)

5k2%%(占+3)%(0i+〃+3)'

x2-3

整理得：4ty1y2+5(n-3)y1-(n+3)y2=0,

4明为+5（〃—3）（头+为）=（6n-12）y2,

力2

将%+%=一322，»7-Q代入整理得：

t（n-2）（n-3）=（2-力卜?+9）%

要使上式恒成立，只需〃=2,此时满足R-〃2+9>O,

因此，直线/恒过定点（2,0）.

变式5.（2024•全国•高三专题练习）已知椭圆E：W+¥=l（a>Z?>0）的离心率为且，且

ab2

过点,A,8分别为椭圆E的左，右顶点，P为直线尤=3上的动点（不在x轴上）,

上4与椭圆E的另一交点为C,R3与椭圆E的另一交点为。，记直线上4与PB的斜率分别

为h,k].

（I）求椭圆E的方程；

（II）求苫的值；

k2

（III）证明：直线C。过一个定点，并求出此定点的坐标.

cA/3

e=~=—32=4

2

【解析】（1）由条件可知:a且“2—+C2,解得，，所以椭圆E的方程

1+3旧=1

为—ny2=1；

4'

（2）因为A（-2,0）,3（2,0）,设尸（3,。（蜂0）,

t

7tt[t

所以用=7—r=—,k?=----=t,所以勺=5=L

“以13-(-2)5-3-2

k2t5

(3)设尸(3,。("0),所以尸B:y=《x-2),PA:y=/x+2),

<y=5^X+2\所以(4〃+25)/+16/》+16〃