2025年高考数学二轮复习热点题型专项突破：立体几何平行的证明与应用（等积变形截面探究性问题等12类题型）（解析版）

专题8-2立体几何中平行的证明与应用

模块一、热点题型解读（目录）

【题型1】平行关系的判断

【题型2】构造平行四边形得到平行关系

【题型3】由中位线得出平行关系

【题型4】由线面平行得出线线平行（反推找线）

【题型5】由面面平行得出线面平行

【题型6】两个平面交线相关的平行证明

【题型7】证明线线平行

【题型8］通过平行证明四点共面

【题型9】平行关系的应用：等积变形求体积

【题型10］平行的存在性问题（确定点的位置）

【题型11］平行的存在性问题（确定动点轨迹）

【题型12】截面问题（通过作平行线或延长线补全截面）

模块二核心题型•举一反三

平行关系思维导图

序号图形展示符号语言文字语言

①垂直于同一平面的两个直线平行

1②如果两条直线分别与第三条直线平行则

这两条直线平行

③线段成比例两直线平行（中位线）

④平行四边形对面平行

a_____a^a平面外一条直线与此平面内的一条直线平

2bua,na〃a行，则该直线与此平面平行

allb

a//a一条直线与一个平面平行，则过这条直线的

3auf3>=>a〃b任一平面与此平面的交线与该直线平行

ac/3=b)

a.bcza一个平面内的两条相交直线与另一个平面内

的两条相交直线分别平行，那么这两个平面

acb=A

平行

4/*/m,nu/3>=>a//P

mcn=B

allm,b//n

a//p如果两个平行平面同时和第三个平面相交，

5acy=a>=a〃b那么它们的交线平行

/3cy=b

7^7a,bu°一个平面内的两条相交直线分别与另一个平

6aryb—P面平行，则这两个平面平行

=>a//[3

//a//a

b//a

all国两个平面平行，则其中一个平面内的任意一

//>na//p

7aua,条直线与另一个平面平行

【题型11平行关系的判断

基础知识

常用结论

(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a_La,a.Lp,贝Ia〃夕.

(2)平行于同一个平面的两个平面平行，即若a〃从p//y,则a〃y.

(3)垂直于同一个平面的两条直线平行，即a_La,b±a,则a//B.

(4)若a〃4，mUa,则相〃及

【例1】(2024.山东淄博・二模)已知a,B，y为三个不同的平面，a,b,/为三条不同的直线.

若an〃=/,an7=a,力仆7=4////，

则下列说法正确的是()

A.a与/相交B.。与/相交C.a//bD.。与4相交

【答案】C

［分析］根据空间中直线与平面的位置关系逐项判断即可.

【详解】对于AB,////,/u平面a,aC\y=a,则〃/a,

同理可得〃/6,则AB错误；

对于C,由AB知道。//6,则C正确；

对于D,由A知道平面£,/u平面£,则。//月，故D错误.

【例2】已知机、”是两条不同的直线，&、P>/是三个不同的平面，下列命题正确的是（）

A.若cz_L6,/?!/,则a///；

B.若mHn,nua,则〃?〃e；

C.若加、”是异面直线，〃zua,ml//3,nu/3,nlla,则a〃/；

D.平面。内有不共线的三点到平面力的距离相等，则&//〃.

【答案】C

【分析】利用直观想象判断直线与平面的位置关系可判断ABD；利用线面平行的性质定理与面面平

行的判定定理可判断C,从而得解.

【详解】因为机、〃是两条不同的直线，a、。、/是三个不同的平面，，

对于A,若八丫，则a与7可能相交，故A错误；

对于B,若加〃“，wua,则机可能在a内，故B错误；

对于C,因为小ua,所以机（2夕，

又加〃夕，所以由线面平行的性质定理可知在£内存在〃/心，

则/<Zcr,进而可得"/a,

因为根,“是异面直线，nufi,所以/与〃相交，

又“//a,所以由面面平行的判定定理得a//£,故C正确；

对于D,平面々内有不共线的三点到平面£的距离相等，则a与£可能相交，故D错误.

【例3】（多选）已知平面&,£,/,且ac尸=/,77cy=%,/cc=",则下列结论正确的是（）

A.机与“可能是异面直线B.若/〃相，则加〃〃

C.若5n附=。，则Oe/D.若。两两垂直，则/,m,“也两两垂直

【答案】BCD

【分析】利用异面直线的意义判断A；利用线面平行的判定性质推理判断B；利用平面的基本事实

推理判断C；利用面面垂直的性质、线面垂直的判定性质推理判断D.

【详解】对于A,由a=",得加因此机与〃不可能是异面直线，A错误；

对于B,U/m,ac/3=l,/3cy=m,则/ua,"z</a,于是〃〃/c,

又“zu/,71a=w,因此相〃“，B正确；

对于C,由，wp|〃=O,得Oem.Oe”，由/Iy=tz=〃，得mu0,nua,

则Oe分又£仆尸=/,因此Oe/,C正确；

对于D,令/Pl，=O,£，/,/_17,在平面/内取点P（不与点。重合），并在7内作PQ_L〃,PR_Lm,

而01y=m,y1a=n,则尸Q_L（z,PR_L尸，又夕口〃=/,于是/_LPQ」_LPR,

品PQcPR=P,则/J_/，叉〃nnuy,因此/_Lm/_L〃，则NQOR是二面角a-/-分的平面角，

由a_L〃，ZQOR=90°,即枕因此。m,“两两垂直，D正确.

【巩固练习1］下列关于平面平行的命题，正确的是（）

A.若一个平面内的无数条直线与另一个平面平行，则这两个平面平行

B.若一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行

C.若两个平面与同一个平面垂直，则这两个平面平行

D.若两个平面与同一条直线平行，则这两个平面平行

【答案】B

【分析】对A,两面相交，另一平面有无数条直线和交线平行也和该平面平行，故可判断；对B,

根据平面平行的判定定理即可判断；对C,根据墙面三个角可判断；对D,两面相交一条直线，和

直线平行的直线都平行两平面，故可判断.

【详解】对A,假设两个面相交于一条直线，则其中一个平面内有无数条直线与交线平行也与另一

个平面平行，故A不正确；

对B,根据平面平行的判定定理，可知一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平

面平行，故B正确；

对C,若两个平面与同一个平面垂直，不一定得出两平面平行，例如墙角的三个面，故C错误；

对D,两个平面与同一条直线平行，不一定能得出两面平行，例如两面相交与一条直线，存在与交

线平行的直线平行于两个面，故D错误.

【巩固练习2】设加，”是两条不同的直线，/£是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）

A.若根//cz,则///aB.若a"/3,mua,nuf3,则相//〃

C.若〃则D.若加//〃，m_La,贝

【答案】D

【分析】对于A,根据已知条件推出〃ua或a//a,对于B,可以推出加〃”或异面，对于C,可以

推出租//a或〃zu（z,对于D,根据判定定理可以得到结论.

【详解】对于A,由机〃〃，机〃a,则"ua或"〃故A错误；

对于B,alI工mua,nuB,则加〃/或机与〃是异面直线，故B错误；

对于C,机〃",”<=/，则机〃口或〃zutz,故C错误；

对于D,ml!n,mLa,则〃_1_戊，故D正确.

【巩固练习3］已知以〃为两条不同的直线，为两个不同的平面，对于下列命题正确的是（）

A.m（^a,nca,m//p,n////p

B.a///3,m<^a=>m//p-

C.n//m,n<^a//a

D.mHa,nuct=mHn.

【答案】B

【分析】根据面面平行的判定定理可判定A,根据面面平行的性质定理可判定B,根据线面平行的

判定定理可判定C,根据线面平行的性质定理可判定D.

【详解】选项A：由面面平行的判定定理可知，由于“2,”不一定相交，故A错误；

选项B：由面面平行的性质定理可知B正确；

选项C：由线面平行的判定定理可知，加可能在a内，故C错误；

选项D：由线面平行的性质定理可知，m,"可能异面，故D错误

【题型2】构造平行四边形得到平行关系

基础知识

【方法技巧】构造平行四边形找线线平行

【例1】如图，在棱长为1的正方体中，E、/及G分别为棱8与、DR和CG的中

点.求证：G尸//平面DEG-,

【解析】•.•在正方体ABCD-A5GR中，E,F,G分别为棱和CG的中点,

DF//QG,SLDF=Cfi,

二四边形QGC也是平行四边形，.1G尸〃DG,

­/£>Gu平面DEG,GF仁平面DEG,

，GF//平面DEG.

【例2】（2024•江苏南京.模拟预测）如图，四棱锥尸-ABCD中，PAL底面ABCD,AD//BC,

钻=仞=40=3,丛=80=4,河,"分另1」为线段4£）,尸。上一点，AM=2MD.

若N为尸C的中点，证明：MN〃平面R4B；

【解析】证明：由已知旃=2砺得AA1=2,取BP的中点T,连接AT,刀V,

由N为尸C的中晨为TN〃BC,

TN=；BC=2.叉ADIIBC,故且77V=AM,

四边形AMA7为平行四边形，MN//AT,

・•,ATu平面上43,MNa平面上43,

；.MN//斗面PAB.

【巩固练习1】如图，在四棱锥尸-A3co中，底面ABCD是直角梯形，ADJ.AB,AB//DC,PAX.

底面ABC。，点E为棱PC的中点，AD=DC=AP=2AB=2.证明：BE〃平面雨£（；

（解析］在PD上取中点G,连接AG,EG,如图:

：G和£■分别为PD和PC的中点,.-.EG//CD3.EG=-CD,

2

又•.•底面ABCD是直角梯形，CD=2AB,ABIICD,

AB//GES^AB^GE.即四边形ABEG为平行四边形,

AG//BE,

rAGu平面物D,BEU平面以

.•.BE7/平面PAD

【巩固练习21（24-25高三上•青海西宁•期中）如图，PZU平面ABC。，ADLCD,AB//CD,PQ//CD,

AD=CD=DP=2PQ=2AB=2,点及尸,M分别为AP,CD,3。的中点.求证：防〃平面CPM

【分析】（1）连接四，可证明四边形MEPC为平行四边形，再由线面平行的判定定理即可证得;

【详解】⑴连接因为AB〃CD,PQ//CD,

所以AR/PQ.又因为尸。=AB,所以四边形PQBA为平行四边形，

又因为点、E,M分别为AP,8。的中点，所以AB//EM且AB=EM,

因为CD=2AB,ABHCD,所以CD〃EN且EM=gc。，

又因为点尸分别为CO的中点，

所以CF//EM且EM=CF,

所以四边形MEFC为平行四边形,

所以MC//EF,

又因为EFU平面CPM,MCu平面CPM,

所以EF〃平面CPM.

【巩固练习3】如图，在正三棱柱ABC-A4G中，23,尸分别是BC,4G,44的中点，BC=4BE,

△ABC的边长为2.求证：：EF//平面AORA；

【解析】证明：取42的中点G,连接FG,DG,

根据题意可得尸G//4R,且/G=g瓦2,DE=^BD,

由三棱柱得性质知B0//42,所以FG//3。,则四边形£>G£F是平行四边形,

版以EFI/DG,

因为E尸（Z面ADDA,。Gu面A。RA1,

所以EF〃面AOjA.

【题型3】由中位线得出平行关系

基础知识

涉及中点条件时考虑利用三角形中位线找线线平行.

【例1】如图，已知四棱锥尸-A3CD的底面ABC。是平行四边形，M,N分别是棱尸2,PC的中点,

。是棱以上一点，且AQ=3QP,求证:N。〃平面MCD

【解析】取PA的中点S,连接SM,SD,SC,因为〃r为PB的中点，

所以SM//AB,又AB〃CD,所以SMV/CD,故S,M,C,D四点共面,

由题意知Q,N分别为PS,PC的中点，故N0//SC,

又NQ仁平面MCD,SCu平面MCD,因此N。//平面MCD

【巩固练习1】（24-25高三上•广东深圳•阶段练习）如图所示，四棱锥S-ABC。中，四边形ABCD是

矩形，平面SCD±平面ABCD,NSDC=90°,点M是线段SC的中点，点N在线段即上，且肱V_LS3.

s

求证：SA//平面AffiD

【分析】（1）连接AC交3D于G,则G是AC的中点，连接MG,由中位线性质知SA||MG,根据

线面平行的判定可证&4//平面MBD;

【详解】（1）连接AC交于G,则G是AC的中点，连接MG,

因为Af是线段5r的中点，所以MG是AS4c的中位线，则SA||A/G,

又因为S4Z平面MBD,MGu平面MBD,所以S4//平面AffiD

【巩固练习2】（2024浙江金华・一模）如图,三棱锥4-3。＞中，平面3C。，AD=DB=DC=BC,

E为AB中点，/为OE中点，N为DC中点.

C

求证：MN//平面ABC；

【分析】连EC,利用三角形中位线性质，线面平行的判定推理即得.

【详解】连EC,由“为DE中点，N为DC中点、,得MN//EC,

又ECu平面ABC,MNg平面ABC,

所以MN//平面ABC.

【巩固练习3】已知在正四棱柱ABCZ）-44GA中，AD=3,你=4,点E是C。的中点，求证:

A，//平面EBD

【分析】根据中位线的性质可得OE//AR,由线面平行的判定定理即可证明;

【详解】连接AC,交BD于点、0,则。为AC的中点，

又因为E为CA的中点，连接OE,则OE//AR,

;AD集平面EBD,OEu平面EBD,

A2〃平面EBD

【题型4】由线面平行得出线线平行（反推找线）

基础知识

解析：模型铺垫：AB〃平面B周AB〃DE

【例1】如图，在三棱柱ABC-A4G中，侧面ACGA为菱形，侧面CB与G为正方形.点M为AC

的中点，点N为AB的中点.

证明：A/N〃平面BCC4

【简析】找一点和MN构成平面，该平面与平面BCG4有2个位置确定的交点，图中去掉MN和平

面BCG耳中的点后满足条件的点只有A点了，AM与平面BCG耳交于点Ci,AN与平面BCC再交

于点B,故MN〃BC”找出了平面BCG4中和MN平行的那条线

【详解】连接AGIG,如图所示：

因为ACC]A为菱形，点M为AC的中点，所以AGcAC=M,

又点M为AC]的中点，点N为A3中点，所以MN/IBC、,

而Bqu平面BCC^,MNO平面BCQB},

所以MN〃平面BCG耳.

【例2】如图，在四棱锥尸-ABCD中，底面ABCD是正方形，点/在棱山上（不与端点重合），E,

尸分别是尸D,AC的中点.

证明：£F〃平面P8C.

【解析】连接3D,

因为底面ABC。是正方形，所以尸是BD的中点，

又因为E是PD的中点，所以石尸是△P3D的中位线,

所以EF〃尸3,

因为£F<Z平面PBC,PBu平面PBC,

所以EF//平面PBC

P

【例3】（2024・浙江•一模）如图，在三棱锥尸-ABC中，底面ABC是边长为2的等边三角形，PC1

平面ABC,点E是尸8的中点，点厂在线段CB上且CR:EF=2:1,G为三角形ABC的重心.

求证：GP〃平面

【分析】（1）根据重心性质以及线段比可知/是△P8C的重心，再利用线段比例关系以及线面平行

判定定理可得结论；

【详解】（1）连接AG交8C于点D,由重心性质可得。是BC的中点，

又点E是尸8的中点，点歹在线段CEr上且CF:EF=2:1,可知P是△PBC的重心；

连接尸£）,可知点尸在尸。上，如下图所示：

由重心性质可得Z）尸：尸尸=1:2,DG:AG=］：2,所以G尸〃PA;

又GFa平面RIB,PAu平面RIB,

所以GF〃平面BIB

法二：连接CG交AB于H,易证FG#EH

【巩固练习1】（2024•山东济南.三模）如图所示，PACE为矩形，A3。为梯形，平面尸DCE，平面

ABCD,NBAD=ZADC=90。,AB=AD=gcD=l,PD=B

若点Af为弘的中点，证明:AC//平面MDE；

【解析】连接PC,交DE于N,连接MN

PDCE为矩形；.N为尸C的中点

在△上4c中，M,N分别为B4,PC的中点

:.MN//AC,

因为MNu平面MDE,ACa平面MDE,

所以AC//平面MOE.

【巩固练习2】在直三棱柱ABC-A4G中，已知。为AB的中点.求证：BG〃平面ACD.

【分析】连接AG交AC于点。，连接0D,利用中位线的性质可得出OD//BG,再利用线面平行的

判定定理可证得结论成立.

【详解】证明：连接AG交AC于点0,连接0D,如下图所示：

在三棱柱ABC-A]B]G中，AAj/ZCCj且AAt=(7G,则四边形44℃为平行四边形,

因为AGcA|C=O,则。为A。的中点，

又因为。为的中点，所以，0DHBC、,

因为BGO平面AC。，ODu平面AC。，因此，BQ〃平面ACD.

【巩固练习3】(24-25高三上•福建泉州•期中)如图，在直三棱柱ABC-%耳G中，ZACB=90°,

CA=CB=CCl=3,。是棱8月的中点，P是G。的延长线与CB的延长线的交点.

⑴求证：AP〃平面4。)；

(2)若点E在线段AP上，且点E为靠近点A的三等分点,求直线4E与平面\CD所成的角的正弦值.

【分析】利用全等思想来证明中点，从而得证线线平行，即可证明线面平行；

【详解】连接AG交AC于点M,连接MC,如下所示：

因为ABC-4旦C1是直三棱柱，故可得AC|CA是矩形，

故M为AG的中点，又。是的中点，所以B[D=BD,

又NBQCi=ZBDP,NCRD=ZPBD=90°,:.^BXDCXJBDP,

:.CtD=PD,即。是G2的中点，

故在△GA尸中，M,。分别为GA,GP的中点，

故可得MD〃AP,又MDu平面AC。，APz平面AC。，故AP〃面ACO.

【巩固练习4】如图，三棱柱ABC—ABC中，E,P分别是B|G和CC1的中点，点F在棱片瓦上,

且用歹=2人/，证明：AP〃平面EFC.

【答案】证明：连结PB1,交CE于点D,连结DF,EP,CB1,

因为E,P分别为B1C1,CC1的中点，故EP〃:CB1且EP=gcBl,

PD1A.F1

故而=5,又B1F=2,A1B1=3,故前=5，

所以FD〃A1P,又FDu平面EFC,A1P。平面EFC,

故A1P〃平面EFC；

【题型5】由面面平行得出线面平行

基础知识

本法原理：已知平面0〃平面/?,则平面分里的任意直线均与平面a平行

思路比较简单不过书写步骤会繁琐一些，一般不做第一选择

【例1】如图，已知三棱柱ABC-A瓦G为直三棱柱，招=48=24。,ABLAC,。为AC的中点.

证明：耳C〃平面BAQ

【简证】取4G中点

【例2】（2024•贵州贵阳二模）由正棱锥截得的棱台称为正棱台.如图，正四棱台ABCZ）一型笆自中,

E户分别为A。AS的中点，A8=244=4,侧面BBgC与底面ABC。所成角为45。.

求证：22〃平面AE尸；

【解析】连接、BR,由区产分别为AD,AB的中点，则EF//BD,

又所（2平面BBQ。，BDu平面BBIDR,故EF//平面BBRD,

正四棱台A8CD—AB1G2中，4与//AB且A4=^AB=BF,

则四边形A]FBB、为平行四边形，故&F/IBB、,

又平面BBQQ,BB]U平面8BQ。，故A尸//平面BBQ。，

又AFcE尸=尸，且4尸u平面AjEF,EFu平面AEF,

故平面AE尸〃平面BBQQ,又BRu平面BBQQ,故8£>"/平面人所；

【巩固练习1】（2024•广东深圳•高三深圳外国语学校校考开学考试）如图，多面体ABCD所中，四

边形ABCD为矩形，二面角A—CD—尸的大小为45°，DE//CF,CDYDE,AD=2,DC=3.

Cl）求证：BF7/平面ADE；

【解析】（1）证明：因为四边形ABCD是矩形，所以，BC//AD,

因为3Cu平面BCF,ADcZ平面BC尸，所以AD〃平面8c尸，

因为DE7/CF,CFu平面8c尸，平面BCF,所以DE〃平面BCT,

因为ADcDE=D,AD,DEu平面ADE,则平面8C尸〃平面ADE,

因为BFu平面所以，BF〃平面ADE.

【巩固练习2】（2024.四川达州・二模）如图，在直角梯形A8。中，AD//BC,ABLBC,

AB=BC=2AD,把梯形ABCO绕A3旋转至A3CQ,E,尸分别为AB,CC1中点.

证明：EF7/平面C^A；

【解析】证明：设2G中点为G,连接FG,EG,

vFG为△CGA中位线，FG//CD,,

又CRu平面C，A,尸G<Z平面C，A,

二尸G〃平面CRA,

EG为梯形ABC.D,中位线，EG//AD,,

又A£)[U平面CDjA,£G<Z平面CDjA,

二EG〃平面C2A,

EGC\FG=G,FGu平面£FG,EGu平面£FG,

平面EFG〃平面CRA,

EFu平面EFG,

〃平面CRA.

【巩固练习3】（2024•江苏南京•二模）如图，AD//BC,ADJ.AB,点、E、尸在平面ABCD的同侧,

CF//AE,AD=l,M=3C=2,平面47隹_1_平面488,EA=EC=b.求证：3/〃平面ADE；

【解析】因为CF//AE,CFC平面ADE,

所以CF〃平面ADE,同理BC〃平面ADE,

入BC,C尸u平面8CF,BCC\CF=C,

所以平面尸〃平面ADE,Mu平面ADE,

所以8尸〃平面ADE

【题型6】两个平面交线相关的平行证明

基础知识

两个平面交线相关的平行证明可以考虑补全图形得到交线，也可以先找一个线面平行，得出线线平

行来代换交线，原理是由线面平行得出线线平行

【例1】如图，四棱锥尸」2a力的底面为正方形，且小，面设平面24Z?与

平面勿0的交线为/证明：U/CB

【证明】证明：因为2及0为正方形，，13C//AP,

又；为力平面PAD,ZX平面84D.

二区勿平面PAD

又•.•密•平面PCB,平面力平面PCB=h

：.Ill(X>.

【例2】（2025高三・全国・专题练习）如图，AD〃BC且AD=23C,ADLCD,EG//ADS.EG^AD,

CDIIFGaCD=2FG,DG_L平面ABCZ）,D4=DC=OG=2,设平面BCT与平面EFG的交线为/,

求证：BC//Z；

［分析］由线面平行的判定定理和性质定理证明即可；

【详解】因为AD//3C,EGHAD,所以3C//EG,

又BC①平面EFG,EGu平面EFG,

所以3c〃平面EFG,又BCu平面BCF,平面BCFc平面所G=/,

所以3C7//.

【巩固练习1】在圆柱。。中，A3是圆。的一条直径，C。是圆柱。。1的母线，其中点C与A,2不

重合，是线段比）的两个三等分点，豆BM=MN=ND.若平面COM和平面C4N的交线为/,

证明：〃/平面ABD

【答案】证明见解析

【分析】利用三等分点得中位线可得线线平行，再应用线面平行判定与性质定理证明即可;

【详解】由BM=MN知M为BN中悬,又。为中点，

所以OMHAN,OA/<z平面C4N,ANu平面CAN,

所以〃平面CAN,又OMu平面COM,

由平面COA/Pl平面C4N=/,且Ce/,

故由线面平行的性质定理可得OMHI,

由点C与A,8不重合，可知Ce平面ABD,故平面A5D,

又OWu平面ABO,所以〃/平面ABD.

【巩固练习2】（2025高三・全国•专题练习）如图，在三棱柱ABC-中，AC=BC,A,C=A.B,

侧面BBC。为矩形.记平面48。与平面ABC交线为/,证明：AC//1；

【答案】证明见解析

【分析】根据AC〃平面A8G,进而根据线面平行的性质即可求解.

【详解】因为在三棱柱A8C-A4G中，AC//AG,

由于ACa平面A8G,4GU平面ABC],

所以AC〃平面ABG,

又因为ACu平面ABC,平面A5CPI平面A^G=/,

所以AC〃/

【巩固练习3】如图，四棱锥P-ABCD的底面为平行四边形，设平面B4D与平面尸3c的交线为加,

加山分别为尸6,45的中点.

⑴求证：MN//平面B4D；

⑵求证：BCHm.

【答案】（1）证明见解析

⑵证明见解析

【分析】（1）取尸。的中点E,利用中位线的性质先证明四边形AWE为平行四边形，由线线平行

证线面平行即可；

（2）利用线线平行先证线面平行，再由线面平行的性质证线线平行即可.

【详解】（1）

因为M,N分别为PC,AB的中点，底面ABC。为平行四边形,

则£M=LOC=LAB=A7V,且EM//DC//AN,

22

所以四边形4VME为平行四边形，网MNUAE,

显然AEu平面PAD,AW平面PAD,

贝UM2V〃平面PAD：

(2)易知AD//BC,BCo平面上4£>,ADu平面R1D,

所以3c〃平面PAD,

又BCu平面PBC,平面PAD与平面尸8C的交线为m,

所以BCHm.

【题型7】证明线线平行

基础知识

利用线面平行和面面平行证明线线平行

【例1】如图，平面ABCDBP〃平面AOE,CF//AE.求证：AD//BC.

【解析】CF//AE,CF<z平面A£)£,AEu平面ADE,CF〃平面ADE.

•••BFH平面ADE,BFcCF=F,3F,u平面BCF,

平面ADE〃平面BCE

又平面ADECl平面AB8=AD,平面Bbc平面ABCE>=BC,

/.AD//BC.

【例2】如图，直四棱柱ABC。-44GA被平面a所截，截面为CDEF,且旅=。。,

DC=2AD=4A,E=2,ZA£）C=二，平面£FC£）与平面ABCD所成角的正切值为《百.证明：AD//BC.

33

【解析】在直四棱柱A/CD—A5GR中，平面ABCD//平面A4CQ1,

平面A5CDna=CD,平面44cl2c。二石尸，财EF//CD,

而C.DJ/CD且CR=CD,又EF=CD,因此CR//EF且CR=EF,

则四边形EFCQ、是平行四边形,所以AR//BC,又A.DJ/AD,BC//BG,

所以AD〃BC.

【巩固练习1］如图所示，圆台的上、下底面圆半径分别为2cm和3c为圆台的两条不同的

母线.9，。分别为圆台的上、下底面圆的圆心，且△045为等边三角形.求证：A.BJ!AB.

B

【解析】证明：•.•圆台可以看做是由平行于圆锥底面的平面去截圆锥而得到，

所以圆台的母线也就是生成这个圆台的圆锥相应母线的一部分.

母线M与母线BB］的延长线必交于一点，「.A,A，B，4四点共面.

•圆面«//圆面O,且平面n圆面Q=4四，平面ABBJAp|圆面。=AB.

ABJ/AB.

【巩固练习2】（2024・甘肃•一模）如图，空间六面体ABCDEFG”中,AQ/ABC,E/////G,

ZBCD=ZFGH=90°，平面ABCD〃平面EFGH,CDHG为正方形，平面HDCG±平面

ABCD,AD=FG=2EH,BC=3EH.求证：AE//BF；

【解析】AD//8C,A。O平面BCGF,BCu平面BCGF,

AD//平面BCG产.

•;CDHG为正方形,:.HD//CG,

同理可得印）〃平面3CG尸.

•jADcHD=£>,ADu平面AD/ffi,HDu平面ADHE,

•••平面ADHE//平面BCGF.

平面ADHEc平面ABFE=AE,

平面BCGFc平面ABFE=BF,

,-.AE//BF.

【题型8】通过平行证明四点共面

基础知识

通过线线平行得出四点共面

【例1】如图，在直三棱柱ABC-44G中，ABJ.AC,AAl=AB=AC=2,M,N,P分别为AB,

BC,A4的中点

(1)求证：BP〃平面C]MV；(2)求证：P、M、C、C]四点共面;

【答案】(1)证明见解析

⑵证明见解析

【分析】(D先证MMG，A四点共面，再证明〃跖4],由线线平行得到线面平行.

(2)连接GR尸M，MC,结合条件可证PM〃GC,从而证明.

连接因为M,N分别为A3,BC的中点，所以MN//AC

在三棱柱ABC-4与£中，AC//AG.所以肱v//4G，M,N,C]，4四点共面.

因为A3//4耳,=M,尸分别为A3,44的中点，所以四//4尸，BM=\P.

所以四边形8MAp为平行四边形.

所以5尸//MA.因为BPu平面GMN,MA]u平面CjMV,

所以BP//平面C[MN.

连接GP,PM,VC,因为ABC-4耳£为直三棱柱，且尸,M分别为A耳,AB的中点，

所以尸〃〃44),又叫//CG,所以PM//CC],所以p、M,C、C]四点共面.

【巩固练习11(2024•内蒙古包头.一模)如图，在四棱锥尸-ABCD中，PC,平面ABC。，AB//CD,

点E在棱PB上,PE=2EB,点/，〃是棱B4上的三等分点，点G是棱PD的中

-2；—

点.PC=CB=CD=mAB=2,AC=旧.

证明：加〃平面CPG,且C,E,F,G四点共面；

【分析】由中位线得尸G〃加，结合线面平行的判定定理即可证得加〃平面CFG,要证C,E,

F,G四点共面，只需CE〃FG,只需CE〃HD,连接HE,结合条件证明四边形"ECD是平行四

边形即可；

【详解】（1）因为£G分别为的中点，

所以FG〃HD,

又FGu平面CFG,HDe平面CFG,

所以印）〃平面CFG.

连接HE,在AJR4B中，=\=_^_=2,

EBHA

2

所以HE〃AB,JLHE=-AB,

9

因为AB〃CD,CD=-AB,

所以CD=HE,且CD〃HE,

所以四边形HECD为平行四边形.

所以CE〃HD,

又FG〃印九所以CE〃FG,

故C,E,F,G四点共面.

【巩固练习2】如图，多面体ABCGDEF中，AB,AC,AD两两垂直，平面ABC//平面。石尸G,平

面BEF//平面ADGC,AB=AD=DG=2,AC=EF=1.判断点B,C,F,G是否共面，并说明理

由.

【详解】取DG中点P,连接PA,PF,如图示:

在梯形EFGD中，FP//DE且FP=DE.

又AB〃DE且AB=DE,AB〃PF且AB=PF

...四边形ABFP为平行四边形，/.AP//BF

在梯形ACGD中，AP//CG,；.BF〃CG,

B,C,F,G四点共面.

【巩固练习3】如图，在长方体ABC。—A4GR中，点E,尸分别在棱OR,8耳上,2DE=ED1,

BF=2FB1,证明：点G在平面内.

【解答】证明：在24上取点A7,使得4/V=24V,连接文及M%,它,

在长方体41瓦G2中，有〃44〃氏%且72=2Zi=BB、.

又2DE=ED\,A\M=2AM,BF=2FB\,：.DE=AM=FB\.

...四边形夕144M口四边形印4A7都是平行四边形.

AF//A/3,且AF=“且AP=ME.

又在长方体2夕々?一43C4中，有27〃AC，且AD=BG，

：.J3\C\"ME旦BC/ME,则四边形44瓦”为平行四边形，

必//〃及,且必=MB\,

火AFHMB4AF=MB\,：.AFUEC4AF=EC^

则四边形2/^E为平行四边形,

...点G在平面2少内

【题型9】平行关系的应用：等积变形求体积

基础知识

等积变形求体积，即形状改变但体积不变。通过计算变形前后的体积相等

【例1】已知正方体ABC。-ABJGA的棱长为1,P是线段2。上的一个动点，则三棱锥4-PG。的

体积是否为定值？请说明理由

【答案】是定值

【详解】根据正方体的性质可知，CDII'B”且C£>=4与，

所以，四边形为平行四边形，则4C〃A。.

因为AQu平面A£D,B|CcZ平面AG。，

所以，4C//平面AGD.

文PeB、C,所以点尸到平面的距离为定值.

又△AG。的面积确定，匕1一尸G。=Xp-acQ,

所以，三棱锥A-PG。的体积为定值.

【例2】如图，在棱长为2的正方体A3CO-中，M,N,尸分别是G2,QC,的中点,

则三棱锥尸-MVB的体积为

【答案】|

【详解】易得DF"BN,因为。尸平面MNB,MNu平面MNB,

所以£)]P//平面MNB,所以Vp_MNB=VD、-MNB==3乂/*1*1义2=3

【例3】（多选）如图，在正方体A3CD-A4GA中,朋二行1为线段BG上的动点，则下列说法正确

的是（）

A.B.D±\P

B.DP〃平面

C.三棱锥尸-AC，的体积为定值及

D.AP+PC的最小值为出+1

【答案】ABD

【分析】对于A,由线面垂直的判定定理证明BpI平面ABC1即可;对于B,根据面面平行的判定定理

证明平面B£）G//平面4与2即可;对于C,根据线面平行将点尸到平面ACQ的距离等于点8到平面

ACDJ的距离，再利用等体积法求解即可;对于D,将平面ABG和平面BCG沿直线3G展开为一个平

面，利用余弦定理求解即可判断.

【详解】对于A,连接4尸,4氏B\D,与C,如图:

CDJ_平面BCC百，BQu平面BCQB,,

:.CD±BCX,

又BC\±BXC,B{CQCD=C,8]Cu平面BtCD,CDu平面BXCD,

BCX平面B©D,

:BQu平面B[CD,

BCJBQ.

连接4A,同理可得AB，BXD,

ABcBG=B，ABu平面AlBCj,BCXu平面AiBCl,

BQ，平面ABG,

vA]Pc平面ABq,

故A正确；

对于B,连接BQCp,如图:

AB"C\D\,AB=GD\,

四边形A8GR为平行四边形，

:.ADJ/BC],

•.­Bqu平面BDG,AD】u平面BDC],

A。1〃平面BDC],

同理四边形AOGg为平行四边形，

/.ABJ/DC,,

•/DC】u平面BDCX,ABX(Z平面BDC1,

:.ABJI平面&)G,

AB】cADX=A,Agu平面ABXDX,ADXu平面ABXDX,

平面BDC】//平面AB[D],

,/DPu平面BDC1,

・•・DP〃平面A42,故B正确；

对于C,如图：

由B知A£)i//3£,

QADXu平面ACD1,BC[(Z平面ACDX,

区。"/平面4。2,

•・.点?到平面AC。]的距离等于点5到平面AC。1的距离,

11

^P-ACD,=^B-ACD,=0-ACB=]X夜X应X0=—

【巩固练习1】在正方体ABC。-ABCA中，E为8瓦的中点，点尸满足丽=4国'，2e[0,l],

则三棱锥P-A2E的体积与X的值是否有关？请说明理由.

【答案】无关

【详解】因为在正方体ABCD-ABGA中，AB〃G2且AB=GQ,

所以四边形ABG2为平行四边形，因此BCJ/A2,

又BC[<Z平面AED1,AD]u平面AEDt,所以BC1〃平面AED,,

因此棱Bq上的所有点到平面AE。]的距离都相等，又尸是棱BG上的动点,

所以三棱锥尸-AE2的体积始终为定值

【巩固练习2】如图，在棱长为2的正方体A8CD-44GA中，点E,尸分别为棱GR的中

点，三棱锥3-AEF的体积为

【答案】f2

【详解】正方体中有,ABu平面ABE,AGO平面ABE,AG〃平面ABE,

====

^B-AEF^F-ABE^I\-ABE^B-AEDl^VAED,，AB=§X5X1X2X2=§,

2

即三棱锥3-A即的体积为-

【巩固练习3】如图，在棱长为2的正方体ABCO-中，点P在平面内