2025年高考数学一轮复习：对数与对数函数（八大题型）（练习）解析版

第05讲对数与对数函数

目录

模拟基础练.....................................................................2

题型一：对数式的运算..........................................................................2

题型二：对数函数的图象及应用..................................................................3

题型三：对数函数过定点问题....................................................................5

题型四：比较对数式的大小......................................................................6

题型五：解对数方程或不等式....................................................................8

题型六：对数函数的最值与值域问题..............................................................9

题型七：对数函数中的恒成立问题...............................................................11

题型八：对数函数的综合问题...................................................................15

重难创新练....................................................................18

真题实战练....................................................................29

题型一：对数式的运算

1.若3"=12,b=logJ2,贝!!▲+：=______.

ab

【答案】1

【解析】因为3"=12,所以"=log312,

1111

所以1—=----1-----=log123+log124=log1212=l.

「八八ablog312log412

故答案为：1.

2.(2024・陕西安康・模拟预测)若log312=x,logJ2=y,则,+,=.

1y

【答案】1

log121

【解析】因为log"一'l°gJ2=y,所以行旬]?log1212_1

log124log124

所以工=log]，3,-=log124,

x-J

因止匕，-+--log123+log[?4=log]?(3x4)=1.

xy

故答案为：1

3.求值：

(l)(log43+log83)(log32+log98)；

0251Ofo3

(2)8x^/2+log510——!——2

log25

【解析】(1)原式=

]113

10&3355

(2)8°3x啦+log510------------2=(2)X2+log510-log52-3=21^+log55-3=0.

log25

2

4.(2024•河南关洲•三模)已知log«b+41og/=4,则幺的值为

2b

【答案】:/0.5

【解析】因为log»+41og/=4,

4

所以。/+谑7=4,可得（log，）9--41oga+4=0,

即（log*-2『=0,

所以log“b=2,即〃=匕，

所以《

2b2a②2

故答案为：y.

题型二：对数函数的图象及应用

5.（2024・高三•山东潍坊•期中）已知指数函数y=",对数函数y=log/的图象如图所示，则下列关系成

C.0<Z?<l<tzD.。<0<1<6

【答案】B

【解析】由图象可得，指数函数y为减函数，

对数函数y=log/,%为增函数，

所以

即

故选：B

6.已知函数>=。"和y=ln%的图象与直线y=2-x交点的横坐标分别〃，b,则〃+b=（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】作出函数〉=二和y=ln%的图象以及直线y=2-九的图象，如图,

由函数y=^和丁=1门的图象与直线尸2-彳交点43的横坐标分别为。，b,

由题意知A(a,e"),B(b,lnb),也即A(a,2-a),B(b,2-6),

由于函数丫=^和y=ln尤互为反函数，

二者图像关于直线y=x对称，

而4,8为丫=^和y=ln尤的图象与直线y=2-x的交点，

故A,8关于y=x对称，

故。=2—仇.•.〃+0=2.

故选：B.

7.如图所示的曲线分别是对数函数y=log“x,y=log/,y=logcx,y=logM的图象，则。，b,c,d,

1,0的大小关系为(用“>”号连接).

【答案】b>a>l>d>c>0

【解析】由题图可知b>l,0<c<l,0<J<1.

直线>=1与四个函数图象交点的横坐标从左向右依次为C,d,a,b,

故答案为：b>a>l>d>c>0

8.(2024・浙江绍兴・模拟预测)若函数〃力=1。82|。+耳的图象不过第四象限,则实数。的取值范围为

【答案】［1,W)

【解析】函数〃力=1幅|4+乂的图象关于尤=-“对称，其定义域为｛小~4，

作出函数/(x)=log2|a+x|的大致图象如图所示,

由图可得，要使函数〃x)=bg2|a+x|的图象不过第四象限，

则y(o)；o,即呼1猿0,解得心1,

所以实数。的取值范围为［1,+8).

故答案为：［1,+8).

9.(2024・云南昆明.模拟预测)已知七是函数/(x)=xlnx—2024的一个零点，巧是函数g(x)=xe-2024的

一个零点，贝!1西•尤2的值为()

A.1012B.2024C.4048D.8096

【答案】B

【解析】由/(%)二%山%—2024=。得ln'=公202上4，由8⑴=皮—2024=0得e、='20空24，

xx

(2024、(2024、

设点A的坐标为/——，点5的坐标为％2,——，

IXiJkX2J

又y=Inx与y=S的图象关于直线y=%对称，且y=32024的图象也关于直线y=x对称,

X

20242024

则点A,8关于直线y=X对称，即_瓦;-2024,,得可飞=2024,

^AB—1

x2—xlXxX2

故选：B.

题型三：对数函数过定点问题

10.函数/(x)=log“(x—l)+2(a>0,owl)的图像恒过定点()

A.（3,2）B.（2,1）C.（2,0）D.（2,2）

【答案】D

【解析】对于函数/(x)=log“(x—1)+2(0>0,。/1),令X—1=1,解得x=2,

所以/（2）=log/+2=2,即函数/（耳=108,（》-1）+2（。>0,。71）恒过点（2,2）.

故选：D

11.函数/（幻=108“。+加）恒过定点（-2,0）,则加的值（）

A.5B.4C.3D.2

【答案】C

【解析】由函数/«=log”（X+附恒过定点（-2,0）,可得log,,（-2+ni）=0,

所以-2+机=1,解得m=3.

故选：C.

12.函数丁=1。8“（4+X）+4（。>0,。片1）的图象恒过点「，若角a的终边经过点p,贝|cosa=（）

A-B..3c.1D.-1

5555

【答案】B

【解析】令4+x=l,则冗=Ty=4,即P（-3,4）,

-33

所以M布r。

故选：B.

题型四：比较对数式的大小

i1111

13.（2024•宁夏银川•二模）若a=log「人@）3c=iogJ,d贝lj（）

434

A.a>b>d>cB.a>b>c>dC.b>d>a>cD.a>d>b>c

【答案】A

4

【解析】因为a=log；=log3>log；=1,Qj<QJ=；<b<1,

log3a<logs1=0=>C<0,

所以〃>b>d>c.

故选：A.

14.（2024・山东聊城•三模）设〃=log49,b=log25,c=3ig34,则〃也c的大小关系为（）

A.b>a>cB.b>c>aC.a>b>cD.c>b>a

【答案】A

【解析】因为函数y=bg?x在定义域上单调递增，

^b=log25>log23=log49=a>log22=1,

又C=31-1Og34—31°g3J-|og34=34=二<]

--~4

所以b>a〉l>c.

故选：A

15.（2024・安徽•三模）已知a=eA3,Z7=ln（e7i-2e）,c=7i-2,贝!J（）

A.b<c<aB.b<a<cC.c<a<bD.c<b<a

【答案】A

【解析】由。=6♦,6=111（671—2e）,

即°=e（"T）T,人=m（en-2e）=ln（7i-2）+l,

令/（x）=e*T-x（x>l）,

则/'（x）=-1>0在（1,w）上恒成立，

故〃x）在（1,+8）上单调递增，

则有;'（兀-2）=e（"-2）T_（兀一2）>/（1）=0,即a>c,

令g（x）=lnx-x+l（x>l）,

则，（力=；-1=?<0在（1,+8）上恒成立，

故g（x）在（1,+8）上单调递减，

贝!1有g（7i-2）=ln（7i-2）+l-（7i-2）<g（l）=0,即b<c,

i^b<c<a.

故选：A.

16.（2024・云南・模拟预测）已知函数/（0为区上的偶函数,且当小々«-8,0），工户当时，"^9^^>°，

02

若a=flogl3,^=/（0.5）,c=/（sinl）,则下列选项正确的是（）

I2）

A.c<b<aB.b<c<a

C.a<b<cD.c<a<b

【答案】C

【解析】当玉,马4-8,0）时，所以/⑺在（-%,0）上单调递增；

又有“X）为R上的偶函数，所以“X）在（0,+8）上单调递减.

由于我们有log??>1（^2=1=0.5°>0.5°2=0于>0,49842V=（0.875）?=0.87>^=sin>sin1>0,

0202

即log23>O.5->sinl>0,故/（log23）<f（O.5）</（sinl）.

/、

02

而“=/k>g23=/（-log23）=/（log23）,Z>=/（0.5）,c=/（sinl）,故"6<c.

I2）

故选：C.

17.（2024.全国.模拟预测）已知。=log/0.6,b=o.5°-6,c=2cos222.5°-b那么b,c的大小关系为

（）

A.b<c<aB.a<b<cC.a<c<bD.b<a<c

【答案】B

91-11

【解析】因为（0.6）>0.3,所以06〉03“贝1Ja=log（）.3。,6<logo,3=—，即。<。<不，

*22

0.5<b=Q.5°6<0.5°5=—,^\i-<b=—,

222

c=2cos222.5°-1=cos45°=>故a<b<c

2

故选：B

题型五：解对数方程或不等式

18.（2024・高三・上海虹口•期中）方程1。82（3》+4）=3的解为彳=.

41

【答案】|/11

4

【解析】由题，log2（3x+4）=log28n3x+4=8=>%=§.

4

故答案为：—.

19.关于1的方程甲-2兀=2的解为.

【答案】％=1

【解析】由4，-2，=2可得（2，『_2-2=0,即（2工+1）（2=2）=0,

因为2工>0，可得2*=2，故x=L

所以，方程关于无的方程4工一2,=2的解为x=L

故答案为：x=l.

20.不等式log2X+log4X<3的解集.

【答案】{x|0<x<4}

【解析】bgm=L7=ji°g2x，

log,42

3

故原不等式化为辛。g?尤<3,

gpiog2x<2Mlog24,解得0<x<4,

所以不等式的解集为{x10<x<4}.

故答案为：{x|0<x<4}

21.不等式logz（xT）<l的解集为.

【答案】（1,3）

【解析】因为log式,jl!jlog2（x-l）<log22,

.-.0<x-l<2,即l<x<3,故解集为（L3）.

故答案为：（1,3）.

Jx-3

22.不等式NO的解集为

logz(x—2)—1

【答案】（4,+◎

\lx-3

【解析】由却可得］腕2（尤-2）-1>0

log2(x-2)-l

\x>3fx>3

解得

即|log2(x-2)>l^[x-2>2x>4,

所以不等式的解集为（4,+8）.

故答案为：（4,+oo）

23.不等式loga（2%+3）>loga（5x-6）,（a>l）的解集为

【答案】4,3）

【解析】因为。>1,可得对数函数y=log。％为单调递增函数,

2%+3>0

5X-6>0,解得：即原不等式的解集为

则原不等式等价于<x<3,4,3).

2x+3>5x-6

故答案为：（|,3）.

题型六：对数函数的最值与值域问题

24.logjx?+l)+bg9(二+41的最小值为.

【答案】1

【解析】(尤2+1)［，+4)=1+4+4苫2+：丁5+2小4/•-^=9,

当且仅当4/=二，即时，等号成立，

x4

22

log9(x+1)+log9+4^=log9(^+1)^+4^>log99=l,

故l°gg(x?+l)+10g9+的最小值为1.

故答案为：L

25.已知对数函数y=log“Ma>l)在区间［L2］上的最大值比最小值大1,则•=

【答案】2

【解析】由已知可得，函数y=log.Ma>D在区间［L2］上单调递增.

又对数函数y=log。x(«>1)在区间［1,2］上的最大值比最小值大1,

所以，logfl2-logfll=loga2=l,解得4=2.

故答案为：2.

26.函数yT°gj(X+2)-X2,XG［2,6］的最大值为.

2

【答案】-6

【解析】由题意，知"“在［2,6］上单调递减，yTog^x+2)在［2,6］上单调递减，

故y=log.(X+2)-必在［2,6］上单调递减，

2

则当X=2时该函数取到最大值log2(2+2)-2?=-6,

2

故答案为：-6

27.设函数/(x)=log〃(尤-3)+l,(a>0且awl).

⑴若"12)=3,解不等式/(元)>0；

(2)若/(x)在［4,5］上的最大值与最小值之差为1,求。的值.

【解析】(1)由解12)=3可得log式12-3)+1=3,解得a=3,

即/(x)=log3(x-3)+l,(x>3),则/(x)>0,gpiog3(x-3)+l>0,

x>3J。

即<1x>—,

%—3〉—3

I3

故不等式/«>0的解集为母+均；

(2)由于Ax)在［4,5］上的最大值与最小值之差为1,

故|logfll+l-(loga2+1)|=1,即|loga2|=l,:.a=2或a=g,

即。的值为a=2或a=1.

2

28.已知函数/(x)=log“(l-x)-log“(6+x)+〃？(a>0且awl)为奇函数.

⑴求函数“X)的定义域及解析式；

⑵若xe,函数〃x)的最大值比最小值大2,求。的值.

,、\1-x>0

【解析】⑴要使函数/(无)有意义，则…>0,可得：-b<x<l,

因为/(x)为奇函数，所以—6+1=0,即6=1,所以Ax)的定义域为(-U),

由/(0)=0可得：m=0,所以f(x)=log.(l-x)-log/l+x),

此时/(-X)=k)ga(l+X)-g(1_耳=-〃耳,/(X)是奇函数,符合题意.

(2)/(%)=log“(l-x)-loga(1+x)=log”==logf-l+1,

①当。>1时，函数y=/(x)单调递减，

131

所以/Wmax=/(--)=bga-T0g0-=kg”3,

1131

/(尤)min=/(2)=log"2T°g。2=l°Sa3'

3lo

所以/Wmax-/(x)mm=l°ga-3।=ga9=2，

解得a=3.

②当Ovavl时，函数》=/(九)单调递增，

1131131

所以/@)max=/t)=lOga万Toga-=log<z.=于(一力=log.~~log«­=log«3，

乙乙乙D乙乙乙

lo103lo2

所以/Wmax-/Wmin=gfl1-§«=ga-=>

解得"=；.

综上，或4=3.

题型七：对数函数中的恒成立问题

29.已知函数〃x)=x2-4x+10,g(x)=2，+log2(x2+12)+7，-3"7,若对任意％e[0,4],总存在赴e[2,4],

使〃石”8仁)成立，则实数加的取值范围为.

【答案】口,2]

【解析】对任意王e[0,4],总存在马©[2,4],使/&)2g(%)成立，

对为e[0,4],冬e[2,4]J&需Ng(%需成立

♦."(工)=幺_4彳+10=(刀_2)2+6,:.当&e[0,4]时，/(石)=/(2)=6,

g(x)=2工+log2(炉+12)+疗-在[2,4]上是增函数，

222

当X,e[2,4]时，g(无2).=g(2)=2?+log2(2+12^+m-3m=m-3m+8,

6>m2-3m+8,.\m2-3m+2<0,.,.(7n-l)(/i7-2)<0,.,.l<m<2,

故实数加的取值范围为口,2].

故答案为：[1,2].

30.已知函数/(x)=log“(at+9-3a)(a>0且a*1).

(1)若/(%)在[1,3]上单调递增，求实数。的取值范围；

⑵若〃3)>0且存在％43,+«)),使得/(%)>2晚40成立，求。的最小整数值.

【解析】(1)由函数〃x)=log“(ax+9—34),设g(x)=(u+9—3a,

由a>0且。工1,可得函数g(x)在[1,3]上是增函数，所以

又由函数定义域可得g(l)=9-2a>0,解得”■!，

所以实数〃的取值范围是

(2)由/(3)=log,9>0,可得a>l,

又由/(%)>21ogflx0,可得logfl(«x0+9-3a)>log“片,

所以ax。+9—3a>即a>/+3,

因为存在毛w(3,+co),使得/(Xo)>21og“xo成立，可得a>6,

所以实数。的最小整数值是7.

31.已知函数/(x)=log3x+加Jog,.3,x>0且尤Hl.

⑴若m=-3,求方程/(X)=2的解;

(2)若对Vxe(l,+8),都有/(X)>4〃L2恒成立，求实数机的取值范围.

【解析】(1)

令r=log3x,则Iogx3=；,

3

当"z=—3时，〃x)=2等价于——=2,即/一2"3=0,

t

得。+1)"3)=0,有=I或t=3,

贝l]log3X=_l或log3X=3,所以无=：或彳=27.

(2)法一：令f=log3X,由xe(l,+oo),得feQ+w),

依题意得,+詈4吁2恒成立，因为/＞0,所以r+(2-4〃力+心0在任(0,+8)上恒成立，

令g«)=d+(2—4"1)/+加，对称轴.=—4^^=2加一1,

①当2m一1W0时，即机工；,且⑺5＞g(0)=M，得mNO.所以0W机＜1.

②当2加一1＞0,即m＞4，g。).=g(2m-l)=-4m2+5m-l＞0,得,＜相＜1.所以,＜机＜1.

,\/min\/42

综上所述，抑的取值范围为[0,1).

法二：令r=log3X,由xe(L+co),得te(0,+oo),

依题意得/+半＞4机-2恒成立，令g«)=f+：,

①当机＜0时，易知g⑺在(0,+8)上单调递增，且当f-0时，g(f)-T»,

所以此时g⑺没有最小值，即不存在m＜0使得不等式t+-＞4m-2恒成立.

t

②当m=0时，易知g«)在(0,+s)上单调递增，故g(0)24机-2恒成立，解得加V；,

即当加=0时，不等式/+'＞4〃?-2恒成立.

t

③当机＞0时，由基本不等式得g(f)=/+亍22而，当且仅当公疝时取等号，

要使原不等式成立，须使2诟＞4根-2恒成立，解得。〈机＜1

综上所述，机的取值范围为。1).

法三：令/=1083无，由xe(l,+8),得三(0,+8),

依题意得/+：＞4m-2恒成立，因为t＞0,所以〃z(4f-l)＜/+2r在fe(0,E)上恒成立，

由，£(0,+8),得4，—1£(―1,+8),

111Q

①当时，。＜77+彳=77恒成立，meR;

416216

②当re(o,；),4r-le(-l,0),所以相＞£片在fe(O,：)上恒成立，

令人⑺6=41«一1,0),

p+lYb+l

则为⑴=皿)=〔"尸/5+2"1+劝+8,心2+10］，

'，'，b16b16{b)

F(b)在泰(-1,0)上单调递减，所以/。)1mx<F(-l)=0,

所以〃止。，加的取值范围为［0,+8).

③当re］；,+8),由一1«0,+8),所以根<缶彳■在f©］；,+(%>|上恒成立,

人，/、t+2t

令卜8=-----6=4r-l«0,+8),

')4/-1

则〃⑺=尸0)==1,

9,、

当且仅当6=丁即6=3,t-1,x=3时等号成立，即/仅)1111n=1，

所以加<P。)1n^=1,机的取值范围为(-00,1)

综上所述，机的取值范围为［。,1).

32.已知函数〃x)="4^'+为1奇函数

(1)求实数。的值；

(2)判断函数/(X)的单调性并证明；

⑶设函数g(x)=log2，bg［+根，若对任意的玉©［2,8］,总存在9e(O,l］,使得g&)=〃％)成立，求

实数机的取值范围.

【解析】(1)由已知函数需满足4*+4/0,当时，函数的定义域为R,

函数〃x)=4+1为奇函数,所以/(-x)=-/(x),

即上土1=一£±1在R上恒成立，即(°+1乂4'+1)=0,a=-l(舍)，

4-'+。4'+。八'

00

当.<0时,xlog4(-«),函数的定义域为(-8,log4(-a))U(log4(F)，+)，

又函数=为奇函数，所以log4(-a)=0,a=-1,

此时〃到=亨，函数定义域为(-“,o)u(o,y),

4—1

xX

/(—x)=A~+m4-1=±4：-1-1=—/a),函数为奇函数，满足，

，\)4-1-4+1v7

综上所述：a=-l；

(2)/(%)在(-双。)和(0,+8)上单调递减，证明如下:

/(%)=£±l=i+-2_,定义域为(-”,o)u(o,+w),

设V%,%2£（°，+°°），且玉＜X2，

则〃X1）T（/）/1+上丫1+口]=/（4：叫

（4为-口I4也-J（4软一1）（4,2T

因为冷9W（0,+co）,且占＜々，所以43-1＞0,4也一l＞0,4'2-4*＞0,

所以“不）＞/（马），所以〃x）在（。，+8）上单调递减，

同理可证，所以/'（x）在（-/,0）上单调递减；

（3）函数“X）在（-8,0）和（0,+8）上单调递减，

且当xe（fo,0）时,/（x）＜0,当xw（0,+oo）时,/（x）＞0,

无2«0』时，/（%）＞/（1）=|,所以当xe（O,l]时/⑴的值域A=|,+«）

Xg（x）=log21-log2：+机=（log2x—l）（log2x-2）+m,xe[2,8],

设t=log2Xje[1,3],贝！Jy=（/-1）（力一2）+机=r—3t+2+m,

31

当/=一时，取最小值为-■7+根，当无=3时，取最大值为2+机，

24

即g（x）在xe[2,8]上的值域8=~+m,2+m,

又对任意的％e[2,8],总存在当€（0』，使得8（不）=/仇）成立，

1593「23、

即所以-工+小得，解得机书，即优e—,+»I.

题型八：对数函数的综合问题

33.设方程2*+x+3=0和方程1鸣*+苫+3=0的根分别为P，q,设函数〃x）=（x+p）（x+q）,则（

A./（2）=/（0）＜/（3）B./（0）=/（3）＞/（2）

C./（3）＜/（2）=/（0）D./（0）＜/（3）＜/（2）

【答案】B

【解析】由2*+x+3=0得2*=-尤-3,^log2x+x+3=0^1og2x=-x-3,

所以令y=2",y=log/,y=-x-3,这3个函数图象情况如下图所示：

设>=2*,了=-尤-3交于点8,y=log2X,y=-x-3交于点C,

由于y=2工,y=log2x的图象关于直线N=x对称,

x的交点为人]!"-胃，所以一3

而,=_尤_3,，=

2

注意至U函数/(x)=(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq的对称轴为直线x=-^|^,即x,

且二次函数/(x)的图象是开口向上的抛物线方程，

从而/(。)=/(3)>/(2).

故选:B.

34.(2024.高三.河北邢台.期中)已知g(x)=log〃x(a>0,awl),且g(x)的图象过点(4,2),又/(x)=—g(x).

⑴若〃3彳-1)>/(—+5)成立，求x的取值范围；

(2)若对于任意xe[1,4],不等式恒成立，求实数加的取值范围.

【解析】(1)因为8(力=厩/3>0,。彳1)的图象过点(4,2),

所以g(4)=log,4=2,所以〃=4,因为

所以a=2,所以g(x)=log2”,又因为/("=招(0=-1。82户1。8户，

2

而/(尤)=logy在(0,+8)上单调递减，

2

由〃31)>/(_彳+5)可得：

3x—1>0,

所以<-%+5>0,解得工£(§,/),

3x_1<—x+5,

所以x的取值范围为

(2)因为〃2x)gm<0,

所以能>〃2x）g］力对于任意尤e［l,町恒成立等价于/（2x）gl,

1/LV，」max

因为y=/（2x）g匕）=Tog?（2x）log?:

2

=-（1+log2x）（log2x-2）=-（log2x）+log2x+2.

令〃=log2x,l<x<4,贝Ij〃£［0,2］,

所以y=―〃2+〃+2=_［〃_g）+%

11Q

当〃=5,即1呜％=5,即尤=应时，，max="

9

所以机

4

35.（2024・高三・安徽•期中）已知/（x）=log3（机、+1）-式机>0,且相。1）是偶函数.

（1）求机的值；

⑵若关于X的不等式!3/3-3［（6），+（6）-［+。40在区上有解，求实数。的最大整数值.

【解析】(1)函数/⑺定义域为R,由函数为偶函数，有了⑴于卜可，

A

即log3(机,+1)—x=log3(m-£+1)+x,贝I]有log3(m'+lj-logs[*+1]=2x,

%

即log3m=xlog3m=2x,log3m=2,所以m=9.

x

(2)由(1)可知，/(x)=log3(9+l)-x,

则3外)=严(9刊7==空=3*+37=_2，

设g⑺=g.34）-3］（研+（可〔+a=g㈣'+（可,*_1_3［（同+（退尸卜a,

依题意有8⑴由”。，

由基本不等式，网+网£小网网r=2,当且仅当（@，=（百/，即x=0时等号成立,

令（@'+（@r=f,贝巾⑺=9-3/+。一1（92）,有旗%”0,

由二次函数的性质可知在［2,3］上单调递减，在［3,y）上单调递增，

=/2（3）=|-9+a-l=a-y,贝l|有a—得

所以实数。的最大整数值为5.

2+工

36.(2024・上海徐汇•二模)已知函数>=/(无)，其中/(x)=log］-

2x—2

⑴求证：y=/(尤)是奇函数；

(2)若关于尤的方程Ax)Tog1(x+%)在区间［3,4］上有解，求实数％的取值范围.

2

2+x

【解析】(1)函数>=1叫3的定义域为。=(9,-2)52,用)，

在。中任取一个实数无，都有—xeD,/(-x)=log,=log,^|=log(f=-/U).

2-x-2万元+2八x—21

2+x

因此，y=iogi—是奇函数.

2x—2

(2)■/'(幻=1(^(*+左)等价于》+%=叶2即左=叶2-》=/--X+1在［3,4］上有解.

2x—2x—2x—2

记g(x)=/7-x+l,因为g(x)在［3,4］上为严格减函数，

x-2

所以，gCOmax=8⑶=2,g(X)mta=g(4)=T,

故g(x)的值域为［-1,2］,因此，实数Z的取值范围为［-1,2］.

1.(2024•高三•广西・开学考试)已知。=sin工6=2°」，c=lo及拒,则()

6

A.b>c>aB.b>a>cC.a>c>bD.a>b>c

【答案】A

TTJ

【解析】a=sin-=~,

62

因为2°<2°/<2、所以1<6<2,

H^jlog,\/2<log2A/3<log22,所以;<c<l,

所以6>c>a,

故选：A.

2.(2024・辽宁.三模)已知对数函数/(x)=log0x,函数/(元)的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标扩大为

原来的3倍，得到函数g(x)的图象，再将g。)的图象向上平移2个单位长度，所得图象恰好与函数的

图象重合，则。的值是()

A.-B.|C.逅D.73

233

【答案】D

【解析】因为将函数/⑴的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标扩大为原来的3倍，得到函数g(x)的图象，

所以g(x)=log0即g(x)=log”无一log,3,

将g(x)的图象向上平移2个单位长度，所得图象的函数解析式y=log“xTog〃3+2,

因为所得图象恰好与函数/(x)的图象重合，

所以-log〃3+2=0,

所以/=3,又a>0且

解得a=A/3，

故选：D

3.(2024•河北衡水•模拟预测)设a>0,awl,若函数〃尤)=+(正看一目是偶函数，贝此=

()

A.1B.-C.2D.3

22

【答案】D

【解析】/(无)=

]W+a)og,(，/+1一目的定义域为卜«w0},关于原点对称，

一\((a2-3)ax)\(yjx2+l-x\(ylx2+l+x]

故〃苫)-1\_]+4厩“(衣

+l+x]=-------L—+alog,------------------------------L

>Ii-«xJ"VTTT-x

2x

((a-3)a)一\(Q2—3)优/[\

-1jJ+«log/Jx+1x)-'优_；+al°g”('尤+1x)-/(尤)

\7

2x

(a-3)a)/I——2

1x)-[优+a^loga^x+lx),

所以一一alogah/.r+

ci—1\

\7

,,(a2-3)aA-(a2-3),

故——』~——2=2an"—3=2a=>a=3或"=-1(舍去)，

ax-\

故选：D

4.(2024.全国.模拟预测)设函数/(尤)=a'lna+(l+a)，in(l+a),若〃“<0在(-/,0)上恒成立，则实数。

的取值范围是()

A—?<4铝）

【答案】B

【解析】易知〃>0,故牛+1>1,ln（l+〃）>0,/（%）〈。在（-8,0）上故成立,

等价于不等式（1+。）*In（1+a）<-/Ina即［一）<-5工）在左©（-/，°）上恒成立，

故IT1=l~~k^a）,（点拨：当“>。时，函数丁=［宁］在（一”，0）上单调递增，

则y<[等)=1,]na

所以

In(1+〃)

故ln(a+l)W-lna,即a(a+l)<l,又a>0,故0<aW正一1.

（V5-1

故实数。的取值范围是0,丫厂

I2

故选：B

5.（2024.江西萍乡.二模）已知“=华力=!，,="当，则这三个数的大小关系为（）

42ee2

A.c<b<aB.a<b<c

C.a<c<bD.c<a<b

【答案】C

■Ah_LL.Ar（\1nxrfi\2—21nx

【解析】令〃x）=五"（同=后尹，

所以/'（X）在（O，e）上单调递增，在（e,+8）上单调递减,

22

因为C=2_ln2=lne2_ln2=lne5_lne5臼，

-e2-e2e2-e2~\1）

且。=("(4)S=(=〃e),

贝U/(e)>/[?]>7(4),即a<c<b.

故选：c.

6.（2024・福建莆田.三模）已知。>1,点P在曲线》=产上，点。在曲线工工也彳上，则归。|的最小值是

A.~^~aB.41aC.^^-(1+lnfl)D.^-(lna+1)

【答案】D

【解析】因为函数>=6"*与y=1ln尤=log.x互为反函数，

ae

所以y=y与y=Lnx的图像关于直线y=x对称，

a

所以|PQ|的最小值为点P到直线>=x距离的最小值的两倍.

L-e^l

设尸(%，%)，则|尸@=2史■丁」=拒(公哄—/).

设/(%)=夜卜%-%,r(x)=V2em»-也.

由_f(x)=O得尤=LnL

aa

当xeje-ln'］时，/'(尤)<0,/⑶单调递减；

Iaa)

当x/LnL+e］时，f\x)>0,/(%)单调递增，

\aaJ

所以〃尤：U=/L/］=S4n(ae),则|尸。|的最小值是也(lna+1).

\aa)aa

故选:D

7.已知/(无)是定义在R上的函数，则给定R上的函数/'(无)()

A.存在R上的函数g(x),使得/(g(x))=尤

B.存在R上的函数g(x),使得g(/(x))=x

C.存在R上的函数g(x),使得/(g(^))=g(无)

D.存在R上的函数g(x),使得了(g(x))=g(/(x))

【答案】D

【解析】对A,7(g(x))=x,两边同取反函数广，则g(x)=/T(x),

即晨尤)是“X)的反函数，不是所有的函数都有反函数，如y=