2025高考数学冲刺专项复习：数列（试卷+答案解析）

___________________^题叫数列

目录

易错点01忽略数列的定义域出错

易错点02由S.求an忽略n=\的讨论

易错点03等比数列问题忽略公比q的讨论

易错点04裂项相消法求和时漏项、添项或忽视系数而致错

易错点05错位相减求和错判项数、公比或符号出错

易错点01：忽略数列的定义域出错

般易错陷阱与避错攻略

典例（2025高三•全国•专题练习）数列｛%｝的通项公式为4=/-2观5=1,2,）.若｛%｝为递增数歹U,

则2的取值范围是（）

A.[1,+<»）B.[T'+jC（-00，1D.（一巩!^

【答案】D

【分析】由数列｛%｝的通项公式为«„=«2-2r如=1,2,），且｛氏｝为递增数列，所以凡<。用对于VneN*都

成立，即+；对于\/〃eN*都成立，从而求得参数的取值范围.

【详解】因为数列｛卬｝的通项公式为。“=〃2-2而5=1,2,），旦｛%｝为递增数列，

所以％<a„+l对于7nGN,都成立,

所以/-2/U<(〃+—+1)对于wN*都成立，即/-22M<n2+2/7+1-22n-22,

所以2彳<2〃+1对于都成立，所以+g对于V〃wN*都成立,

所以2<l+g=g,即彳的取值范围是,l1,

故选：D.

【易错剖析】

本题容易混淆数列｛4｝的定义域与函数/（%）=f—24x定义域的差异而得出2Vl出错.

【避错攻略】

1.数列的概念及一般形式

（1）数列的定义：按照一定次序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项，各项

依次成为这个数列的第1项（或首项），第2项……，组成数列的数的个数称为数列的项数。

（2）数列的一般形式可以写成4,a2,%，……，为，……，其中a“表示数列的第〃项（也称〃为%的

序号，其中"为正整数，即“eN+）,称为数列的通项。此时一般将整个数列简记为｛凡｝

【解读】与集合中元素的性质相比较，数列中的项的性质具有以下特点：

①确定性：一个数是或不是某一数列中的项是确定的，集合中的元素也具有确定性；

②可重复性：数列中的数可以重复，而集合中的元素不能重复出现（即互异性）；

③有序性：一个数列不仅与构成数列的“数”有关，而且与这些数的排列顺序有关，而集合中的元素

没有顺序（即无序性）；

④数列中的每一项都是数，而集合中的元素还可以代表除数字外的其他事物.

2.数列的通项公式

一般地，如果数列的第〃项a”与"之间的关系可以用出=/5）来表示，其中八"）是关于〃的不含其他未

知数的表达式，则称此关系式为这个数列的通项公式.

【解读】①数列的通项公式实际上是一个以正整数集N+或它的有限子集｛1,2,3,…，〃｝为定义域的函

数解析式.

②和所有的函数关系不一定都有解析式一样，并不是所有的数列都有通项公式.

③有通项公式的数列，其通项公式在形式上不一定是唯一的.

易错提醒：（1）从函数的观点看，数列可以看作是特殊的函数，关系如下表：

定义域正整数集N+（或它的有限子集｛1,2,3,…，«））

解析式数列的通项公式

值域由自变量从小到大依次取正整数值时对应的函数值构成

表示方法（1）通项公式（解析法）；（2）列表法；（3）图像法

（2）在处理数列的求值、分析数列的性质时一定要注意数列的定义域是离散的，不是连续的，故不能对数列

的通项公式求导.

举一反三

1.（24-25高三上•江苏徐州•阶段练习）函数〃尤）=］（：/）尤:7,若数列｛4｝满足%="〃），"eN*,

2

且｛4｝是递增数列，则实数。的取值范围是（）

A.B.g，3）C.（1,3）D.（2,3）

【答案】D

3—tz>0

【分析】根据题意可知分段函数在每段上为增函数，且了（8）>/（7）,列出不等式组，«>1,

a8-6>（3-tz）x7-3

解不等式组即可求解.

【详解】由题意可知分段函数在每一段上为增函数，且/（8）>/（7）,

3—tz>0

即<a>1,解得2<a<3,

/6>（3-a）x7-3

故实数a的取值范围是（2,3）.

故选：D.

2.（24-25高三上.河南•期中）已知函数了（力=f—南+l（6eR）,若％=/（〃）,则“6W2”是“｛%｝是递增数

歹U”的（）

A.充要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分又不必要条件

【答案】B

【分析】由/5+1）>/5）对“cN*恒成立求得6的范围，再与6W2比较即可得.

【详解】｛。“｝为递增数列oV〃eN*,a“+i>a“

oV〃wN*,（〃+l）2—b（n+1）+1V〃£N*,b<2〃+lo/?<（2m+1）1nhi=3,

而"W2”是2v3”的充分不必要条件

3.（24-25高三上•广东汕头•开学考试）已知数列%="一^^（"N*）,则数列｛%｝的前100项中的最小

项和最大项分别是（）

A.q,%00B.“45，〃44C.%5，4D.%4'"100

3

【答案】B

72024-72025

【分析】先化简%=1+(weN*),再借助函数的单调性分析得解.

“-J2024

12025n-V2024+V2024-720251।J2024-J2025

【详解】%=eN*)

n-si2024W-A/2024n-y/2024

因为44?<2024<452,

所以〃W44时，数列｛程｝单调递增，且。„>1；时，数列｛%｝单调递增，且4<L

,在数列｛。,｝的前100项中最小项和最大项分别是%5，44.

故选：B.

・易错题通关》

1.(24-25高二上•全国・课后作业)若数列｛%｝的通项公式为。“=4〃-5,则关于此数列的图象叙述正确的是

()

A.此数列不能用图象表示

B.此数列的图象仅在第一象限

C.此数列的图象为直线y=4x-5

D.此数列的图象为直线y=4x-5上满足xwN+的一系列孤立的点

【答案】D

【分析】根据数列的图象是直角坐标系里一个个散点，一一判定选项即可.

【详解】数列｛4“｝的通项公式为。“=4〃-5,

它的图象就是直线>=4尤-5上满足xeN+的一系列孤立的点，所以A、C错误，

当”=1时，4=7,该点在第四象限，

当〃22且〃eN+时，an>0,此时数列图象在第一象限，所以B错误.

故选：D.

2.(24-25高三上・甘肃天水•阶段练习)已知数歹式见｝的通项公式见=*-9〃-10,记S“为数列｛《｝的前〃项

和，若使S”取得最小值，则〃=()

4

A.5B.5或6C.10D.9或10

【答案】D

【分析】因式分解得到an=（"-1。）（"+1）,故当〃=10时，4o=。；当〃>10时，4>0,当1W〃W9时，。“<0,

从而得到答案

【详解】%="一9"—10=（"—1。）（〃+1）,

当”=10时，%o=。；当〃>10时，a„>0,当1W〃W9时，a„<0,

故当〃=9或10时，S,取得最小值.

故选:D

3.（24-25高三上•湖南长沙•阶段练习）已知S1,为数列的｝的前〃项和，且5“=2%-2,若%2210g2a“+3

对任意正整数〃恒成立，则实数力的最小值为（）

75

A.4B.-C.3D.-

22

【答案】D

【分析】根据a“，S,的关系，利用相减法结合等比数列的定义求解数列｛““｝的通项公式％,从而将不等式转

化为22言W,利用数列的单调性求最值即可得实数2的范围，从而得最小值.

【详解】由S“=2a”-2,令〃=1,解得％=2,

fS=2a—2,a_

当心2时，由J'nJ得a,,=S,-S,i=2a「2a,T，即广n=2z（心2）,

所以数列｛。“｝是以2为首项，2为公比的等比数列，所以%=2”，

由履“22182%+3,即22岁恒成立，令则1mx,

而。用<=-皆<0,所以C〃M<C,，即数列k｝单调递减，故9）皿*=。=1

所以彳22,所以几的最小值

4.（24-25高三上•天津•阶段练习）在无穷数列｛4｝中，弓=1,qi+2q,=0（〃22,〃eN*）,数列｛4｝的前”

项和为S,,则S”的最大值与最小值的差为（）

5

A-1

c-1D.无法确定

【答案】C

【分析】求出数列｛4｝的前"项和，按奇偶探讨｛S,,｝的单调性求出最大与最小值即可得解.

【详解】由“22,an_l+2an=Q,得2%=-;%一，而q=1,则数列｛4〃｝是等比数列,

21212

于是s“=当〃为奇数时,5„=-[1+(-)-],-<s„+2<s„<l,

21121

当〃为偶数时，5n=|[l-（|r],j<5n<Sn+2<|,因此s”的最大值与最小值分别为1弓,

所以S,的最大值与最小值的差为3.

故选：C

+2,〃>8

5.（24-25高三上•安徽六安•阶段练习）己知数列｛4“｝满足为=<,"eN*,若对于任意“eN*

a'1-1,n<8

都有则实数。的取值范围是（）

【答案】C

【分析】根据分段函数的单调性列出不等式组求解即可.

【详解】由对于任意“eN*都有见>“用知，数列｛4｝为递减数列,

所以只需满足0<〃<1解得Z7T<〃<1,

故选：C

〃一2

6.（24-25高三上•云南玉溪•阶段练习）己知数列｛曲｝的通项公式为凡=,前，，项的和为加，则S”取得

6

最小值时n的值为（）

A.5B.6C.7D.8

【答案】B

【分析】利用作差法判断数列的单调性，继而判断出数列的项的正负情况，即可确定答案.

【详解】由题意可知4==二，

2〃一13

—,：I（"一1）（2〃一13）-（-2）（2〃一11）

」行"+1"2n-U2〃-13（2«-11）（2«-13）

_________9

--（2H-11）（2M-13））

人_______9_______、nrr„1113

（2n-ll）（2n-13）,则万

故当〃=6时，%<%;

9111Q

令%〜<0,即一（2"11乂2"-13）<°，贝但<万或〃>万，

即当〃W5或〃>7时，%+i<an；

n-2

令4<0,贝ij2<〃<5,

2n-13

令4==则〃=2，

2"n-1t3

>o>贝|」"<2或">与，

2n-132

贝lj当〃=1时，4>0,当〃=2时，4=。；

当时，。〃<。；当〃27时，〃〃>。；

故％>%=0>。3>〃4>%>。6，>0,

故当〃=6时，取得最小值，

故选：B

易错点02：由S”求a„忽略n=l的讨论

般易错陷阱与避错攻略

典例（24-25高三・江苏淮安•期中）数列｛%｝的前,项和为S“，若4=1,a„+1=3S„（n>l）,则3=（）

7

A.3x44B.3X44+1C.45D.43+l

【答案】A

【分析】利用退位相减法可得数列从第2项起，是以%=3为首项，4为公比的等比数列，故可求R，或者

利用结论可求必.

【详解】已知4+i=3S“，则当"22时，4=3S〃T，

两式作差，得——=3⑸-S,T)=3%,

即a向=4a“，也即数列从第2项起，是以外=3为首项，4为公比的等比数列，

从而4=3-4"-2,〃22.

f1,n=1,

由于4=1,%=3弓=3,则于是4=3x4.

13-4>2,

【易错剖析】

本题求解时容易忽略〃=1的讨论，而错误的得出数列的通项公式为a〃=4"T出错.

【避错攻略】

1.已知S〃可㈤求an

已知S“=75)求通项，步骤可分为三步：(1)当"'2时/=s“-S“T；(2)当〃=1时，q=Si；(3)

检验能否合写，即〃=1和〃22两种情况能否合写成一个公式，否则就写为分段的形式.

2.已知Sn与斯的关系求an

根据所求结果的不同要求，将问题向不同的两个方向转化.

(1)利用a”=S〃-ST(M>2)转化为只含S”的关系式，再求解；

(2)利用X—S"-i=a”(M>2)转化为只含a”，a”-i的关系式,再求解.

易错提醒」利用S,与%的关系求斯，作差后往往会得到一个项或和的递推关系式，这是一定要检验递推关

系是否对所有的正整数都成立，然后再根据递推关系求通项公式.

举一反三

1.(23-24高二下•北京大兴.期中)已知数列｛凡｝的前〃项和5"=/+1,则数列｛6｝的通项公式为()

A.an=n+lB.an=2n-l

8

C.a=2n+1D.a

nn271—l,n>2

【答案】D

【分析】当"=1时，求得《,；当”22时，根据a.=S.-S“T化简得巴,再检验得出通项公式即可.

【详解】当〃=1时，o1=51=l+l=2；

当"N2时，a“=S"-Si=2"T,

2,n=1,

经验证，4=2不符合上式，所以q=

2n—l,n>2.

故选：D.

2

2.（24-25高二上•天津红桥•阶段练习）已知数列㈤｝的前〃项和为S“，S.Sn=2n+3n-l,则数列的通项公

式为a”=

4,n=l

【答案】

4«+1,«>2

【分析】利用前〃项和与第〃项的关系，分段求解即可.

22

【详解】当时，a„=5„-5„_1=(2n+3zi-l)-(2(H-l)+3(M-l)-l)=4zI+l,而％=H=4不满足上式,

4,M=1

所以数列的通项公式为%=

4n+1,n>2

f4,n=1

故答案为：L1「

[4n+l,n>2

3.（24-25高三上•全国•课后作业）已知数列｛4｝的前〃项和S,满足S“=2-则｛4｝的通项公式为

【答案】氏=]£T

fS.,n=1

[分析]利用%=:c、C来求得正确答案.

【详解】由题设得卬=百=1,所以a“=S,「S,T=2—%—2+a,T（/22）,化简得a“=ga'T，

9

所以数列｛。“｝是首项4=1，公比为g的等比数列，所以q=lx

当〃=i时,=1依然成立，所以为

故答案为:

易错题通关

1.（24-25IWJ二上•辽宁•期中）数列｛%｝中，已知对任意自然数〃Mi+&+生+…=2〃-1,则

等于（）

A.2"一1B.（2"-1）2C.D.4；之

【答案】C

【分析】根据条件，利用S“与。“，求得a,=2"T,进而得到片=4"。再利用等比数列的前〃和公式，即可

求解.

【详解】因为%+g+。3+…+。〃=2〃—1①），

当〃N2时，/+4+。3+…+an-l=2〃1—1②，由①—②得=2"—2"1=2",

又4=21-1=1,满足⑸=2〃,所以%=2〃T,

由4=2〃,得到4=（21）2=4〃-】，

=F

所以+Q；=1+4+-+4n-1=~Y~^

故选：C.

2.（24-25高二上•甘肃酒泉•期中）设S.为数列｛见｝的前〃项和，若S〃=2%-1,则马言的值为（）

ClyQICly2

A.8B.4C.~D.-

48

【答案】D

【分析】易知数列前〃和求出通项公式，再由等比数列的性质化简求得结果.

【详解】当〃=1时，％=Si=2q—l,

10

当"N2时，S“_]=2a一1,贝Ua”=S”—S,T=2a,,-2an_1,

；.%=2%,即数列｛4｝是首项4=1,公比q=2的等比数列，

即。"=2"'

.%+%%(1+0_i」

al0+al2《0(1+4)/8

故选：D.

3.(23-24高二下•广东汕头•阶段练习)设数列｛4｝的前"项和为S"，q=2,2S“=〃*,〃eN*/Ua"=.

【答案】2n

【分析】根据题意，由。“与S,的关系可得马当="(〃22),从而求出。“即可.

n+1n

【详解】因为25“="。向，当"22时，2s—1)为，

两式相减可得2c1n=iwn+l-(n-t)an,即(”+1)a“=nan+i,

所以匕="(心2),又见=2S1=4,所以2=2,

所以H=2(〃N2),

所以日=2〃(〃N2),且％=2也符合上式,

所以a0=2〃(“eN*),

故答案为：In

4.(24-25高三上•湖南益阳•阶段练习)已知数列｛%｝的前〃项和为S“，且S”=〃-5a“+23,"eN*,则数列｛叫

的通项公式是。“=.

【答案】31|[+1

【分析】利用册和Sn的关系可得a“-1=1(^-1),进而得到数列｛为-1｝为等比数列，首项为3,公比为之，

O0

进而求解即可.

【详解】由S.=〃-5a.+23,〃eN*,

11

当〃=1时，=%=1-5%+23,则〃1=4；

当〃之2时，S“_i=n—1—5a〃_i+23,

贝|Jan=^n~S〃-1=1—5%+5al，即。〃=：an-\+:,

oo

所以见T=，(4TT)，

o

则数列｛4-1｝为等比数列，首项为3,公比为京,

所以1=,则a“=31皆+1.

故答案为：3.^+1.

5.（2024高三.全国.专题练习）已知数列｛4｝的前〃项和为S,,,若％=1,25“=°用，则数列｛4｝的通项公

式.

1,”=1

【答案】4=

2x3"~2,n>2

【分析】根据S,,与凡的关系可得当“22时，｛%｝是公比为3的等比数列，求解答案.

【详解】由25“=。用得，“22时，25“—=%,两式相减得％=3q,

所以当时，｛4｝是公比为3的等比数列，而出=2,则4=2X3"-2（"N2）,

由1=1不满足上式得见=2x3f

1,7?=1

故答案为：4=

2x3n~\n>2

3

6.（24-25高三上•河南•阶段练习）使不等式;;一（1成立的一个必要不充分条件是（）

2-x

A.(―°°,—1)(2,+oo)B.(—00,-1]J(2,+oo)

C.(-OO,-1)32,+oo)D.(-oo,-l]u[2,-hx))

【答案】D

12

【分析】利用分式不等式化简可得xZ2或x<-l,即可根据真子集关系求解.

【详解】由a可得3一—7-i-Y；曰一+0,解得2或gi,

2-x2-x

3

设不等式小w1成立的一个必要不充分条件构成的集合是A,

2—x

则（-8,-1]°（2,+8）是A的一个真子集，结合选项可知A可以为（e,-1]口[2,+®）,

故选：D

7.（24-25高二上•黑龙江牡丹江•阶段练习）设数列｛4｝的前,项和是5”,如果它的前〃项和5“=n2-2n+3,

那么%=

2,〃=1

【答案】%=

2n-3,n>2

【分析】利用。，与S”的关系式求通项即可.

［详解1当“=］时，«I=5J=1-2+3=2,

2

当〃N2时，Sn=n-1n+3,

所以=("-1)?一2(“一1)+3=/_4”+6,

所以%=S“-S“T=2;L3,

[2,〃=1

所以%=°a

[2n—3,n>2

f2,n=l

故答案为：““=；.r

[2n—3,n>2

8.（2024高三•全国•专题练习）已知数列｛«„｝的前n项和为S„,且满足an+3s总一=0（〃22且〃eN*）,q=；,

则S〃=.

【答案】；

3n

【分析】由公式%=5“-5自（〃22且〃€?4*）化简可证明3为等差数列，求出首项和公差即可知道1的

13

通项，进而可求S”.

【详解】因为%=S—SM(在2),所以S“一S“_+3s电_=0,

所以!一-一=3,所以是等差数列，公差为3,又：='=3,

SnS"_|[S“JSn%

所以g=3+3("T)=3",即5“=上.

故答案为：---

3n

9.(24-25高二上•天津东丽•阶段练习)在数列｛4｝中，卬=6,且码+「5+2电=“(“+1)5+2),则％=

[答案13"+3n

【分析】由/用-(〃+2)5“=〃(〃+1)("+2)化简可证数列《前可,为等差数列，即可得5“=〃(〃+1)(〃+2),

再利用退一相减法可得4,.

【详解】由码+i-+2)S"=〃(〃+1)(〃+2),

m.r____S〃+l_________i

则(〃+1)(〃+2)n(n+l)-'

则数列善不是以二=3为首项，1为公差的等差数列，

+1x2

S

即([I\=3+(»T)=W+2,

所以=刃(〃+1)("+2),

当鹿22时，S〃T=(〃-1).九(九+1),

an=Sn-Sn_1=〃(几+1)(〃+2)—(〃一1)・孔(孔+1)=3及(〃+1)=3九2+3〃，

当〃=1时，％=6满足上式，

2

综上所述an=3n+3n,

故答案为：3n2+3n.

易错点03：等比数列问题忽略公比夕的讨论

14

易错陷阱与避错攻略

典例(2024•新疆乌鲁木齐•二模)设等比数列｛4｝的首项为1,公比为4,前〃项和为S“，若｛S“+l｝也是等

比数列，贝()

A.1或2B.1•或2C.1D.2

【答案】D

【分析】由｛S“+l｝是等比数列，得⑸+1)2=(S,T+1)(S加+1),故可求以

2

【详解】由题意可知，q=l,a2=q,a3=q,

若｛%｝为常数列,则5+1=2,S?+1=3,邑+1=4,不为等比数列，与题意不合;

若qwl,则S"=^2~

q-1q—1

若｛S"+l｝也是等比数列，则⑸+1)2=(S,T+1)(SM+1),»>2,«eN-.

2

即(g"+g-Y=尸+〃-2.q*q-2=

Iq-iJ4Tq-i

2q"(q—2)=(q-2)(尸+泮)=尸(q-2)(q-if=0,

解得4=2或q=l(舍去).

故选：D.

【易错剖析】

本题容易里叫学比数列的求和公式成立的前提条件,没有对q=l或qwl的讨论而出错.

【避错攻略】

1.等比数列的概念及公式

(1)等比数列的定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，那么这

个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示。

数学语言表达式：2=4(n>2,q为非零常数).

an-\

(2)等比中项性质：如果三个数a,G,6成等比数列，那么G叫做。与b的等比中项，其中G=±，拓.

注意：同号的两个数才有等比中项。

(3)通项公式及前〃项和公式

15

①通项公式：若等比数列｛4｝的首项为%,公比是4,则其通项公式为%=q/i；

nm

通项公式的推广：an=amq-.

②等比数列的前〃项和公式：当4=1时，S〃=叫；当qwl时，S“=

1-q1-q

2.等比数列的性质

已知｛a,｝是等比数列，Sn是数列｛q｝的前〃项和.

（1）等比数列的基本性质（了解即可）

①相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即%,ak+m,4+2s，…仍是等比数歹I，公比为d”.

②若｛为｝，也｝（项数相同）是等比数列，则｛%｝（60）,［：］，忖｝，｛风也｝,仍是等比数列.

③若k+l=m+n（k,l,m,nGN*）,则有氏y=（,&,推广：=an_k-an+k（n,k&N*,Jin-^>1）

（2）等比数列前〃项和的性质

⑴在公比4W-1或q=-l且〃为奇数时，Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,……仍成等比数列，其公比为q"；

nax,q=l

易错提醒：注意等比数列的求和公式是分段表示的：s,=Y（jyq八,所以在利用等比数列求和公式

求和时要先判断公比是否可能为1,,若公比未知，则要注意分两种情况g=l和仍"讨论.

举一反三

1.（24-25高二・全国•课后作业）已知数列a,。），。（1-疗，…是等比数列，则实数。的取值范围是（）.

A.awlB.awO或awlC.awOD.awO且awl

【答案】D

【分析】由等比数列的定义即可求出〃的取值范围.

【详解】由等比数列的定义知，数列中不能出现为0的项，且公比不为0,所以且1-awO,

所以awO且awl.

故选：D.

2.（24-25高三上•浙江绍兴•期中）已知等比数列｛%｝,首项为%,公比为4,前〃项和为S,,若数列｛S.+1｝

是等比数列，则（

16

A.ax-q=\B.q-ax=1

n

C.S〃-尸=1D.Sn-cixq-1

【答案】B

【分析】设等比数列｛s,+l｝的公比为/,则”0,分4=1、qwl两种情况讨论，求出臬的表达式，结合已

知条件可得出等式组，即可得解.

【详解】设等比数列｛S“+l｝的公比为f,贝卜/0.

若q=l,贝I]S“+1=〃/+1,由题意可得S.+i+l=f(S.+l),^{n+\)al+l=tnal+t,

所以，]的二“，解得不合乎题意；

11+1=/[t=l

若#1,则s“/(i一力=一",则S.+1=(”一"嗫

1-q1-q1—q

由题意可得Sx+l=r(S,+l),即(q+lF)-。夕.

1-q1-q

所以，卜+~=3+j),可得忙1=1.

一tciy[r—q

故选：B.

3.(2025高三・全国•专题练习)已知在等比数列｛%｝中，4=7,前三项之和S3=21,则公比4的值是()

A.1B.—C.1或—D.-1或g

222

【答案】C

【分析】按照4=1和分类讨论，利用等比数列通项公式和求和公式列方程组求解即可.

【详解】当4=1时，%=7"3=21,符合题意;

acf=7

当qwl时,x解得4=

2

a[+alq+alq-21

综上，q的值是1或

故选：c

17

♦易错题通关,

1.（24-25高二下•浙江湖州•期末）设S.为等比数列｛4｝的前〃项和，已知3凡=4-3,3邑=%-3,则公

比〃=（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】B

【分析】根据题干所给条件列式并联立计算即可.

【详解】设等比数列｛4｝的第一项为q,贝I]/：。"，4=。“，

2

因为3其=%—3,贝lj3（q+0[4）=01g2_3,3at+3a｛q-axq+3=0©

因为3s3=%_3,则3（q+qq+q/）=a1g3_3,得3q+3a“+3qq2—q/+3=0②

式子①-②，得4（10=ad,显然弓片。，#0,则q=4.

故选：B.

2.（2024高三•全国•专题练习）己知正项等比数列｛%｝的首项为1,前〃项和为S“,〃wN*,若5s3-羽-4=0,

则$2024=（）

A.22024B.22023C.22024-1D.22023-1

【答案】C

【分析】先由题设求得公比q,再用等比数列的求和公式求解即可.

【详解】设数列｛4｝的公比为4（4>0）,

若q=l,邑=3%=3,$5=54=5,不满足5s3-$5-4=0,

所以4",则5（~）_1Z£_4=0，整理得-5/+/+4q=o,解得q=2.

1-q1-q

40产）1-22024

…02024=22024-l.

1一夕1-2

故选：C.

3.（24-25高三上•安徽•期中）记S“为正项等比数列｛%｝的前〃项和，若邑=3,品=21,则凡=（）

18

A.6B.9C.12D.15

【答案】B

【分析】运用等比数列前〃项和的性质，即：等比数列依次加项的和仍为等比数列求解即可.

【详解】设正项等比数列｛%｝的公比为4,

由题意知，qwi,

所以S3,s6-s3,邑-枭成等比数列，

所以⑸-邑)2=S3(S9-S6),BP(S6-3)2=3(21-')，

解得Se=9(舍负).

故选：B.

4.(24-25高三上•山东淄博•阶段练习)(多选)已知等比数列｛%｝中(weN*),其公比为4,前〃项和为S“，

则下列选项正确的是()

A.若数列｛%｝为递增数列，则一定有4

B.若则数列｛%｝为递增数列

C.若g=3",数列7_争_八的前〃项和J恒成立

D.S.，S2n-Sn,邑，-邑，一定成等比数列

【答案】AC

【分析】利用反证法可判断A的正误，利用反例可判断BD的正误，利用裂项相消法求(后可判断C的正

误.

【详解】对于A,若夕<0,则｛%｝中各项正负交错出现，该数列不是增数列，故必成立，故A正确;

对于B,取等比数列通项公式为而卬=-1<g=1,但｛(-1)"｝不是增数列，故B错误；

对于D,取等比数列为4=(-!)",则S2=J=S6=。，

故S,-邑=&-邑=。，此时S2，S4-Sz，&-邑不为等比数列,故D错误；

2ali_2x3"_]_]

对于C‘7+1))用+i)=3+*3用+1)3向+1'

19

故(=71—7-7?—7+Z?—7-―7-1--1■——7-TZ7i—7=T-TZTi―7＜二，故C成立；

甲+132+132+133+13"+13n+1+l43n+1+l4

故选：AC.

5.(24-25高三上•广东深圳•阶段练习)S“是等比数列{4}的前〃项和，已知为+83=6,83=3%,贝IJ

〃2=•

【答案】|3•或-3

【分析】由题意得53=q+/+%=3%，即4+4q=2a闻2,求出q的值，由题意再结合等比数列的定义即

可求解.

【详解】S3=a{+a2+a3=3a3,

12

ax+axq=la^q,Bpax(2^--1)=0,

因为00，所以2g2—q—\=(^q—1)(2^+1)=0,

解得4=1或0=-；,又％+、3=6方3=3%,所以4a3=6,即/=■!，所以为=&=1■或-3.

故答案为：|3•或-3.

6.(24-25高三上•江苏南通・阶段练习)设等比数列间的前〃项和为S“，若4邑=31+$3,则十.

【答案】3

a,a,

【分析】根据已知条件4邑=3工+邑，通过等比数列的前〃项和公式求出公比4,进而求出一的值就

4a1

是公比4.

【详解】当w=l时，

当"=2时，对于等比数列S?=弓+%=4+%q=%(l+q)(因为4=40).

2

当〃=3时，S3=ax+a2+a3=a}+axq+axq~=ax(\+q+q).

已知4邑=31+邑，将H，S2,S3的值代入可得：

1

4。］(1+4)=3%+ax(\+q+q).

因为qw。(等比数列首项不为0),等式两边同时除以4得4(1+/=3+(1+4+才).

20

展开式于得4+4q=3+1+4+,B|Jq~-3q=0,解得q=°或q=3.

因为等比数列公比#。，所以4=3,所以

故答案为：3.

763„

na

7.（24-25高三上•江苏泰州•期中）记S“为等比数列｛4｝的前〃项的和，若$3=5，S6万，贝Un~

【答案】1024

【分析】根据题意结合等比数列的求和公式运算求解，注意讨论公比是否为L

【详解】设等比数列｛%｝的公比为4（”0）,

若q=l,贝”6=2昆，这与已知$3=（,£=?是矛盾的，

%(1-07

所以421,从而$3=

1—q一万'1-q2

将上面两个等式的两边分别相除，得1+/=9,解得9=2,

由8=坐/毛此可得44,