2025广东省深圳市中考数学复习分类汇编《几何综合题》含答案解析

专题16解答压轴几何综合题

一、解答题

1.（2024.广东深圳•统考中考真题）垂中平行四边形的定义如下：在平行四边形中，过一个

顶点作关于不相邻的两个顶点的对角线的垂线交平行四边形的一条边，若交点是这条边的中

点，则该平行四边形是“垂中平行四边形”.

图1图2

图3图3备用图

（1）如图1所示，四边形ABCD为“垂中平行四边形"，AF=5CE=2,则AE=

；AB=；

（2）如图2,若四边形ABC。为“垂中平行四边形"，且=猜想A尸与CD的关

系，并说明理由；

（3）①如图3所示，在中，BE=5,CE=2AE=12,班，AC交AC于点E,

请画出以为边的垂中平行四边形，要求：点A在垂中平行四边形的一条边上（温馨提

示：不限作图工具）；

②若一ABC关于直线AC对称得到VAB'C，连接CB',作射线CB'交①中所画平行四边形

的边于点P,连接PE,请直接写出PE的值.

2.（2023・广东深圳•统考中考真题）（1）如图，在矩形ABCD中，E为A£＞边上一点，连

接BE,

①若BE=BC,过C作5,6£交助于点r，求证：AABEdFCB；

②若S矩形4BC。=2°时，则BECF=.

D

E

A

(2)如图，在菱形ABC。中，cosA=-,过C作CE1A6交A5的延长线于点E,过E

3

作EF_ZAD交AD于点产，若S菱形"CD=24时，求EF-5C的值.

(3)如图，在平行四边形A6CD中，ZA=60°,AB=6,">=5,点E在上，且CE=2,

点p为上一点，连接所，过E作EG,即交平行四边形ABC。的边于点G,若

£R46=7班时，请直接写出47的长.

备用图

3.(2022•广东深圳•统考中考真题)(1)【探究发现】如图①所示，在正方形ABCD中，E

为A。边上一点，将ZkAEB沿班翻折到，5EF处，延长所交CD边于G点.求证：

△BFG学4BCG

(2)【类比迁移】如图②，在矩形ABCD中，E为AD边上一点，且AD=8,AB=6,将

AAEB沿BE翻折到aBEF处，延长所交边于点G,延长BF交CD边于点H,且

FH=CH,求AE的长.

图②

(3)【拓展应用】如图③，在菱形ABCD中，E为。。边上三等分点，40=60。,将ADE

沿AE翻折得到AAFE,直线E产交于点P,求CP的长.

备用1备用2

4.(2024•广东深圳•盐田区一模)如图，等腰RtZkABC中，ZACB=90°,AC=3C,点

D为BC边上一点,。石，人。于点石，延长3E交AC于点

AA

备用图

AC2

（1）求证:

ED~CD-

（2）当即平分/AEC时，求——的值；

DC

AF

（3）当点。为5c的三等分点时，请直接写出一的值.

FC

5.（2024•广东深圳•福田区三模）【初步探究】

如图1,四边形ABCD是矩形，点尸是平面内任一点，则下列结论成立的是（）

BC

A.PA+PD=PB+PC；B.PA+PC=PB+PD

C.PA2+PD2PB2+PC2;D.PA2+PC2=PB2+PD2

【深入探究】

如图2,正方形ABC。的边长为4,,6的半径为2,点P是‘B上一动点，连接Q4,PC,

PD,设F4=x,PC=y.（如有需要，可直接使用（1）中你所得的结论）

备用图

①求％y2的最小值;

②直接写出|x-y|的最大值，并直接写出此时的长.

6.(2024・广东深圳-33校联考二模)在学习图形的旋转时，创新小组同学们借助三角形和菱

形感受旋转带来图形变化规律和性质.

【操作探究】

(1)如图1,已知JSC,NC=90，将一ABC绕着直角边AC中点G旋转，得到DEF，

当印的顶点。恰好落在的斜边AB上时，斜边OE与AC交于点巴

①猜想：ZADC=

②证明：—DGH〜ADH.

【问题解决】

(2)在(1)的条件下，已知AC=4,BC=3,求C”的长.

【拓展提升】

(3)如图2,在菱形ABCD中，AC=8,BD=6,将菱形ABC。绕着A5中点M顺时

针旋转，得到菱形EFGH,当菱形EFGH的顶点E分别恰好落在菱形ABCD的AD边和

对角线上时，菱形EFGH的边与边相交于点N,请直接写出的长.

图2番用图

7.(2024•广东深圳-33校联考一模)在矩形ABCD中，点E是射线5c上一动点，连接AE,

过点2作8AE于点G,交直线8于点足

H

（1）当矩形ABCD是正方形时，以点尸为直角顶点在正方形ABC。的外部作等腰直角三

角形CFH,连接

①如图1,若点E在线段5C上，则线段AE与EH之间的数量关系是，位置关系

是；

②如图2,若点E在线段5C的延长线上，①中的结论还成立吗？如果成立，请给予证明；

如果不成立，请说明理由；

（2）如图3,若点E在线段5C上，以3E和防为邻边作「班*,闻是9中点，连接

GM,AB=3,BC=2,求GM的最小值.

8.（2024•广东深圳•南山区一模）如图1,在等腰三角形ABC中，ZA=90°,AB=AC,

点。、E分别在边ABAC上，A£）=AE,连接3E,点/，N,P分别为DE,BE,BC

的中点.

图2

（1）观察猜想:

图1中，线段与NP的数量关系是,NMVP的大小是

（2）探究证明:

把VADE绕点A顺时针方向旋转到图2的位置，连接MP、BD、CE,判断△MNP的形

状，试说明理由;

（3）拓展延伸:

把VADE绕点A在平面内自由旋转，若AZ）=1,AB=3,请直接写出△感?面积的最大

值.

9.（2024•广东深圳•宝安区二模）如图，在菱形ABCD中，对角线AC,5。交于点。,

过点A作的垂线，垂足为点E,延长到点歹，使CF=BE,连接OR.

BECI

（1）求证：四边形AEFD是矩形；

（2）连接OE,若BD=8,AC=4,求cos/BOE.

10.（2024•广东深圳•宝安区二模）（1）【问题探究】如图1,正方形ABCD中，点RG分

别在边5C、CD±,且”_LBG于点尸，求证：AF=BG；

（2）【知识迁移】如图2,矩形ABCD中，AB=4,BC=8,点E、RG、H分别在边A3、

BC、CD、A£>上，且于点P.若£GH/=48,求彼的长；

（3）【拓展应用】如图3,在菱形ABCD中，NA6c=60°,AB=9,点E在直线A5上，

BE=6,A产，DE交直线于点尺请直接写出线段bC的长.

AD

11.（2024•广东深圳•宝安区三模）如图1.四边形ABC。、CEGb都是矩形，点G在AC

上，且——=—,A6=6,=8,小李将矩形CEGF绕点C顺时针转a°（0<a<360）,

AC2

如图2所示：

（1）①他发现——的值始终不变，请你帮他计算出一的值二

②在旋转过程中，当点8、E、F在同一条直线上时，求出AG的长度是多少?

（2）如图3,_ABC中，AB=AC=非，ZBAC=a0,tanZABC=-,G为的

2

中点，点。为平面内的一个动点.且。G=好，将线段3。绕点。逆时针旋转a。，得到

5

DB'，则四边形BACB'的面积的最大值为

12.（2024•广东深圳•福田区二模）问题探究：如图1,在正方形点E,Q分别在

边BC,ABk,。。，4后于点。点6,尸分别在边CD、AB±,GPLAE.

（1）①判断DQ与AE的数量关系：DQAE-,

②推断：——=（填数值）；

AE

（2）类比探究：如图2,在矩形ABCD中，—将矩形ABCD沿G/折叠，使点A

AB3

落在边上的点E处,得到四边形FEPG,EP交CD于点、H,连接AE交GF于点。.试

探究GE与AE之间的数量关系，并说明理由；

（3）拓展应用1：如图3,四边形ABC。中，ZABC=90°,AB=AD=10,BC=CD^5,

DN

点M,N分别在边BC、ABh,求——的值.

AM

BE3

（4）拓展应用2：如图2,在（2）的条件下，连接CP,若——=—,GF=2回,求CP

BF4

的长.

13.（2024・广东深圳•光明区二模）在四边形ABCD中，点E为线段CD上的动点（点E与

点C不重合），连接班，线段班的垂直平分线与ADBC、5E分别相交于点尸、G、H,

连接FB、EE.

【探究发现】如图1,若四边形ABCD为矩形，BFA.EF，求证：AABF^ADFE；

【能力提升】如图2,若四边形ABCD为矩形，A3=4,5C=6,43G尸是等腰三角形,

求EC的长:

【拓展应用】如图3,若四边形ABCD为菱形，5£，。,3后的垂直平分线与4。、

BC、3E分别相交于点/、G、H,连接EB、FE.若△BEE是等边三角形，求sinA的

值.

图3

14.（2024・广东深圳-33校三模）数学课上老师让学生们折矩形纸片.由于折痕所在的直线

不同，折出的图形也不同，请根据下面不同的折痕解决下列问题：

问题（1）：如图，在矩形纸片ABCD中，将纸片沿对角线AC对折，A5边对折后与边

相交于点£,试判断八4。£形状，并说明理由.

问题（2）：如图，在矩形ABCD中，A3=6,AD=4,以尸。为折痕对折V3PQ,2点落

在。C的中点F处，求折痕PQ的长

问题（3）：如图，在矩形ABCD中，AB=6,AD=2娓,P在直线AB上，。在边上,

以尸。为折痕对折V3PQ,2点落在边。C上对应点为R当尸到A点的距离为1时，直接

写出折痕PQ的长.

答用图

15.（2024・广东深圳•龙华区二模）如图1,在正方形ABCD中，点E是A3边上一点，F

为CE的中点，将线段4/绕点厂顺时针旋转90。至线段GF,连接CG.某数学学习小组

成员发现线段CE与CG之间存在一定的数量关系，并运用“特殊到一般”的思想开展了探

图1

【特例分析】当点E与点8重合时，小组成员经过讨论得到如下两种思路:

思路一思路二

第如图3,将线段Cb绕点尸逆时针旋转90。

如图2,连接AG,AC,证明

至HF,连接AH,证明

AAC3AAEF；

步AAFHgAGFC；

第利用相似三角形的性质及线段CE与利用全等三角形的性质及线段CE与AH

防之间的关系，得到线段CE与CG之间的关系，得到线段CE与CG之间的数

步之间的数量关系.量关系.

（1）①在上述两种思路中，选择其中一种完成其相应的第一步的证明：②写出线段CE与

CG之间的数量关系式：；

【深入探究】（2）如图1,当点E与点B不重合时，（1）中线段CE与CG之间的数量关系

还成立吗？若成立，请加以证明：若不成立，请说明理由；

【拓展延伸】（3）连接AG,记正方形ABCD的面积为S],_AFG的面积为$2,当△FCG

工

是直角三角形时，请直接写出亍的值.

16.（2024・广东深圳.罗湖区二模）【问题提出】

⑴如图1,在边长为6的等边.ABC中，点。在边上，CD=2,连接A。，贝『ACD的

面积为

图1

【问题探究】

（2）如图2,己知在边长为6的正方形ABCD中，点E在边上，点尸在边CD上，且

NE4F=45。，若EF=5,求△AEF的面积；

8

【问题解决】

(3)如图3是我市华南大道的一部分，因自来水抢修，需要在AB=4米，40=46米的矩

形A6CD区域内开挖一个△AEF的工作面，其中E、尸分别在BC、CD边上(不与点8、

C、。重合)，且NE4F=60。，为了减少对该路段的交通拥堵影响，要求△AEF面积最小,

那么是否存在一个面积最小的_A即？若存在，请求出△AEF面积的最小值；若不存在,

17.(2024・广东深圳•罗湖区三模)【问题探究】

课外兴趣小组活动时，同学们正在解决如下问题：

如图1,在矩形ABCD中，点E,尸分别是边DC,上的点，连接AE,DF,S.AE±DF

于点G,若A3=6,BC=8,求——的值.

AE

A

图1图2图3

(1)请你帮助同学们解决上述问题，并说明理由.

【初步运用】

An3

(2)如图2,在ABC中，ZBAC=90°,不；=:，点。为人。的中点，连接3。，过

AC4

AF

点A作AEL8D于点点E，交BC于点F,求一的值.

BD

【灵活运用】

AD2

(3)如图3,在四边形ABCD中，440=90°,—=—,AB=BC,AD=CD,

AD3

CF

点E,尸分别在边AB,上，且DELCF,垂足为G,则—=

DE

18.（2024・广东深圳•南山区三模）如图①，在正方形ABCD中，点E,尸分别在边A3、BC

上，江，0£于点0,点6,以分别在边A£＞、BCEGH1CE.

（1）问题解决：①写出。歹与CE的数量关系：

②k的值为;

（2）类比探究，如图②，在矩形ABCD中，—=k（/为常数），将矩形ABCD沿GH折

BC

叠，使点C落在A5边上的点E处，得到四边形EEG”交A。于点P，连接CE交GH于

点。.试探究GH与CE之间的数量关系，并说明理由；

（3）拓展应用，如图③，四边形ABCD中，4A0=90°,AB=BC=6,AD=CD=4,

CE

BFLCE,点、E、尸分别在边AB、AD上，求——的值.

BF

19.（2024・广东深圳•南山区二模）（1）问题呈现：如图1,「ABC和VADE都是直角三角

形，ZABC=ZADE=90°,且空=42=』.连接30，CE,求"的值.

BCDE4CE

（2）类比探究：如图2,—ABC是等腰直角三角形，ZACB=90°,将」WC绕点A逆时

针旋转60°得到VADE，连接3D,EC,延长EC交BD于点P，设AB=6,求£尸的

长；

（3）拓展提升：如图3,在等边.4BC中，AB=6,是BC边上的中线，点M从点A

移动到点。，连接MC,以MC为边长，在MC的上方作等边_MVC,求点N经过的路

径长.

图1图2图3

20.（2024•广东深圳•九下期中）（1）请根据教材提示，结合图1,写出完整的证明过程.

（2）初步探究：如图2,在四边形ABCD中，

ZBAD=ZBCD=90°,AB=AD,ZCBD=30°,皿于点P,连接CP,

AC=G+1.

①/ACD的度数为

②求AD长.

（3）拓展运用：如图3,在平行四边形ABCD中，歹是边上一点,

ZABC=60°,BC=6,BF=2.按以下步骤作图：①以点B为圆心，以适当的长为半

径作弧，分别交ABBC于点,M,N；②分别以点N为圆心，大于工的长为半

2

径作弧,两弧交于点E,作射线BE.过点F作PF〃AB交BE于点、P,过点P作PG，A3

于点G,。为射线座上一动点，连接GQ,CQ,若PQ二BP,直接写出期的值.

专题16解答压轴几何综合题

一、解答题

1.（2024.广东深圳.统考中考真题）垂中平行四边形的定义如下：在平行四边形中，过一个

顶点作关于不相邻的两个顶点的对角线的垂线交平行四边形的一条边，若交点是这条边的中

点，则该平行四边形是“垂中平行四边形”.

图1图2

（1）如图1所示，四边形ABCD为“垂中平行四边形"，AF=非,CE=2,则AE=

；AB=；

（2）如图2,若四边形ABC。为“垂中平行四边形”，S.AB^BD,猜想A尸与CD的关

系，并说明理由；

（3）①如图3所示，在ABC中，BE=5,CE=2AE=12,班，AC交AC于点E,

请画出以为边的垂中平行四边形，要求：点A在垂中平行四边形的一条边上（温馨提

示：不限作图工具）；

②若ABC关于直线AC对称得到VAB'C，连接CB',作射线CB'交①中所画平行四边形

的边于点P,连接尸E,请直接写出/方的值.

【答案】（1）1,V17

（2）AF=，理由见解析

（3）①见解析；②PE=士叵或上叵.

42

【解析】

【分析】（1）根据题意可推出△AERSACEB,得到一=一,从而推出AE,再根据

BCCE

勾股定理可求得跳，再求得A5；

4J-!1T-Ay-VJ-!

（2）根据题意可推出.AED^,-.FEB，得到生=—=—=2,设BE=a,则。E=2。,

EFBFEB

AB=CD=3a,再利用勾股定理得到AE,从而推出反、A/，即可求得答案；

（3）①分情况讨论，第一种情况，作的平行线A。，使AO=6C,连接CD,延长BE

交AD于点F；第二种情况，作ZABC的平分线，取CH=CB交ZABC的平分线于点H,

延长CH交BE的延长线于点。，在射线B4上取A*=A5，连接。咒；第三种情况，作

AD//BC,交3E的延长线于点。，连接CD,作的垂直平分线；

在DA延长线上取点F使AR=AD,连接3户；

②根据①中的三种情况讨论：

第一种情况，根据题意可证得AB4c是等腰三角形，作则AH=HC,可推

出△CDHS2\CB，E,从而推出卓=必，计算可得P”，最后利用勾股定理即可求得

B'ECE

PE；

第二种情况，延长C4、。尸交于点G,同理可得,PGC是等腰三角形，连接E4,可由

_GAFs_CAB,结合三线合一推出24,AC,从而推出CR4S_CB，E,同第一种情况

即可求得/方；

第三种情况无交点，不符合题意.

【小问1详解】

解：ADBC,歹为A£）的中点，AD=BC,AF=逐，CE=2,

：._AEFsCEB,BC=AD=2AF=2后,

AFM即奈竽解得31，

~BC

BE2=BC2-CE2=(2后-2?=16,

AB=VAE2+BE2=JF+16=A/17；

故答案为：1；Ji万;

【小问2详解】

解：AF=41CD>理由如下：

根据题意，在垂中四边形ABCD中，AF±BD,且尸为的中点,

AD=BC=2BF,ZAEB=90°；

又AD//BC,

:._AED^_FEB>

AEADDE

•，------------------2；

EFBFEB

设BE=a,则。£=2〃，

AB=BD，

AB=BD=BE+ED=Q+2a=3a,

•••AE=-BE1=J(3a)2-上=2缶，EF=6a，

AF=AE+EF=2y[2a+41a=3版a，

AB=CD,

,AF_AF_3亚a_A

CDAB3a

AF=41CD；

【小问3详解】

解：①第一种情况：

作的平行线A。，使40=5。，连接CD,

则四边形ABCD为平行四边形；

延长3E交A。于点尸，

BCAD,

QAEFSCEB,

AF_AE

''~BC~而‘

AD=BC，CE=2AE,

AFAE111

-----=—,即QnAF=-BC——AD,

BCCE222

•••尸为AD的中点；

故如图1所示，四边形A5CD即为所求的垂中平行四边形:

第二种情况：

作/ABC的平分线，取CH=CB交/ABC的平分线于点“，延长C”交延的延长线于

点、D,在射线朋上取■=A5,连接。支，

故A为JB户的中点；

同理可证明：AB=-CD,

2

则6歹=AB+AF=2AB=CD,

则四边形BCDF是平行四边形；

故如图2所示，四边形BCD尸即为所求的垂中平行四边形：

第三种情况：

作AD〃BC,交助的延长线于点。，连接C。，作的垂直平分线;

在。A延长线上取点E使AR=AT>,连接卸L

则A为。户的中点，

同理可证明AD=13C,从而DF=BC,

2

故四边形BCDF是平行四边形；

故如图3所示，四边形3C"即为所求的垂中平行四边形：

B

图3

②若按照图1作图

由题意可知，ZACB=ZACP,

四边形ABCD是平行四边形，

:.ZACB=ZPAC,

:.ZPAC=ZPCA,

.•.△Q4c是等腰三角形；

过P作于H,则=

BE=5,CE=2AE=12,

■.B'E=BE=5,AE=6,

A//=HC=1AC=1(AE+CE)=1(6+12)=9,

:.EH=AH—AE=9—6=3；

PHLAC,BEVAC,

.•△CPHS^CB'E,

PHCHannTTCHB'E9x515

B'ECECE124

3741

；•PE='EH?+PH

若按照图2作图,

延长C4、。尸交于点G,

同理可得：PGC是等腰三角形,

连接Q4,

GF〃BC,

:._GAF^CAB,

AFAG,

---=----=1,

ABAC

:.AG=AC,

.-.PA±AC；

同理，△CPAs^cfi'E,

AE=6,EC=12,B'E=BE=5,

B'ECEB'EAC5x1815

——=——，BHPnPA=

PAAC

PE=y/pA2+AE~=

若按照图3作图，贝ij：没有交点,不存在PE（不符合题意）

故答案为：PE=2叵或土亘

42

【点睛】本题考查了垂中平行四边形的定义，平行四边形的性质与判定，相似三角形的判定

与性质，勾股定理，尺规作图，等腰三角形的判定与性质等，熟练掌握以上知识点，读懂题

意并作出合适的辅助线是解题的关键.

2.（2023・广东深圳•统考中考真题）（1）如图，在矩形ABCD中，E为AD边上一点，连

接BE,

①若BE=BC,过C作CFL5E交5E于点尸，求证：AABE必FCB；

②若S矩形ABCO=2°时，则BECF=.

(2)如图，在菱形ABCD中，cosA=—,过C作CEIAB交A5的延长线于点E,过E

3

作EF1AD交AD于点产，若S菱形"co=24时，求ER5C的值.

(3)如图，在平行四边形ABCD中，ZA=60°,AB=6,">=5,点E在。。上，且CE=2,

点口为上一点，连接所，过E作EGLER交平行四边形ABCD的边于点G,若

■•£6=7若时，请直接写出47的长.

备用图

3

【答案】(1)①见解析；②20；(2)32；(3)3或4或一

2

【解析】

【分析】(1)①根据矩形的性质得出NA6E+NCBb=90°,NCEB=NA=90°,进而证

明ZFCB=NABE结合已知条件，即可证明AABE^AFCB；

②由①可得NFCB=NAB£,NCEB=NA=90°,证明ABEs..FCB,得出—=—,

CFBC

根据S^ABCD=AB-CD=2Q,即可求解；

(2)根据菱形的性质得出，AB=BC,根据已知条件得出

14

BE=-BC,AE=-AB,证明根据相似三角形的性质即可求解；

(3)分三种情况讨论,①当点G在AD边上时,如图所示,延长FE交AD的延长线于点M,

连接GF,过点E作石于点证明_EZ)MS_EC尸，解Rtz\DER,进而得

出MG=7,根据tan/MEH=tan/HGE,得出HE?=HM•HG，建立方程解方程即

可求解；②当G点在A5边上时，如图所示，连接GF,延长GE交5C的延长线于点知,

过点6作仍〃人。，则GN〃BC,四边形ADNG是平行四边形，同理证明

一ENGS—ECM,根据tanNFEH=tan/M得出硝2,建立方程，解方程

即可求解；③当G点在边上时，如图所示，过点5作于点T,求得

S而SEFG=ZG，得出矛盾，则此情况不存在.

【详解】解：(1)①•••四边形ABCD是矩形，则NA=/4BC=90°,

ZABE+ZCBF=90°,

又；CFLBC,

：.NFCB+Z.CBF=90°,ZCFB=ZA=90°,

：.ZFCB=ZABE,

又：BC=BE,

：.Z\ABE^Z\FCB；

②由①可得NECB=/4BE,NCFB=ZA=90°

ABErFCB

.ABBE

"CF-BC'

又：S矩形BAC。=ABC。=20

:.BECF=ABBC=2b,

故答案为：20.

(2)•..在菱形ABC。中，cosA=-,

3

：.AD//BC,AB=BC,

则NCBE=NA,

CEJ.AB,

ZCEB=90°,

BF

'：cosZCBE=——

CB

：.BE=BC•cosNCBE=BCxcosNA=工BC,

3

114

/.AE=AB+BE=AB+-BC=AB+-AB=-AB,

333

EFJ.AD,CE.LAB

：.ZAFE=ZBEC=90°,

又NCBE=NA,

:•△AFEMBEC,

.AEEFAF

"BC~CE~BE'

…444

；

EF-BC—AE-CE——3ABxCE——3S奏^,^*ARrn=—3x24=32

(3)①当点G在AD边上时，如图所示，延长石石交AD的延长线于点连接GF,过

点E作EHLDM于点H,

:平行四边形ABCD中，AB=6,CE=2,

：.CD=AB=6,DE=DC—EC=6—2=4,

,：DM//FC,

aEDMSAECF

EMED

：.——=——=-=2,

EFEC2

.SMGE_EM_

,•仁一正一

***SMGE=2SEFG=EF-EG=76

在中，ZHDE=ZA=60°,

则E〃=@DE&X4=25DH==DE=2,

222

：.-MGxHE=7y/3

2

:.MG=7,

•：GE±EF,EHIMG,

：.ZMEH=90°-ZHEG=ZHGE

：.tanZMEH=tanZHGE

.HEHM

,•HG-HE

：■HE2=HMHG

设AG=a,则GD=AD—AG=5—a,GH=GD+HD=5—a+2=7—a,

HM=GM—GH=1—(J—a)=a,

解得：a=3或a=4,

即AG=3或AG=4,

②当G点在AB边上时，如图所示，

Z/

连接GF,延长GE交3c的延长线于点M,过点G作GN〃AT>,则GN〃BC,四边

形ADNG是平行四边形，

设AG=x,则D/V=AG=x,EN=DE—DN=4—x,

,：GN//CM

ENG^ECM

.EGENGN4-x

CM=*10

4^1

SGEF_EG_4-x

SMEFEM2

,:EFEG=70

・c»2sCEF7^/3

■,MEF—j-匚^

过点E作即IBC于点”,

在RtAEHC中，EC=2,ZECH=60°,

:.EH=6CH=L

:.SMEF=之义MFXEH,则=辿，

224-x

14inx

/.FH=MF—CM—CH=--------------1=—^—

4-x4—x4-x

in14-x

MH=CM+CH=-^-+1=——-

4-x4-x

ZMEF=NEHM=9U0,

：.NFEH=90°-ZMEH=ZM

tanZ.FEH—tanNM,

即必=空

EHHM

•'­EH?=FH•HM

2=^x14-x

4-x4-x

3

解得：%=万,々=8（舍去）

3

即AG=-；

2

③当G点在边上时，如图所示,

过点8作于点T，

在Rt37T中，CT=-BC=-,BT=6TC=^^，

222

•0_1”"_1585_25百

••S——BTxTC——x--x——------，

nTr22228

EF・EG=7A/3，

,,SEFC=—6,

•••生百＜工6,

82

•••G点不可能在BC边上，

3

综上所述，AG的长为3或4或一.

2

【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，平行四边形的性质，解直角三角形，矩形的

性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定，分类讨论是解题的关键.

3.（2022・广东深圳•统考中考真题）（1）【探究发现】如图①所示，在正方形A6CD中，E

为AD边上一点，将A4EB沿BE翻折到.5EF处，延长所交CD边于G点.求证：

ABFG^ABCG

(2)【类比迁移】如图②，在矩形ABCD中，E为AD边上一点，且AD=8,AB=6,将

AAEB沿BE翻折到aBEF处，延长所交边于点G,延长BF交CD边于点H,且

FH=CH,求AE的长.

图②

(3)【拓展应用】如图③，在菱形ABCD中，E为CD边上三等分点，/。=60。,将.ADE

沿AE翻折得到AAFE,直线E产交于点P,求CP的长.

备用1备用2

936

【答案】(1)见解析；(2)-；(3)CP的长为一或一

225

【解析】

【分析1(1)根据将AAEB沿BE翻折到ABEF处，四边形ABCD是正方形，得=5尸,

ZBFE=ZA=90°,即得ZBFG=90°=ZC,可证Rt_BFG%Rt_BCG(HL)；

(2)延长A。交于。，设FH=HC=x,在RjBCH中,有8?+d=(6+/2,

r6BGFG一

711-=------=-----257

得x=—，DH=DC—HC=—,由ABFG^ABCH，得8「77,BG=—,FG=一,

336+--44

33

7

而EQ//GB,DQ//CB,可得器=器，即击=3，口。若,设AE=EF=m,

6~3

144

j-J_'j-।mc

则上=8—加，因上=—,有7=},即解得AE的长为二

BGFG2572

44

(3)分两种情况：(I)当。E=gr>C=2时，延长EE交AD于。，过Q作于〃，

设DQ=x,QE=y,^\AQ=6-x,CP=2x,由AE是的角平分线，有生三=)

62

①，在RtAHQE中，(1一;x)?+(日盼2=9②，可解得x=4，CP=2x=1；

(II)当CE=gz)C=2时，延长FE交A。延长线于Q',过。作。NLAB交班延长线

于N,同理解得x=£,CP=1.

【详解】证明：(1)将AAES沿BE翻折到ABEF处，四边形ABCD是正方形，

：.AB=BF,ZBFE=ZA=90°,

:.ZBFG^90°=ZC,

AB=BC=BF,BG=BG,

Rt_BFG沿Rt_BCG(HL)；

(2)解：延长BH,AD交于。，如图:

设FH=HC=x,

在RtBCH中,BC2+CH2=BH2,

82+x2=(6+x)2,

7

解得x——,

3

:.DH=DC-HC=—,

3

ZBFG=ZBCH=90°,ZHBC=NFBG,

:.^BFG^ABCH,

6BGFG

BFBGFG

----------------，即Rn87,

BCBHHC二

33

257

:.BG=—,FG=—,

44

EQUGB,DQ//CB,

AEFQ^AGFB,NDHQsACHB,

7

BCCH83

而‘即质=二

3

设AE=EF=m,则DE=8—m,

88144

/.EQ=DE+DQ=8-m-\----=-------m,

77

MFQSAGFB,

144

，旦交，即Tw，

BGFG257

44

9

解得加=一,

2

9

/.AE的长为一；

2

(3)(1)当OE=；OC=2时，延长EE交A£)于。，过。作"LCD于"，如图:

CP//DQ,

/.ACPESAQDE,

-C-P=-C-E=2c,

DQDE

CP=2x,

MDE沿AE翻折得到AAFE,

:.EF=DE=2,AF=AD=6,NQAE=NFAE,

.•.AE是AA。尸的角平分线，

AQ=QEan6-x裳①,

~AF~~EF即7

ZD=60°,

•.DH=—DQ=—x,HE=DE—DH=2——x,HQ=乖）DH=x,

在RtAHQE中,HE2+HQ2=EQ2,

厂.（1—；x）2+（^-x）2=y?②，

3

联立①②可解得％=—,

4

3

：CP=2x=-；

2

（II）当CE=：OC=2时，延长FE交AD延长线于。'，过。作ON,交B4延长线

于N,如图: