2025届高考数学二轮复习：等差数列（含解析）

2025届高考数学二轮复习专题卷等差数列

本试卷满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：

1.答题前，务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡规定的位置上。

答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦

2.擦干净后，再选涂其它答案标号。

3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。

4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。一、单项选择题：本大题共8小题，

每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正

确的选项填涂在答题卡相应的位置上.

L若数列｛4｝为等差数列，为数列｛%｝的前w项和，%+%>0,百1<0，则5“的最小值为（）

c.s,D.

A.S.5B.5,o/O

等差数列｛｝中，

2.4%=2,%=12,则«6的值为（）

A.18B.20C.22D.24

3.设数列｛%,｝的通项公式为4=2〃-7'则国+同+|%|+…+|%|=()

A.139B.153C.144D.178

:::二樱凯擞叫｝的前2”和为

4.己知数列｛4｝,4=2,%=°，且，

()

A.OB.2C.2024D.4048

5.等差数列｛4｝中,已知%+%+%=18,则该数列的前9项和为（）

A.54B.63C.66D.72

6.已知数歹！）｛4｝的前〃项和S'=2"—1,若a=1082%（〃小*）,则数列也｝的前“项和是（）

〃(几十1)/.、

A.2,!+1-1B.2"—1c

'2D.<n+1)

7.在等差数列｛4｝中,%+为）=10,则数列｛4｝的前14项和514为（）

A.55B.60C.65D.70

8.已知等差数列｛4｝的前〃项和为S”，若%=6,项=12,则应等于（）

A.lB.6C.8D.4

二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选

项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0

分.

9.数列｛4｝的前〃项和为S”，已知S,=-“2+7”，则下列说法正确的是（）

A.｛4｝是递增数列B.a10=-14

C.当〃>4时，4<0D.当〃=3或4时，S”取得最大值

10.已知数列｛4｝的前〃项和为S“，则下列说法正确的是（）

A.若q=2，an+a.=21,〃eN*）,a2022=3031

B.若S〃=p4+r（p,qw0），则当r=-p时,｛4｝是等比数列

C.若数列｛q,｝为等差数列，4〉0，久二风，则跖〉工

D.若数列｛q,｝为等差数列，*>0，儿<0，则〃=8时，*最大

H.等差数列｛4｝的前〃项和为S“，若邑<S8，S=耳，59〉号0，则（）

A.佝=0B.数列｛4｝是递减数列

c.s9<0D.s5=S12

三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.

12.己知数列｛%｝的奇数项依次成等差数列，偶数项依次成等比数列，且q=1,%=2,%+%=7，

%+4=13，贝！J%+%—.

13.习近平总书记在党的二十大报告中提出：坚持以人民为中心发展教育，加快建设高质量教育体系，

发展素质教育，促进教育公平，加快义务教育优质均衡发展和城乡一体化.某师范大学学生会为贯彻

党的二十大精神，成立“送教下乡志愿者服务社”，分期分批派遣大四学生赴乡村支教.原计划第一批

派遣20名学生，以后每批都比上一批增加5人.由于志愿者人数暴涨，服务社临时决定改变派遣计划，

具体规则为：把原计划拟派遣的各批人数依次构成的数列记为｛4｝,在数列｛4｝的任意相邻两项怎

与%一+1（左=1,2,…）之间插入丁个3,使它们和原数列的项构成一个新的数列也｝.按新数列出｝的

各项依次派遣支教学生.记为派遣70批学生后支教学生的总数，则S71的值为.

14.已知数列｛4｝满足=一2,且%M，S,为数列｛%｝的前〃项和，则52023=.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知等差数列｛4｝的公差dW0,且%=5,%,%，生成等比数列.

(1)求数列｛4｝的通项公式；

(2)设d=——求数列也｝前n项和为Sn；

a“+4"2

(3)设％=3"4求数列｛g｝的前项和7；.

16.已知等差数列｛q,｝满足：%=9，tz10=19-

⑴求数列｛4｝的通项公式an以及前n项和S“；

(2)求a、+iz4+H—+go的值.

17.如图是一块高尔顿板的示意图,在一块木板上钉着若干行相互平行但相互错开的圆柱型小木钉，小

木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃.将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰

到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中.当高尔顿板共有“+1(〃eN*)行小

木钉时，第i行的空隙从左到右分别编号为0,1,2，…工—1(2WiW〃+l"eN)，底部格子从左到右分

别编号为0,1,2,…九用X表示小球最后落入格子的号码.

(1)若〃=10,求小球在第3行落入编号为2的空隙的条件下，最后落入编号为5的格子的概率;

1?

(2)记X的数学期望为£--------.

7

E,(X)an+an+1

①设数列也｝的前n项和为Sn，求证:Sn>“(丁)；

②设与bn最接近的整数为c“，求数列｛c,,｝的前n项和.

18.记S,为等差数列｛4｝的前〃项和，公差d不为0,若2s3=352+3%,则｝.

19.已知数列｛”"｝，q=9，a“+i=3a,+63，S“是｛。”｝的前w项和.

(1)证明：数列为等差数列；

⑵求s“；

f2n

，〃为奇数，

(3)若b='S"一",

记数列也｝的前W项和为7；，证明：T4n<l.

(-1门.*—,〃为偶数

r，s„

参考数据：In2a0.69•

参考答案

1.答案：B

解析：由等差数列性质可得S[1="=11&<0'即4<0；

又4+。9=。6+。7〉0，所以。7〉0，

因此数列｛4｝的公差]>0,且前6项均为负值，

所以S的最小值为前6项和，即为用.

故选：B.

2.答案：C

解析：等差数列｛4｝中,%=2,%=12,

而％+R=2%，

所以4=2%-％=2x12—2=22.

故选：C

3.答案：B

解析*61n—2〃—7,Q〃+i—%—2(〃+1)—7—(2〃—7)—2，

二.数列｛4｝为等差数列，且。i=—5，d=2-

.•・前〃项和S=叫+迎也=-5〃+"T)X2=〃2_6〃.

〃122

|<2]|+|<z,|+•••+|<i|5|=_%_a?-g+%---H%5=-+(Rs—S3)=—2s3=153-

故选：B

4.答案：B

解析：当“为奇数时，a*2=an—2,4+2—。〃=—2,

所以数列｛4｝的奇数项构成首项为2,公差为—2的等差数列；

当w为偶数时，an+2=an+2,an+2-an=2,

所以数列｛4｝的偶数项构成首项为0,公差为2的等差数列.

所以，数列｛%｝的前2024项和为：

1012x10111011x1010

1012x2+1011x0+2=2.

22

故选：B.

5.答案：A

解析：・.•+。5+%=18，且。3+%=2。5，「•3a5=18,。56,

该数列的前9项和为s9=9（%+为）注出=9x6=

2

故选：A.

6.答案：C

解析：当〃=1时，/=，=21—1=1,

n11

当“22时，an=Sn-Sn_x=2-l-（2"--1）=2"-,ax1满足上式,

所以4=2"L

所以么=log?an+1=log22"=n,

所以数列也｝的前〃项和是1+2+3+…0

故选：C

7.答案：D

解析：由等差数列的性质可知,%+%）=q+囚4=1°，

根据等差数列前"项和公式:

S"="（a；%）=7（%+心）=70,

故选:D.

8.答案：C

%+2d=6

解析：由题意可得3x2，

3%H—--d—12

4=2

解得11,

d=2

%=4+3d=2+3x2=8.

故选：c.

9.答案：CD

解析：当〃22时，an=Sn—=—2n+8,

又a】=S]=6=—2x1+8,所以—2n+8,

则｛4｝是递减数列，故A错误；

4o=—12,故B错误；

当〃>4时，an=8-2n<0f故C正确；

7

因为S"=-〃2+7”的对称轴为〃=一，开口向下，

2

而"是正整数，且〃=3或4距离对称轴一样远，

所以当"=3或4时，S,取得最大值，故D正确.

故选：CD.

10.答案：AD

解析：对于A：q=2，an+an+l=3n>1,neN>

an_1+an=N2,"eN*）,

两式相减得：aa,=3（/i>2,neN*）>

所以4=1，=1+（1011-1）x3=3031-故A正确；

对于选项B：当r=_p,q=l时，S“=p_p=G（p,qwO），此时。“=0,

数列不是等比数列，故选项B错误；

对于选项C：若数列｛4｝为等差数列，q〉0，56=59.

6。]+15d=96+36d，二％=-7d〉0，

:.a8=a】+7d=0,S-j->故C错误；

对于选项D：数列｛4｝为等差数列，九〉0，$6<0，

...Si5=15%〉0，as>Q，.5"16（/+。9）<0,；.为<（）,

2

即数列前8项为正值，从第9项开始为负,

.•.”=8时，S”最大，故选项D正确；

综上所述：选项AD正确.

故选：AD.

11.答案：ABD

解析：对于A,由为=品,得=§9—$8=0,A正确；

对于B,由邑<58，得«s=S8-S7>0，等差数列｛4｝的公差d=—/=—%<0,

数列｛4｝是递减数列,B正确；

对于C,等差数列｛4｝的前8项都为正，第9项为0,则S9>0,C错误；

对于D,S],—=&+%+g+%+4o+a”+42=7佝—0,D正确.

故选:ABD

12.答案：23

解析：设数列｛«„｝的奇数项依次成公差为d的等差数列，

偶数项依次成公比为q的等比数列，

由q=1,a2—2,%+%=7，%+4=13，

故l+d+2q=7,1+2d+2/=13,

3

解方程得d=q=2.故%=4+3d=7,aS=a2-q=16,

则o7+ag—23.

故答案为：23.

13.答案：390

解析：•.•数列｛4｝满足%=5%+15,

a1=20,a,=25,%=30,

%=35,%=40,a6=45

・••在任意相邻两项ak与以+1（左=1，2,…）之间插入2*个3,

,其中4,4之间插入2个3,出，的之间插入

4个3,a3,%之间插入8个3,%，%之间插入16个3,

%，%；之间插入32个3,a6,%之间插入64个3,….

又6+2+4+8+16+32=68<70,

6+2+4+8+16+32+64〉70

二数列出｝的前71项含有｛%｝前6项和65个3,

故S71=20+25+30+35+40+45+65x3=390.

故答案为：390.

14.答案:2024

4

解析：由q=-2,且a=-------

n+l2—4

444

可得为-=4,%=­2=%

2-Q]2-。22—生

故｛4｝是以周期为3的等差数列，且％+出+。3=-2+1+4=3,

所以>^2023=674(4+%+幻+弓=674x3-2=2020,

故答案为：2024

15.答案:(1)an=2n-l

(2)S=n

n2〃+l

(3)(=3+(〃—

解析：（1）根据题意，因为%=5,%,电，生成等比数歹人

4+2d—5

所以4z\2/\，又dw0，

(%+d)=q⑼+钮)

解得q=l，d=2.

故Q九=l+2(n—l)=2n—1；

711

(2)因为2=-2A=7?2

Q〃+4〃-2(2〃-1)+4zz—2

.1_1=lp_____

4n2-l(2H-1)(2H+1)2｛2n-l2n+l)

1

所以=4+&+••

2n+l

n

2n+l

（3）•.•C,1=«„-T=（2«-l）.y

:.TII^C1+C2+---+Cn_1+Cn=1-3+3召2+…+（2〃—3卜3呀1+（2〃—1）.3"①,

3Tn=1-32+363+…+（2九一3>3"+（2九一1卜3向②,

①-②得

-27；=3+2（32+33+---+3"）-（2TI-1）-3"+1

=3+2><9（：-：

=2（1-M）-3W+1-6

.-.7；=3+（n-l）-3n+1.

16.答案：（1）%=2〃-1，5〃=岛

（2）210

解析：（1）设等差数列｛4｝的公差为d,

所以d=411*=生2=2，

10-55

所以为=%+（〃—5）d=9+2（〃—5）=2〃—1，则％=1，

所以s/（二+4）〃（l+2〃—1）2

n

〃22~

（2）由等差数列的性质可得：的，为，〃6,…是以4=3为首项，公差为4的等差数列，所以

。2+44+。6"I---。20=10x3H----——X4=210-

17.答案：（1）7_

32

（2）①证明过程见解析；

,n=2k—l,keN*

®T=八f—21J

n（n+2）*

△------L,n=2k,keN

[4

解析：（1）设“小球在第3行落入编号为2的空隙”为事件A,“小球最后落入编号为5的格子”为事件

B,

设向右下落次数为y.

因为小球在第3行落入编号为2的空隙的条件下，最后落入编号为5的格子，

所以在接下来的8次下落过程中一定有5次向左、3次向右,

所以尸（3|A）=P（y=3）=C；出=5

小球在第3行落入编号为2的空隙的条件下，最后落入编号为5的格子的概率为二;

32

⑵①乂〜台,则七（X）=g

oo,22"("+1)

所以可二9+匚^^所以母一二二一心丁一下乃"-

nn+\nn+i—H-------

nn+1

nn(n+l)nn

因为〃一一=----L一一>0,所以人>--

〃22M+122(2H+1)"2

故数列也｝的前n项和S“〉="（丁）.

②因为:_＜工+,＜2,所以四＜6＜丝1

〃+1n〃+1n2〃2

当"为奇数时，11为整数，故C=3,当〃为偶数时,4为偶数，故cJ

2〃22"2

Z1+-，〃=2"1,%£N

所以=,2

—,n=2k,k€N*

[2

当〃=2左时,。21+。2k=2屋所以j=左（2：+2）=/（左+］）,

由于T，故“(”+2)

2―_4~.

当〃=2左+1时1=24+1，所以右M=1+蛆萨@=（4+1户

18.答案：1

解析：在等差数列｛4｝中，由2s3=3邑+3%,

得2(3%+3d)=3(2q+d)+3ax,

整理得q=d,所以,=1.

故答案为：1

19.答案：(1)证明见解析；

(3)证明见解析

解析：(I)由题，得4包—组=2；

3什13"

又色=3,所以数列1%］是以3为首项，2为公差的等差数列.

3134

(2)由(1)可知号=3+2(“一1)=2"+1，故4=(2"+1>3".

S„=3x31+5x32+7x33+...+(27i-l)-3,,-1+(2n+l)-3^

则3s“=3x32+5x33+7x34+…+(2”—1)•3"+(2"+l)-3n+1-

两式相减得，

123,lnn+\

-2Sn=3x3+2-(3+3+---+3"+3)-(2n+l)-3

2X32X(1-3?!-1)

=9+-------力-----(2〃+1)-3日

=(—2〃>3"1，

所以S'=〃3"+i.

甲+】/为奇数,

(3)由(2)可知人=1°T

nn9

(-1)十2,“为偶数，

1n

所以数列也｝中的奇数项/t=黄工(左CN*)，

2〃八〃

偶数项如.2=〃J砥=(keN)，&-EVi+EVz+E^-

2K-12kk=\k=lk=\

71,则%1=一一<二

由于则8.9%T<9左一］，所以一；——<...-7T

_9t-14-9^2k~x9左一14.9%一i

2n_2221111、9「1、9

所以A??J------------1-----\----F…-I---------------<一(-77H------+…-I-----------)=------(1---Z—)<------

k=\9-192-192n-l49°919213292n32

.+-+L.J)

由于Zd"2+Z°4&=(1+弓+W+-

k=lk=lJ32/7-12462n

111111

+歹++

1+-+-+—+•••+212(2-4-6-

」