2025高考数学专项复习：双曲线（教师版）

第十人神能曲南

一:考情分析

命题解读考向考查统计

1.高考对双曲线的考查，重点是2023•新高考I卷，

（1）双曲线的定义、几何图形和标准方程。16

（2）双曲线的几何性质（范围、对称性、顶点、双曲线的离心率2024•新高考I卷,

离心率、渐近线）。12

（3）直线和双曲线的位置关系及综合应用。

—：2024高考命题分析

2024年高考新高考I卷考查应用定义求解双曲线的离心率，难度较易。II卷是双曲线与数列的综合问

题,后续专题会解读。双曲线是圆雉曲线的重要内容，但从总体上看，双曲线的考试要求要比椭圆和抛物线

低，在双曲线的试题中，最为重要的是三点是:方程、渐近线、离心率。预计2025年高考还是主要考查双曲线

的定义和离心率、渐近线。

三:试题精讲

一、填空题

【题1】（2024新高考I卷-12）设双曲线斗=l（a>0,b>0）的左右焦点分别为耳、&过其作平行于沙

ab

轴的直线交。于A,B两点，若㈤川=13,|AB|=10,则。的离心率为.

【答案居

【分析】由题意画出双曲线大致图象，求出|4月，结合双曲线第一定义求出以同，即可得到a,b,c的

值，从而求出离心率.

2

27.

[详解】由题可知A,B,F2三点横坐标相等，设A在第一象限，将力=c代入4----7=1

ab

得夕=±今，即4（。,才）,口（。,_?）,故|人曰=誓=10,|4同|=9=5,

*

又—|4止=2Q,得\AF]\=月|+2。=2。+5=13,解得0=4,代入一=5得廿=20,

a

故c?=a2+/=36,,即。=6,所以e=9=§=日.

a42

高考真题练

一、填空题

］（2023新高考I卷-16）已知双曲线。:4―%=1（&>0,6>0）的左、右焦点分别为入片.点人在。上,

ab

点B在？/轴上，用4_LEB,&4=—左明,则。的离心率为

O

【答案】堂74^5

55

【分析】方法一：利用双曲线的定义与向量数积的几何意义得到M司,|石四,|8同,关于a,m的

表达式，从而利用勾股定理求得a=小，进而利用余弦定理得到a,c的齐次方程，从而得解.

方法二:依题意设出各点坐标，从而由向量坐标运算求得四）=~|-c,g（）=—|-t,/=4c）将点Z代入

双曲线。得到关于Q,b,C的齐次方程，从而得解；

【详解】方法一：

依题意，设=2nz,则项=3nz=|8E|,|4R|—2a+2m,

在Rt/\ABF1中，9m2+（2a+2m）2=25m2,则（a+3m）（Q—m）=0,故Q=?n或a=—3m（舍去）,

所以|AR|=4Q,|4月|=2Q,I班I=I班I=3Q,则朋=5a,

_I-司__4

故cosZ.F[AF1

\AB\5a5

所以在A4E片中，cos/E/E=16『+4a;4c2=±,整理得5c2=9a2,

2X4aX2a,5

依题意，得R（一c,o）谯（c,o）,令4g，9o），B（O，方），

-->Q-----------------------QK9

因为FA=―1月8,所以（g—c,go）=—1（一c,。，则x=-c,y（=一■—t,

2ooo（）o）

又瓦威所以百N.晶=字,_弱4,±）=??_卦=0,则力2=4。2,

又点人在。上，则—父-=1,整理得空一空=i,则写一吗=i,

a2b29a29b29a29b2

所以25c2/—16c2a2=9a2b2,即25c2（^—-16a2c2=9a2（c2-a2）,

整理得25c4-50a2c2+9a4=0,则（5c?—9a?）（5c?-a?）=0,解得5c2=9a2或5c2=a2,

又e>l,所以e=晔或e=*^（舍去），故e=".

555

故答案为：耳区.

5

370

知识点总结

一、双曲线的定义

平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数（大于零且小于困区|）的点的轨迹叫做双曲线（这两

个定点叫双曲线的焦点）.用集合表示为｛Af|IIMFJHA坦||=2a（0<2a<|瓦图）｝.

注意：（1）若定义式中去掉绝对值，则曲线仅为双曲线中的一支.

（2）当2a=|鼻州时，点的轨迹是以E和£为端点的两条射线；当2a=0时，点的轨迹是线段的垂直平分

线.

（3）2a>㈤£|时，点的轨迹不存在.

在应用定义和标准方程解题时注意以下两点：

①条件"㈤月>2a”是否成立;②要先定型（焦点在哪个轴上），再定量（确定a?,/的值），注意£+廿=的应

用.

二、双曲线的方程、图形及性质

标准方7/2

--^=1(«>0,5>0)力-3=l(a>0,b>0)

程

W'4,

图形

a

隹占坐

E(—c,。)，£(c,o)E(o,—c),E(o,c)

标

对称性关于工，V轴成轴对称,关于原点成中心对称

顶点坐

Ai(-a,0),4(a,0)4(0,a),4(o,—a)

标

范围\x\'a\y\>a

实轴、虚

实轴长为2a,虚轴长为2b

轴

e==(e>1)

离心率i7^?

人//.।b人g2—a

渐近线令F----=0n=>?/=±—x，令下一7T=0ng=±TX，

ab2aab2b

方程焦点到渐近线的距离为b焦点到渐近线的距离为b

点和双

曲线>1,点（g,go）在双曲线内>1,点（g,伙））在双曲线内

（含焦点部分）（含焦点部分）

的位置

a2b2=1,点（g,伙））在双曲线上a2b2=1,点（&,夕0）在双曲线上

关系VI,点（g,伏））在双曲线外<1,点（0,班）在双曲线外

共焦点

i--------^=l(-a2<fc<b2)

的双曲=l(-a2<fc<62)

a2+fcb2-ka2+fcb2-k

线方程

共渐近

线的双弓一（=■什22

0）》力=20)

曲线方a2b2

程

切线方

考—誓=1,（如如为切点等—需=1,（0,涣）为切点

程a2b2a2b2

切线方

对于双曲线上一点所在的切线方程，只需将双曲线方程中/换为gc,才换成,修便得.

程

切点弦隆-箸=1,%,加为双

等-爷=1,（附加为双曲线外一点

所在直曲线外一点

线方程

点（0,%）为双曲线与两渐近线之间的点

设直线与双曲线两交点为4g,幼），氏如纺），kAB=k.

弦长公则弦长\AB\=/1+兴・\xx-x2\=Jl+±・%―统（kWO）,

式

E-电|=J（伤+g）2-4/逆2=*，其中“优'是消"，后关于“比”的一元二次方程的飞如系数.

W

通径通径（过焦点且垂直于EE的弦）是同支中的最短弦,其长为T

双曲线上一点P（g,%）与两焦点6片构成的APEE成为焦点三角形，

殳Z.F[PF=0，「剧—n,=/2，贝Ucos。=1——，

2一一一，1/2

yk^wo）

O1\F^X

b

焦点三lSMKE_2『3皿--cos。-tan£一

角形

C0|,焦点在立轴上

dgl，焦点在"轴上'

辱点三角形中一般要用到的关系是

〕|PEHP现=2a（2a>2c）

«VFEbpElsinNEPE

」EEF=[F<+FEF—21P倒|PE|cosNEPE

等轴双等轴双曲线满足如下充要条件:双曲线为等轴双曲线oa=bo离心率e=两渐近线

曲线互相垂直O渐近线方程为y=±x^方程可设为x2-y2=4（4丰0）.

【双曲线常用结论】

1、双曲线的通径

过双曲线的焦点且与双曲线实轴垂直的直线被双曲线截得的线段,称为双曲线的通径.通径长为空.

a

2、点与双曲线的位置关系

对于双曲线《一々■=l（a>b>0）,点P（g。。，。。。明）在双曲线内部，等价于岑■一磬>1.

ab2ab

点P（g。。，。。。队）在双曲线外部，等价于当—粤<1结合线性规划的知识点来分析.

a'b-

3、双曲线常考性质

性质1：双曲线的焦点到两条渐近线的距离为常数b;顶点到两条渐近线的距离为常数9；

C

性质2：双曲线上的任意点P到双曲线。的两条渐近线的距离的乘积是一个常数明；

C

4、双曲线焦点三角形面积为一^y（可以这样理解，顶点越高，张角越小，分母越小，面积越大）

5、双曲线的切线

22

点河（g。，。。加）在双曲线。一斗二l（a>0。，。。b>0）上，过点M■作双曲线的切线方程为当■一驾

abab

22

=1.若点M（co。，。。明）在双曲线之一斗=l（a>0。，。。b>0）夕卜，则点V对应切点弦方程为警一

aba

/T

名校模拟练

一、单选题

22

「43】（2024•甘肃兰州・三模）已知双曲线—2=l（nz>0）的实轴长等于虚轴长的2倍，则。的渐

3m+2m

近线方程为（）

A.y=±-^-xB.yC.y=±2xD.y—+^/2x

【答案】。

【分析】先得到方程，求出7n=2,得到双曲线方程和渐近线方程.

【详解］由题意得，37n+2=2vV云，解得7n=2,

/予2、

C:-----=1,故渐近线方程为y=±2x.

o2

故选：c

「（2024•浙江绍兴・三模）已知用，E为曲线C：卑+幺=1（小片4）的焦点，则下列说法错误的是

4m

（）

A.若nz=l,则曲线。的离心率6=

B.若m,=—1,则曲线。的离心率e=^

C.若曲线。上恰有两个不同的点P,使得=90°,则机=2

D.若m,<0,则曲线。上存在四个不同的点P,使得ZF[PR=90°

【答案】。

【分析】根据给定的方程,结合椭圆、双曲线的性质逐项分析判断即可得解.

【详解】对于当772=1时，曲线。是椭圆，离心率e=，人正确；

对于当m=—1时，曲线。是双曲线，离心率0=乂^^=今，6正确；

对于。，当m=8时，曲线。是椭圆,其短半轴长6=2,半焦距c=Vm—4=2,

显然以线段E用为直径的圆恰过这个椭圆短轴端点，即符合条件的小可以是8,C错误；

对于。，当mV0时，则曲线是焦点在re上的双曲线，则因月>4,

以线段RR为直径的圆与双曲线有4个交点，即符合条件的点P有4个，。正确.

故选：C

22

逃]（2024・安徽・三模）过双曲线。:当一与=l（a>6>0）的下顶点F作某一条渐近线的垂线，分别与两

ab

条渐近线相交于河,N两点，若标=2而Z则。的离心率为（）

A.-B.V3C.2V3D.3

O

【答案】4

【分析】过点尸作另一条渐近线的垂线尸AT于1r,借助双曲线的对称性计算可得华，即可得离心

0

率.

【详解】过点尸作另一条渐近线的垂线尸M7于AT,由对称性可得=\FM'\,

由标=2前，贝I有|7VF|=2|FM'|,贝INFNM，=4,

o

故Z.NOM=三,故Z.NOF=劣,故？=tan（=―三）=tan^-=V3,

36b\26，3

即e=?===

故选：A.

2&2

【港6】(2024•全国•三模)已知双曲线C：/7—4=l(a>0,b>0)的左、右焦点分别为E,月，且离心率为e=

ab

过点月的直线1与。的一条渐近线垂直相交于点。，则tan/DF]£=()

A.B.C.2D.3

o/

【答案】4

【分析】设焦点月(c,0)，根据题意求点D的坐标和N的值，进而画出图象即可解决.

【详解】不妨设焦点E(c,0)，其中一条渐近线为4=寺2,则直线I的方程为y=--^(cc—c),

r_b_

由"一七、解得"蓝'即。(止,9)，

因为e===g币=祈'所以"=2,

过点。作力轴的垂线，垂足为H,如下图:

故选：4

【题7】(2024•四川成都•三模)已知双曲线考■一斗=1(a>0,6>0)的左焦点为&点。为坐标原点，点”

ab

为双曲线渐近线上一点且满足|频|=|。河|,过区作,轴的垂线交渐近线于点N,已知\MF[\=

4|八阴|,则其离心率为()

A.2B.V3。―乎D-V5

【答案】。

【分析】设M,N两点、的坐标，然后利用两点间距离公式列方程求解即可.

【详解】

盟=|（W],故点M在OE的垂直平分线上,

则点河的横坐标为一看,且过E作t轴的垂线交渐近线于点N,

故设点~c,y2),

不妨设M,N均在y=—x上,则％=—磐~,y?=——,

a2aa

・・・|询|=竽|岫|,尸（一。,0）,

亲("4a2=%

16\Q/

.•.&=2,故离心率为e=£=Jl二币=近不4=

故选：D.

【题8】（2024•山西阳泉•三模）已知双曲线。:]—%=l（a>0,b>0）的左、右焦点分别为此,&双曲线的右

abz

支上有一点4人用与双曲线的左支交于点B,线段A月的中点为M,且满足BAQ若/月月用=看,

O

则双曲线。的离心率为（）

A.2B.V6C.V7D.V13

【答案】。

【分析】根据条件得△/巧是等边三角形，设△?!朋的边长为g结合双曲线定义得\AF{\=6a,

M月=4a,在△4F；用中，由余弦定理求得离心率.

【详解】

因为河是线段/区的中点，且所以\AB\=\BF^,

又/用4鸟=谭■，所以△人6月是等边三角形，

设△ABE的边长为m,由双曲线的定义知，丛剧—|4月|=2a,\BF^-\BF^=2a,

所以\AF1\=m+2af\BFl\=m—2a,

又|AJF]|—\BF{\=\AB\=m,所以nz+2a—(m—2a)=nz,即zn=4Q,

所以|AE|=6Q,|A^|=4Q,

在AARR中，由余弦定理知，出用『=用2+aw_2M/以月cos看,

o

所以(2c)2=36a2+16a2—2x6ax4axj=28a2

即C=，7Q,所以离心率e=£~=，7.

故选：C

【题9】(2024咛夏银川・三模)已知双曲线后：名—%=1(&>0,5>0)的左、右焦点分别为&&过点月的

abz

直线与双曲线石的右支交于A,8两点，若|AB|=ME|，且双曲线E的离心率为，万，则cos/A4E=

()

A.可乙B.-4C.JD.—春

8488

【答案】。

【分析】由双曲线的定义结合已知条件求得|8月=2a,从而再得|班|=4a,由余弦定理求得

cosNBBR,由诱导公式得cos乙4月&设=m,则以同=成+2a,再由余弦定理求得小，从而

利用余弦定理求解即可.

【详解】因为双曲线E的离心率为所以c=2a,因为\AB\=\AF{\,

所以\BF^=\AB\-\A^\=\AF{\-\AF^\=2a,

由双曲线的定义可得\BF{\-\BF^=\BF{\-2a=2a,

所以|B^|=4a=2|B^|,

在△班月中，

在△ARE中，cosZ^A=-cos/E号B=下，

设|A耳|=m,则|AF1|=m+2a,

由|4后|2=I片网+a匈2-2运砌A^cosN后段4得

(2a+m)~=(2A/2a.)2+Tn?—2X2^/2o.,tn,,解得m=­—a,所以

4JO

\AF^+\AB^-\BF^里+里一nk?

所以cosZ.BAFl1

2\AF^\AB\2*x8

故选：D.

22

f(2024•湖南永州•三模)已知后，月分别是双曲线与一冬=l(a>0,b>0)的左、右焦点，点。为坐标

一(Ib

原点,过河的直线分别交双曲线左、右两支于A,B两点，点。在①轴上，无=3瓦A,B耳平分/号BC,

其中一条渐近线与线段交于点P,则sin/PO^=()

AV41V42V43口24

A-------R-------(r,-------J---------

【答案】B

【分析】由眉=3扇可得△用4凡〜△EBC,结合角平分线的性质和双曲线的定义可得\BF^=

\AF,\=|AB|=4a°，从而可得NAB同=60°,在△鼻B耳中，由余弦定理可得c=Oa,进而可得。

C

='或，而tanZPOK=卫,从而可求解.

7a

【详解】

如图•.•闻=3扇，:.△EAE~MBC，囱网=2c,|C^|=4c,

设|AE|=1,则I班|=3力|48|=2九

•••B区平分AF.BC,：.=2,

m因为

\BC\=2出局=6t,\AF,\=^-\BC\=2t,

o

由双曲线定义可知=t=|班|—|B£|=2a。,

A\BF^\=\AF^\=\AB\=4a。，即ZABR=60°,

在△鸟诚中，由余弦定理知

区8产+近82因月2(6ay+(4a)2—(2cy

cos/EBR

2四师因冏2・6Q・4Q

化简得c=V7a,由o2+/=/得

C

不妨令一条渐近线与线段AB的交点P在第一象限，则tan/PO£=O,二sin/POE=。=

ac7

故选：B

【点睛】关键点点睛:这道题的关键是由怎=3我N可得〜△及8。,结合角平分线的性质和双

曲线的定义可得|班|=\AF^\=\AB\=4a°，从而可得NABE=60°.

（2024•天津河西・三模）已知后，月是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且2FF®=

若椭圆的离心率为ei,双曲线的离心率为e2,则e；+芭的最小值为（）

O

A.3+V3B.5+^C.2+^D.4

【答案】。

„2?/22?/2

【分析】设椭圆和双曲线的方程分别为：--H——=1,----------=1,易得Q；—忧=+b|=",设

atb（aibi

\PF1\=m,\PFl\=71,利用椭圆和双曲线的定义得到771=出一。2，九=出十02,然后在△PR月中，利用

余弦定理得到占+鸟=4,然后利用基本不等式求解.

e?虚

【详解】解:如图所示：

尤+止=1之—日=1

由题意得请一忧=城+战=02,

设|PE|=M,|PE|=九，则m+n=2<Zi,n—m—2a2,

解得m=Qi—。2,九=Qi+。2，

在△丹退中,由余弦定理得：㈤研=|F^|2+\PF^~2|F^|-|F^|-COS/EP&

即（2c）2=（电一0,2）2+（。1+。2）2—（。1—。2）（。1+。2），化简得4c?=Q；+3Q；,

则今+/4，

所以"上士+，呜+第TA曾+4）,

5「4）=三

当且仅当鸟="，即£=小城时，等号成立；

e?芭

故选：C

21/2

（2024•浙江杭州•三模）已知双曲线三■—4=l（a,b>0）上存在关于原点中心对称的两点A,B,以及

ab

双曲线上的另一点C,使得△48。为正三角形，则该双曲线离心率的取值范围是（）

A.+°o）B.（A/3,+°o）C.（2,+oo）D.（2；，+8）

【答案】人

【分析】设点A@y）,则可取C（-质’,代⑼，代入双曲线方程整理可得%+\,结合渐近线

xa+3b

列式求解即可.

【详解】由题意可知：双曲线的渐近线方程为y=±々2,

设点A{x,y）,则可取。（一遍仇居力）,

整理得目3a+b2/b2

-----------—

X2a2+3b2a2

2/_2~_

解得/>Q?,即/—O2>Q2,可得C_>2,则e=£=yj，

所以该双曲线离心率的取值范围是（2,+8）.

故选：4

【点睛】关键点点睛：1.巧妙设点:设点A（x,y），根据垂直和长度关系可取。（一通仇，^/）;

根据渐近线的几何意义可得：为〈耳.

x2a2

二、多选题

；（2024・河北邯郸・三模）已知双曲线。:二7一—^=1,则（）

/i+63-/I

A.4的取值范围是（一6,3）B.。的焦点可在①轴上也可在沙轴上

C.。的焦距为6D.。的离心率e的取值范围为（1,3）

【答案】AC

【分析】根据双曲线方程的特征，易于求得一6</!<3,判断方程中分母的符号即可判断项，计

算易得。项，先算出离心率的表达式,再根据4的范围，即可确定e的范围.

【详解】对于A,V工r--^―=1表示双曲线，.•.4+6）（3—4）>0,解得一6V4V3,故A正确;

/i+o3—/t

对于8,由4项可得一6V4V3,故4+6>0,3—4>0,・・.C的焦点只能在c轴上，故8错误；

对于。，设。的半焦距为c（c>0）,则。2=/1+6+3—4=9,；.c=3,即焦距为2c=6,故C正确；

对于。，离心率e=T=，,•,一6<义<3,.,.0<71+6<3,，e的取值范围是（1,+8）,故。错误.

V/1+6

故选：47.

（2024•河北保定•三模）已知双曲线C：工■—当=l（a>0,6>0）的左、右焦点分别为&&过点用的

a2b‘

直线与。的左支相交于P,。两点，若且4|PQ|二3|PM，则（）

A.\PQ\=2aB.PF{=-2QR

C.。的离心率为吗］D.直线PQ的斜率为±4

【答案】/CD

【分析】设炉囿=力，IQ同=4,结合双曲线的定义与勾股定理可以求得的值，即可判断出A,B

选项；再结合勾股定理可以求得a,c的关系，再求出离心率；求直线的斜率，在直角三角形中，用斜率

的定义求正切值可以求得直线的斜率.

【详解】如图，由4|FQ|=3|F^|,可设\PQ\=3m,\PF^=4m.

因为PQ,PE,所以|Q月=5m.

设|P司=*,|QE|="，则4m—x=2a,5m—y=2a,x+y=3nl，解得m=

所以|PQ|=2a,故A选项正确；调=2须，故口选项错误；

在APFM中，由+I尸时=㈤时，得/+穿=4c2，则鸟=手

99a9

从而。的离心率为故。选项正确.

O

2行2

（2024•贵州贵阳•三模）双曲线C:号—27=l（a>0,6>0）的左、右焦点分别为点E,&斜率为正的

ab

渐近线为几过点月作直线。的垂线，垂足为点4交双曲线于点P,设点河是双曲线。上任意一点，若

表则（）

O

A.双曲线。的离心率为，5

B.双曲线。的共朝双曲线方程为才一岑=1

4

C.当点河位于双曲线。右支时，妈到e（i,吗笈

\MF2\\2

D.点河到两渐近线的距离之积为4

5

【答案】/CD

【分析】利用三角形面积公式得ab=2,再利用余弦定理得b=2a,则解出双曲线方程,再利用离心率

定义和共朝双曲线方程的含义即可判断48；对C,计算得*^=1+上7,再根据\MR\>V5

\MF^\\MF^

—1的范围即可判断；对，M（T0,y0）,利用点到直线的距离公式并结合点双曲线上化简即可.

【详解】如图，因为|人匆=6,所以|尸的=得心

O

2ab

\yP\=iF^lsinZF^=会•包

oC~3c

，所以ab=2,又\PFl\=~1~b+2a,

o

闽剧2+|p匈2一炉对4c2+(j~b)2—(j~b+2a)2

在ZYPEE中，cos/F月Eb

2闽同|P片|2-2c-|fec

化简得b=2a,所以a=l,b=2,c=V5，双曲线C方程为rr2-=1,

对于/,双曲线。的离心率为q=",A正确；

a

对于B,双曲线C的共朝双曲线方程为,一c2=1,口错误；

——[MFA|7WZ^|+29m,।Ir-

对于C,\一、=1+^^,因为A^>V5-1,

\MF,\\MF2\\MF,\

则+注疸，即七斗e（2,3t/^LC正确；

\MF2\2\MF2\'2」

对于。，渐近线方程为g=±2%，设Af（g,jo）,

点M到两渐近线的距离之积为一。二二.一"曲=词=4。+；）g。正确,

V5V5555

故选：ACD.

2

222

【题16】（2024•山西吕梁•三模）已知椭圆与+%~=1（。1>A>0）的离心率为e1,双曲线%

1（02>0也>0）的离心率为e2,两曲线有公共焦点后，月,P是椭圆与双曲线的一个公共点，/号P£=60°,

以下结论正确的是（）

A.a：一冠二叶-blB.—=1

4ei4音

C.说=3设D.若ezC［遍,2］网生6

【答案】BCD

【分析】根据焦距相等可判断4根据椭圆和双曲线定义，结合余弦定理整理可判断8；根据B中4c2

=瑞+3调变形可判断C;由5中结论，结合e2的范围可判断D

【详解】根据题意，设砥-c,0),凡(c,0),

对于4中，因为椭圆与双曲线有公共焦点，可得，所以瑞一比=房+房,

即a；—谒=睨+园,所以71错误;

对于口中，不妨设点p在第一象限，由椭圆和双曲线的定义，可得僚m：

所以|尸网|=Q1+。2，|尸用|=Q1—02,

又由余弦定理得网网2=「倒2_2|PE|・|P倒cos60°,

可得4c2=2Q；+2Q|—(Q；—0-2)2=Q：+30.2,

对于C中，由肃一/=3。2—3谒,可得比=31，所以C正确;

对于。中，因为6e⑵，所以aE,

音L43」

由大+总=1可得^C［3,芋］，所以SC［喑，噂］，所以。正确.

故选：BCD.

(2024•重庆・三模)已知双曲线。:与一3=l(a>0)的左，右焦点分别为瓦E，P为双曲线。上点，

a16

且APEE的内切圆圆心为1(3,1),则下列说法正确的是()

A.a=3B.直线PE的斜率为1

C.APE胤的周长为粤D.的外接圆半径为黑

【答案】4co

【分析】对于4根据三角形与其内切圆性质结合双曲线定义即可求解;根据已知条件耳4、月41A

以及与各个所需量的关系即可求出NPEA=2//及4、NP®A=2N/&4和乙做¥］,进而可依次求

出直线PF1的斜率、结合焦三角形面积公式=(PR”个+居琦丁得△PEE的周长、结合正

弦定理得AFEE的外接圆半径.

【详解】如图1,由条件，点P应在双曲线。的右支上，

设圆/分别与△?及用的三边切于点河、N、A,则由题4(3,0),

且\PM\=\PN\,\F.M\=㈤川，㈤N|=\F2A\,

又:=|EM-困N|=\AF{\-\F2A\=(%+c)—(c—%)=2xA=2a

：.a=xA=3,A选项正确；

Mli

由选项人得砥—5,0),耳(5,0),连接小、典、L4,则tan//瓦4的司一百

2tanZ7?]A16

所以k=tanZPi^A=tan2ZZ/<[A,8选项错误;

PFil-tan2ZZF!A63

同理,tan/P握A=tan2N/葩4=,,

O

1o

・•・tan/EF月=—tan（/PEA+2后入）=—青

3

tan

22

所以由焦三角面积公式得$明至=---32

~3

tan2