2024年中考数学试题分类汇编：综合与实践探究类问题（解析版）

2024年中考数学真题专题分类精选汇

专题35综合与实践探究类问题

1.(2024黑龙江绥化)综合与实践

问题情境

在一次综合与实践课上，老师让同学们以两个全等的等腰直角三角形纸片为操作对象.

纸片AABC和QEF满足ZACB=ZEDF=90°,AC=BC=DF=DE=2cm.

下面是创新小组的探究过程.

操作发现

(1)如图1,取48的中点。，将两张纸片放置在同一平面内，使点。与点尸重合.当旋转AD£F

纸片交4c边于点H、交5C边于点G时，设/〃=x(l<x<2),BG=y,请你探究出了与x的

函数关系式，并写出解答过程.

问题解决

(2)如图2,在(1)的条件下连接GH,发现ACGW的周长是一个定值.请你写出这个定值，并

说明理由.

拓展延伸

(3)如图3,当点尸在边上运动(不包括端点A、B),且始终保持//也=60°.请你直接

写出AZ)£尸纸片的斜边与纸片的直角边所夹锐角的正切值(结果保留根号).

图1图2图3

2

【答案】(1)y=-(l<x<2),见解析；(2)2,见解析；(3)2+也或2-C

JC

【解析】【分析】(1)根据题意证明,得出关系式=•斯，进而

求得45=20,/尸=5。=血，代入比例式，即可求解；

(2)方法一：勾股定理求得GH,将将(1)中孙=2代入得G8=x+y-2,进而根据三角形的

周长公式，即可求解；

方法二：证明△/。笈，AHAOsAHOG，过。作(W_!.///交/笈于点作

OP上HG交HG于点、P,作0NJ_G5交GB于点N.证明名△。尸打，

△OPG名ZXONG，得出HG=MH+GN,得出CW=。乂=48。=1,进而根据三角形的周长

2

公式可得△CHG的周长=CW+CN=2CM=2x1=2.

方法三：过。作〃交4FZ于点/，作ON_LGS交GB于点N,在N3上截取一点。，使

N。=,连接0C.得出丛OMH沿丛ONQ,△08G也△OQG，则7/G=G0=GN+,

同方法二求得CW=CN=LBC=1,进而即可求解；

2

（3）分两种情况讨论，£/于NC,8C的夹角；①过点R作方NLZC于点N,作的垂直平分

线交FN于点、M,连接〃“，在Rt^MNH中，设:NH=k,由勾股定理得，

FN=MN+MF=（2+塔k,进而根据正确的定义，即可求解；②过点/作EV_L于点N,

作/G的垂直平分线交BG于点M,连接9,在Rt△月VW中，设FN=k,同①即可求解..

【详解】操作发现

解：（1）ZACB=ZEDF=90°,且4C=BC=DF=DE=2cm.

/.ZA=NB=ZDFE=45°,

ZAFH+ZBFG=ZBFG+ZFGB=135°,

AAFH=ZFGB,

AAFHsABGF,

.AFAH

••一,

BGBF

AHBG=AFBF.

在Rtz\/C8中，AC=BC=2,

AB=^AC2+BC2=V22+22=2V2，

...。是48的中点，点。与点R重合，

AF=BF=4i,

xy=V2xV2，

问题解决

（2）方法一：

解：ACG8的周长定值为2.

理由如下：VAC=BC=2,AH=x,BG=y,

：.CH=2-x,CG=2-y,

在RtAT/CG中，；.GH=yJCH2+CG2=^(2-x)2+(2-y)2

=y/x2+y2-4(x+-y)+8=+y)2-2xy-4(x+-y)+8•

将(1)中中=2代入得：

GH=+-4(x+y)+4=J(x+y—2『=|x+j-2|•

(x+j)2=x2+y2+2xy=x2+y2+4>4,X1<x<2,

x+y>2,

GH=x+y—2.

•/△SG的周长=CH+CG+GA,

△C7/G的周长=2-x+2—y+x+y—2=2.

方法二：

解：ACGH的周长定值为2.

理由如下：：AABC和ADEF是等腰直角三角形，

ZA=ZB=ZE=ZEOD=45°,

ZAOH+ZBOG+ZEOD=180°,

ZAOH+ZBOG=135°,

在/中，NZ=45°,

ZAOH+ZAHO=135°,

：.ZAHO=ZBOG,

/.AAOHsABGO，

----=-----=-----,AAOH=/OGB,/LAHO=/BOG,

BGOGOB

；O为AB的中点，

AO—BO,

.OHAH

••一,

OGAO

又•：N4=/EOD=45。,

，4HA0sAHOG，

ZAHO=ZOHG,ZOGB=ZOGH,

...过。作交/笈于点M,作。PLHG交7/G于点尸，作ONLGB交GB于点、N.

：.OM=OP=ON.

又,：OH=0H,OG=OG,

：.80MH9NJPH,△OPGQXONG，

/.HM=PH,PG=NG,

：.HG=MH+GN.

CHG的周长=+CG+GW=CH+CG+A/H+GN=Ol+CN.

又,：AO=OB,OMON,ZA=ZB=45°,

：.AAOM^ABON,

:.AM=BN,

VZC=90°,ZAMO=90°,

OM//BC,

...。是48的中点，

・•.点M是/C的中点，同理点N是5C的中点.

：.CM=CN=-BC=1,

2

4CHG的周长=CM+CN=2CM=2x1=2.

方法三：

解：ACG//的周长定值为2.

理由如下：过。作交4F7于点作ONLGfi交GB于点N,在N3上截取一点

使NQ=MH,连接OC.

•；A45c是等腰直角三角形，。为25的中点，

0c平分//C5,

OM=ON,

AOMH^AONQ,

OH=0Q,ZMOH=ZNOQ.

•.,D7/G>G=45°,ZACB=90°,

AMON=90°,ZMOH+AGON=45°,

/GO0=45。，

ZHOG=ZGOQ,

OG=OG,

△OHG"AOQG,

HG=GQ—GN+MH,

CHG的周长=S+CG+GW=CH+CG+Aff/+GN=Ol+CN.

又,：AO=OB,OM=0N,44=48=45。，

AAOMQABON,

:.AM=BN.

VZC=90°,AAMO=90°,

OM//BC.

是48的中点，，点〃■是/C的中点，同理点"是5。的中点.

：.CM=CN=-BC=1,

2

/.△CHG的周长=CM+CN=20/=2x1=2.

拓展延伸

（3）2+百或2-劣

①解：,1•ZAFE=60°,44=45。，

ZAHF=75°,

过点E作ENLZC于点N,作的垂直平分线交月V于点连接Mf,

FM=MH,

,//FNH=90°,

：.ZNFH=15°,

FM=MH,

：.ZNFH=ZMHF=15°,

NNMH=30°,

在RtAJlfW中，设NH=k,

：.MH=MF=2k,由勾股定理得，

MN=也NH=6k，

:.FN=MN+MF=(2+0k,

.♦.在RtAFW中,tanNFHN-tan75°=—==2+6・

NHC+k""

②解：ZAFE=60°,44=45。，

ZFGB=15°,

过点E作月V，5c于点N,作/G的垂直平分线交5G于点M,连接引0.

GM=MF,

：.ZFGB=ZGFM=15°,

ZFMB=30°,

在Rt△月VM中，设FN=k,

GM=MF=2k,由勾股定理得，MN=&N=&，

：.GN=GM+MN=(2+也)k,

FNkr~

.,.在RtZkFVG中，tanZFGN=tan15°=--=------^=2-y/3.

GN(2+J73)左

•••tanZFfflV=2+G或tanZFGN=2-5

【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，解直角三角形，旋转的性

质，函数解析式，熟练掌握相似三角形的性质与判定，解直角三角形是解题的关键.

2.（2024福建省）在手工制作课上，老师提供了如图1所示的矩形卡纸/BCD,要求大家利用它制

作一个底面为正方形的礼品盒.小明按照图2的方式裁剪（其中4£=用），恰好得到纸盒的展开

图，并利用该展开图折成一个礼品盒，如图3所示.

D

C

图1图2

图3

AF）

（1）直接写出一的值；

AB

（2）如果要求折成的礼品盒的两个相对的面上分别印有“吉祥”和“如意”，如图4所示，那么应

选择的纸盒展开图图样是（）

图4

(3)

卡纸型号型号I型号n型号m

规格（单位：cm）30x4020x8080x80

单价（单位：元）3520

现以小明设计的纸盒展开图（图2）为基本样式，适当调整/E,E尸的比例，制作棱长为10cm的

正方体礼品盒，如果要制作27个这样的礼品盒，请你合理选择上述卡纸（包括卡纸的型号及相应型

号卡纸的张数），并在卡纸上画出设计示意图（包括一张卡纸可制作几个礼品盒，其展开图在卡纸上

的分布情况），给出所用卡纸的总费用.

（要求：①同一型号的卡纸如果需要不止一张，只要在一张卡纸上画出设计方案；②没有用到的卡纸,

不要在该型号的卡纸上作任何设计；③所用卡纸的数量及总费用直接填在答题卡的表格上；④本题将

综合考虑“利用卡纸的合理性”和“所用卡纸的总费用”给分，总费用最低的才能得满分；⑤试卷上

的卡纸仅供作草稿用）

型号III

【答案】（1）2；（2）C；（3）见解析.

【解析】本题考查了几何体的展开与折叠，空间观念、推理能力、模型观念、创新意识等知识，掌握

相关知识是解题的关键.

（1）由折叠和题意可知，GH=AE+FB,=,四边形是正方形，得到=

即/G=E尸，即可求解；

（2）根据几何体的展开图即可求解；

（3）由题意可得，每张型号印卡纸可制作10个正方体，每张型号H卡纸可制作2个正方体，每张

型号I卡纸可制作1个正方体，即可求解.

【小问1详解】

解：如图：

上述图形折叠后变成:

由折叠和题意可知，GH=AE+FB,AH=DH,

:四边形E7WM是正方形，

，EM=EF,即AG=EF,

：.GH+AG=AE+FB+EF,即=

,/AH=DH,

ADAH+DHc

——=----------=2,

ABAB

---的值为：2.

AB

【小问2详解】

解：根据几何体的展开图可知，“吉”和“如”在对应面上，“祥”和“意”在对应面上，而对应面

上的字中间相隔一个几何图形，且字体相反，

•••C选项符合题意，

故选：C.

【小问3详解】

解：

卡纸型号型号I型号n型号山

需卡纸的数量（单位：张）132

所用卡纸总费用（单位：元）58

根据（1）和题意可得：卡纸每格的边长为5cm,则要制作一个边长为10cm的正方体的展开图形为:

型号III卡纸，每张卡纸可制作10个正方体，如图:

型号n卡纸，每张这样的卡纸可制作2个正方体，如图:

型号I卡纸，每张这样的卡纸可制作1个正方体，如图:

可选择型号in卡纸2张，型号n卡纸3张，型号I卡纸1张，则

10x2+2x3+1x1=27（个），

所用卡纸总费用为:

20x2+5x3+3x1=58（元）.

3.（2024甘肃威武）【模型建立】

AEVBD.用等式写

出线段NE,DE,S的数量关系,并说明理由.

【模型应用】

（2）如图2,在正方形48CD中，点E,尸分别在对角线和边CD上，AE1EF,ZE=EE.用

等式写出线段BE,AD,。尸的数量关系，并说明理由.

【模型迁移】

（3）如图3,在正方形48CD中，点£在对角线RD上，点尸在边CD的延长线上，AE1EF,

AE=EF.用等式写出线段BE,AD,DR的数量关系，并说明理由.

【答案】（1）DE+CD=AE,理由见详解，（2）AD=42BE+DF>理由见详解，（3）

AD=GBE-DF，理由见详解

【解析】

【分析】（1）直接证明,即可证明；

（2）过£点作区攸_1_40于点A1,过£点作£乂_1_。。于点乂先证明RtA.4EM也RtAFEN,可

得AM=NF,结合等腰直角三角形的性质可得：MD=DN=—DE，

2

NF=ND-DF=MD-DF,即有NF=AM=AD-MD=AD--DE，

2

NF=-DE-DF）进而可得4D—也DE=^DE-DF，即可证；

222

（3）过/点作于点X,过尸点作EG_LB£>,交AD的延长线于点G,先证明

△HAEQAGEF,再结合等腰直角三角形的性质，即可证明.

【详解】（1）DE+CD=AE,理由如下：

CDVBD,AELBD,AB1BC,

：.ZABC=ZD=NAEB=90°,

NABE+ZCBD=ZC+ZCBD=90P,

ZABE=ZC,

•1,AB=BC,

：.AABEdBCD,

/.BE=CD,AE=BD,

：.DE=BD—BE=AE—CD,

：.DE+CD=AE-,

（2）AD=42BE+DF,理由如下：

过E点作ENL4D于点”，过E点作£N_LCD于点N,如图,

C

•.•四边形48CD是正方形，AD是正方形的对角线，

ZADB=ZCDB=45°,BD平分N4DC,ZADC=90°,

42AD=41CD=BD，

即DE=BD-BE=6AD-BE，

:ENLCD,EMLAD,

EM=EN,

•••AE=EF,

出A/EM义Rt^FEN,

AM=NF,

,:EM=EN,ENLCD,EMLAD,ZADC=90°,

，四边形EMDN是正方形，

二ED是正方形EA力N对角线，MD=ND,

V2

MD=DN=—DE,NF=ND-DF=MD-DF,

2

,V2V2

：.NF=AM=AD-MD=AD--DENF=—DE-DF-

22

zyJ7

AD--DE=—DE-DF-即AD=CDE—DF，

22

DE=CAD-BE，

:.AD=^(^AD-BE)-DF,

即有AD=6BE+DF；

(3)AD=4IBE-DF)理由如下,

过/点作/〃■J_8£）于点”，过尸点作尸G,80,交8。的延长线于点G,如图,

AHLBD,FG±BD,AELEF,

NAHE=NG=ZAEF=90°,

二ZAEH+ZHAE=ZAEH+ZFEG=90°,

•••ZHAE=ZFEG,

又♦：AE=EF,

AHAEAGEF,

HE=FG,

•.•在正方形ABCD中，ABDC=45°,

ZFDG=ZBDC=45°,

NDFG=45°,

二四G是等腰直角三角形,

：-FG=—DF，

2

/y

HE=FG=—DF，

2

VZADB=45°,AH1HD,

A/DX是等腰直角三角形，

HD=—AD，

2

.后V2

■■DE=HD-HE=—AD--DF，

22

V2V2

BD—BE=DE="AD—JDF，

22

BD=41AD，

sl2AD-BE=—AD--DF，

22

AD=42BE-DF-

【点睛】本题主要考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分

线的性质等知识，题目难度中等，作出合理的辅助线，灵活证明三角形的全等，并准确表示出各个边

之间的数量关系，是解答本题的关键.

4.（2024广西）综合与实践

在综合与实践课上，数学兴趣小组通过洗一套夏季校服，探索清洗衣物的节约用水策略.

【洗衣过程】

步骤一：将校服放进清水中，加入洗衣液，充分浸泡揉搓后拧干；

步骤二：将拧干后的校服放进清水中，充分漂洗后拧干.重复操作步骤二，直至校服上残留洗衣液浓

度达到洗衣目标.

假设第一次漂洗前校服上残留洗衣液浓度为0.2%,每次拧干后校服上都残留0.5kg水.

浓度关系式：d尸=”画.其中喝、d后分别为单次漂洗前、后校服上残留洗衣液浓度；w为单

0.5+w

次漂洗所加清水量（单位：kg）

【洗衣目标】经过漂洗使校服上残留洗衣液浓度不高于0.01%

【动手操作】请按要求完成下列任务：

（1）如果只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为0.01%,需要多少清水？

（2）如果把4kg清水均分，进行两次漂洗，是否能达到洗衣目标？

（3）比较（1）和（2）的漂洗结果，从洗衣用水策略方面，说说你的想法.

【答案】（1）只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为0.01%,需要9.5kg清水.

（2）进行两次漂洗，能达到洗衣目标；

（3）两次漂洗的方法值得推广学习

【解析】

【分析】本题考查的是分式方程的实际应用，求解代数式的值，理解题意是关键；

（1）把d后=0.01%,d前=0.2%代入d=O,、d前,再解方程即可；

口0.5+TV

（2）分别计算两次漂洗后的残留洗衣液浓度，即可得到答案;

（3）根据（1）（2）的结果得出结论即可.

【小问1详解】

解：把d后=0.01%,d前=0.2%代入"=%上

0.5+w

0.5x02%

得0.01%=

0.5+w

解得w=9.5.经检验符合题意;

...只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为0.01%,需要9.5kg清水.

【小问2详解】

解：第一次漂洗：

把w=2kg,d前=0.2%代入"尸

0.5+w

0.5x02%

=0.04%

0.5+2

第二次漂洗:

把w=2kg,喝=0.04%代入d=&^L,

口0.5+w

0.5x0.04%

=0.008%

0.5+2

而0.008%<0.01%,

...进行两次漂洗，能达到洗衣目标；

【小问3详解】

解：由（1）（2）的计算结果发现：经过两次漂洗既能达到洗衣目标，还能大幅度节约用水，

从洗衣用水策略方面来讲，采用两次漂洗的方法值得推广学习.

5.（2024贵州省）综合与探究：如图，NZ08=90°,点尸在的平分线上，上于点

A.

（1）【操作判断】

如图①，过点尸作尸于点C,根据题意在图①中画出PC,图中/4PC的度数为度;

(2)【问题探究】

如图②，点M在线段4。上，连接过点P作尸N,W交射线08于点N,求证：

OM+ON=2PA；

(3)【拓展延伸】

点M在射线上，连接过点P作PNLPM交射线。8于点N,射线7W与射线P。相交

0P

于点尸，若0N=30M,求一的值.

0F

,8

【答案】(1)画图见解析，90(2)见解析(3)不或一

33

【解析】【分析】(I)依题意画出图形即可，证明四边形O4PC是矩形，即可求解；

(2)过尸作PC，。于C,证明矩形。4PC是正方形，得出O4=4P=PC=0C,利用ASA证明

AAPM^ACPN，得出AM=CN,然后利用线段的和差关系以及等量代换即可得证；

(3)分“在线段/。，线段/。的延长线讨论，利用相似三角形的判定与性质求解即可；

【小问1详解】

解：如图，PC即为所求，

_______P

□：

0|-------------B

VZAOB=90°,PAVOA,PCLOB,

四边形O4PC是矩形，

NAPC=90°,

故答案为：90；

【小问2详解】

证明：过P作于C,

由(1)知：四边形。4尸。是矩形，

•.•点尸在N/05的平分线上，PA1OA,PCLOB,

：.PA=PC,

・,・矩形。4PC是正方形,

OA=AP=PC=OC,ZAPC=90°,

・・・PNIPM,

：.NAPM=ZCPN=90°-ZMPC,

又ZA=NPCN=90。,AP=CP,

・•・△4PA修△CPN，

・•.AM=CN,

：.OM+ON=OM+CN+OC

=OM+AM+AP

=OA+AP

=2AP；

【小问3详解】

解：①当河在线段4。上时，如图，延长NM、尸4相交于点G,

由（2）知OM+ON=2PA,

设OM=x,则ON=3x,AO=PA=2x,

：.AM=AO-OM=x=OM,

VZAOB=ZMAG=90°,AAMG=4）MN,

・・.△M/G%OAW（ASA）,

・•・AG=ON=3x,

VZAOB=90°,PALOA,

：.AP//OB,

：.△ONFSAPGF,

.OFON3x3

…PF~TG~3x+2x~5，

.PF_5

••布一§，

.OP_5+3_8

②当河在40的延长线上时，如图，过尸作尸于C,并延长交于G

由（2）知：四边形。4尸。是正方形，

；.OA=AP=PC=OC,ZAPC=90°,PC//AO,

,/PNIPM,

：.ZAPM=ZCPN=90°-ZMPC,

又ZA=/PCN=9。。,AP=CP,

・•・△APMdCPN,

・•.AM=CN,

：.ON-OM

=OC+CN-OM

=AO+AM-OM

=AO+AO

=2AO,

ON=3OM=3x

AO=x，CN-AM=2x,

■：PC//AO,

：.ACGNSAOMN,

.CGCNHnCG2x

OMONx3x

CG=-x,

3

・・•PC//AO,

：."MFSAPGF,

OF_OM__x_3

A7F-PG-2-5，

x+—x

3

.PF_5

•・而一

,OP5-32

••赤一^--"

QPno

综上，一的值为;或2.

OF33

【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，正方形的判定与性质，角平分线的性质，全等三角形的判断

与性质，相似三角形的判断与性质等知识，明确题意，添加合适辅助线，构造全等三角形、相似三角

形，合理分类讨论是解题的关键.

6.（2024河北省）情境图1是由正方形纸片去掉一个以中心。为顶点的等腰直角三角形后得到的.

该纸片通过裁剪，可拼接为图2所示的钻石型五边形，数据如图所示.

（说明：纸片不折叠，拼接不重叠无缝隙无剩余）

图1

操作嘉嘉将图1所示的纸片通过裁剪，拼成了钻石型五边形.

如图3,嘉嘉沿虚线£/，裁剪，将该纸片剪成①，②,③三块，再按照图4所示进行拼接.根

（2）直接写出图3中所有与线段班?相等的线段，并计算班的长.

探究淇淇说：将图1所示纸片沿直线裁剪，剪成两块，就可以拼成钻石型五边形.

请你按照淇淇的说法设计一种方案：在图5所示纸片的5C边上找一点尸（可以借助刻度尺或圆规），

画出裁剪线（线段尸0）的位置，并直接写出AP的长.

【答案】(1)EF=1；(2)BE=GE=AH=GH,BE=2-gBP的长为母或2-也.

【解析】【分析】本题考查的是正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理的应用，二

次根式的混合运算，本题要求学生的操作能力要好，想象能力强，有一定的难度.

(1)如图，过G'作G'KLEH'于K,结合题意可得：四边形POG'K为矩形，可得R9=KG',

由拼接可得：HF=FO=KG',可得△N/fG,AHGD,△ZFE为等腰直角三角形，AGKW为

等腰直角三角形，没HK，=KG=x,则HG=HD=®x，再进一步解答即可；

(2)由△NEE为等腰直角三角形，EF=AF=1-,求解BE=2-日再分别求解；

可得答案，如图，以B为圆心，8。为半径画弧交于尸、交48于。'，则直线P'。'为分割线，

或以。圆心，CO为半径画弧，交.BC于P,交3于。，则直线P。为分割线，再进一步求解AP的

长即可.

【详解】解：如图，过G'作G'K,切'于K,

结合题意可得：四边形EOG'K为矩形，

由拼接可得：HF=FO=KG',

由正方形的性质可得：NZ=45。，

:.AAHG,AH'G'D,为等腰直角三角形,

AG'KH'为等腰直角三角形，

设H'K=KG'=x,

H'G'=H'D=41X

:.AH=HG=®x，HF=FO=x,

•.•正方形的边长为2,

...对角线的长万万=2逝，

••OA=y[2，

x+x+V2x=V2，

解得：%=^2-1>

AEF=^F=(V2+l)x=(V2+l)(V2-l)=l；

(2)•••△ZFE为等腰直角三角形，EF=4F=1；

AE=splEF=V2，

:•BE=2-E，

GE=H'G'=ex=6(^-、=2-亚,

AH=GH=yplx=2—V2，

，BE=GE=AH=GH；

如图，以3为圆心，5。为半径画弧交5C于P,交Z5于。'，则直线P'。'为分割线,

此时AP'=后，P'Q'=V2+2=2,符合要求，

或以。圆心，CO为半径画弧，交BC于P,交CD于Q,则直线尸。为分割线,

止匕时CP=CQ=0，PQ=42+2=2,

•,BP=2—V2，

综上：AP的长为行或2-血.

7.（2024河南省）综合与实践

在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验，请运用已有经验，对“邻等对补四边形”

进行研究

定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形.

(1)操作判断

用分别含有30。和45。角的直角三角形纸板拼出如图1所示的4个四边形，其中是邻等对补四边形的

有(填序号).

(2)性质探究

根据定义可得出邻等对补四边形的边、角的性质.下面研究与对角线相关的性质.

如图2,四边形/BCD是邻等对补四边形，AB=AD,ZC是它的一条对角线.

①写出图中相等的角，并说明理由；

②若BC=m,DC=n,ZBCD=26»,求ZC的长(用含他，〃，。的式子表示).

(3)拓展应用

如图3,在RtZ\48C中，D5=90°,AB=3,BC=4,分别在边5C,/C上取点N,使四

边形/即四是邻等对补四边形.当该邻等对补四边形仅有一组邻边相等时，请直接写出BN的长.

【答案】(1)②④(2)①ZACD=/ACB.理由见解析；②------

2cose

G1272..I2V2

(3)----或v------

57

【解析】【分析】(1)根据邻等对补四边形的定义判断即可；

(2)①延长至点使BE=DC,连接NE,根据邻等对补四边形定义、补角的性质可得出

ZABE=ZD,证明△45£@A4DC(SAS),得出/£=AE=AC,根据等边对等角得

出NE=NZC8,即可得出结论;

m+w

②过/作4FJ_£。于凡根据三线合一性质可求出CR=--------，由①可得N/CD=//CS=e,

2

在RtzXAFC中，根据余弦的定义求解即可；

⑴分AB=BM，AN=AB,MN=AN,BAf=〃N四种情况讨论即可.

【小问1详解】

解：观察图知，图①和图③中不存在对角互补，图2和图4中存在对角互补且邻边相等，

故图②和图④中四边形是邻等对补四边形，

故答案为：②④；

【小问2详解】

解：①ZACD=ZACB,理由：

延长至点E,使BE=DC,连接

:四边形48CD是邻等对补四边形,

ZABC+ZD=180°,

•：N4BC+N4BE=180°,

ZABE=ZD,

,/AB=AD,

：.AABE^AADC(SAS),

/.ZE=ZACD,AE=AC,

：.ZE=ZACB,

ZACD=ZACB；

②过工作4FJ_£C于凡

BF

AE=AC,

/.CF=1C£=|(J8C+5JE)=|(J8C+DC)=^1-^

•/ZBCD=20,

：.ZACD=ZACB=3,

CF

在中，cos8=-----,

AC

CFm+n

AC=-^—

cos。2cos。

【小问3详解】

解：VD5=90°,AB=3,BC=4,

AC=yjAB2+BC2=5>

..•四边形/圆四是邻等对补四边形，

：.ZANM+ZB=1SO°,

：.ANM=90°,

当=时，如图，连接过N作NHLBC于H,

•••AM2=AB2+BM-=IS>

在Rt^47W中MN?=AM?_AN?=18-W2.

在WACMN中MN?=CM?-GN?=(4-3)2-(5-^)\

.•.18-AN2=(4-3『-(5-AN》,

解得ZN=4.2,

4

：.CN=-

5

ZNHC=ZABC=90°,ZC=ZC,

ANHCSAABC,

4

NCNHCH-XT

——=——=——,即Bn5NHCH,

ACABCB~5=~3~=~4~

：.NH=—,CH=—

2525

・•B・£H)11-8—4-

25

.i0

BN=<BH-+NH2=—V2；

5

当=时，如图，连接ZM，

^ABM^^ANM,

BM=NM,故不符合题意，舍去；

当=时，连接过N作NHJLBC于H,

•：ZMNC=ZABC=90°,ZC=ZC,

/.ACMNSMAB,

CNMNCN5-CN

：.——=,即an——=------,

BCAB43

解得CN="

7

•：ZNHC=ZABC=90°,ZC=ZC,

...ANHCSAABC,

20

NCNHCH—in

——=——=——,即Hn7NHCH,

ACABCB-=^~=

：.NH=—,CH=—

77

.RH_12

•・£)11—------

7

.i0

BN=yJBH2+NH2=—V2；

7

当时，如图，连接NM,

•/AM=AM,

：.^ABM^^AANM,

：.AN=AB,故不符合题意，舍去；

综上，5N的长为应2或应1.

57

【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，解直

角三角形，勾股定理等知识，明确题意，理解新定义，添加合适辅助线，构造全等三角形、相似三角

形是解题的关键.

8.(2024黑龙江齐齐哈尔)综合与实践：如图1,这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀

算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，受这幅图的启发，数学兴趣小组建立了“一线三直角模

型”.如图2,在AABC中，=90。，将线段BC绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，作。E，AB

交AB的延长线于点E.

(2)【问题解决】如图3,连接CD并延长交42的延长线于点若45=2,AC=6,求ABDF

的面积；

BN

(3)【类比迁移】在(2)的条件下，连接CE交BD于点、N,则——=______；

BC

2

(4)【拓展延伸】在(2)的条件下，在直线48上找点尸，tanZBCP=-,请直接写出线段ZP的

长度.

95418

【答案】(1)AB=DE(2)10(3)—(4)一或一

13711

【解析】【分析】(1)根据旋转的性质可得NCSQ=90,=，进而证明△4BCQAEOB(AAS),

即可求解；

(2)根据⑴的方法证明A/BC丝△矶归(AAS),进而证明/SAC4尸，求得防=4,则

BF=10,然后根据三角形的面积公式，即可求解.

(3)过点N作厂于点"，证明△48Cs△跖V3得出上w=J_8加，证明△£〃乂6^£[4,

3

54

设=贝i]Affi=3£-8M=6-x,代入比例式，得出x=—,进而即可求解；

13

(4)当尸在3点的左侧时，过点尸作尸。，8。于点。，当尸在8点的右侧时，过点尸作

交C5的延长线于点T,分别解直角三角形，即可求解.

【小问1详解】

解：•••将线段绕点B顺时针旋转90°得到线段3。，作交的延长线于点E.

图2

ZCBD=90°,

:.ZABC+/DBE=90°,

ZA=90°,

:.ZABC+ZACB=90,

ZDBE=ZACB,

又N4=/DEB=90°且CB=BD

:.AABCAEDB(AAS),

DE=AB

【小问2详解】

解：•.•NCAD=90°,

:4BC+ZDBE=90°,

NN=90°,

:.ZABC+ZACB^90,

：.ZDBE=ZACB,

又：NZ=/DEB=90°且CB=BD,

:.AABC^AEDB(AAS),

DE=AB,BE=AC

'：AB=2,AC=6

DE=2,BE=6

AE=AB+BE=2+6=8,

•:NDEB+4=180°

DE//AC,

:ADEFSACAF,

.DEEF

"7C~FA

•2_EF

,6-EF+8

EF=4,

:.BF=BE+EF=6+4=10,

'''S^BDF=I。*2=10；

【小问3详解】

解：如图所示，过点N作7W_L4F于点M,

C

'：AA=ZBMN=90°,ZACB=90°-ZABC=ANBM

AABCSAMNB

.BNBMMN

••茄一旅一下’

BNBMMN1…

即nn——=——=——，即上W=—

BC623

又,：MN〃AC

：.AEMNS^ECA

.MEMN

••—,

AEAC

设瓦0=x,贝ljAffi=3£-8M=6-x,

1

6-x_JX

54

解得：x=—

13

54

/.BN__BM_jJ__9_'

BC―4C-6~13

【小问4详解】

解：如图所示，当P在B点的左侧时，过点P作尸。，8。于点。

2dm

，设尸。=2。，则CQ=3a,

又•••ZC=6,N8=2,ZBAC=90°

4c6_____

tanZABC=-=-=3,5C=A/22+62=2A/10

AD2

：.tan/P8Q=丝=3

BQ

BQ=—PQ=—tz

211

BC—CQ+BQ——tz+3Q-a

••—a—2J10,

3

解得：〃二名40

11

2

在中，PQ=2a,BQ=^a

・•・*同迎二"

、331111

：.AP=PB-AB=—-2=—

1111

如图所示，当尸在B点的右侧时，过点尸作交的延长线于点T,

ZABC=NPBT/A=NT=90°

ZBPT=ZACB

,AB1

•；tanN4CB------=—

AC3

BT]

tanZ-BPT-=tan/ACB=—

PT3

设BT=b,则PT=3b，BP=y/10b，

PT2

tanZBCP=——=-,

CT3

.3b2

"b+2而一3

解得：b=生何

7

/.BP=5b=—

7

4054

AP=AB+BP=2H二—

77

综上所述，或竺.

711

【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，旋转的性

质，熟练掌握以上知识是解题的关键.

9.(2024黑龙江绥化)综合与探究

如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=--+桁+。与直线相交于A,B两点，其中点4(3,4),

5(0,1).

(1)求该抛物线的函数解析式.

(2)过点3作BC〃x轴交抛物线于点C,连接/C,在抛物线上是否存在点尸使

tanZBCP=-tanZACB.若存在，请求出满足条件的所有点尸的坐标；若不存在，请说明理由.(提

6

示：依题意补全图形，并解答)

(3)将该抛物线向左平移2个单位长度得到％wO),平移后的抛物线与原抛物

线相交于点。，点E为原抛物线对称轴上的一点，斤是平面直角坐标系内的一点，当以点8、。、E、

斤为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点尸的坐标.

【答案】(1)>=——+4x+l

(2)存在，点尸坐标为'(一2'一^］，补图见解析

(3)月(一1,3)、8(3,4-&)、巴(3,4+n)、2^(1,-2)

【解析】

【分析】(1)待定系数法求解析式即可求解；

(2)根据平行线的性质可得叭=1=—1+4%+1,求得进而分别求得4(3,4),2(3,1),

11

根据tan/5CP=—tan/ZCB可得tan/5CP=—,设直线CP交V轴于点则Mi(0,3),

62

M(0,—l).进而可得。％C%的解析式为ya,=-gx+3,yCM2=1x-l,连接O%交抛物

线于片，连接CW公交抛物线于6,进而联立抛物线与直线解析式，解方程，即可求解.

(3)①以5。为对角线，如图作3。的垂直平分线”耳交5。于点M交直线x=2于4，设

4(2/),根据两点距离公式可得了=2,根据中点坐标公式可得耳(-1,3),②以BD为边,如图以

8为圆心，3。为半径画圆交直线x=2于点与，玛；连接BE2，根据勾股定理求得^。*当，

进而得出后2（2,1—W£3（2,1+V6）,根据平移的性质得出耳（3,4—指），£（3,4+指），③

以BD为边,如图以点。为圆心，3。长为半径画圆交直线尤=2于点心和生，连接。心，DE§,

则DE&=DE5=BD=屈,过点。作。打工区生于点》，则。打=1，在RtAD/ffiq和

Rt△。肛中，由勾股定理得纭=3,则£4（2』）、^5（2,7）,根据

tanNDBE4=tanZE5DH=3,可得ZDBE4=ZE5DH,过点B炜BFJ/DE,,过心作

E4F4//BD,3胤和£出相交于点《，BE4的中点G（l,l）.根据中点坐标公式可得月（1,-2）；

【小问1详解】

解：...把点4（3,4）,5（0,1）代入y=-J+bx+c得

-9+3Z?+c=4

<<,

c=l

b=4

解得《…

c=l

••y=-d+4x+1•

【小问2详解】

存在.

理由：・・・5C〃x轴且5（0,1）,

=2

yc=1-%