2025届上海浦东新区高三二模数学试卷

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页2025届上海浦东新区高三二模数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．不等式x−2x2．已知向量a=1,2,b3．设圆C方程为x2+y2+4．若f(x)=cos5．若关于x的方程x2−x+m=06．设数列{an}为等差数列，其前n项和为Sn，已知a7．在x−1x8．设Mx,y为抛物线y2=4x上任意一点，若x9．李老师在整理建模小组10名学生的成绩时不小心遗失了一位学生的成绩，且剩余学生的成绩数据如下：5

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9，但李老师记得这名学生的成绩恰好是本组学生成绩的第25百分位数，则这10名学生的成绩的方差为．10．如图，某建筑物OP垂直于地面，从地面点A处测得建筑物顶部P的仰角为30°，从地面点B处测得建筑物顶部P的仰角为45°，已知A、B相距100米，∠11．已知a、  b、  c为空间中三个单位向量，且a⋅b=b⋅12．已知数列an，a1=1,a①存在小于1013的正整数t，使得S2②对任意的正整数k和m，都有S2则满足以上条件的数列Sn1≤二、单选题13．已知集合P={−1,1,3,A．{−1,1} B．{−14．“a>b”是“lgaA．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件15．研究变量x，y得到一组成对数据xi,yi,i=1,A．变量x与变量y的相关性变强 B．相关系数r的绝对值变小C．线性回归方程y=ax+b16．已知圆锥曲线Γ的对称中心为原点O，若对于Γ上的任意一点A，均存在Γ上两点B，C，使得原点O到直线AB，AC和BC①任意椭圆都是“完美曲线”；②存在双曲线是“完美曲线”．下列判断正确的是（

）A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题C．①②都是真命题 D．①②都是假命题三、解答题17．已知函数y=fx(1)若函数y=fx(2)对任意实数x∈−1,118．如图，四边形ABCD为长方形，PA⊥平面A(1)若E、F分别是PB、C(2)边BC上是否存在点G，使得直线PG与平面PAD所成的角的大小为19．为测试A、B两款人工智能软件解答数学问题的能力，将100道难度相当的数学试题从1到100编号后随机分配给这两款软件测试．每道试题只被一款软件解答一次，并记录结果如下：试题类别A软件B软件测试试题数量正确解答的数量测试试题数量正确解答的数量几何试题20163020函数试题30242018(1)分别估计A软件、B软件能正确解答数学问题的概率；(2)小浦准备用这两款软件来解决某次数学测试中的第12题（假设其难度和测试的100道题基本相同），但该题内容还未知，从已往情况来看，该题是几何题的概率为13，是函数题的概率为2(3)小浦决定采用这两款软件解答6道类似试题，其中几何、函数各3道，每道试题只用其中一款软件解答一次．将频率视为概率，小浦比较了这两款软件在解答几何和函数题上的正确率，决定用表现较好的那款软件解决其擅长的题型．用X1、X2分别表示这3道几何试题与3道函数试题被正确解答的个数，求随机变量20．已知椭圆C1的方程为x23+y2=(1)若椭圆C2的方程是x2a2+(2)设椭圆C2的焦点在x轴上，直线AB与C2相交于点C、D，若C(3)设椭圆C2的焦点在y轴上，点P在C1上，点Q在C2上．若存在△AP21．定义域为R的可导函数y=fx满足，在曲线y=fx上存在三个不同的点Ax1,y1,Bx2,y(1)设fx=x2+x，(2)若fx=1(3)已知y=fx的导函数y=f′x在R上为增函数，且存在一个正常数T，使得对任意x答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页《2025届上海浦东新区高三二模数学试卷》参考答案题号13141516答案DBCA1．(【详解】分析：不等式x-2x详解：不等式x-2x<0∴不等式x-2x<0点睛：本题考查了分式不等式转化为一元二次不等式的解法，属于基础题2．-2【分析】由平面向量垂直的坐标表示求解．【详解】解：因为a⊥b，所以得1×解得m=故答案为：-23．3【分析】将圆C的方程化为标准方程，可得出圆C的半径.【详解】将圆C的方程化为标准方程可得x+22+y故答案为：3.4．π【分析】利用两角和差的余弦公式化简，再利用周期公式求解.【详解】f(故最小正周期为2π故答案为：π5．4【分析】设关于x的方程的两根虚根为x1,x2，则x1【详解】设关于x的方程x2−x+m=0m所以x1=x2=当m=−4时，Δ=−当m=4时，Δ=−1所以m=故答案为：46．17【分析】根据下标和性质及等差数列求和公式计算可得.【详解】因为a3+a故答案为：177．-252【分析】用二项式定理即可.【详解】根据二项式定理，第r+1项为C10r=10−其常数项系数为−C故答案为：-252.8．5【分析】依题意可得x=y2【详解】因为Mx,y为抛物线y2=所以x+所以当y=−4时x+2y+故答案为：59．8【分析】现根据百分位数得出该生的成绩，再利用方差公式计算.【详解】10×25%故该生的成绩为6，则这10名学生的成绩的平均数为5+方差为s故答案为：810．66.4【分析】先在Rt△AOP和Rt△BOP中，根据仰角分别用建筑物高度OP表示出O【详解】在Rt△AOP中，已知从地面点A处测得建筑物顶部P的仰角为30°，即∠在Rt△BOP中，从地面点B处测得建筑物顶部P的仰角为45°，即∠PB在△AOB中，已知AB=100米，∠A1002=可得OP则OP故答案为：66.4.11．arccos【分析】由题意可设设a=1,0,0,b=0,【详解】可设a=1,则p−所以x−两式相减可得：x=可得：2设向量p与向量c夹角为θ，则cosθ易知对于y=−74x2+此时1−24即cosθ的最大值为24，再由余弦函数的单调性可知θ的最小值为arccos2故答案为：arccos12．2【分析】根据Sn的奇偶性结合S2t+1=−1，【详解】因为a1=1，an∈对于①：存在小于1013的正整数t，使得S2对于②：对任意的正整数k和m，都有S2可知S2m−令k=t+1，则S2令k=1，则S2m−综上所述：对任意的正整数m，S2且a1=1，可得a即a1,a此时S2对于数列Sn1≤则满足条件的数列共有22024又因为存在小于1013的正整数t，使得S2可知对任意k∈N*,k综上所述：符合题意的数列共有21012故答案为：2101213．D【分析】由绝对值不等式确定结合Q，再由集合得交集、补集运算即可求解.【详解】Q=x可得：Q=所以P∩故选：D14．B【分析】a>b不能保证a,【详解】因为y=lgx在0,+取a=2，b=−3综上，“a>b”是“故选：B15．C【分析】设变量x，y的平均数分别为x，y，分析可知x=xn【详解】设变量x，y的平均数分别为x，y，则x=1ni=1n可知新数据的样本中心点不变，仍为x,对于AB：可得i=同理可得i=则相关系数r=可知相关系数r的值不变，变量x与变量y的相关性不变，故AB错误；对于C：因为b=i=即b,a均不变，所以线性回归方程因为xn+1可知残差平方和i=所以拟合误差Q不变，故D错误；故选：C.16．A【分析】对于命题①，通过考虑以原点为圆心的圆与椭圆上直线的位置关系来判断；对于命题②，通过取双曲线顶点，分析以原点为圆心的圆与双曲线相关直线的位置关系来判断.【详解】判断命题①：已知过椭圆上任意一点A作以原点为圆心的圆的切线，分别交椭圆于B，C两点，连接BC根据直线与圆的位置关系，当BC当BC与圆相交时，因为圆的圆心是固定的原点，我们可以通过缩小圆的半径，使得圆逐渐靠近BC，直到BC与圆相切；同理，当BC与圆相离时，扩大圆的半径，也能使圆靠近B

判断命题②：当A在双曲线顶点时，过A作圆的切线，交双曲线于另外两点B，C.由双曲线的性质可知，双曲线在顶点附近的形状特点决定了，过顶点作圆的切线与双曲线相交得到的线段BC

故选：A.17．(1)a(2)a【分析】（1）根据奇函数的定义，即可求解答案；（2）根据分离参数转化为利用单调性求函数的最值，即可求解答案.【详解】（1）因为函数y=fx是奇函数，y由f−x=所以a=（2）对任意实数x∈−1,1设g(对任意实数x1,g因为x1<x2所以函数y=g(g(x)18．(1)证明见解析(2)存在，B【分析】（1）法一：几何法：取AP中点G，连接EG、DG，通过EF//D（2）法一：几何法：作GH⊥AD，垂足为H，连接PH，确定直线P【详解】（1）法一：取AP中点M，连接EM、∵ME//∴ME∵ME=1∴ME∴四边形DF∴EF∵DM⊂平面PDA，∴EF//法二：如图建立空间直角坐标，则D(3,0,F(3,1,∴EF易知平面PAD的一个法向量∵EF且EF在平面P∴EF/（2）法一：作GH⊥AD，垂足为∵PA⊥平面ABCD∴PA⊥GH，又∴GH⊥平面∴直线PG与平面PAD∴HG∴PH∴BG∴边BC上存在点G，使得直线PG与平面PAD所成的角为法二：设BG=t∴PG易知平面PAD的一个法向量设PG与n的夹角为φ则sin30解得：t=∴边BC上存在点G，使得直线PG与平面PAD所成的角为19．(1)A软件、B软件能正确解答数学问题的概率分别为45、(2)应该使用B软件来解决这道试题.(3)EX1【分析】（1）利用古典概型的概率公式可求得A软件、B软件能正确解答数学问题的概率；（2）利用全概率公式计算出A、B软件分别能解答对第12题的概率，比较大小后可得出结论；（3）利用二项分布的期望公式和方差公式可求出随机变量X1、X2的期望和方差，由题意可知X1、X2相互独立，可得出【详解】（1）记A、B软件能正确解答数学问题的概率为p1和p结合题中数据以及古典概型的概率公式可得p1=16（2）记“A软件能正确解答这道题”为事件E，“B软件能正确解答这道题”为事件F，“该题为几何题”为事件G.则PG=13，PG=23，由全概率公式可得PEPF因为PF>P故小浦应该使用B软件来解决这道试题.（3）几何试题用A软件解答，函数试题用B软件解答.因为X1∼B由二项分布的期望公式可得EX1=由二项分布的方差公式可得DX1=因为X1、X2相互独立，则DX20．(1)a(2)x(3)2【分析】（1）运用离心率公式计算即可；（2）先求出AB=2，得到直线AB的方程，设C2的方程为x2+3y（3）先设出C2的方程，因为有AP⊥AQ且AP|2=AQ|2的条件，所以任取C1上一点P(x0,y0)（不与点A重合），算出|【详解】（1）由题，椭圆C1的离心率为63，椭圆C263=（2）由题，A3,0，B0,1，所以设C2的方程为x2+3y联立直线AB与椭圆C2的方程y=Δ=12−由韦达定理可得x1+x故C=232所以C2的标准方程为x（3）由题，设C2的方程为3由题意，AP⊥A任取C1上一点Px0,y0（不与点设QxQ,直线AQ的方程为x=1代入得AQ因为AP2=由对称性，不妨设yQ=x0−而点Q位于C2上，所以=x02+3y02+设x0+3y0=b整理得12y02解得b∈−2故C2的长轴长221．(1)gx不是“整数等差函数”，f(2)1(3)证明见解析【分析】（1）设公差为dd>0，根据所给定义及导数的几何意义得到（2）设公差为d，则d>0且d∈Z，由kA（3）首先证明充分性，再说明必要性，设公差为dd>0，结合所给定义得到fx2+d【详解】（1）假设x1,x设公差为d，则d=对于fx：直线AC的斜率因为f′x=2x+1由题意，kAC=取x2=2，d=1对于gx，直线AC的斜率因为f′x=cosx，所以曲线y由题意kAC=f′若x2∈Z，则x令mx=sinx−x，x∈所以mx=sinx−即sind−d故fx（2）因为fx为“整数等差函数”，所以x1,设公差为d，则d=x2直线AC的斜率k因为f′x=−2xx由题意，kAC=因为x1=x所以x⇒⇒⇒m又y=f