第二章相交线及平行线

第二章相交线与平行线

1两条直线的位置关系（第1课时）

一、教学目标

1.知识与技能：在具体情境中了解相交线、平行线、补角、余角、对顶角

的定义，知道同角或等角的余角相等、同角或等角的补角相等、对顶角相等，并

能解决一些实际问题。

2.过程与方法：经历操作、观察、猜想、交流、推理等获取信息的过程，

进一步发展空间观念、推理能力和有条理表达的能力。

3.情感与态度：激发学生学习数学的兴趣，认识到现实生活中蕴含着大量

的数量和图形的有关问题，这些问题可以抽象成数学问题，用数学方法予以解决。

二、教学过程设计

本课时我遵循“开放”的原则，重组教材，恰当地创设情境，以问题串的方式

激发学生的好奇心和求知欲，通过独立思考，不断提出问题分析问题，并创造性

地解决问题；通过动手操作、合作交流等方式，为学生构建了有效开放的学习环

境。本节课共设计以下环节：第一环节：走进生活，引入课题；第二环节：动手

实践、探究新知；第三环节：学以致用，步步为营；第四环节：拓展延伸，综

合应用；第五环节：学有所思，反馈巩固；第六环节：布置作业，能力延伸。

第一环节走进生活引入课题

活动内容一：两条直线的位置关系

1.请同学们自学第一节，提前两天搜集有关“两条直线的位置关系”的图片,

提炼出数学图形，进行归类，然后小组合作交流。

2.教师提前一天进行筛选，捕捉出有代表性的答案，课堂上由学生本人主讲,

最后概括出有关结论。

3.巩固练习：教师展示下列图片，学生快速回答：

2.1—3

2.1—12.1—2

结论：1.一般地，在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：和.

2.定义分别为：o

问题1：在2.1—1中，直线m和n的关系是；a和b是；

a和n是o

问题2：在2,1—2和2.1—3中你能提出哪些问题？

活动目的：独立思考、学会思考是创新的核心。数学来源于生活，通过课前开放,

引导学生从身边熟悉的图形出发，体会数学与生活的联系，总结出同一平面内两

条直线的基本位置关系，体会本章内容的重要性和在生活中的广泛应用，为引入

新课做好准备。通过亲身经历提炼有关数学信息的过程，可以让学生在直观有趣

的问题情境中学到有价值的数学。充分利用现代化教学手段加强直观教学，引起

学生学习的兴趣：通过师生互动，生生互动，增加学生之间的凝聚力，在相互探

讨中激发学生学习积极性，提高学课堂效率。

活动注意事项：在实际教学中可让学生自由搜寻，课堂上让学生充分发表自己的

见解，清晰的表达自己的想法。学生搜集的信息是丰富多彩的，教师应注意捕捉

有效信息，从激励学生的角度出发，给予学生一个充分展示自我的舞台，在活动

中提高学生与他人合作交流的能力，激发学生的学习兴趣。针对图2.1—1中，

如果有学生提出a和m有何位置关系，教师可以激励学生课后继续探究，将课

内学习延伸到课外,开阔学生的视野。如果学生的作品中已经包含了“巩固练习”

的内容，教师应恰当取舍。

第二环节动手实践探究新知

_________________________________G

动手实践一请先画一画：两条直线直线AB和

CD,交于点0,再回答下列问题.

2.1—42.1—52.1—6

问题1：观察2.1—4：N1和N2的位置有什么关系？大小有何关系？为什么？

小组合作交流，尝试用自己的语言描述对顶角的定义。

问题2:剪子可以看成图2.1—4,那么剪子在剪东西的过程中，N1和N2还保持

相等吗？N3和N4呢？你有何结论？

问题4：如图2.1—6所示，有一个破损的扇形零件，利用图中的量角器可以量

出这个扇形零件的圆心角的度数吗？你能说出所量角是多少度吗？为什么？

活动目的：概括归纳得到猜想和规律，并加以验证，是创新的重要方法。结合具

体的学习内容，设计有效的数学探究活动，使学生经历数学的发生发展过程，积

累数学活动经验。设置问题1和问题2的目的是通过创设生动有趣的活动情景，

为学生提供了观察、操作、推理、交流等丰富的活动素材，使学生在自主学习的

过程中，学会对顶角的概念及其性质。同时进一步培养学生抽象几何图形进行建

模的能力。而问题3和问题4是利用学习过的有关事实解决实际问题，一会数学

在生活中的应用，进一步巩固了对顶角的概念及其性质，方法的不唯一激发了学

生的兴趣。

活动注意事项：创新意识的培养应贯穿教育的始终，因此教师应将活动过程充分

放手给学生，同时培养学生抽象几何图形的能力，简单合情说理的能力，观察分

析的能力，总结归纳的能力等。让学生在活动中积累经验，增加浓郁的学习氛围。

,____________________________________Q

1.请画出两个角，使他们的和为直角。

2.请画出两个角,使它们的和为平角。

3.小组交流画法，相互点评。

4.用自己的语言描述补角余角的定义。

动手实践二

补角定义：一般地，如果两个角的和是180°,那么称这两个角互为补角

(supplementaryangle)/<

J注意：互余与互补是指两工

个角之间的数量关系，与、)

余角定义：无关。

如果两个角的和是90°,那么称这两个角互为余角(complementaryangle)

活动目的：通过动手画图，可以加深学生对概念的理解，在相互交流中，初步形

成评价与反思的意识，在相互补充、相互学习中，体验“互补互余”仅仅表明了

两个角的度量关系，并没有限制角的位置关系；在合作共赢中，获得成功的乐趣,

锻炼克服困难的意志，建立自信心，可以更好地掌握新知识。

活动注意事项：教师首先应关注全体学生是否积极思考？是否进行有效讨论？在

巡视中，还应关注学生的画图是否合乎要求，要及时收集学生一些好的画法进行

展示，关注学习上稍微落后的学生，提前给予点拨，在集体展示时给这部分同学

展示的机会，可以极大的调动这部分同学的学习热情！

巩固反馈：

问题1：小组合作，每人编一道有关余角或者补角的题目，其余同学抢答，组长

记录、整理各种题型，练习2分钟。教师巡视，给予评价，捕捉好资源。

问题2：教师将捕捉到的好资源用投影仪集体展示，全班抢答，及时给予评价。

问题3：下列说法中，正确的有。(填序号)

①已知NA=40。，则NA的余角=50°②若Nl+N2=90°,则N1和N2互为余角。

③若Nl+N2+N3=180°,则Nl、N2和N3互为补角。④若NA=40°26,，则NA

的补角=139°34'⑤一个角的补角必为钝角。⑥一个锐角的补角比这个角的余角大90°

活动目的：据学生活泼好动、争强好胜的心理，设置问题1和问题2可以更好地

激发学生的参与意识，在竞争中加深对概念的理解，提升所编题的质量，促进合

作交流的意识。问题3是针对学生易错题而改编的一组判断题，这种形式能引导

学生逐步加深对余角、补角的概念及其性质的理解和掌握。

活动注意事项：学生在编题的过程中，教师一定要仔细聆听每组的发言，对每组

的表现予以点拨和激励，注意收集出色的资源及学生出错的信息，教师还应关注

学生已经掌握了什么？具备了什么能力？还存在哪些不足？展示时给予合理的

评价和强调。

助手实践三

打台球时，选择适当的方向，用白球击打红球，反弹后的红球会直接入袋，此时

Z1=Z2,将图2.1—7抽象成图2.1—8,ON与DC交于点O,ZDON=ZCON=90°,

Z1=Z2

小组合作交流，解决下列问题：在图2.1—8中----------------

问题1：哪些角互为补角？哪些角互为余角？尸J角或者等角的余角相等。W

问题2：N3与N4有什么关系？为什么？同角或者等角的补角相等。

问题3：ZAOC与ZBOD有什么关系?为什么？.一，三

你还能得到哪些结论？'

活动目的：概括归纳得到猜想和规律，并加以验证，是创新的重要方法。通过生

动有趣的活动情景，为学生提供了观察、操作、推理、交流等丰富的数学活动，

使学生在自主学习的过程中，掌握“同角或者等角的补角相等。”“同角或者等角

的余角相等。”并能够用自己的语言说出简单推理。同时发散学生思维，让学生

尽可能用多种方法来说明自己猜测的正确性，培养学生合情说理的能力。并在这

个过程中，培养学生抽象几何图形进行建模的能力。本着面向全体的原则，从学

生生活经验和熟悉的背景知识出发，通过创设情境串--问题串，极大的调动全

体学生的参与意识，充分挖掘他们的潜能，给学生一个充分展示的舞台，以达到

人人都能学好数学的目标！

活动注意事项：学生应有足够的时间和空间经历观察、猜测、推理、验证等活

动过程。本环节的三个问题是环环紧扣、层层递进提出来的，前一个问题为下一

个问题作好铺垫。在学习的过程中，时刻不能忘记学生是主体，一切教学活动都

应当从学生已有的认知角度出发，问题环节设计跨越性不能太强，让学生在不断

的探索过程中得到不同程度的感悟，自己能够主动地去探究问题的实质，体验成

功的喜悦；教师要充分发散学生的思维，鼓励学生各抒己见，敢于质疑；上课要

渗透合情说理的方法，进一步培养学生的推理能力。

第三环节学以致用，步步为营

问题1：①.因为Nl+N2=90°,Z2+Z3=90°,所以Nl=,理由是.

②因为Nl+N2=180°,Z2+Z3=180°,所以Nl=_,理由是.

问题2：

①用你手中的三角板，画一个直角三角形，如图2.1—9.则NA是NB的

变式训练:

②在①的基础上，做NCDA=90°。如图2.1—10.

1.则NA的余角有哪几个？为什么？

2.请找出互补的角，并说明理由。

3.你还能提出哪些问题？试试看吧！

活动目的：通过一题多变，可以引导学生透过现象看本质、通过本质找规律、通

过规律找方法。重视动手操作，是发展学生思维，培养学生数学能力最有效途径

之一。通过亲自画图，可以直观的发现有关结论，它有利于让学生参与知识的形

成过程，促进对抽象数学的理解，为问题的顺利解决而奠定基础。变式训练题的

设置更能激发学生的兴趣，在超级变变变中体验数学的美，学会从不同的角度看

待问题。

活动注意事项：学生可能会认为概念和性质不难理解，但认识中却存在不清晰

的地方。此处应给学生充分的讨论与思考的时间，可以分组讨论合作，也可以现

场辩论，充分发挥学生的作用，让他们之间思维互相碰撞，在争论中发现问题要

比盲目的接受知识更有意义，特别是学生之间通过合作学来的知识更能在脑海中

留下深刻的印象。

第四环节拓展延伸，综合应用

问题1：如图2.1—n已知：直线AB与CD交于点0,NE0D=90°,回答下列问题:

1.ZA0E的余角是；补角是-

2.NA0C的余角是；补角是；对顶角是-

问题2：如图2.1—12,点0在直线AB上，ND0C和NB0E都等于90°.

请找出图中互余的角、互补的角、相等的角，并说明理由。先独立探究，再小组

交流。

活动目的：通过问题串的巧妙设置，不仅高效率的复习了本节的知识点，而且让

学生在开放的环境中畅所欲言，收获了一份自信！问题串的设置提高了学生的探

索意识和创新意识的形成，激发了学生的学习兴趣和探究欲。

活动的注意事项：鼓励学生畅谈自己学习的知识和体会，激发学生对数学的学习

兴趣与信心，对出现的错误，一定进行积极的辨析，让学生学会解决的方法。

第五环节学有所思反馈巩固

归纳总结：

1.你学到了哪些知识点？

2.你学到了哪些方法？

3.你还有哪些困惑？

活动目的：本环节的设置使学生学会从系统的角度把握知识方法，努力使知识结

构化、网络化，引导学生时刻注意新旧知识之间的联系；鼓励学生畅谈自己学习

的知识和体会，激发学生对数学的学习兴趣与信心，培养学生独自梳理知识，归

纳学习方法及解题方法的能力。锻炼学生组织语言及表达能力，经历与同伴分享

成果的快乐过程。

活动注意事项：教师一定让学生畅谈自己的切身感受，对于知识点的整合，更要

有所思考，达到对所学知识巩固的目的。鼓励其他学生进行补充纠正，教师也应

进行适时的点拨和强调。

巩固反馈

1.如图2.1-13,直线AB与CD交于点0,ZB0C=90°,EF经过点0.

(1)指出图中所有的对顶角；

(2)图中那些角与NA0E互余？互补？

(3)若NB0F=34°,试求出NAOF,ZBOE,NDOE的度数.

/A季

0C平分NBOD,前

D明通由。°"

3.学诙青：如图2.1-15：条颗瘴测量一堵拐角高墙对底面上所成的角NAOB

度数，人不能进入围墙内，你能帮小颖想出简单的测量方法吗？请简述你的方法。

活动目的：巩固本节课的知识点，检验学生的掌握程度。

活动注意事项：要及时反馈，关注学生易错点，及时进行强调巩固。

第六环节布置作业能力延伸

基础题：1.书P42页习题2.1第1,2,3,4,5题

提高题：2.下图由两块相同的直角三角板拼成，其中NFDE=NA0B=900,点0在

FD上，DE在直线AB上，请找出相等的角、互余的角、互补的角

活动目的：作业应该体现出课堂学习的延续性，因此本节课我也精心设计了一道

探究性的题目，实现了同一图形经过不同变化可以产生不同问题，与课堂的问题

相呼应；作业分层，可以让不同程度的学生都能有不同的收获。

活动注意事项：首先应激励学生独立完成作业，其次注意提高效率，最后应鼓励

学生进行反思。

三、教学设计反思：

1.开放课堂激发潜能

数学来源于生活，反之又服务于生活。本课时我遵循“开放”的原则，引导

学生从身边熟悉的情境出发，使学生经历从现实生活中抽象出数学模型的过程，

体会本节课的重要性和在生活中的广泛应用；通过课堂开放，可以让学生在直观

有趣的问题情境中学到有价值的数学；学生搜集的信息是丰富多彩的，有利于教

师给学生一个充分展示自我的舞台，在活动中提高学生与他人合作交流的能力，

激发了学生的潜能，使学生成为课堂的主人，提高了学生分析问题解决问题的能

力！

2.动手操作探究新知

“几何直觉是增进数学理解力的很有效的途径，而且它可以使人增加勇气，

提高修养。”通过动手画图，可以加深学生对知识的理解，这也是促使学生认真

审题的重要方法。学生的画法千变万化，他们在相互交流中，很容易发现自己的

问题，起到相互补充，相互学习的效果，可以轻而易举地掌握新知识。

3.巧设问题串打造高效课堂

我在教材提供的教学素材的基础上，重组教材，恰当地创设情境，以问题串

的方式激发学生的好奇心和求知欲，通过独立思考，不断提出问题分析问题，并

创造性地解决问题，通过动手操作、合作交流等方式，为学生构建了开放有效的

学习环境。变式训练、一题多解的设置，题目由易到难，由简到繁，争取能让每

一位学生都能领略到成功的喜悦！使学生思维分层递进，揭示概念的实质，不断

完善新的知识结构，同时体验了知识的形成过程和发现的快乐，继而转化为进一

步探索的内驱力；鼓励学生从多角度思考问题，充分激发学生的创新能力，使学

生的思维多向开花，极大的调动学生学习数学的热情！

4.注意事项。

课堂上让学生充分发表自己的见解。学生搜集的信息是丰富多彩的，学生的

思维也是百花齐放，教师应注意捕捉有效信息，从激励学生的角度出发，给予学

生一个充分展示自我的舞台，在活动中提高学生与他人合作交流的能力，激发学

生的学习兴趣。针对不同的问题，应大胆放手给学生，注意培养学生抽象几何图

形的能力，简单合情说理的能力，观察分析的能力，总结归纳的能力等。讨论时,

应该留给学生充分的独立思考的时间，不要让一些思维活跃的学生的回答代替了

其他学生的思考，掩盖了其他学生的疑问。教师应注重学生几何语言的培养，对

课堂生成的问题，应予以重视，教师可以激励学生课后继续探究，将课内学习延

伸到课外，开阔学生的视野。

第二章相交线与平行线

1两条直线的位置关系(第2课时)

一、教学目标

根据七年学生好奇的心理，首先应引导学生走进现实世界，用一双慧眼去发

现有关垂直的情境，借助视觉思维的直观性，复习旧知识，提炼新知识，让学生

在主动“探索发现”的过程中增进对数学知识的理解，激发他们的创造力，在无

形中培养学生的推理能力！根据学生已经具备的知识储备和能力，特制定目标如

下：

1.知识与技能：

(1)会用符号表示两直线垂直，并能借助三角板、直尺和方格纸画垂线。

(2)通过折纸、动手操作等活动探究归纳垂直的有关性质，会进行简单的应用。

(3)初步尝试进行简单的推理。

2.过程与方法：经历从生活中提炼、动手操作、观察交流、猜想验证、简单

说理等活动，进一步发展学生的空间观念、推理能力和有条理表达的能力。

善于举一反三，学会运用类比、数形结合等思想方法解决新知识。

3.情感与态度：激发学生学习数学的兴趣，体会“数学来源于生活反之又服务

于生活”的道理，在解决实际问题的过程中了解数学的价值，通过“简单说理”

体会数学的抽象性、严谨性。

二、教学过程设计

本课时我遵循“开放”的原则，在把握教材编写意图的基础上，进行了再创

造。通过重组教材，恰当地创设情境，为学生构建了有效开放的学习环境。本节

课共设计以下环节：第一环节：走进生活，引入课题；第二环节：动手实践、探

究新知；第三环节：学以致用，步步为营；第四环节：综合应用，开阔视野；第

五环节：学有所思，反馈巩固；第六环节：布置作业，能力延伸。

第一环节走进生活引入课题

4.请每位同学提前搜集有关“两条直线的位置关系”的图片，提炼出数学图形,

重点关注有关“垂直”的内容，然后小组内交流资料，进行合理分类、整理。

5.教师提前进行筛选，捕捉出有代表性的题目，课堂上由学生本人主讲，最后

概括出有关结论。°°O

复习两条直线

6.巩固练习：教师展示下列图片，学生快速回答:的位置关系

问题：1.观察下面三个图形，你能找出其中相交的直线吗？他们有十么特殊的位

置关系？

2.你还能提出哪些问题？.

归纳总结

两条直线相交成四个角，如果有一个角是直角，那么称这两条直线互相垂直

(perpendicular),其中的——条直线叫做另——条直线的垂线。它们的交点叫做垂

活动目的：数学来源于生活，通过课前开放，引导学生从身边熟悉的图形出发，

既复习了上一节课的知识点一一两条直线的位置关系，又体会到生活中大量存在

特殊的相交线一一垂直，在比较中发现发现新知，加深了学生对垂直和平行的感

性认识，感受垂直“无处不在”；使学生充分体验到现实世界的美来源于数学的

美，在美的享受中进入新知识的殿堂。通过亲身经历提炼有关数学信息的过程，

可以让学生在直观有趣的问题情境中抽象出有价值的数学模型，然后利用现代化

教学手段加强直观教学，在展示学生作品中进行师生互动、生生互动，激发学生

的学习热情，调动学生的参与意识。

活动注意事项：教师应放手让学生参与，启发引导学生进入角色，组织好学生之

间的合作交流。首先要给予学生足够的时间搜寻信息，提炼信息；其次在课堂上

应充分展示学生的杰作，在活动中提高学生与他人合作交流的能力，让学生充分

发表他们的见解，及时作出恰当的评价，激励学生以满腔热情投入到学习中；最

后教师应提炼学生中出现的错误，在辨析中让学生“明辨是非”。如怎样判断西

条线段的位置关系?在第三个图中，如果有学生提出a和c有何位置关系，教师

可以激励学生课后继续探究,将课内学习延伸到课外，开阔学生的视野。如果学

生的作品中已经“生成”了“问题一”的内容，教师应因势利导，适时调整预案。

第二环节动手实践，探究新知c

0

你能画出两条互相垂直的直线吗？

你有哪些方法？小组交流，相互点评

用自己的语言描述你的画法。

___________________________________________7

动手画一画1:

工具1:你能借助三角尺或者量角器，在一张白纸上画出两条互相垂直的直线

吗？

工具2：如果只有直尺，你能在方格纸上画出两条互相垂直的直线吗？

说出你的画法和理由.

工具3：你能用折纸的方法折出互相垂直的直线吗，试试看吧！请说明理由。

活动目的：”条条大路通罗马”，相同的问题可以借助不同的工具不同的方法来

解决，让学生的思维得到充分发散，引导学生透过现象看本质。通过画、折等活

动，进一步丰富对两条直线互相垂直的认识，掌握有关的符号表示。课改理念之

一就是改变学生被动的学习方式，让学生积极主动的投身于“做数学”中。本环

节的设置，将问题更加形象生动的呈现在学生面前，让学生在经历思考、实践、

猜想，动手验证等过程，不仅加深对“垂直”的理解，而且感受到“做数学”的

乐趣，从而享受到成功的喜悦，形成探索新知的内驱力！而学生在相互交流探讨

中，可以相互点拨，顺其自然的掌握新知识。对于第2问的最后一种画法，必要

时给出示范，并利用量角器等工具进行验证，为今后探索图形的性质积累活动经

验。

活动注意事项：要给学生充裕的时间操作、思考。教师应关注学生的画图

是否合乎要求，还要及时收集学生一些好的画法进行展示。教师应关注个体

差异，关注学习上稍微落后的学生，帮助他们分析产生困难或错误的原因，

提前给予点拨，在集体展示时给这部分同学展示的机会，可以极大的调动这

部分同学的学习热情，提高自信力！教师还应注意收集错误信息，进行辨析,

将易错点消灭在萌芽中！

动手画一画2：

问题1：请画出直线m和点A,你有几种画法？

问题2：过点A画直线m的垂线，你能画出多少条？

请用你自己的语言概括你的发现。

________________________________________)

归纳结论：

1点A和直线m的位置关系有两种：点A可能在直线m上，也可能在直线m外。

2.平面内，过一点有且月有•一条直线与已知直线垂直。

•A

.mm

活动目的：这曼本节课的鹿窟,1青先通过让学生画“点和直线的位置关系”，让

学生在直观中抽象出“点在直线上和点在直线外”这一数学模型，这是分散难点

的有效途径，让学生在看似“盲目”的探究中发现问题的本质，增加继续探究的

勇气！问题的设置由易到难，由直观画图到理性思考的过程。学生的学习兴趣在

问题串的激发下，逐步高涨。开放的环境让学生拥有了自由发挥的空间。

活动注意事项：教师应关注学生在画图过程中的不良习惯并及时纠正；参与到学

生中进行讨论，及时捕捉好的资源，充分利用多媒体进行展示，注重调动学生的

积极性！

_________________________________________________Q

工动手画一画3：请画出直线I和/外一点P

做P0，/,0是垂足，在直线/上取点A,B,C,

比较线段PO、PA、PB、PC的长短，你发现了什么？

活动目的：通过动手画图，可以加深学生对知识的理解，能更好的关注知识的形

成过程，这也是促使学生认真审题的重要策略。比较线段的大小，是学生能轻松

解决的问题，他们在动手操作中，很容易得出结论，轻而易举地掌握这一重要性

质。

活动注意事项：教师应关注学生的画图是否合乎要求，关注学生是否掌握了“比

较线段大小”的方法，让学生充分体会“新知识都是由旧知识解决的”这一重要

方法，在小组交流期间，教师还应重点帮扶在理解上有困难的学生，让每位学生

都学到有价值的数学。

第三环节学以致用，步步为营

请动手画一画四

如图：一辆汽车在直线形的公路上由A向B行驶，M、N分别是位于公路AB两侧

的两所学校。

问题1：汽车行驶时，会对公路两旁的学校造成一定的噪音影响。当汽车行驶到

何处时，分别对两个学校影响最大？在图中标出来。

问题2：当汽车由A向B行驶时，在哪一段上对两个学校影响越来越大？越来越

小？

问题3：在哪一段对M学校影响逐渐减小而对N学校影响逐渐增大？（用文字表

达）

AB

N

活动目的：通过一题多问，可以引导学生透过现象看本质、通过本质找规律、通

过规律找方法。本环节的设置能够很好地锻炼学生的观察、分析、归纳的能力，

使数学学习充满了趣味性和挑战性。本题的设置可以较大限度的调动学生的参与

热情，学生通过动手画图，就可以将一个较难的题目分解于无形，从而轻而易举

的突破难点；本题的设置，为学生掌握解决难题的方法指明了方向。

活动注意事项：教师不仅要引导学生养成画图的好习惯，而且要培养学生善于从

复杂的题目中分离出简单的小题目，从而各个击破，化难为易！本题渗透了从特

殊到一般，又从一般到特殊的思想方法，只要掌握“点到直线的距离”，多角度

地观察图形，再综合运用所学的知识进行分析，就能从千变万化中找到问题的切

入点。

第四环节综合应用，开阔视野

问题1：体育课上老师是怎样测量跳远成绩的？能说说说其中的道理吗？与同伴

交流.

问题2：如图2.1-5已知NACB=90°,即直线AC_BC；若BC=4cm,AC=3cm,

AB=5cm,那么点B到直线AC的距离等于，点A到直线BC的距离

等于,A、B两点间的距离等于o

你能求出点C到AB的距离吗？你是怎样做的？小组合作交流.

问题3：如图2.1—6,点C在直线AB上，过点C引两条射线CE、CD,且NACE=32°,

ZDCB=58°,则CE、CD有何位置关系关系？为什么？

活动目的：问题一取材于学生最熟悉的情境，既可以激发学生学习数学的热情，

同时又鼓励学生用数学知识来分析解决实际问题，满足他们的好奇心，问题1的

设置不仅仅巩固了垂直的定义及其性质，而且让学生进一步领会了数学的建模思

想！通过设置问题2和问题3,使学生思维分层递进，突出了本节课的重点，通

过变式练习，步步递进，不断完善了新的知识结构，同时让学生体验了知识的形

成过程和发现的快乐，继而转化为进一步探索的内驱力。问题串的提出，可以满

足不同层次学生学习的需要，提出的问题能激发学生认知上的冲突，从而促使他

们去探索，去对自身的认知结构进行调整和变革。

活动注意事项：教师要充分发散学生的思维，鼓励学生各抒己见，敢于质疑；要

渗透合情说理的方法，进一步培养学生的推理能力。

第五环节学有所思反馈巩固c

活动内容：

1.你学到了哪些知识点？

2.你学到了哪些方法？

3.你还有哪些困惑？

活动目的：该环节是为了提高学生归纳问题的能力，鼓励学生积极表达自己的观

点，体现了学生是学习的主人，教师只是一个组织者和引导者。本环节的设置使

学生学会从系统的角度把握知识方法，努力使知识结构化、网络化，引导学生时

刻注意新旧知识之间的联系。

活动注意事项：教师一定让学生畅谈自己的切身感受，仔细聆听学生对本节知识

的达成度，注意鼓励学生说出自己的困惑，以便进行适时的点拨和强调。

巩固反馈

1.如图2.1—7中，ZBAC=90°,AD±BC于点D,则下面结论中正确的有（）

个。

①点B到AC的垂线段是线段AB；②线段AC是点C到AB的垂线段；

③线段AD是点A到BC的垂线段；④线段BD是点B到AD的垂线段。

A、1个；B、2个；C、3个；D、4个。

2.如图2.1—8中，点0在直线AB上，OELAB于点0,0CL0D,若ND0E=32°,

请你求出NEOC、NB0D的度数，并说明理由。

3.如图2.1—9中，点0在直线AB上，0C平分NBOD,0E平分NA0D,贝U0E和

0C有何位置关系？请简述你的理由。

活动目的：本环节是为了检验学生对本节课的掌握程度。在测试题的选择上，体

现了分层次的原则。题目由易到难，由简到繁，争取能让每一位学生都能领略到

成功的喜悦！

活动注意事项：应当堂反馈，针对学生出现的问题及时纠正！

第六环节布置作业能力延伸

基础题：1.书P45页习题2.2第1,2,3题

握直煞2.请学有余力的同学采取合理的方式，搜集整理与本节课有关的“好题”,

被选中的同学下节课为全班展示。

活动目的：作业的布置不仅体现了分层次的原则。而且将课内的学习延伸到了课

外，给了学生更广阔的提升空间，激励学生为了获得“展示”而积极的投入到学

习中，从而使每个学生都能学到了有价值的数学！

活动注意事项：教师一定要将所有学生搜集的题目批阅一遍，给予这部分同学很

高的评价，采取“赏识教育”激励更多的学生走向讲台，展示自我；将“好题”

除了部分展示外，多余的“好题目”还可以采取“布置作业”的形式供全体同学

共享！

三、教学设计反思

首先我通过让学生搜集资料、动手实践等活动，让全体学生通过自主参与

知识的过程，主动掌握探求新知的方法，培养了一种积极向上的探究精神，引

导学生真正把知识变为自己的学问，以便随时驾驭流动的世界.

根据本节课的内容特点及学生的心理特征，在学法上，极力倡导了新课程

的动手实践、独立探究、合作交流的学习方法，引导学生挖掘生活中的实际素材,

能够列举一些具有合理性、科学性、创造性的实例，并辅以语言及书面的表达，

使学生经历知识的生成过程，既加深了对所学知识的理解，也培养了他们的创新

精神；注重了学生的情感、态度和价值观的培养。

独立思考、学会思考是创新的核心；概括归纳得到猜想和规律，并加以验

证，是创新的重要方法。本节课采用教师引导，学生自主探索和小组合作相结合

的教学方式。利用多媒体和实物演示等教学设备辅助教学，充分调动学生的积极

性，创设和谐、轻松的学习氛围。课程的设置注重以问题串的方式及变式练习，

以激发学生探究、解决实际问题的兴趣，并在学生的探索、分析、交流、归纳、

类比中突破难点，突出重点！整节课的设置渗透了数学的建模思想。学生是课堂

的主人，教师是学生学习的组织者、促进者、合作者。本节课是一个不断提出问

题、解决问题的思维过程，是为学生的自主探索与合作交流提供机会，搭建平台

的过程。在教学过程中，教师扮演了引导、点评的角色，数学舞台上的“主演”

是全体学生！本节课，所有的学生都得到了参与讨论和发表见解的机会，所有的

结论和发现都是学生全员参与，热烈讨论，相互启发，思考探索获得的，充分尊

重了学生的主体地位！充分利用了问题的情境，增加了教学过程的趣味性和实践

性，激发了学生浓厚的学习兴趣，使学生产生了强烈的求知欲望，体验到了成功

的喜悦！

第二章平行线与相交线

2探索直线平行的条件（第1课时）

一、教学目标：

1.经历探索直线平行条件的过程，掌握利用同位角相等判别直线平行的结

论，并能解决一些问题。

2.会识别由“三线八角”构成的同位角，会用三角尺过已知直线外一点画

这条直线的平行线。

3.经历观察、操作、想象、推理、交流等活动，体会利用操作、归纳获得

数学结论的过程，进一步发展空间想象、推理能力和有条理表达的能力。

4.使学生在积极参与探索、交流的数学活动中，体验数学与实际生活的密

切联系，激发学生的求知欲，感受与他人合作的重要性。

二、教学设计分析：

本节课共设计了六个环节：巧妙设疑，复习引入；联系实际，积极探索；变式训

练，熟练技能；学以致用，步步提高；拓展延伸，迁移运用；总结反思，布置作

业。

第一环节：巧妙设疑，复习引入

活动内容：教师通过设置问题串，层层设疑，在引导学生思考、层层释疑的基础

上，既复习旧知，做好新知学习的铺垫，同时也不断激活学生思维、生成新问题,

引起认知冲突，从而自然引入新课。

问题1：在同一平面内两条直线的位置关系有几种?分别是什么？

学生很容易回答出“在同一平面内两条直线的位置关系有两种，分别是相交和

平行”，再进一步针对相交和平行分别提出问题2、3oA、

问题2如图,两条直线相交所构成的四个角中分别有何关系

CB

借助两条直线相交的基本图形复习“两线四角”的关系，为探索“三线八角”

的关系奠定基础。

问题3：什么叫两条直线平行?

复习平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。

问题4：观察下面每幅图中的直线a,b,它们分别平行吗？你能验证吗？

三组直线看上去似乎不平行，其实它们分别都是平行的，这是由于背景造成

的视觉误差，所以按照平行线的定义仅凭观察来判断直线的平行关系是不够的，

这就需要进一步寻求证据，本节课老师将和同学们一起来一一探索直线平行的条

件，由此引入新课。

活动目的：问题1,2,3抓住了本章学习的重点一一平行和相交，从学生已

有的知识入手，以问题为载体，自然复习同一平面内两条直线的位置关系以及平

行、相交的基本图形和基本知识，承上启下为新课的学习做好铺垫，有利于学生

形成完整的知识结构。学生对问题3的回答进一步复习了平行线的定义，但是在

利用平行线的定义解决问题4时却遇到了困难，由于背景的干扰，他们仅凭观察

无法判断两条直线是否平行，这时老师可以启发学生用推三角板的方法去验证，

得出两条直线是平行的，观察所得到的结果与实际结果之间有明显的误差，能够

使学生深深的体会到，仅凭观察和实际操作得出的结论是不可靠的，必须学习用

更科学的方式来说明，由此引发学生探索的直线平行条件的需求，自然引入新课。

这样引入，既符合学生已有的认知基础，又较好的激发了学生探索问题的欲望。

实际教学效果：在处理问题1,2,3的过程中，教师的主要目的是带领学生复习

回顾七上学习的相关知识，教学中发现，由于间隔时间较长学生有的遗忘了，有

的不能很好的用数学语言表达，教师应有充分的耐心帮助学生理清思路，这将对

本节课的学习起到关键作用。在处理问题4时，先让学生观察、猜想，再利用多

媒体课件改变背景图形的设置角度，观察直线的位置关系也好像改变了，再让学

生利用推三角板的方式进行验证，最后隐去背景图形，进一步验证，在此过程中

让学生充分感受观察所得到结果的不确定性，也进一步体会到寻求更科学、准确

方法的必要性。实践证明，这样处理能较好的调动学生的积极性，开启了学生的

思维，成功的引入了新课。

第二环节：联系实际，积极探索

活动内容：1.引入实际问题：如课本彩图，装修工人正在向墙上钉木条。如果木

条b与墙壁边缘垂直，那么木条a与墙壁边缘所夹角是多少度时，才能使木条a

与木条b平行？学生根据自己的生活经验自然会得到：木条a也与墙壁边缘垂直

时，才能使木条a与木条b平行。在此基础上提出两个问题：

问题1：实际问题中在判断两根木条平行时，借助了墙壁作为参照，你能将上述

问题抽象为数学问题吗？试着画出图形，并结合图形说明。

学生回答：如图，把墙壁看作直线c,直线b与直线c垂直时，

只有当直线a也与直线c垂直时，才能得到直线a平行于直线bo

ba

问题2：|------------a/I

1.图中的直线b与直线c不垂直，直线a应满足什2条件才能与直线b平行呢？

请你利用教具亲自动手操作。

做一做：利用纸条和图钉自己制作学具，如图，三根纸条相交成Nl,N2,固定

纸条b,c,转动纸条a,在操作的过程中让学生观察N2的变化以及它与N1的关

系，你发现纸条a与纸条b的位置关系发生了什么变化？纸条a何时与纸条b平

行？改变图中N1的大小再试一试，与同学交流你的发现。引导学生发现，当

图中的N2满足与N1相等时，纸条a与纸条b平行。再利用课件展示，加深学

生的认识。

2.由N1与N2的位置关系引出对“三线八角”的认识和同位角的概念。

如图，直线AB,CD被直线1所截，构成了八个角，具有N1与N2

这样位置关系的角，可以看作是在被截直线的同一侧，在截线的同一旁，

相对位置是相同的，我们把这样的角称为同位角。八■

问题1：图中还有其他的同位角吗？中一

AP

问题2：这些角相等也可以得出两直线平行吗？——窕---

3.综上探索，引导学生归纳出两直线平行的条件：同位角相等，/两直线平行。

活动目的：本环节共经历了三个过程。首先利用课本的实例，使学生认识到平行

线在日常生活和生产中广泛存在，探索直线平行的条件是实际的需要，由实例中

“木条与墙壁平行”这一特殊情况入手，学生很容易理解。通过问题1巧妙的将

实际问题转化为数学问题，较好了建立的数学模型；又通过问题2实现了由特殊

到一般的过渡，点击重点。设置了“转动纸条”的活动，让学生亲自动手操作，

目的是让学生通过观察、想象、直观认识到“同位角相等，两直线平行”的结论。

第二，再次引导学生将转动纸条的实际问题抽象为数学问题，画出“三线八角”

的基本图形，并直观的认识同位角的概念，使概念的学习成为解决问题的需要，

而没有孤立的处理这部分内容，这样处理能使知识自然纳入学生的学习需求，符

合可接受性原则。第三，在较好的处理了前两个环节后，探索得出同位角相等，

两直线平行的结论也就水到渠成了。这样由浅入深，充分地让学生经历了解决问

题的过程，较好的突出了重点，突破了难点。

实际教学效果:本环节的教学是本课的教学难点，在实现以上教学活动的过程中，

学生有较好的参与意识和学习兴趣，实际问题与学生生活密切联系，绝大多数学

生能够很快得出结论，并随着老师问题的提出而不断进行更深入的思考。设计的

动手实验与课本相比进行了改变,更加简单易操作，实现了让学生通过动手操作,

在变化中感受角的大小变化与直线位置关系的联系的教学目标。在得到充分的感

性认识的基础上，通过第二个环节从数学的角度来认识三线八角，实现了由感性

到理性的上升，这样逐渐提高思维要求，教学效果良好。对于三线八角的变式训

练本节课没有涉及，主要是考虑避免喧宾夺主，先让学生有一个初步认识，但是

学生在今后的学习中将会遇到各种变式图形，正确识别三线八角也是一个难点，

为解决这一问题，本设计将在下一课时对此进行弥补。实际教学证明，如果本节

课将三线八角的教学作为重点之一，一是教学时间不够，而是冲淡了对探索直线

平行条件这一主要教学目标的完成。

ABA3

议一议1£)

问题1:你还记得怎样用移动三角板的方雷丽条平行线吗？你能用这种方

法过已知直线AB外一点P画它的平行线吗？请说出其中的道理。

问题2：分别过点C、D画直线AB的平行线EF、GH,EF与GH有怎样的位

置关系？

你有什么发现？与同伴交流.

结论：/~y//因为a//b,a//

过直线外一点有且只有)/c,根据平行于同

一条直线与这条直线平A一条直线的两条、

行。、)直线互相平行，所)

＜平行于同一条直线的两y、LJ

活动目的：通过形式不同的三个练习，从不同的角度帮助学生进一步加深对

利用同位角相等判定两直线平行的认识，形成初步技能。练习1利用网格图呈现

基本图形，较简单有趣；练习2难度略有加深，直接呈现三线八角的基本图形，

引导学生，帮助学生进一步认识同位角，并判定直线平行；练习3是将上学期所

学“推三角板画平行线”的方法与本节课知识相联系，当时学习这种画法的时候,

无法给学生说明这样画的道理，留下悬念，学习了本节的知识后，正好为此找到

了理论依据。设计成议一议的形式也是为了使学生在实践中学会思考，再利用所

得结论来解决新问题：如何过直线外一点画已知直线的平行线？这也是本节课学

生要重点掌握的内容。

实际教学效果:本环节练习采用先让学生独立思考、再小组交流的方式展开。

教学中鼓励学生用自己的语言说明理由，并逐步渗透用数学语言进行说理的能

力，但不强求每个学生都用严格的语言进行表述。练习1学生有的学生根据以往

的经验知道线段EF、GH与线段AB、CD相交所成的锐角都是45度，由此得到结

论；有的学生从直观上得出线段EF、GH与线段AB、CD相交所成的锐角都相等，

由此得到结论。至于为什么都是45度或为什么相等，个别学生还不能很好的说

明理由，这还有待于今后进一步学习。只要学生有根据角相等来判断直线平行的

意识就应该鼓励，也就实现了教学目标。通过练习3学生能够利用“同位角相等,

两直线平行”的结论来解释“平移三角板画平行线”方法的合理性，并灵活应用

这种方法学会过已知直线外一点画这条直线的平行线，这较好了培养了学生利用

所学数学知识解决问题的能力。

第四环节：学以致用，步步提高

活动内容：

1.b//a,c//a,那么,理由：.

2:0那么呼辆条直线平行

3.如图，第/豳畀NAPQ=N#E=46°,可得：BG

4.如图，直线EF与ND戊鼠两蛔目交于A,B耨弱图NC的叵第4题图

和,NBAC的同位角是.,NEBG的同位角是.

第五环节：拓展延伸，迁移运用

1.带领学生研究课本48页“数学理解”栏目中的两个实际问题：

问题1：你能用一张不规则的纸（如图）折出两条平行的直线吗？

与同伴说说你的折法。

问题2：如图（1）是一种画平行线的工具，在画平行线之前，工人师傅往往要

先调整一下工具，如图2,然后画平行线，你能说明这种工具的用法和其中得道

理吗？（图见教材）

2.如图，在屋架上要加一根横梁DE,已知NB=32°,

要使DE〃BC,则NADE必须等于多少度？为什么？今人

活动目的：本环节的三个问题难度较大，联系实际，要求用用/析问

题和解决问题的能力，设计的目的是进一步激发学生的用多＜/学知

识解释和解决实际生活中的问题，提高能力。问题m杀记

给学生构建了探究、创造的空间，要想利用结论，必须构造出于同一条直线相交

构成相等同位角的两条直线，方法多样，有较大的探索空间；问题2是进一步培

养学生说理的能力，也可以进一步引导学生将实际问题抽象位几何图形，并结合

图形说明道理；问题3是一个具有较复杂图形的实际问题，目的是训练学生的识

图能力，只要善于从中提取出基本图形，问题就迎刃而解了。

设计本环节对于整节课教学目标的实现也起着非常重要的作用，第一使学生

对知识的理解与应用螺旋上升，达到较高要求；第二，整堂课的设计体现了实际

——理论一一实际的过程，帮助学生形成从实际问题中抽象出数学问题，得出结

论，再用来解决实际问题的学习数学的思路，这也符合新课程标准所要求的“实

际问题一一建立模型-----解释、应用与拓展”思路。

实际教学效果：在教学中，学生对于以上三个问题的解决同样有极大的热情，特

别是问题1的折纸活动，出现了各种不同的方法：有的折出了两条与纸的边缘垂

直的线，得出两条折痕是互相平行的；有的折出了一组相等的同位角，有的还用

度量的方法折出了平行四边形，等等，教师对于学生的折法只要合理就给予鼓励,

并对他们的解释给以合理的补充和理论上的说明，学生获得了成功的体验。

第五环节：总结反思，布置作业

总结反思，

问题1：本节课你认为自己解决的最好的问题是什么？

问题2：本节课你有哪些收获？

问题3：通过今天的学习，你想进一步探究的问题是什么？

活动目的：通过三个问题引导学生回顾自己的学习过程，畅所欲言，加强反思、

提炼及知识的归纳，纳入自己的知识结构。教师将通过对问题1的总结，有目的

地引导发现自己在合作学习、解决问题的过程中能否提出有价值的解决方案、能

否与他人沟通合作等；通过对问题2的总结主要是帮助学生提炼本节课的重要知

识点和必须要掌握的技能；通过问题3要引发学生进一步的思考，是否还有其他

的判别直线平行的方法？为下节课进一步学习奠定基础。由于学生的学习基础、、

反思归纳能力不同，应该说不同的学生会有不同的想法，但是学生之间的这种差

异也是一种学习资源。通过教师为学生提供的交流互动的舞台，使学生在倾听别

人的想法、意见、收获的同时，不断完善自己的认识。

实际教学效果：这样设计使得学生在一节课积极、热烈的探究、合作学习之

余，有一点时间静下心来默默地反思自己，使自己对知识有一个沉淀、吸收的过

程，这样小结显然要比简单的堆积知识点对培养学生能力更有利。实际教学中不

同层次的学生都能谈出自己的想法、收获以及自己还存在的困惑，通过生生、师

生的交流，帮助他们解决问题，形成完整的知识结构，取得了较好的效果。

布置作业%

1.48页习题2.3知识技能。E|\

2.补充练习：如图，是由两块相同的直角三角板拼成的分/jNy

（1）请写出图中相等的角；ABCD

（2）写出图中平行的线段，并说明理由。

及时作业是巩固课堂学习知识的重要环节，由于课本提供练习较少，因此作适当

的补充。由于对学生“说理”的训练应循序渐进，考虑到学生目前书写还有困难，

所以练习较多采用填空、选择的形式，逐步过渡到由学生独立完成说理的全过程。

三、教学设计反思

1.以问题为载体给学生提供探索的空间

数学学习的本质是一种思维活动，发展思维能力是培养学生能力的核心，而

“学起于思，思起于疑”，问题是思维的外衣。本节课的每个环节的设计与展开，

都以问题的解决为中心，第一环节以问题作为激活学生思维的刺激因素，激发学

生产生合理的认知冲突，激发兴趣，第二、三环节以问题带领学生探究，寻找规

律，第四环节在解决问题的过程中练习、巩固知识，第五环节也是以引领学生反

思、总结，整节课构建了“以问题研究和学生活动”为中心的课堂学习环境，使

教学过程成为在教师指导下学生的一种自主探索的学习活动过程，在探索中形成

自己的观点。所以，合理把握问题教学，是保证学生自主、合作、探究的学习方

式向纵深发展的关键，要克服以完成教学任务为主要目标、不舍得给学生探究时

间的倾向，要给学生提供较为充分的思维、探究的时间和空间。

2.为学生提供多维互动交流的舞台

儿童深层次的认知发展，既需要独立思考，更需要合作交流。现代认知学派

认为，在学习过程中，只有经过学习者自己探索和概括的知识，才能真正纳入其

自身认知结构，获得深刻的理解，在应用时才易检索。这里的“自己探索和概括”

就是独立思考，学生的思维是在自己原有的认知结构上建构的，教师应尽可能多

地给学生充分自主思考的空间和时间，即使他们找不到思路，也充分感知了困难、

尝试了困难，为进一步探究奠定了基础。通过独立思考领会数学学科的基本原理、

基本概念和思想方法，掌握解题（包括解决实际问题）的基本方法和策略，并尝

试进行数学创造是数学学习的基本方法和策略，所以要重视让学生独立思考。学

生在独立思考的基础上进行合作研究，进行生生之间的对话，在合作中发