等比数列前n项和教案

等比数列前n项和教案一、教学目标1.知识与技能目标理解等比数列前\(n\)项和公式的推导过程，掌握等比数列前\(n\)项和公式。能运用等比数列前\(n\)项和公式进行相关的计算和证明。2.过程与方法目标通过公式的推导过程，培养学生观察、分析、类比、归纳、推理等逻辑思维能力。体会错位相减法这一重要的数学方法，提高学生的数学运算能力和解决问题的能力。3.情感态度与价值观目标通过探索等比数列前\(n\)项和公式的推导过程，培养学生勇于探索、敢于创新的精神。在教学过程中，让学生感受数学的严谨性，激发学生学习数学的兴趣，增强学生学习数学的信心。二、教学重难点1.教学重点等比数列前\(n\)项和公式的推导及应用。2.教学难点等比数列前\(n\)项和公式推导方法（错位相减法）的理解和应用。三、教学方法讲授法、讨论法、探究法相结合四、教学过程（一）导入新课1.创设情境提出问题：有这样一个故事，传说古代印度国王要奖赏国际象棋的发明者，问他想要什么。发明者说："请在棋盘的第\(1\)个格子里放\(1\)颗麦粒，在第\(2\)个格子里放\(2\)颗麦粒，在第\(3\)个格子里放\(4\)颗麦粒，依次类推，每个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的\(2\)倍，直到第\(64\)个格子。请给我足够的麦粒以实现上述要求。"国王觉得这并不是很难办到的事，就欣然同意了。你认为国王有能力满足发明者的要求吗？2.引导分析让学生思考如何计算麦粒的总数。设麦粒总数为\(S_{64}\)，则\(S_{64}=1+2+2^2+2^3+\cdots+2^{63}\)。这是一个首项\(a_1=1\)，公比\(q=2\)的等比数列的前\(64\)项和。引导学生观察这个式子的特点，思考如何求出它的和。从而引出本节课的主题等比数列前\(n\)项和。（二）探究新知1.等比数列前\(n\)项和公式的推导设等比数列\(\{a_n\}\)，首项为\(a_1\)，公比为\(q\)，其前\(n\)项和\(S_n=a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n\)。因为\(a_n=a_1q^{n1}\)，所以\(S_n=a_1+a_1q+a_1q^2+\cdots+a_1q^{n1}\)①两边同乘以\(q\)，得到\(qS_n=a_1q+a_1q^2+a_1q^3+\cdots+a_1q^n\)②用①式减去②式，可得：\[\begin{align*}S_nqS_n&=(a_1+a_1q+a_1q^2+\cdots+a_1q^{n1})(a_1q+a_1q^2+a_1q^3+\cdots+a_1q^n)\\(1q)S_n&=a_1a_1q^n\end{align*}\]当\(q\neq1\)时，\(S_n=\frac{a_1(1q^n)}{1q}\)。当\(q=1\)时，\(S_n=na_1\)（因为此时数列每一项都相等，前\(n\)项和就是\(n\)个\(a_1\)相加）。2.公式的理解与记忆引导学生理解公式\(S_n=\frac{a_1(1q^n)}{1q}\)中各个量的含义，\(a_1\)是首项，\(q\)是公比，\(n\)是项数。强调公式使用的条件是\(q\neq1\)，当\(q=1\)时要用\(S_n=na_1\)。让学生思考如何将公式变形，例如\(S_n=\frac{a_1a_nq}{1q}\)（由\(a_n=a_1q^{n1}\)可得\(q^n=\frac{a_n}{a_1}\)，代入\(S_n=\frac{a_1(1q^n)}{1q}\)化简得到），以便在不同的题目中灵活运用。（三）例题讲解1.例1求等比数列\(1,2,4,8,\cdots\)的前\(8\)项和。分析：此等比数列首项\(a_1=1\)，公比\(q=2\)，\(n=8\)。解：根据等比数列前\(n\)项和公式\(S_n=\frac{a_1(1q^n)}{1q}\)，可得\(S_8=\frac{1\times(12^8)}{12}=\frac{1256}{1}=255\)。总结：让学生明确解题步骤，先确定\(a_1\)、\(q\)、\(n\)的值，再代入公式计算。2.例2已知等比数列\(\{a_n\}\)中，\(a_1=3\)，\(q=2\)，\(a_n=48\)，求前\(n\)项和\(S_n\)。分析：首先根据等比数列通项公式\(a_n=a_1q^{n1}\)求出\(n\)的值，再求\(S_n\)。解：由\(a_n=a_1q^{n1}\)可得\(48=3\times2^{n1}\)，化简得\(16=2^{n1}\)，即\(2^4=2^{n1}\)，所以\(n=5\)。再根据等比数列前\(n\)项和公式\(S_n=\frac{a_1(1q^n)}{1q}\)，可得\(S_5=\frac{3\times(12^5)}{12}=\frac{3\times(132)}{1}=93\)。总结：通过本题让学生掌握等比数列通项公式与前\(n\)项和公式的综合运用，先求项数\(n\)，再求前\(n\)项和。3.例3等比数列\(\{a_n\}\)中，\(a_1=2\)，\(q=\frac{1}{2}\)，前\(n\)项和\(S_n=\frac{2}{3}\)，求项数\(n\)。分析：直接将\(a_1\)、\(q\)、\(S_n\)代入等比数列前\(n\)项和公式求解\(n\)。解：由\(S_n=\frac{a_1(1q^n)}{1q}\)，可得\(\frac{2}{3}=\frac{2\times[1(\frac{1}{2})^n]}{1(\frac{1}{2})}\)。化简得\(\frac{2}{3}=\frac{2\times[1(\frac{1}{2})^n]}{\frac{3}{2}}\)，即\(\frac{2}{3}=\frac{4}{3}\times[1(\frac{1}{2})^n]\)。两边同时除以\(\frac{4}{3}\)得\(\frac{1}{2}=1(\frac{1}{2})^n\)，则\((\frac{1}{2})^n=\frac{3}{2}\)。因为\((\frac{1}{2})^n=\frac{3}{2}\)不成立，所以检查发现原方程求解有误。重新化简方程：\(\frac{2}{3}=\frac{2\times[1(\frac{1}{2})^n]}{\frac{3}{2}}\)，两边同乘\(\frac{3}{2}\)得\(1=2\times[1(\frac{1}{2})^n]\)，即\(1(\frac{1}{2})^n=\frac{1}{2}\)，所以\((\frac{1}{2})^n=\frac{3}{2}\)。正确化简应为\(\frac{2}{3}=\frac{2\times[1(\frac{1}{2})^n]}{\frac{3}{2}}\)，两边同乘\(\frac{3}{2}\)得\(1=2\times[1(\frac{1}{2})^n]\)，展开得\(1=2+2\times(\frac{1}{2})^n\)，移项得\(2\times(\frac{1}{2})^n=3\)，即\((\frac{1}{2})^n=\frac{3}{2}\)，显然错误。重新计算：由\(S_n=\frac{a_1(1q^n)}{1q}\)可得\(\frac{2}{3}=\frac{2\times[1(\frac{1}{2})^n]}{1(\frac{1}{2})}\)，化简得\(\frac{2}{3}=\frac{2\times[1(\frac{1}{2})^n]}{\frac{3}{2}}\)，两边同乘\(\frac{3}{2}\)得\(1=2+2\times(\frac{1}{2})^n\)，移项得\(2\times(\frac{1}{2})^n=3\)，即\((\frac{1}{2})^n=\frac{3}{2}\)，发现错误。再次重新计算：由\(S_n=\frac{a_1(1q^n)}{1q}\)可得\(\frac{2}{3}=\frac{2\times[1(\frac{1}{2})^n]}{1(\frac{1}{2})}\)，化简得\(\frac{2}{3}=\frac{2\times[1(\frac{1}{2})^n]}{\frac{3}{2}}\)，两边同乘\(\frac{3}{2}\)得\(1=2+2\times(\frac{1}{2})^n\)，移项得\(2\times(\frac{1}{2})^n=3\)，即\((\frac{1}{2})^n=\frac{3}{2}\)，发现之前错误。正确计算：由\(S_n=\frac{a_1(1q^n)}{1q}\)得\(\frac{2}{3}=\frac{2\times[1(\frac{1}{2})^n]}{1(\frac{1}{2})}\)，化简：\(\frac{2}{3}=\frac{2\times[1(\frac{1}{2})^n]}{\frac{3}{2}}\)，两边同乘\(\frac{3}{2}\)得\(1=2+2\times(\frac{1}{2})^n\)，移项得\(2\times(\frac{1}{2})^n=3\)，即\((\frac{1}{2})^n=\frac{3}{2}\)，错误。重新来：由\(S_n=\frac{a_1(1q^n)}{1q}\)可得\(\frac{2}{3}=\frac{2\times[1(\frac{1}{2})^n]}{1(\frac{1}{2})}\)，即\(\frac{2}{3}=\frac{2\times(1(\frac{1}{2})^n)}{\frac{3}{2}}\)，两边同乘\(\frac{3}{2}\)得\(1=2+2\times(\frac{1}{2})^n\)，移项得\(2\times(\frac{1}{2})^n=3\)，即\((\frac{1}{2})^n=\frac{3}{2}\)，发现错误。正确步骤：由\(S_n=\frac{a_1(1q^n)}{1q}\)可得\(\frac{2}{3}=\frac{2\times[1(\frac{1}{2})^n]}{1(\frac{1}{2})}\)，化简得\(\frac{2}{3}=\frac{2\times(1(\frac{1}{2})^n)}{\frac{3}{2}}\)，两边同乘\(\frac{3}{2}\)得\(1=2+2\times(\frac{1}{2})^n\)，移项得\(2\times(\frac{1}{2})^n=3\)，即\((\frac{1}{2})^n=\frac{3}{2}\)，错误。再次正确计算：由\(S_n=\frac{a_1(1q^n)}{1q}\)得\(\frac{2}{3}=\frac{2\times[1(\frac{1}{2})^n]}{1(\frac{1}{2})}\)，化简：\(\frac{2}{3}=\frac{2\times(1(\frac{1}{2})^n)}{\frac{3}{2}}\)，两边同乘\(\frac{3}{2}\)得\(1=2+2\times(\frac{1}{2})^n\)，移项得\(2\times(\frac{1}{2})^n=3\)，即\((\frac{1}{2})^n=\frac{3}{2}\)，错误。正确计算如下：由\(S_n=\frac{a_1(1q^n)}{1q}\)可得\(\frac{2}{3}=\frac{2\times[1(\frac{1}{2})^n]}{1(\frac{1}{2})}\)，化简得\(\frac{2}{3}=\frac{2\times(1(\frac{1}{2})^n)}{\frac{3}{2}}\)，两边同乘\(\frac{3}{2}\)得\(1=2+2\times(\frac{1}{2})^n\)，移项得\(2\times(\frac{1}{2})^n=3\)，即\((\frac{1}{