苏教版五年级数学下册典型例题第三单元：因数与倍数·核心素养·创新题型专项练习(原卷版+解析)

2024-2025学年五年级数学下册典型例题系列第三单元：因数与倍数·核心素养·创新题型专项练习一、填空题。1．在1、2、3、…、n中，其中所有奇数的和是M，所有质数的和是N，所有偶数的和是P，所有合数的和是Q。那么（M＋P）－（N＋Q）＝()。2．规定一个新运算：对于不小于3的整数n，（n）表示n的因数个数，如5的因数是1和5，所以（5）＝2；再如8的因数是1、2、4和8，所以（8）＝4等等，请你在理解这种新运算的基础上，求（6）＋（24）＝()。3．定义运算“△”：对于两个自然数a和b，它们的最大公因数与最小公倍数的和记为。例如：。根据上面定义的运算，则()。4．A是一个自然数，如果从A中依次减去1，3，5…。若干个连续单数（奇数），直到不够减时为止，那么还剩下25；如果从A中依次减去2，4，6…。若干个连续双数（偶数），直到不够减时为止，那么还剩下9.自然数A等于()。5．一个数列有如下规则：当数是奇数时，下一个数是；当数是偶数时，下一个数是。如果这列数的第一个数是奇数，第四个数是，则这列数的第一个数是()。6．一个运算程序，运算规则如图，如果输入23，那么结果是()；如果输入了一个数，结果是66，那么这个数是()。二、选择题。7．如果“数”、“学”代表不同的质数，且满足关系式：3×数＋5×学＝31，那么数＋学的结果可能是()。A．3 B．5 C．98．著名的“哥德巴赫猜想”认为：任何大于2的偶数都可以写成两个质数之和。下面的四个算式中，符合“哥德巴赫猜想”的是()。A．7＝2＋5 B．6＝1＋5 C．22＝3＋19 D．24＝3＋219．2300年前古希腊数学家欧几里得证明了素数（也就是质数）有无限多个，提出少量素数可以写成“2p－1”的形式，这里的p也是一个素数。由于这种素数有许多独特的性质和无穷的魅力，千百年来一直吸引着众多的数学家对它进行研究和探索。17世纪法国著名数学家马林·梅森是其中成果较为卓著的一位，因此后人将“2p－1”型的素数称为梅森素数。下面4个数中，()是梅森素数。（注：2p表示p个2相乘）A．1 B．7 C．15 D．1710．古希腊学者认为：如果一个数恰好等于它的所有因数（本身除外）相加之和，那么这个数就是“完全数”。例如6有4个因数1，2，3，6，除本身6以外，还有1，2，3三个因数。，所以6是“完全数”。下面的数中是“完全数”的是()。A．10 B．12 C．16 D．2811．学校举行“数学节”活动。其中有个非常有趣的比赛，要求选手们在规定时间内，从最小的质数开始，按从小到大的顺序写质数，中间不允许跳过任何一个质数，最后每人把自己写出来的质数相乘求积。其中A、B、C、D四名选手经裁判组核定，他们写的质数都符合比赛要求。以下分别是他们算出的积，然而只有一人计算正确，那么正确的是()。A．30035 B．510510 C．1531516 D．9699698三、解答题。12．对大于0的自然数n规定一种运算“G”：①当n是奇数时，；②当n是偶数时，等于n连续被2除，直到商是奇数。将k次“G”运算记作，如，，。计算：（1）的值；（2）的值：（3）的值。13．某手机游戏规则如下：玩家手中有风、火、水、土四种技能，每个技能发动一次都能使敌人血量减少一定的点数。具体效果如下：风技能每次130点，火技能每次170点，水技能每次78点，土技能每次104点，如果每个技能发动的次数都大于1，那么当敌人的血量减少3600点时，火技能发动了多少次？14．国王带着、、、、、六位大臣去旅游。晚上大家要去住旅馆，可只有三间房。国王自己要住一间，剩下的两间房都能住三个人，一间是奇数房，只能住奇数；一间是质数房，只能住质数。结果六位大臣商量着竟然吵了起来。大臣说：“我是质数，我应该住质数房！”大臣说：“不对，你是奇数，我才应该住质数房！”他们闹得不可开交，最后只好请国王来评判。可国王一时之间也不知道该怎么安排。同学们，你们能帮助他们吗？你们能够设计几种不同的住法呢？15．下表是一个未完成的奇数乘法表，除第一行和第一列外，表中的数字为所在行和列的第一个数的乘积，如1＝1×1，35＝5×7＝7×5，63＝7×9＝9×7，81＝9×9，求完成后的奇数乘法表中所有数之和。16．我们知道，每个自然数都有因数，对于一个自然数a，我们把小于a的正的因数叫做a的真因数．如10的正因数有1、2、5、10，其中1、2、5是10的真因数。把一个自然数a的所有真因数的和除以a，所得的商叫做a的“完美指标”．如10的“完美指标”是（1+2+5）÷10=。一个自然数的“完美指标”越接近1，我们就说这个数越“完美”．如8的“完美指标”是（1+2+4）÷8=，10的“完美指标”是，因为比更接近1，所以我们说8比10更完美。（1）试分别计算5、6、9的“完美指标”；（2）试找出比10大，比20小的自然数中，最“完美”的数。17．先完成下面的计算，再探索规律，回答问题前2个奇数的和：1＋3＝()前3个奇数的和：1＋3＋5＝()前4个奇数的和：1＋3＋5＋7＝()前5个奇数的和：1＋3＋5＋7＋9＝()……（1）前9个奇数的和是()，前40个奇数的和是()。（填“奇数”或“偶数”）（2）自然数中，按奇数从小到大的顺序，前N个奇数的和是多少？（用字母N表示）（3）利用上面的规律，前2017个奇数的和是奇数还是偶数？并求出这个和。2024-2025学年五年级数学下册典型例题系列第三单元：因数与倍数·核心素养·创新题型专项练习一、填空题。1．在1、2、3、…、n中，其中所有奇数的和是M，所有质数的和是N，所有偶数的和是P，所有合数的和是Q。那么（M＋P）－（N＋Q）＝()。【答案】1【分析】在这些数中，所有偶数与所有奇数合起来就包含了所有的数；1既不是质数也不是合数，所有质数与所有合数合起来包含了除1以外的所有数；所以可得M＋P＝1＋2＋3＋…＋n，N＋Q＝2＋3＋…＋n，据此解答即可。【详解】根据分析得，M＋P＝1＋2＋3＋…＋n，N＋Q＝2＋3＋…＋n，所以（M＋P）－（N＋Q）＝（1＋2＋3＋…＋n）－（2＋3＋…＋n）＝1＋（2＋3＋…＋n－2－3－…－n）＝1＋0＝1【点睛】此题主要考查奇数、偶数、质数、合数的定义以及分类标准来解决问题。2．规定一个新运算：对于不小于3的整数n，（n）表示n的因数个数，如5的因数是1和5，所以（5）＝2；再如8的因数是1、2、4和8，所以（8）＝4等等，请你在理解这种新运算的基础上，求（6）＋（24）＝()。【答案】12【分析】由题意可知，（n）表示n的因数个数，求一个数的因数时，就用这个数从1开始去整除，一直除到除数和商交换位置或除数和商相同为止，除数和商都是被除数的因数，重复的因数只写一个，求出6和24的因数个数，再求出（6）＋（24）的值，据此解答。【详解】6÷1＝66÷2＝36的因数有1，2，3，6，一共4个因数。24÷1＝2424÷2＝1224÷3＝824÷4＝624的因数有1，2，3，4，6，8，12，24，一共8个因数。所以，（6）＋（24）＝4＋8＝12。【点睛】本题主要考查定义新运算，掌握求一个数因数的方法是解答题目的关键。3．定义运算“△”：对于两个自然数a和b，它们的最大公因数与最小公倍数的和记为。例如：。根据上面定义的运算，则()。【答案】231【分析】根据题意，求得57和12的最大公因数和最小公倍数，然后把最大公因数和最小公倍数相加即要。【详解】57＝3×1912＝2×2×357和12的最大公因数是：357和12的最小公倍数是：3×19×2×2＝2283＋228＝231【点睛】解答此题的关键是，根据定义的新运算，找出运算方法，列式解答即可。4．A是一个自然数，如果从A中依次减去1，3，5…。若干个连续单数（奇数），直到不够减时为止，那么还剩下25；如果从A中依次减去2，4，6…。若干个连续双数（偶数），直到不够减时为止，那么还剩下9.自然数A等于()。【答案】281【解析】每减一个偶数比减一个奇数多减1，对比最后剩下的两个数25和9，9比25小16，那么减了16个奇数或偶数，然后从1加到第16个奇数，再加上25，得到A。【详解】所以自然数A等于281。【点睛】求解本题的关键是找出两次操作的区别，重点是两次操作最后得到的数为什么会相差16。5．一个数列有如下规则：当数是奇数时，下一个数是；当数是偶数时，下一个数是。如果这列数的第一个数是奇数，第四个数是，则这列数的第一个数是()。【答案】43【分析】第四个数是11，那么第三数如果是偶数就是22，第三个数如果是奇数是不可能的；同理，用倒推法可以求出第二个数、第一个数。【详解】11是奇数，那么第三个数只能是偶数；第三数是22，22的前一个数可以是偶数44或奇数21；44的前一个是可以是偶数88或奇数43，而21的前一个只能是偶数42；由于这列数的第一个是奇数，所以只有43满足；故这列数的第一个数是43。【点睛】本题考查的是还原问题，也可以把第一个数设为a，然后表示出第四个数，求解出a的值。6．一个运算程序，运算规则如图，如果输入23，那么结果是()；如果输入了一个数，结果是66，那么这个数是()。【答案】53132【分析】23是一个质数，所以运行的算法为；由于只知道结果是66，所以让和这两个算式都等于66，再分别计算出A，看A是否符合各自运算程序的条件，即，，8是合数，不符合相对应的运算程序的条件“A是质数”；，，32是合数，符合相对应的运算程序的条件“A是合数”，所以这个数是32。【详解】232＋2＝23×23＋2＝529＋2＝531解：设这个数为x，由题意得：x2＋2＝66x2＝64x＝88是合数，不符合题意。解：设这个数为y，由题意得：2y＋2＝662y＝64y＝3232是合数，符合题意。【点睛】首先判断所输入的数是质数还是合数，然后依照程序的规则计算出结果即可；因为只知道结果为66，并不知道输入的原数是质数还是合数，故要依据规则列两个方程，解答后再做判断。二、选择题。7．如果“数”、“学”代表不同的质数，且满足关系式：3×数＋5×学＝31，那么数＋学的结果可能是（

）。A．3 B．5 C．9【答案】C【分析】除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数。奇数＋奇数＝偶数，奇数＋偶数＝奇数。因为“数”、“学”代表不同的质数，根据奇偶性，如果质数都是奇数，左边应该是和为偶数，事实上31是奇数，所以必然有一个质数是偶数，只能是2，所以，显然有：数＝2，学＝5或者数＝7，学＝2，则和为7或9。【详解】3×2＋5×5＝6＋25＝313×7＋5×2＝21＋10＝312＋5＝77＋2＝9数＋学的结果可能是7或9。故答案为：C8．著名的“哥德巴赫猜想”认为：任何大于2的偶数都可以写成两个质数之和。下面的四个算式中，符合“哥德巴赫猜想”的是（

）。A．7＝2＋5 B．6＝1＋5 C．22＝3＋19 D．24＝3＋21【答案】C【分析】在自然数中，是2的倍数的数叫做偶数，一个数只有1和它本身两个因数，这个数叫做质数。据此解答。【详解】A．7＝2＋57是奇数，7＝2＋5不符合“哥德巴赫猜想”；B．6＝1＋51既不是质数，也不是合数，6＝1＋5不符合“哥德巴赫猜想”；C．22＝3＋1922是偶数，3和19是质数，所以22＝3＋19符合“哥德巴赫猜想”；D．24＝3＋2121是合数，所以24＝3＋21不符合“哥德巴赫猜想”。故答案为：C【点睛】本题主要考查了奇数、偶数、质数、合数的认识和应用。9．2300年前古希腊数学家欧几里得证明了素数（也就是质数）有无限多个，提出少量素数可以写成“2p－1”的形式，这里的p也是一个素数。由于这种素数有许多独特的性质和无穷的魅力，千百年来一直吸引着众多的数学家对它进行研究和探索。17世纪法国著名数学家马林·梅森是其中成果较为卓著的一位，因此后人将“2p－1”型的素数称为梅森素数。下面4个数中，（

）是梅森素数。（注：2p表示p个2相乘）A．1 B．7 C．15 D．17【答案】B【分析】一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数；一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。根据题意，先分析四个选项的数是否是质数，再看质数是否能写成“2p－1”的形式，且p也是质数，即可找出梅森素数。【详解】A．1既不是质数也不是合数，不符合梅森素数的特征；B．7是质数，7＝8－1＝23－1，符合梅森素数的特征；C．15是合数，不符合梅森素数的特征；D．17是质数，但17不能写成“2p－1”的形式，不符合梅森素数的特征。故答案为：B【点睛】本题考查质数的意义以及梅森素数的特征。10．古希腊学者认为：如果一个数恰好等于它的所有因数（本身除外）相加之和，那么这个数就是“完全数”。例如6有4个因数1，2，3，6，除本身6以外，还有1，2，3三个因数。，所以6是“完全数”。下面的数中是“完全数”的是（

）。A．10 B．12 C．16 D．28【答案】D【分析】根据题意可知，把每个选项的因数都写出来，再相加，看看是否符合“完全数”的规律。【详解】A．10的因数有：1、10、2、5。1＋2＋5＝810不是“完全数”。B．12的因数有：1、12、2、6、3、41＋2＋3＋4＋6＝1612不是“完全数”。C．16的因数有：1、16、2、8、41＋2＋4＋8＝1516不是“完全数”。D．28的因数有：1、28、2、14、4、71＋2＋4＋7＋14＝2828是“完全数”。故答案为：D【点睛】熟练掌握“完全数”的概念特征，是解决本题的关键。11．学校举行“数学节”活动。其中有个非常有趣的比赛，要求选手们在规定时间内，从最小的质数开始，按从小到大的顺序写质数，中间不允许跳过任何一个质数，最后每人把自己写出来的质数相乘求积。其中A、B、C、D四名选手经裁判组核定，他们写的质数都符合比赛要求。以下分别是他们算出的积，然而只有一人计算正确，那么正确的是（

）。A．30035 B．510510 C．1531516 D．9699698【答案】B【分析】一个自然数如果只有1和它本身两个因数，那么这个自然数叫做质数；从小到大的质数有：2、3、5、7、11、13、17⋯，因为2×5＝10，所以无论有多少个质数相乘，它的积的个位数字一定是0，再结合选项选择即可。【详解】由分析可知：只有B项的结果的个位数字是0，所以510510是正确的。故答案为：B【点睛】本题考查质数，明确质数的定义是解题的关键。三、解答题。12．对大于0的自然数n规定一种运算“G”：①当n是奇数时，；②当n是偶数时，等于n连续被2除，直到商是奇数。将k次“G”运算记作，如，，。计算：（1）的值；（2）的值：（3）的值。【答案】（1）；（2）；（3）4【分析】首先正确理解新定义的算式的含义，当n是奇数时，按照3n＋1来计算；当n是偶数时，按照n连续被2除计算，直到商是奇数。然后严格按照新定义的计算程序，将数值代入，转化为常规的四则运算算式进行计算。【详解】（1）答：的值为6064。（2）答：的值为34。（3）从开始，计算结果是1和4循环，（2021－11）÷2＝2010÷2＝1005，所以。答：的值为4。【点睛】解答定义新运算，关键是要正确地理解新定义的算式的含义。13．某手机游戏规则如下：玩家手中有风、火、水、土四种技能，每个技能发动一次都能使敌人血量减少一定的点数。具体效果如下：风技能每次130点，火技能每次170点，水技能每次78点，土技能每次104点，如果每个技能发动的次数都大于1，那么当敌人的血量减少3600点时，火技能发动了多少次？【答案】12次【解析】观察发现，130、78、104都是13的倍数，设风、火、水、土四种技能用的次数分别是a、b、c、d，可以得到方程，求解这个不定方程即可。【详解】解：设风、火、水、土四种技能用的次数分别是a、b、c、d；根据余数的性质，130a、78c、104d除以13，余数是0，3600除以13，余数是12，那么要求170b除以13，余数是12；当a＝2，b＝12，c＝6，d＝8时符合要求；答：火技能发动了12次。【点睛】本题考查的是不定方程，求解不定方程时可以根据余数的性质、奇偶性进行分析。14．国王带着、、、、、六位大臣去旅游。晚上大家要去住旅馆，可只有三间房。国王自己要住一间，剩下的两间房都能住三个人，一间是奇数房，只能住奇数；一间是质数房，只能住质数。结果六位大臣商量着竟然吵了起来。大臣说：“我是质数，我应该住质数房！”大臣说：“不对，你是奇数，我才应该住质数房！”他们闹得不可开交，最后只好请国王来评判。可国王一时之间也不知道该怎么安排。同学们，你们能帮助他们吗？你们能够设计几种不同的住法呢？【答案】种【分析】首先，在题目里1大臣所说的是错误的，而3大臣所说的是正确的；所有大臣都可以住奇数房，但只有3、5、7、11四位大臣可以住在质数房。【详解】所有的六位大臣都可以去住奇数房，但只有、、、四位大臣可以住在质数房。所以，例如、、住奇数房，、、住质数房的安排方法就是正确的。由前面的分析，、必须住在奇数房，所以另外四个数中任何一个也住进奇数房，都是一种住法，那么一共有种不同的住法。答：能够设计4种不同的住法。【点睛】按照非零自然数因数的个数，可以将非零自然数分为质数、合数、1，其中1既不是质数，也不是合数。15．下表是一个未完成的奇数乘法表，除第一行和第一列外，表中的数字为所在行和列的第一个数的乘积，如1＝1×1，35＝5×7＝7×5，63＝7×9＝9×7，81＝9×9，求完成后的奇数乘法表中所有数之和。【答案】10000【分析】表中的每一个数是其所在行对应的数乘所在列对应的数，第一列的所有数之和是1的1倍至19倍之和，第二列是3的1倍至19倍之和，最后一列是19的1倍至19倍之和，相加得到总和。【详解】答：奇数乘法表中所有数之和是10000。【点睛】本题也可以找规律求解，表中从左上角开始的2×2的方格中的所有数之和是4的平方，3×3的方格中的所有数之和是9的平方，依此类推。16．我们知道，每个自然数都有因数，对于一个自然数a，我们把小于a的正的因数叫做a的真因数．如10的正因数有1、2、5、10，其中1、2、5是10的真因数．把一个自然数a的所有真因数的和除以a，所得的商叫做a的“完美指标”．如10的“完美指标”是（1+2+5）÷10=．一个自然数的“完美指标”越接近1，我们就说这个数越“完美”．如8的“完美指标”是（1+2+4）÷8=，10的“完美指标”是，因为比更接近1，所以我们说8比10更完美．（1）试分别计算5、6、9的“完美指标”；（2）试找出比10大，比20小的自然数中，最“完美”的数．【答案】，1，；16【详解】试题分析：（1）根据定义的新的运算意义，分别找出5、6、和9的正因数，再分别找出它们的真因数，最后再由“完美指标”的意义，列式即可解答；（2）根据“完美指标”的意义知道，自然数的真因数越多，此数越完美；因为在11﹣19的数中，11、13、17、19是质数，真因数只有1，所以先排除此三个数，再分别