《金融工程》 课件 第十二章 期权的二叉树模型

第十二讲期权的二叉树模型1《金融工程》主要内容2

第一节

二叉树模型简介

第二节

单步二叉树模型

第三节

多步二叉树模型

第四节

二叉树模型的实际应用34

第一节

二叉树模型简介

引言51979年，J.C.Cox,S.A.Ross&M.Rubin–stein将二叉树模型用于期权定价中，迄今为止，这种模型已经成为金融界最基本的期权定价方法之一。AB1E0E1E3E2B0C0D0C1D1C2D2D3E4一、二叉树模型的基本假设6市场无摩檫（无交易费用和税收)市场是无套利的无风险利率为常数，可以无限制以无风险利率借贷允许卖空下一期的股票价格只取两种可能的值。二、二叉树模型的特点7模型相对简单容易理解风险中性定价与无套利定价的关系容易解释期权动态套期保值的思想一种期权定价的数值方法对欧式期权的定价与Black-Scholes公式的定价近似；为美式期权定价提供了便利；除了为期权定价还可以做别的；8

第二节

单步二叉树模型单期二叉树9

例12.1假设一种不支付红利股票目前的市价为20元，我们知道在3个月后，该股票价格要么是22元，要么是18元。假设现在的无风险年利率等于10%（连续复利），现在我们要找出一份3个月期协议价格为21元的该股票欧式看涨期权的价值。10（一）构造无风险组合定价期权建立一个包含衍生品头寸和基础资产头寸的无风险的资产组合。若数量适当，基础资产的赢利就会与衍生品的亏损相抵，瞬间无风险。无风险组合的收益率等于无风险利率。一.单期二叉树的无套利定价分析11构建一个由一单位看涨期权空头和Δ单位的标的股票多头组成的组合。为了使该组合在期权到期时无风险，Δ必须满足下式：

22D–118D22Δ

－1=18ΔΔ=0.25分析12该无风险组合的现值应为：由于该组合中有一单位看涨期权空头和0.25单位股票多头，而目前股票市场为20元，因此：

13二.单期二叉树的风险中性定价风险中性定价思想在风险中性世界中，我们假定该股票上升的概率为P，下跌的概率为1-P，则得：P=0.6266这样，根据风险中性定价原理，我们就可以给出该期权的价值：14在风险中性世界中，我们假定该股票上升的概率为P，下跌的概率为1-P，则得：P=0.6266这样，根据风险中性定价原理，我们就可以给出该期权的价值：风险中性定价思想三、推广到一般情形15假设一个无红利支付的股票，当前时刻t股票价格为S，基于该股票的某个期权的价值是f，期权的有效期是T，在这个有效期内，股票价格或者上升到Su，或者下降到Sd（d<exp(rT)<u）。当股票价格上升到Su时，我们假设期权的收益为fu，如果股票的价格下降到Sd时，期权的收益为fd。一般的例子（一）无套利定价法的思路16首先，构造一个由Δ股股票多头和一个期权空头组成的证券组合，使得该组合为无风险组合，即：Su

D–ƒuSdD–ƒd由此计算出该组合为无风险时的Δ值。17如果无风险利率用r表示，则该无风险组合的现值一定是（SuΔ-fu）e-rT,而构造该组合的成本是SΔ-f，在没有套利机会的条件下，两者必须相等。即SΔ-f=（SuΔ-fu）e-rT

，所以其中：（一）无套利定价法的思路启示18（1）计算公式中没有出现股票实际上涨或下跌的概率；(2)公式中没有描述投资者对于风险偏好程度的变量，说明可以被任何态度的投资者接受(3)期权价值仅与当前股价、未来股价波动性有关；（4）P，1-p在无套利市场中满足概率的性质，称为风险中性概率（risknerutralProbability）。(5)风险中性概率只依赖于股票价格的波动性和无风险收益（二）风险中性定价的思路19假定风险中性世界中股票的上升概率为P，由于股票未来期望值按无风险利率贴现的现值必须等于该股票目前的价格，因此该概率可通过下式求得：所以fufdfSu

SdSP1-P20（三）风险中性与套利定价内在统一的数学原理资产定价的基本定理：无套利假设等价于存在对未来不确定状态的某一等价概率测度，使得每一种金融资产对该等价概率测度的期望收益都等于无风险证券的收益率表明了无套利定价与风险中性定价的关系单期二叉树——练习21练习：求欧式看跌期权的价值，X=21T=3个月，r=0.1$18$22$20四、欧美式期权的单步二叉树定价22美式期权的单期定价针对美式期权，需要考虑提前执行的价值与不提前执行的价值哪一个是最优的，因此即使在单步的二叉树下美式与欧式的估值也是不同的美式看跌期权X=22的价值为：2欧式看跌期权X=22的价值为：1.46$18$22$2023总结：欧式期权的单期定价：美式期权的单期定价：24

第三节

多步二叉树模型一、两期二叉树模型25股价的变化如图： 每个步长为3个月，u=1.1，d=0.9，r=12%试计算执行价为X=21的欧式看涨的价值20221824.219.816.2（一）无套利定价—复制期权26通过股票和无风险资产组合，复制1单位期权产品的损益。思考：当二叉树步数增加时，delta是否会变化？27201.2823221824.23.219.80.016.20.02.02570.0ABCDEFB点处的delta值：A点处的delta值：结论：不同时期不同股价获得完全保值需要的股票数量是不同的，因此，现实的套期保值策略是一个动态调整的过程。两步二叉树的套利策略28如果这里实际的期权报价$1，套利策略是什么？最终获得的无风险利润是多少？策略0时刻：卖空0.51份股票，买入1份期权，将剩余收入0.51*20-1=9.2元存入银行。1时刻：a)股价上升为22，继续卖空0.22份股票（=0.73-0.51）,将所得收入0.22*22=4.84存入银行

a1)2时刻，股价为24.2，平仓所有头寸，获益：9.2*exp(0.12*0.5)+4.84*exp(0.12*0.25)+max(24.2-21,0)-24.2*(0.51+0.22)=0.29

a2)2时刻，股价为19.8，平仓所有头寸，获益：9.2*exp(0.12*0.5)+4.84*exp(0.12*0.25)-19.8*0.73=0.31时刻：b)股价下降为18，平仓0.51份股票空头（=0-0.51）,借入0.51*18=9.18元

b1)2时刻，无论股价为19.8还是16.2，都不执行，获益为：9.2*exp(0.12*0.5)-9.18*exp(0.12*0.25)=0.31即：无论涨跌，套利收益近似为：（1.2823-1）*exp(0.12*0.5)=0.30启示：多步二叉树模型下期权的套保问题31由两步二叉树的套利定价法知：Delta(D)为下一步期权价值变化与股票价值变化的比值，这个比值是在变动的，因此期权套保需要动态调整股票头寸，对于单步二叉树：Delta(D)

问答32远期合约的套期保值和期权的套期保值策略中，你看到什么差别？为何会产生这样的差别？二叉树作为一种数值方法，我们实际应用中可能需要用上百步甚至上千步去估值，你愿意用上述分析方式利用三步以上的二叉树为期权合约定价吗？（二）两步二叉树的风险中性定价33步骤：1.利用单步股价的变化确定风险中性概率2.利用衍生产品到期损益倒推定价，如果为美式期权在每一步做最优执行时刻的判断。34201.2823221824.23.219.80.016.20.02.02570.0ABCDEF欧式看涨期权的风险中性定价风险中性概率：（三）欧式期权的二叉树定价35欧式看跌期权的定价：201.0591220.40491824.2019.81.216.24.82.3793ABCDEFX=21 （四）美式期权的二叉树定价36美式看跌期权的定价：201.2686221824.2019.81.216.24.80.40493ABCDEF>1.0591=pX=21

练习：试计算美式看涨期权的价格，并比较美式看涨期权与欧式看涨期权间的关系。两期二叉树模型与delta动态保值37总结：欧式期权的二期定价：总结：美式期权的二期定价二、股票价格的多期二叉树模型38SSuSdSu2Sd2SudSu3Su4Su2dSud2Sd3Sd4Sud3Su3dSu2d2类似地可以通过倒推方式计算期权的价值主要内容39总结：欧式期权的多期定价：美式期权的多期定价：三步二叉树模型下期权的定价40例：假设标的资产为不付红利股票,其当前市场价为100元,无风险连续复利为5%，u=1.1,d=0.9,二叉树步长为1年，试计算该股票3年期的，协议价格为105元的欧式看涨期权的价值。100110901219981133.1108.989.172.9Pu=0.76,Pd=0.24股价的二叉树欧式期权的价值4211.8715.852.0221.122.81028.13.900欧式看涨期权价值为11.8743

第四节

二叉树模型的实际应用一、更实际的二叉树（CRR二叉树）44若到期时只有两种状态，可用单步二叉树模拟：SuSdSP1-P45若到期时只有三种状态，可用两步二叉树模拟：SSuSdSu2SudSd2ABCDEF46若到期时有n+1种状态，可用n步二叉树模拟：SSuSdSd2SudSun-1SunSdn-1SdnSudn-1Sun-1dSu247欧美式期权的定价定价过程通常采用倒推定价法首先得到每个结点的资产价格，然后在二叉树模型中采用倒推定价法，从树型结构图的末端T时刻开始往回倒推，为期权定价值得注意的是，如果是美式期权，就要在树型结构的每一个结点上，比较在本时刻提前执行期权和继续再持有到下一个时刻再执行期权，选择其中价值较大者作为本结点的期权价值。欧美式期权的定价48例12.10：

假设标的资产为不付红利股票,其当前市场价为100元,波动率为每年20%，无风险连续复利为10%，该股票6个月期的美式看跌期权协议价格为95元。1）求该期权的价值。2）求相同条款下美式看跌、欧式看涨、欧式看跌的价值参见欧美式期权二叉树定价.xls二、考虑红利率资产的二叉树模型

49Foroptionsonstockindices,currenciesandfuturesthebasicprocedureforconstructingthetreeisthesameexceptforthecalculationofp50TheProbabilityofanUpMove51二叉树可以用于：1)期权定价：欧式、美式期权、路径依赖期权（如回望期权、障碍期权、亚式期权等）;2)含权债券定价：可转债；3）敏感度分析4)信用风险度量：如公司债定价，CDS定价等；5）利率建模三、二叉树的其他应用（一）回望期权（lookbackoption）52固定执行价浮动执行价二叉树模型下回望期权的定价53S=100，d=0.9，u=1.1，执行价格X=105，无风险连续利率r=5%，利用3步二叉树计算到期日为3年的固定执行价的欧式回望看涨期权的价格。股价二叉树54Pu=0.76,Pd=0.24110901219981100133.1108.989.172.999108.989.1108.989.1回望期权的二叉树5513.7818.422.0423.974.762.82028.116553.9000执行价为105的回望看涨期权价值为13.78（二）二叉树为路径依赖产品的改进56如此复杂的二叉树在计算机上是不可实现的，降低计算复杂度的方法是改进二叉树模型。参见：1）《期权、期货及其他衍生产品》第20章，20.4节；2）《金融工程学》，郑振龙（第一版），第8章3）Hull,J.,andA.,White(1993).EfficientproceduresforvaluingEuropeanandAmericanpath-dependentoptions,JournalofDerivatives,1,21-31.本章计算要求571）能够利用至少3步的二叉树模型为任何已知损益公式的产品定价；2）能够对两步二叉树模型下，价格不合理的期权给出套利策略实现的全过程。例12.12（一个理财产品的估值）582012年12月，农银汇理公司推出一款结构化专户产品，仅针对100万元以上的客户，产品的封闭期为12个月。产品收益为：一年后客