2025届高考数学二轮复习选择题“瓶颈”突破练专题强化练理

PAGE1-选择题“瓶颈”突破练1．已知圆心为O，半径为1的圆上有不同的三个点A，B，C，其中eq\o(OA,\s\up14(→))·eq\o(OB,\s\up14(→))＝0，存在实数λ，μ满意eq\o(OC,\s\up14(→))＋λeq\o(OA,\s\up14(→))＋μeq\o(OB,\s\up14(→))＝0，则实数λ，μ的关系为()A．λ2＋μ2＝1 B.eq\f(1,λ)＋eq\f(1,μ)＝1C．λμ＝1 D．λ＋μ＝1解析：法1：取特别点，取C点为优弧AB的中点，此时由平面对量基本定理易得λ＝μ＝eq\f(\r(2),2)，只有A符合．法2：依题意得|eq\o(OA,\s\up14(→))|＝|eq\o(OB,\s\up14(→))|＝|eq\o(OC,\s\up14(→))|＝1，－eq\o(OC,\s\up14(→))＝λeq\o(OA,\s\up14(→))＋μeq\o(OB,\s\up14(→))，又eq\o(OA,\s\up14(→))·eq\o(OB,\s\up14(→))＝0，两边平方得1＝λ2＋μ2.答案：A2．在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，其中b2＝ac，且sinC＝eq\r(2)sinB，则其最小内角的余弦值为()A．－eq\f(\r(2),4) B.eq\f(\r(2),4)C.eq\f(5\r(2),8) D.eq\f(3,4)解析：sinC＝eq\r(2)sinB，得c＝eq\r(2)b.又b2＝ac，所以b＝eq\r(2)a，则c＝2a.角A是△ABC的最小内角，则cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(2a2＋4a2－a2,4\r(2)a2)＝eq\f(5\r(2),8).答案：C3．已知函数f(x)＝eq\r(3)＋loga(7－x)(a＞0，a≠1)的图象恒过点P，若双曲线C的对称轴为两坐标轴，一条渐近线与3x－y－1＝0垂直，且点P在双曲线C上，则双曲线C的方程为()A.eq\f(x2,9)－y2＝1 B．x2－eq\f(y2,9)＝1C.eq\f(x2,3)－y2＝1 D．x2－eq\f(y2,3)＝1解析：由已知可得P(6，eq\r(3))，因为双曲线的一条渐近线与3x－y－1＝0垂直，故双曲线的渐近线方程为x±3y＝0，故可设双曲线方程为x2－(3y)2＝λ，即x2－9y2＝λ，由P(6，eq\r(3))在双曲线上可得62－9×(eq\r(3))2＝λ，解得λ＝9.所以双曲线方程为eq\f(x2,9)－y2＝1.答案：A4．设等差数列{an}的公差不为0，其前n项和为Sn，若(a2－1)3＋(a2－1)＝2024，(a2024－1)3＋(a2024－1)＝－2024，则S2024＝()A．0 B．2C．2024 D．4038解析：设f(x)＝x3＋x，易知f(x)在R上的奇函数，且单调递增．又f(a2－1)＝2024，f(a2024－1)＝－2024，所以a2－1＋a2024－1＝0，则a1＋a2024＝a2＋a2024＝2.故S2024＝eq\f(2024（a1＋a2024）,2)＝2024.答案：C5．已知三棱锥PABC的全部顶点都在球O的球面上，△ABC满意AB＝2eq\r(2)，∠ACB＝90°，PA为球O的直径且PA＝4，则点P究竟面ABC的距离为()A.eq\r(2) B．2eq\r(2)C.eq\r(3) D．2eq\r(3)解析：取AB的中点O1，连接OO1，如图，在△ABC中，AB＝2eq\r(2)，∠ABC＝90°.所以小圆O1是以AB为直径的圆，则O1A＝eq\r(2)，且OO1⊥AO1.又球O的直径PA＝4，所以OA＝2.则OO1＝eq\r(OA2－O1A2)＝eq\r(2)，且OO1⊥底面ABC.故点P到平面ABC的距离为2OO1＝2eq\r(2).答案：B6．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ω＞0，|φ|＜\f(π,2)))的最小正周期为π，将函数f(x)的图象向右平移eq\f(π,6)个单位得到函数g(x)的图象，且geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))＝geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－x))，则φ的取值为()A.eq\f(5π,12) B.eq\f(π,3)C.eq\f(π,6) D.eq\f(π,12)解析：因为函数f(x)的最小正周期为π，所以ω＝2，所以f(x)＝2sin(2x＋φ)．因为将函数f(x)的图象向右平移eq\f(π,6)个单位得到函数g(x)的图象，所以g(x)＝2sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))＋φ))＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋φ－\f(π,3))).又因为geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))＝geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－x)).所以x＝eq\f(π,3)为函数g(x)图象的一条对称轴．所以2×eq\f(π,3)＋φ－eq\f(π,3)＝eq\f(π,2)＋kπ，则φ＝kπ＋eq\f(π,6)，k∈Z.又|φ|＜eq\f(π,2)，取k＝0，得φ＝eq\f(π,6).答案：C7．若双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的中心为O，过C的右顶点和右焦点分别作垂直于x轴的直线，交C的渐近线于A，B和M，N，若△OAB与△OMN的面积比为1∶4，则C的渐近线方程为()A．y＝±x B．y＝±eq\r(3)xC．y＝±2x D．y＝±3x解析：依题可知△AOB与△MON相像，由三角形面积比等于相像比的平方，得eq\f(1,4)＝eq\f(a2,c2)，所以eq\f(c,a)＝2，即eq\f(a2＋b2,a2)＝4，所以eq\f(b,a)＝eq\r(3).所以C的渐近线方程为y＝±eq\r(3)x.答案：B8．已知函数f(x)＝eq\f(1＋ex,x)，则()A．f(x)有1个零点B．f(x)在(0，1)上为减函数C．y＝f(x)的图象关于点(1，0)对称D．f(x)有2个极值点解析：明显f(x)≠0，A错误；由f′(x)＝eq\f(ex（x－1）－1,x2)知，当x∈(0，1)时，f′(x)＜0.所以f(x)在(0，1)上是减函数，则B正确．又f(3)＋f(－1)＝eq\f(1＋e3,3)－(1＋e－1)＝eq\f(e3－3e－1－2,3)≠0，所以g＝f(x)不关于点(1，0)对称，故C错误．数形结合，易知f′(x)＝0，方程只有一个实根，故f(x)最多有一个极值点，D错误．答案：B9．已知三个村庄A，B，C构成一个三角形，且AB＝5千米，BC＝12千米，AC＝13千米．为了便利市民生活，现在△ABC内任取一点M建一大型生活超市，则M到A，B，C的距离都不小于2千米的概率为()A.eq\f(2,5) B.eq\f(3,5)C．1－eq\f(π,15) D.eq\f(π,15)解析：易知AC2＝AB2＋BC2，则△ABC是以B为直角的直角三角形，所以S△ABC＝eq\f(1,2)×AB×BC＝eq\f(1,2)×5×12＝30.又分别以A、B、C为圆心，以2为半径与△ABC相交的三个扇形的面积S＝eq\f(1,2)×22×π＝2π.所以所求事务的概率P＝1－eq\f(S,S△ABC)＝1－eq\f(2π,30)＝1－eq\f(π,15).答案：C10．(2024·湖南师大附中模拟)已知平面α∩平面β＝直线l，点A、C∈α，点B、D∈β，且A、B、C、D∉l，点M、N分别是线段AB、CD的中点，则下列说法正确的是()A．当|CD|＝2|AB|时，M、N不行能重合B．M、N可能重合，但此时直线AC与l不行能相交C．当直线AB、CD相交，但AC∥l时，BD可与l相交D．当直线AB、CD异面时，MN可能与l平行解析：对于A，当|CD|＝2|AB|时，若A、B、C、D四点共面且AC∥BD时，则M、N两点能重合，故A不对；对于B，若M、N两点可能重合，则AC∥BD，故AC∥l，此时直线AC与直线l不行能相交，故B对；对于C，当AB与CD相交，直线AC平行于l时，直线BD可以与l平行，故C不对；对于D，当AB、CD是异面直线时，MN不行能与l平行，从而D不对．答案：B11．设抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F(1，0)，过点P(1，1)的直线l与抛物线C交于A，B两点，若P恰好为线段AB的中点，则|AB|＝()A．2 B.eq\r(15)C．4 D．6解析：易知p＝2，则y2＝4x，明显直线l的斜率存在且不为0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l的斜率为k(k≠0)．由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y2＝4x，,y－1＝k（x－1），))消去x得ky2－4y＋4－4k＝0.由于点P(1，1)是线段AB的中点，所以y1＋y2＝eq\f(4,k)＝2，所以k＝2.因此直线l的方程为y＝2x－1，且y1y2＝－2.所以|AB|＝eq\r(（y2－y1）2＋（x2－x1）2)＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(2))·|y2－y1|＝eq\f(\r(5),2)eq\r(（y1＋y2）2－4y1y2)＝eq\f(\r(5),2)·eq\r(4－4×（－2）)＝eq\r(15).答案：B12．已知实数x，y满意条件eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y≤x－1，,x≤3，,x＋5y≥4，))令z＝lnx－lny，则z的最小值为()A．lneq\f(3,2) B．lneq\f(2,3)C．ln15 D．－ln15解析：作可行域如图中阴影部分所示．则可行域内点A与原点O连线斜率最大，又A(3，2)，则kmax＝kOA＝eq\f(y,x)＝eq\f(2,3).所以eq\f(x,y)的最小值为eq\f(3,2).故z＝lnx－lny＝lneq\f(x,y)的最小值为lneq\f(3,2).答案：A13．(2024·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知asinA－bsinB＝4csinC，且cosA＝－eq\f(1,4)，则eq\f(b,c)＝()A．6 B．5C．4 D．3解析：因为asinA－bsinB＝4csinC，所以由正弦定理得a2－b2＝4c2，即a2＝b2＋4c2.由余弦定理得cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(b2＋c2－（4c2＋b2）,2bc)＝eq\f(－3c2,2bc)＝－eq\f(1,4)，因此eq\f(b,c)＝6.答案：A14．设f′(x)是函数f(x)的导函数，若f′(x)＞0，且∀x1，x2∈R(x1≠x2)，有eq\f(f（x1）＋f（x2）,2)＜feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2))).则下列选项中不肯定正确的一项是()A．f(2)＜f(e)＜f(π)B．f′(π)＜f′(e)＜f′(2)C．f(2)＜f′(2)－f′(3)＜f(3)D．f′(3)＜f(3)－f(2)＜f′(2)解析：由f′(x)＞0，知f(x)在R上单调递增，A正确．∀x1，x2∈R(x1≠x2)，恒有eq\f(f（x1）＋f（x2）,2)＜feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)))，所以y＝f(x)的图象是向上凸起的，如图所示．因为f′(x)反映了函数f(x)图象上各点处的切线的斜率，由图象可知f′(π)＜f′(e)＜f′(2)，B正确．f(3)－f(2)＝eq\f(f（3）－f（2）,3－2)，表示点A(2，f(2))与B(3，f(3))连线的斜率，由图可知f′(3)＜kAB＜f′(2)，故D项正确，只有C项无法推断，不肯定正确．答案：C15．已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的离心率为eq\f(1,2)，抛物线y2＝2px(p＞0)与双曲线eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1的渐近线的交点(除原点外)到抛物线的准线的距离为8，则p等于()A．1 B．2C．4 D．6解析：因为椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1的离心率为eq\f(1,2)，所以eq\