北京市延庆县高中数学 第一章 计数原理 1.2 排列与组合 1.2.6 简单的计数问题教学设计 新人教B版选修2-3

北京市延庆县高中数学第一章计数原理1.2排列与组合1.2.6简单的计数问题教学设计新人教B版选修2-3学校授课教师课时授课班级授课地点教具教材分析亲爱的小伙伴们，今天我们要一起探索数学的奇妙世界，走进高中数学第一章的“计数原理”这一章节。今天我们要聚焦的是1.2节“排列与组合”中的1.2.6“简单的计数问题”。这可是我们学习数学的基石，让我们一起来揭开它的神秘面纱吧！🎉🎓核心素养目标分析教学难点与重点1.教学重点，

①理解排列与组合的概念，掌握排列数和组合数的计算公式。

②能够应用排列与组合的原理解决实际问题，例如在统计学、概率论等领域。

2.教学难点，

①理解排列与组合的区别，特别是在限制条件下的排列与组合问题。

②掌握排列与组合的解题技巧，如分类计数法、分步乘法原理等。

③在实际问题中，如何准确识别并运用排列与组合的模型进行解题，这需要学生具备较强的逻辑思维能力和实际问题分析能力。教学资源准备1.教材：确保每位学生都有本节课所需的教材或学习资料，特别是人教B版选修2-3《高中数学》第一章“计数原理”部分。

2.辅助材料：准备与教学内容相关的图片、图表、视频等多媒体资源，如排列与组合的实例应用、动画演示等，以帮助学生直观理解。

3.教学工具：准备计算器、卡片等辅助工具，以便学生进行实际操作和练习。

4.教室布置：根据教学需要，布置教室环境，包括分组讨论区，以便学生在小组合作中共同解决问题。教学过程设计1.导入新课（5分钟）

目标：引起学生对排列与组合的兴趣，激发其探索欲望。

过程：

开场提问：“同学们，你们有没有想过，在有限的选择中，我们如何确定所有可能的组合方式呢？”

展示一些关于排列与组合的图片，如扑克牌的排列组合、生日蛋糕的装饰图案等，让学生初步感受排列与组合的魅力或特点。

简短介绍排列与组合的基本概念和重要性，比如在密码设置、统计学中的应用，为接下来的学习打下基础。

2.排列与组合基础知识讲解（10分钟）

目标：让学生了解排列与组合的基本概念、组成部分和原理。

过程：

讲解排列与组合的定义，包括排列数和组合数的概念。

详细介绍排列与组合的组成部分，如排列的定义、排列数公式、组合的定义、组合数公式，使用图表或示意图帮助学生理解。

3.排列与组合案例分析（20分钟）

目标：通过具体案例，让学生深入了解排列与组合的特性和重要性。

过程：

选择几个典型的排列与组合案例进行分析，如密码设置、抽奖活动等。

详细介绍每个案例的背景、特点和意义，让学生全面了解排列与组合的多样性或复杂性。

引导学生思考这些案例对实际生活或学习的影响，以及如何应用排列与组合解决实际问题。

4.学生小组讨论（10分钟）

目标：培养学生的合作能力和解决问题的能力。

过程：

将学生分成若干小组，每组选择一个与排列与组合相关的主题进行深入讨论，如“如何优化班级座位排列”。

小组内讨论该主题的现状、挑战以及可能的解决方案。

每组选出一名代表，准备向全班展示讨论成果。

5.课堂展示与点评（15分钟）

目标：锻炼学生的表达能力，同时加深全班对排列与组合的认识和理解。

过程：

各组代表依次上台展示讨论成果，包括主题的现状、挑战及解决方案。

其他学生和教师对展示内容进行提问和点评，促进互动交流。

教师总结各组的亮点和不足，并提出进一步的建议和改进方向。

6.课堂小结（5分钟）

目标：回顾本节课的主要内容，强调排列与组合的重要性和意义。

过程：

简要回顾本节课的学习内容，包括排列与组合的基本概念、组成部分、案例分析等。

强调排列与组合在现实生活或学习中的价值和作用，鼓励学生进一步探索和应用排列与组合。

布置课后作业：让学生尝试设计一个简单的游戏，利用排列与组合的原理来增加游戏的趣味性，以巩固学习效果。知识点梳理1.排列与组合的基本概念

-排列：指从n个不同元素中，按照一定的顺序取出m（m≤n）个元素的所有可能的不同排列方式的数目。

-组合：指从n个不同元素中，不考虑元素的顺序，取出m（m≤n）个元素的所有可能的不同组合方式的数目。

2.排列数的计算公式

-排列数公式：A(n,m)=n!/(n-m)!

-其中，n!表示n的阶乘，即n*(n-1)*(n-2)*...*1。

3.组合数的计算公式

-组合数公式：C(n,m)=n!/[m!*(n-m)!]

-其中，n!表示n的阶乘，m!表示m的阶乘。

4.排列与组合的运算性质

-交换律：A(n,m)=A(n,n-m)

-结合律：A(n,m)*A(m,k)=A(n,k)

-分配律：A(n,m)+C(n,m)=C(n+1,m)

5.排列与组合的应用

-排列的应用：在密码设置、日程安排、顺序排列等问题中，排列可以帮助我们确定所有可能的排列方式。

-组合的应用：在统计学、概率论、抽样调查等问题中，组合可以帮助我们确定所有可能的组合方式。

6.排列与组合的解题技巧

-分类计数法：将问题分成若干类，分别计算每类的排列或组合数，然后将各类的排列或组合数相加。

-分步乘法原理：将问题分解成若干个步骤，每一步都有若干种选择，根据分步乘法原理，总的排列或组合数等于每一步选择的数目相乘。

7.排列与组合在实际问题中的应用

-排列的应用实例：计算班级中所有可能的座位排列方式。

-组合的应用实例：计算从5个不同的水果中选择3个水果的所有可能组合方式。

8.排列与组合的扩展

-排列与组合的扩展问题：如限制条件下的排列与组合、多重集合的排列与组合等。

9.排列与组合的复习与巩固

-复习排列与组合的基本概念、计算公式和运算性质。

-巩固排列与组合的应用，通过解决实际问题来加深理解。

10.排列与组合的拓展与提高

-探索排列与组合在更广泛领域中的应用，如计算机科学、密码学等。

-学习排列与组合的高级技巧，如递推关系、生成函数等。反思改进措施反思改进措施（一）教学特色创新

1.案例教学法：在讲解排列与组合时，我尝试引入实际案例，如密码设置、抽奖活动等，让学生在实际情境中理解抽象的数学概念，这样不仅提高了学生的兴趣，也增强了他们的实践能力。

2.小组合作学习：通过分组讨论和课堂展示，我鼓励学生之间的合作和交流，这种互动式学习方式不仅锻炼了学生的团队协作能力，也促进了他们对知识的深入理解。

反思改进措施（二）存在主要问题

1.学生对抽象概念的理解困难：有些学生对排列与组合的抽象概念理解起来比较吃力，尤其是在处理复杂问题时，他们往往难以找到合适的解题思路。

2.教学方法单一：虽然案例教学和小组合作取得了一定的效果，但整体上教学方法还是相对单一，缺乏多样性和层次性，可能无法满足所有学生的学习需求。

3.评价方式局限：目前的评价方式主要依赖于课堂表现和作业完成情况，缺乏对学生实际应用能力的全面评估。

反思改进措施（三）改进措施

1.加强概念讲解的直观性：为了帮助学生更好地理解抽象概念，我计划使用更多直观的教学工具，如图表、动画等，以及通过实际操作来增强学生的感性认识。

2.丰富教学手段：我将尝试引入更多样化的教学方法，如角色扮演、游戏化学习等，以激发学生的学习兴趣，同时提高他们的参与度。

3.完善评价体系：为了更全面地评估学生的学习成果，我将设计更加多元化的评价方式，包括课堂表现、小组合作、项目作业、期末考试等多个方面，以鼓励学生全面发展。此外，我还将考虑引入自我评估和同伴评估，让学生在评价过程中更加主动和积极地反思自己的学习过程。重点题型整理1.**排列问题**

-题型示例：从5个不同的字母中取出3个字母，组成一个没有重复字母的三位密码，共有多少种不同的排列方式？

-解答：使用排列数公式A(5,3)=5!/(5-3)!=5!/2!=(5×4×3)/(2×1)=60种排列方式。

2.**组合问题**

-题型示例：从7名同学中选出3名代表参加比赛，不考虑代表的顺序，有多少种不同的组合方式？

-解答：使用组合数公式C(7,3)=7!/[3!*(7-3)!]=7!/(3!*4!)=(7×6×5)/(3×2×1)=35种组合方式。

3.**限制条件下的排列问题**

-题型示例：从5个不同的数字中取出3个数字，组成一个三位数，要求数字不能重复，且第一个数字不能为0，有多少种不同的排列方式？

-解答：第一个数字有4种选择（1,2,3,4），第二个数字有5种选择（除去第一个数字的4个数字），第三个数字有4种选择（除去前两个数字的3个数字）。所以，总共有4×5×4=80种排列方式。

4.**限制条件下的组合问题**

-题型示例：从10个不同的商品中选出4个进行展示，要求至少包含2个服装和2个电子产品，有多少种不同的组合方式？

-解答：可以先选择2个服装，有C(5,2)种方式；再选择2个电子产品，有C(5,2)种方式。由于服装和电子产品是独立选择的，所以总共有C(5,2)×C(5,2)=100种组合方式。

5.**排列与组合的综合应用问题**

-题型示例：一个班级有5名男生和4名女生，需要从中选出3名学生参加学校活动，且至少要有1名女生，有多少种不同的选法？

-解答：首先，选出1名女生有C(4,1)种方式，选出2名女生有C(4,2)种方式。然后，对于剩下的男生，分别有C(5,2)和C(5,1)种选法。所以，总共有C(4,1)×C(5,2)+C(4,2)×C(5,1)=40+60=100种不同的选法。教学评价与反馈1.课堂表现：在本次排列与组合的教学中，学生的课堂参与度较高，能够积极回答问题，并参与到小组讨论中。大部分学生能够理解并应用排列与组合的基本概念和计算公式。在解决实际问题时，学生们能够灵活运用所学知识，展现出了良好的逻辑思维和问题解决能力。

2.小组讨论成果展示：在小组讨论环节，学生们表现出良好的团队合作精神。每个小组都能够围绕讨论主题进行深入探讨，并提出创新性的解决方案。在展示成果时，学生们能够清晰、有条理地表达自己的观点，其他学生和教师也给予了积极的反馈和评价。

3.随堂测试：通过随堂测试，我评估了学生对排列与组合知识的掌握程度。测试结果显示，大部分学生能够正确应用排列与组合的公式和原理解决简单问题，但部分学生在解决复杂问题时存在困难，需要进一步指导和练习。

4.学生自评与互评：在课程结束后，我鼓励学生进行自我评价和互评。学生们能够诚实地指出自己在学习过程中的优点和不足，并提出改进措施。这种自我反思和评价的过程，有助于学生更好地认识自己的学习状态，并激发他们不断进步的动力。

5.教师评价与反馈：针对本次教学，我将从以下几个方面进行评价与反馈：

-教学内容的覆盖度：确保所有重要的知识点都被涵盖，并根据学生的反馈调整教学内容。

-教学方法的适用性：评估案例教学和小组讨论等教学方法的实际效果，并根据学生的反应进行调整。

-教学资源的利用：检查教学资源的准备情况，确保多媒体资源和教学工具能够有效地辅助教学。

-学生学习效果：通过随堂测试、学生自评和互评等方式，了解学生的学习效果，并根据结果调整教学策略。

-教学反思：定期进行教学反思，总结经验教训，不断改进教学方法，以提高教学质量和学生的学习体验。板书设计①排列与组合的定义

-排列：从n个不同元素中，按照一定的顺序取出m（m≤n）个元素的所有可能的不同排列方式的数目。

-组合：从n个不同元素中，不考虑元素的顺序，取出m（m≤n）个元素的所有可能的不同组合方式的数目。

②排列数的计算公式

-A(n,m)=n!/(n-m)!

-其中，n!表示n的阶乘，即n*(n-1)*(n-2)*...*1。

③组合数的计算公式

-C(n,m)=n!/[m!*(n-m)!]

-其中，n!表示n的阶乘，