角平分线的性质参赛教学设计

角平分线的性质参赛教学设计一、教学目标1.知识与技能目标学生能够理解角平分线的性质定理及其逆定理，并能用文字语言、符号语言准确表述。学生能运用角平分线的性质定理及其逆定理进行简单的推理和计算，解决相关的几何问题。2.过程与方法目标通过让学生经历观察、猜想、操作、验证、推理等数学活动过程，培养学生的动手实践能力、逻辑推理能力和自主探究能力。体会由感性认识到理性认识的认知过程，提高学生分析问题和解决问题的能力。3.情感态度与价值观目标通过小组合作交流，培养学生的合作意识和团队精神，让学生在交流中体验成功的喜悦，增强学习数学的自信心。感受数学的严谨性以及数学结论的确定性，激发学生学习数学的兴趣，培养学生勇于探索的精神。二、教学重难点1.教学重点角平分线性质定理及其逆定理的探究与证明。角平分线性质定理及其逆定理的应用。2.教学难点角平分线性质定理及其逆定理的探究过程。灵活运用角平分线性质定理及其逆定理解决实际问题，在解决问题过程中正确区分性质定理和逆定理的应用条件。三、教学方法1.直观演示法：通过多媒体动画、教具演示等直观手段，帮助学生更好地理解角平分线的性质，增强学生的感性认识。2.探究法：引导学生通过自主探究、小组合作等方式，经历观察、猜想、操作、验证、推理等过程，得出角平分线的性质定理及其逆定理，培养学生的探究能力和逻辑思维能力。3.讲练结合法：在讲解完角平分线的性质定理及其逆定理后，通过针对性的练习题，让学生及时巩固所学知识，提高运用知识解决问题的能力。四、教学过程（一）创设情境，导入新课1.展示多媒体课件，呈现一个三角形花坛，三条小路将花坛分成了四个区域，其中两条小路将一个角平分。提出问题：如果要在花坛中从一个顶点出发修一条小路，使它到角两边的距离相等，应该怎样修？这条小路与角平分线有什么关系？2.引导学生思考：生活中还有哪些地方用到了角平分线的知识？让学生举例说明，从而引出本节课的主题角平分线的性质。（二）探究新知1.角平分线性质定理的探究让学生在纸上任意画一个角∠AOB，用折纸的方法作出∠AOB的平分线OC。在OC上任取一点P，过点P分别作边OA、OB的垂线，垂足分别为D、E。观察测量PD、PE的长度，你发现了什么？再在OC上取几个不同的点，重复上述操作，你能得出什么结论？学生分组进行实验操作，然后小组内交流讨论，得出猜想：角平分线上的点到角两边的距离相等。教师引导学生用逻辑推理的方法证明这个猜想。已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E。求证：PD=PE。证明：因为OC是∠AOB的平分线，所以∠1=∠2。又因为PD⊥OA，PE⊥OB，所以∠PDO=∠PEO=90°。在△PDO和△PEO中，∠1=∠2，∠PDO=∠PEO，OP=OP（公共边），所以△PDO≌△PEO（AAS）。所以PD=PE。教师总结角平分线性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等。用符号语言表示为：因为OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，所以PD=PE。2.角平分线性质定理的应用例1：如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF。求证：CF=EB。分析：要证明CF=EB，可先利用角平分线的性质得到CD=DE，再结合已知条件BD=DF，通过证明Rt△CDF≌Rt△EDB来得出结论。证明：因为AD是∠BAC的平分线，∠C=90°，DE⊥AB，所以CD=DE（角平分线上的点到角两边的距离相等）。在Rt△CDF和Rt△EDB中，CD=DE，BD=DF，所以Rt△CDF≌Rt△EDB（HL）。所以CF=EB。让学生思考并回答：本题中用到了角平分线的哪些知识？证明线段相等的方法有哪些？在本题中是如何运用的？教师引导学生总结解题思路和方法，强调在应用角平分线性质定理时，要注意条件的完整性，即"角平分线""点在角平分线上""垂直"这三个条件缺一不可。3.角平分线性质定理逆定理的探究提出问题：由角平分线性质定理可知，角平分线上的点到角两边的距离相等。那么反过来，如果一个点到角两边的距离相等，这个点是否在这个角的平分线上呢？让学生在纸上画一个角∠AOB，在∠AOB内找一点P，使P到OA、OB的距离相等，然后作射线OP，测量∠AOP和∠BOP的度数，你发现了什么？学生分组进行实验操作，然后小组内交流讨论，得出猜想：到角两边距离相等的点在角的平分线上。教师引导学生用逻辑推理的方法证明这个猜想。已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E，PD=PE。求证：点P在∠AOB的平分线上。证明：经过点P作射线OC。因为PD⊥OA，PE⊥OB，所以∠PDO=∠PEO=90°。在Rt△PDO和Rt△PEO中，OP=OP，PD=PE，所以Rt△PDO≌Rt△PEO（HL）。所以∠AOC=∠BOC（全等三角形对应角相等）。即OC是∠AOB的平分线，也就是点P在∠AOB的平分线上。教师总结角平分线性质定理的逆定理：到角两边距离相等的点在角的平分线上。用符号语言表示为：因为PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E，PD=PE，所以点P在∠AOB的平分线上。4.角平分线性质定理逆定理的应用例2：如图，BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别是E、F，BE、CF相交于点D，BD=CD。求证：AD平分∠BAC。分析：要证明AD平分∠BAC，可先证明点D到AB、AC的距离相等，再利用角平分线性质定理的逆定理得出结论。证明：因为BE⊥AC，CF⊥AB，所以∠BFD=∠CED=90°。在△BDF和△CDE中，∠BFD=∠CED，∠BDF=∠CDE（对顶角相等），BD=CD，所以△BDF≌△CDE（AAS）。所以DF=DE（全等三角形对应边相等）。又因为DF⊥AB，DE⊥AC，所以AD平分∠BAC（到角两边距离相等的点在角的平分线上）。让学生思考并回答：本题中是如何证明点D到角两边的距离相等的？证明角平分线的方法有哪些？在本题中是如何运用的？教师引导学生总结解题思路和方法，强调在应用角平分线性质定理逆定理时，要先证明点到角两边的距离相等，再得出点在角平分线上的结论。（三）课堂练习1.已知△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，BC=8，BD=5，则点D到AB的距离是______。2.如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若PA=2，则PQ的最小值为（）A.1B.2C.3D.43.如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，过点O作EF∥BC，交AB于E，交AC于F。求证：EF=BE+CF。4.如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，求证：点F在∠DAE的平分线上。（四）课堂小结1.引导学生回顾本节课所学内容，包括角平分线性质定理及其逆定理的探究过程、证明方法和应用。2.让学生谈谈自己在本节课中的收获和体会，以及遇到的问题和解决方法。3.教师对学生的发言进行总结和补充，强调本节课的重点知识和解题方法，鼓励学生在课后继续探索和思考相关问题。（五）布置作业1.必做题：课本第[X]页练习第[X]题。如图，△ABC中，AD是它的角平分线，P是AD上一点，PE∥AB交BC于E，PF∥AC交BC于F。求证：D到PE的距离与D到PF的距离相等。2.选做题：如图，在△ABC中，∠BAC=60°，∠C=40°，AP平分∠BAC交BC于P，BQ平分∠ABC交AC于Q，求证：AB+BP=BQ+AQ。思考：角平分线性质定理及其逆定理在生活和生产中有哪些应用？请举例说明，并尝试用所学知识解决相关实际问题。五、教学反思通过本节课的教学，学生经历了角平分线性质定理及其逆定理的探究、证明和应用过程，较好地掌握了相关知识和技能，培养了学生的动手实践能力、逻辑推理能力和合作探究能力。在教学过程中，通过创设情境导入新课，激发了学生的学习兴趣和求知欲；在探究新知环节，让学生自主探究、小组合作，充分发挥了学生的主体作用，培养了学生的探究精神；在应用环节，通过典型例题的讲解和练习，让学生及时巩固了所学知识