高考数学第二章函数概念与基本初等函数第2讲函数的基本性质第3课时函数性质的综合问题教案文新人教A版

高考数学第二章函数概念与基本初等函数第2讲函数的基本性质第3课时函数性质的综合问题教案文新人教A版一、教学目标1.知识与技能目标深入理解函数的单调性、奇偶性等基本性质，并能熟练运用这些性质解决综合问题。学会通过函数性质分析函数图象特征，掌握利用函数图象解决函数性质相关问题的方法。能够运用函数性质解决与函数最值、值域、零点等有关的综合问题，提高学生的逻辑推理和运算求解能力。2.过程与方法目标通过对函数性质综合问题的探究，培养学生观察、分析、归纳、类比等思维能力，体会从特殊到一般、从具体到抽象的数学思想方法。引导学生经历对函数性质综合问题的思考、讨论、解答过程，提高学生运用函数性质进行数学推理和问题解决的能力，增强学生的数学应用意识。3.情感态度与价值观目标通过解决函数性质综合问题，激发学生学习数学的兴趣，培养学生勇于探索、敢于创新的精神，增强学生学习数学的自信心。在教学过程中，培养学生严谨的治学态度和团队合作精神，让学生体会数学的美感和价值，感受数学在实际生活中的广泛应用。二、教学重难点1.教学重点函数单调性与奇偶性的综合应用，包括利用单调性和奇偶性判断函数值大小关系、求解不等式等。借助函数图象分析函数性质，通过函数性质确定函数图象的大致形状和特征，进而解决相关问题。函数性质在解决函数最值、值域、零点等问题中的应用，掌握运用函数性质建立数学模型并求解实际问题的方法。2.教学难点灵活运用函数单调性和奇偶性进行综合推理，能够根据已知条件准确地选择和运用函数性质来解决复杂的函数问题。如何引导学生通过函数图象直观地理解函数性质之间的内在联系，并能运用图象进行准确的分析和判断，解决函数性质的综合应用问题。培养学生运用函数性质解决实际问题的能力，能够将实际问题转化为函数模型，运用函数性质进行求解，并对结果进行合理的解释和应用。三、教学方法1.讲授法：系统讲解函数性质综合问题的基本概念、原理和方法，使学生对所学内容有一个清晰的框架和整体认识。2.讨论法：组织学生对典型例题进行讨论，鼓励学生积极思考、发表自己的见解，通过交流和互动，拓宽学生的思维视野，培养学生的合作学习能力和创新思维。3.练习法：安排适量的针对性练习题，让学生通过练习巩固所学知识，提高运用函数性质解决问题的能力。在练习过程中，及时反馈学生的学习情况，针对学生存在的问题进行有针对性的辅导和讲解。4.多媒体辅助教学法：利用多媒体课件展示函数图象、动画等，直观形象地呈现函数性质的变化规律和应用过程，帮助学生更好地理解和掌握抽象的函数性质知识，提高课堂教学效率。四、教学过程（一）导入新课（5分钟）1.回顾函数单调性和奇偶性的定义及相关性质提问：函数单调性的定义是什么？如何判断函数的单调性？学生回答后，教师总结强调：设函数\(f(x)\)的定义域为\(I\)，如果对于定义域\(I\)内的某个区间\(D\)上的任意两个自变量的值\(x_1\)、\(x_2\)，当\(x_1<x_2\)时，都有\(f(x_1)<f(x_2)\)（或\(f(x_1)>f(x_2)\)），那么就说函数\(f(x)\)在区间\(D\)上是增函数（或减函数）。提问：函数奇偶性的定义是什么？奇函数和偶函数的图象有什么特点？学生回答后，教师总结：对于函数\(f(x)\)，如果对于定义域内的任意一个\(x\)，都有\(f(x)=f(x)\)，那么函数\(f(x)\)就叫做偶函数；如果对于定义域内的任意一个\(x\)，都有\(f(x)=f(x)\)，那么函数\(f(x)\)就叫做奇函数。偶函数的图象关于\(y\)轴对称，奇函数的图象关于原点对称。2.点明本节课的主题函数性质的综合问题教师：在前面的学习中，我们分别学习了函数的单调性和奇偶性，今天我们将一起来探讨如何综合运用这些函数性质来解决一些更复杂的问题。（二）知识讲解（15分钟）1.函数单调性与奇偶性的综合应用例1：已知函数\(f(x)\)是奇函数，且在\((0,+\infty)\)上是增函数，判断\(f(x)\)在\((\infty,0)\)上的单调性，并证明你的结论。分析：根据奇函数的性质\(f(x)=f(x)\)，以及函数单调性的定义来判断\(f(x)\)在\((\infty,0)\)上的单调性。证明：设\(x_1<x_2<0\)，则\(x_1>x_2>0\)。因为\(f(x)\)在\((0,+\infty)\)上是增函数，所以\(f(x_1)>f(x_2)\)。又因为\(f(x)\)是奇函数，所以\(f(x_1)=f(x_1)\)，\(f(x_2)=f(x_2)\)。则\(f(x_1)>f(x_2)\)，即\(f(x_1)<f(x_2)\)。所以\(f(x)\)在\((\infty,0)\)上是增函数。总结：奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性。2.利用函数性质求解不等式例2：已知函数\(f(x)\)是偶函数，且在\([0,+\infty)\)上是减函数，\(f(2)=0\)，求不等式\(f(x1)>0\)的解集。分析：根据偶函数的性质\(f(x)=f(x)=f(|x|)\)，将不等式\(f(x1)>0\)转化为\(f(|x1|)>f(2)\)，再利用函数的单调性求解。解：因为\(f(x)\)是偶函数，所以\(f(x1)=f(|x1|)\)。又\(f(2)=0\)，所以\(f(x1)>0\)即\(f(|x1|)>f(2)\)。因为\(f(x)\)在\([0,+\infty)\)上是减函数，所以\(|x1|<2\)。即\(2<x1<2\)，解得\(1<x<3\)。所以不等式\(f(x1)>0\)的解集为\((1,3)\)。总结：利用函数的奇偶性和单调性求解不等式时，要先根据奇偶性将不等式变形，再结合单调性去掉函数符号，得到关于自变量的不等式，进而求解。3.函数图象与函数性质的综合应用例3：已知函数\(f(x)\)的图象关于原点对称，且满足\(f(x+2)=f(x)\)，当\(0\leqx\leq1\)时，\(f(x)=x\)，画出函数\(f(x)\)在\([3,3]\)上的图象，并求出\(f(x)\)在\([3,3]\)上的值域。分析：先根据已知条件确定函数的周期，再利用函数的奇偶性和给定区间的解析式画出函数图象，最后根据图象求出函数的值域。解：由\(f(x+2)=f(x)\)可得\(f(x+4)=f(x+2)=f(x)\)，所以函数\(f(x)\)的周期为\(4\)。因为函数\(f(x)\)的图象关于原点对称，所以\(f(x)\)是奇函数。当\(0\leqx\leq1\)时，\(f(x)=x\)，根据奇函数的性质可得当\(1\leqx\leq0\)时，\(f(x)=x\)。当\(1<x\leq2\)时，\(1<x2\leq0\)，则\(f(x)=f(x2)=(x2)=x+2\)。当\(2<x\leq3\)时，\(0<x2\leq1\)，则\(f(x)=f(x2)=(x2)=x+2\)。根据函数的周期性和奇偶性，可画出函数\(f(x)\)在\([3,3]\)上的图象（此处可简单描述图象形状，如在\([3,2]\)上与\([1,2]\)上图象相同，\([2,1]\)上与\([0,1]\)上图象相同等）。从图象可以看出，当\(x\in[3,3]\)时，\(f(x)\)的值域为\([1,1]\)。总结：函数图象是研究函数性质的重要工具，通过分析函数的性质可以确定函数图象的特征，反之，利用函数图象也能直观地反映函数的性质，二者相互结合，有助于解决函数性质的综合问题。（三）课堂练习（15分钟）1.已知函数\(f(x)\)是偶函数，且在\((\infty,0)\)上是增函数，比较\(f(3)\)与\(f(2)\)的大小。2.已知函数\(f(x)\)是奇函数，且在\([0,+\infty)\)上是增函数，若\(f(1)=1\)，解不等式\(f(x1)\geq1\)。3.已知函数\(f(x)\)满足\(f(x+1)=f(x)\)，且\(f(x)\)的图象关于点\((1,0)\)对称，当\(x\in(0,1)\)时，\(f(x)=2^x\)，画出函数\(f(x)\)在\([2,2]\)上的图象，并求出\(f(x)\)在\([2,2]\)上的解析式。（四）课堂小结（5分钟）1.请学生回顾本节课所学内容，包括函数单调性与奇偶性的综合应用、利用函数性质求解不等式、函数图象与函数性质的综合应用等方面。2.教师进行总结强调：函数单调性和奇偶性是函数的重要性质，在解决函数综合问题时，要熟练掌握并能灵活运用这些性质。利用函数性质求解不等式时，要注意结合函数的奇偶性将不等式进行合理变形，再根据单调性求解。函数图象与函数性质紧密相连，通过分析函数性质可以画出函数图象，借助函数图象又能更好地理解和应用函数性质，二者相互补充，是解决函数问题的有效手段。（五）布置作业（5分钟）1.书面作业：教材课后习题相应部分2.拓展作业：已知函数\(f(x)\)是定义在\(R\)上的奇函数，且当\(x\geq0\)时，\(f(x)=x^22x\)，若函数\(g(x)=f(x)a\)有三个零点，求实数\(a\)的取值范围