湖南省常德市2025届高三下学期一模数学试题 含解析

年常德市高三年级模拟考试数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】解不等式化简集合，再利用交集的定义求解.【详解】由，解得，即，而，所以.故选：B2.命题“”的否定是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】存在量词命题的否定是全称量词命题，把存在改为任意，把结论否定.【详解】的否定为.故选：C3.已知数列的前项和为，且，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据与的关系及等比数列的通项求出的通项，再根据等比数列的前项和公式求出，第1页/共18页再逐一判断即可.【详解】由，当时，，当时，，所以，所以数列从第二项开始是以为首项，为公比的等比数列，所以，，所以，故ABC错误，D正确.故选：D.4.已知复数满足：，则（）A.1B.C.D.2【答案】A【解析】【分析】根据已知条件化简求解得出，进而得出模长.【详解】因为复数满足：，则，即得，所以则.故选：A.5.下列不等式正确的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】第2页/共18页【分析】根据指数函数和对数函数的单调性逐一判断即可.【详解】对于A，因为函数为减函数，，所以，故A错误；对于B，因为函数是减函数，，所以，故B错误；对于C，因为，而，因为函数在上单调递增，所以，故C错误；对于D，因为，，所以，故D正确.故选：D.6.从1234567这7个数任选3）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据给定条件，利用排列计数问题求出试验及事件基本事件数，再求出古典概率.【详解】从给定的7个数中任取3个的试验有个基本事件，的的有18个基本事件，所以得到的数列为等差数列的概率为.故选：A7.已知，则（）第3页/共18页A.B.7C.D.【答案】C【解析】【分析】先利用条件求出，然后可得答案.【详解】因为，所以，由和差化积公式可得，因为，所以，由，可得，所以.故选：C8.已知椭圆的左，右焦点分别为并延长交椭圆于点.若，且，则椭圆的离心率为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据给定条件，利用椭圆的定义及勾股定理列式求出离心率.【详解】设，由，得，，由椭圆定义得，由，得，则，解得，，令椭圆的半焦距为c，由，得，解得，第4页/共18页所以椭圆的离心率为.故选：C二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.设样本空间，且每个样本点是等可能的，已知事件，则下列结论正确的是（）A.事件A与B为互斥事件B.事件两两独立C.D.【答案】BD【解析】【分析】根据互斥事件、独立事件的定义和条件概率公式即可解答.【详解】对于选项A，因为，所以事件与不互斥，故A错误；对于选项B，，，故B正确；对于选项C，交集为，则，故C错误；对于选项D，，故D正确故选：BD.10.已知连续函数是定义域为的偶函数，且在区间上单调递增，则下列说法正确的是（）第5页/共18页A.函数在上单调递增B.函数在上单调递增C.函数存极小值点D.“”是“”的充要条件【答案】ACD【解析】AB单调性判断C；利用充要条件的意义，结合导数求函数最小值判断D.【详解】由定义域在上的连续函数在区间上单调递增，得，，对于A，，，函数在上单调递增，A正确；对于B，取函数，显然符合题意，函数，，当时，，函数在上不单调，B错误；对于C，函数定义域为，，函数是偶函数，令，因函数，在上都是增函数，则在上也是增函数，因是偶函数，故在上是减函数，因此是函数的一个极小值点，C正确；对于D，当时，依题意，，，令，则，当时，；当时，，即函数在上单调递减，在上单调递增，，故有；而当时，取，得，则，所以“”是“”的充要条件，D正确.故选：ACD第6页/共18页如图，在棱长为2的正方体中，空间中的点满足，且，则下列说法正确的是（）A.若，则B.若，则的最大值为C.若，则平面截该正方体的截面面积的最小值为D.若，则平面与平面夹角的正切值的最小值为【答案】ABD【解析】【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明判断A；利用空间向量的模建立方程求出最小值判断B；作出截面并求出最小面积判断C；利用面面角的向量求法求解判断D.【详解】在棱长为2的正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系，则，由，得，即点，对于A，，则点，，，，因此，A正确；第7页/共18页对于B，，则，即，令，则，其中锐角由确定，则当时，的最大值为，B正确；对于C，，在边上，且，因平面平面，设平面平面，而平面平面，则，同理，因此是平面截该正方体的截面，点到直线的距离，当且仅当时取等号，，C错误；对于D，因，设平面的法向量，则，令，得；又，因，则，令平面的法向量，则，第8页/共18页令，得.设平面与平面的夹角为，则，，当时，，当时，，当且仅当或时取等号，因，此时最小，，，因此平面与平面夹角的正切值的最小值为，D正确.故选：ABD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共分.12.已知双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为______．【答案】【解析】【分析】根据离心率公式和双曲线的的关系进行求解【详解】由题知：，双曲线的渐近线方程为故答案为【点睛】本题考查双曲线渐近线的求法，解题时要熟练掌握双曲线的简单性质13.若函数有最小值，则实数的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】利用导数探讨函数在上单调性及对应函数值集合，再由给定最值情况求出范围.【详解】当时，，求导得，第9页/共18页函数在上单调递增，在时的取值集合为，当时，，没有最小值，由函数在R上有最小值，得在上单调递减，且，因此，解得，所以实数的取值范围是.故答案为：14.已知函数在区间上有且仅有1个零点和1的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】求出相位的取值范围，再由零点及对称轴情况列出不等式求解.【详解】当时，，由函数在区间上有且仅有1个零点和1条对称轴，，得或，解得或，则，所以实数的取值范围是.故答案为：四、解答题：本题共5小题，共分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.某景区经过提质改造后统计连续5天进入该景区参观的人数（单位：千人）如下：3月53月63月73月83月9日期日日日日日第x天12345参观人数y2.22.63.15.26.9第10页/共18页（1）建立关于的回归直线方程，预测第10天进入该景区参观的人数；（2、与进入景区选择相同的门的概率为，出景区与进入景区选择不同的门的概率为.假设游客从东门，西门出入景区互不影响，求甲，乙两名游客都从西门出景区的概率.附：参考数据：参考公式：回归直线方程，其中，.【答案】（1），约为千人；（2）.【解析】1）利用最小二乘法公式求出回归直线方程，再估计第10天进入该景区参观的人数.（2）利用全概率公式分别求出甲，乙从西门出景区的概率，再利用相互独立事件概率的乘法公式求解.【小问1详解】依题意，，而，则，，因此，当时，，所以关于的回归直线方程为，第10天进入该景区参观的人数约为千人.【小问2详解】记“甲从西门进入景区”为事件“甲从西门出景区”为事件“乙从西门出景区”为事件，，，由全概率公式得，同理，第11页/共18页所以甲，乙两名游客都从西门出景区的概率.16.是正方形，平面为.（1）证明：平面平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】1）利用线面垂直的性质、判定及面面垂直的判定推理得证.（2）利用（1）的信息确定二面角的平面角，再作出线面角，利用几何法求出正弦值.【小问1详解】在四棱锥中，由平面，平面，得，由四边形是正方形，得，而平面，因此平面，又平面,所以平面平面.【小问2详解】由（1）知，平面，而，则平面，又平面，于是，为二面角的平面角，则，令正方形的棱长为4，而，则，取中点，连接，则，由（1）知平面平面，又平面平面，平面，则平面，第12页/共18页是直线与平面所成的角，而，，所以直线与平面所成角的正弦值为.17.如图，在中，分别是上的点，且与交于点，已知，且.（1）若，求的长；（2）求的长.【答案】（1）（2）2【解析】1）在中，利用余弦定理求解；（2上取点作，由三角形全等可得可得，则，运算得解.【小问1详解】在中，，，，，第13页/共18页.【小问2详解】如图，在上取点，使得，又，，，则，所以，过点作，垂足为，则，所以.18.已知函数在处的切线与直线垂直.（1）求函数的单调区间；（2）若对任意恒成立，求实数的值；（3）对于函数，规定：，叫做函数的阶导数.若对任意整数的最小值.【答案】（1）答案见详解（2）（3）3【解析】1）求导，根据导数的几何意义可得，进而利用导数求单调区间；（2）构建，可知对任意恒成立，注意到，可得，，并代入检验充分性；第14页/共18页（3）可设，根据求导法则结合数列知识可得，，分析可知对任意恒成立，结合二次函数运算求解即可.【小问1详解】由题意可知：函数的定义域为，则，若函数在处的切线与直线垂直，则，解得，所以，令，则，解得或；令，则，解得；所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为.【小问2详解】构建，则，由题意可知：对任意恒成立，且，则，解得，若，则，构建，则，令，解得；令，解得；可知在内单调递减，在内单调递增，则，即对任意恒成立，且对任意恒成立，可知对任意恒成立，所以符合题意；综上所述：.【小问3详解】由（1）可知：，第15页/共18页根据求导法则可设，其中，则，则可知数列是以首项为2，公差为2的等差数列，则，对于，则，当时，，且符合上式，所以，则，若对任意恒成立，则对任意恒成立，且的图象开口向上，对称轴为，可知在内单调递增，则，解得，所以满足条件的正整数的最小值为3.19.已知抛物线的焦点为，点在上，且.（1）求抛物线的方程；（2）过点作圆的两条切线，且分别与相交于点，（异于点）.（ⅰ）若，求面积；（ⅱ）证明：直线过定点.【答案】（1）（2）；证明见解析.【解析】1）根据焦半径公式结合题设条件可得关于的方程组，求出解后可得抛物线方程；第16页/共18页（2，再根据，得出k，