合肥市庐江县2023年九年级《数学》上学期月考试题与参考答案

9/30合肥市庐江县2023年九年级《数学》上学期月考试题与参考答案一、选择题本题共32分，每小题4分．下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的。1.抛物线的对称轴是（）A.直线＝－1 B.直线＝1 C.直线＝－2 D.直线＝2【答案】B【分析】根据题目所给的二次函数的顶点式直接得到函数图象的对称轴．【详解】解：因为解析式为，所以对称轴是直线．故选：B．【点睛】本题考查二次函数的顶点式，解题的关键是根据二次函数的顶点式得到函数图象的性质．2.如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠C=15°，则∠BOC=（）A.60° B.45° C.30° D.15°【答案】C【分析】由于OA、OC都是⊙O的半径，由等边对等角，可求出∠A的度数；进而可根据圆周角定理求出∠BOC的度数．【详解】解：因为OA=OC，所以∠A=∠C=15°；所以∠BOC=2∠A=30°；故选C．【点睛】此题主要考查的是圆周角定理：同弧所对的圆周角是圆心角的一半．3.如图，在8×4矩形网格中，每格小正方形的边长都是1，若的三个顶点在图中相应的格点上，则的值为（）A.1 B. C. D.【答案】B【分析】在直角中利用正切函数定义即可求解．【详解】解：过A作于D，在直角中，，，则．故选：B．【点睛】本题考查了正切函数的定义，掌握三角函数就是直角三角形中边的比是关键．4.用配方法将化成的形式为（）．A. B. C. D.【答案】D【分析】通过加上一次项系数一半的平方再减去一次项系数一半的平方，凑成完全平方式，将一般式转化为顶点式即可．【详解】解：，故选D．【点睛】本题考查二次函数一般式到顶点式的转化，熟练掌握配方法是解题的关键．5.如图所示，将△ABC的三边分别扩大一倍得到△A1B1C1，（顶点均在格点上），它们是以P点为位似中心的位似图形，则P点的坐标是（）A.（﹣4，﹣3） B.（﹣3，﹣3） C.（﹣4，﹣4） D.（﹣3，﹣4）【答案】A【分析】作直线AA1、BB1，这两条直线的交点即为位似中心．【详解】由图中可知，点P的坐标为（﹣4，﹣3）．故选A．【点睛】用到的知识点为：两对对应点连线的交点为位似中心．6.某商店购进一种商品，单价为元．试销中发现这种商品每天的销售量（件）与每件的销售价（元）满足关系：．若商店在试销期间每天销售这种商品获得元的利润，根据题意，下面所列方程正确的是（）A.B.C.D.【答案】A【分析】本题的等量关系是每件商品的利润×每天的销售量=每天的总利润．依据这个等量关系可求出方程．【详解】设每件商品的售价应定为x元，每天要销售这种商品p件．根据题意得：（x-30）（100-2x）=200，整理得：x2-80x+1600=0.故选A【点睛】解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．7.如图，中，，与相切，切点为E，并分别交于C，D两点，连接，若等于，则扇形的面积等于（）.A.π B.π C.π D.π【答案】B【分析】根据切线的性质得到直角，由，得到，然后在直角中，求出圆的半径，再用扇形面积公式计算出扇形的面积．【详解】解：如图：因为与相切，所以．因为，所以，所以垂直平分．设交于F，在直角中，，所以，所以．故选B．【点睛】此题考查了切线的性质定理，垂径定理，扇形的面积公式，锐角三角函数，综合掌握各知识点是解题的关键．8.如图，OA=4，线段OA的中点为B，点P在以O为圆心，OB为半径的圆上运动，PA的中点为Q，当点Q也落在⊙O上时，cos∠OQB的值等于（）A. B. C. D.【答案】C【分析】先构造直角三角形QBC，根据三角形中位线定理分别求出QB、QC的长，再根据余弦的定义即可求出结果．【详解】解：当点P运动到恰好点Q落在⊙O上，连接QB，OP，BC，再连接QO并延长交⊙O于点C，则∠CBQ=90°（直径所对的圆周角是直角）因为B、Q分别是OA、AP的中点，所以BQ∥OP，因为OP=OB=BA=OA=2，所以QB=1在Rt△CQB中，∠CBQ=90°所以cos∠OQB=．故选：C．二、填空题（本题共20分，每小题5分）9.如图，在中，分别交，于点D，E，若，，则与的周长比为________．【答案】0.6【分析】由平行线可得两个三角形相似，再由其周长比等于其对应边的比，进而即可得出结论．【详解】解：因为，，所以，因为，所以，又相似三角形的周长比等于其对应边的比，所以与的周长比．故答案为．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟记相似三角形的周长之比等于相似比是解本题的关键．10.两圆的半径分别为3cm和4cm，若圆心距为5cm，则这两圆的位置关系为_______．【答案】相交【分析】本题直接告诉了两圆的半径及圆心距，根据数量关系与两圆位置关系的对应情况便可直接得出答案．【详解】解：由题意知，两圆圆心距d=5＜R+r=7，故两圆相交故答案为：相交．【点睛】本题主要考查两圆之间的位置关系，两圆外离，则P＞R+r；外切，则P=R+r；相交，则R-r＜P＜R+r；内切，则P=R-r；内含，则P＜R-r．（P表示圆心距，R，r分别表示两圆的半径）．11.如图，平面直角坐标系xOy中，点A，以OA为半径作⊙O，若点P，B都在⊙O上，且四边形AOPB为菱形，则点P的坐标为__________．【答案】，【分析】根据菱形的性质可知△POB，△AOB是等边三角形，从而得出∠POM=180°-60°×2=60°，再根据三角函数即可求出OM，PM的长度，得到点P的坐标，注意点P可以在x轴的上方和下方．【详解】解：因为四边形AOPB为菱形所以OP=PB=AB=OB，因为OP=OB，所以△POB，△AOB是等边三角形，所以∠POM=180°-60°×2=60°，所以OM=OP×cos∠POM=1，PM=OP×sin∠POM=．当点P在x轴的上方时，P的坐标为（-1，）；当点P在x轴的下方时，P的坐标为（-1，-）．故答案为（-1，），或（-1，-）．12.抛物线（a≠0）满足条件：（1）；（2）；（3）与x轴有两个交点，且两交点间的距离小于2．以下有四个结论：①；②；③；④，其中所有正确结论的序号是_____【答案】②④【详解】因为4a-b=0，所以抛物线的对称轴为x=-=-2因为a-b+c＞0，所以当x=-1时，y＞0，因为抛物线与x轴有两个不同的交点且这两个交点之间的距离小于2，所以抛物线与x轴的两个交点的横坐标位于-3与-1之间，b2-4ac＞0所以16a2-4ac=4a（4a-c）＞0，据条件得图象：所以a＞0，b＞0，c＞0，所以4a-c＞0，所以4a＞c即a＞，因为当x=-3时，9a-3b+c＞0，由b=4a，所以c＞3a即a＜，所以＜a＜，当x=1时，y=a+b+c＞0．故答案为②④．三、解答题本题共31分，第13～17题每小题5分，第18题6分。13.计算：【答案】【详解】解：14.若关于x的方程有实数根．（1）求a的取值范围；（2）若a为符合条件的最小整数，求此时方程的根【答案】（1）a≥（2）a=，．【详解】试题分析：(1)、根据方程有实数根则△≥0求出a的取值范围；(2)、首先求出a的值，然后得出一元二次方程，从而求出方程的解.试题解析：(1)、△=4+4a；因为方程由实数根，所以4+4a≥0，所以a≥-1；(2)、当a为符合条件的最小整数时，a=-1，原方程为：，其解为：考点：(1)、一元二次方程根判别式；(2)、解一元二次方程.15.已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，AC=，D为CB延长线上一点，且BD=2AB．求AD的长．【答案】【详解】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，AC=，所以，BC=1．因为D为CB延长线上一点，BD=2AB，所以BD=4，CD=5．所以．16.图为抛物线的一部分，它经过A，B两点．（1）求抛物线的解析式；（2）将此抛物线向左平移3个单位，再向下平移1个单位，求平移后的抛物线的解析式．【答案】（1）（2）【详解】解：（1）因为抛物线经过A，B两点，所以解得所以抛物线的解析式为．（2）因为抛物线的顶点坐标为，所以平移后的抛物线的顶点坐标为．所以平移后的抛物线的解析式为．17.如图，热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼的顶部B的仰角为45°，看这栋高楼底部C的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离AD为50m，求这栋楼的高度.（取1.414，取1.732）【答案】136.6m【详解】解：在Rt△ABD中，∠BDA=90°，∠BAD=45°，所以BD=AD=50(m)．Rt△ACD中，∠ADC=90°，∠CAD=60°，所以(m)．所以BC=BD+CD=(m)．答：这栋楼约高136.6m．18.对于抛物线.（1）它与x轴交点的坐标为，与y轴交点的坐标为，顶点坐标为；（2）在坐标系中利用描点法画出此抛物线；x……y……（3）利用以上信息解答下列问题：若关于x的一元二次方程（t为实数）在＜x＜的范围内有解，则t的取值范围是．【答案】（1）（1,0），（3,0）；（0,3）；顶点坐标为（2，-1）；（2）见解析（3）-1≤t＜8【详解】解：（1）它与x轴交点的坐标为，与y轴交点的坐标为，顶点坐标为；（2）列表：x…01234…y…30-103…图象如图3所示．（3）因为关于x的一元二次方程x2-4x+3-t=0（t为实数）在-1＜x＜的范围内有解，因为y=x2-4x+3的顶点坐标为（2，-1），若x2-4x+3-t=0有解，方程有两个根，则：b2-4ac=16-4（3-t）≥0，解得：-1≤t当x=-1，代入x2-4x+3-t=0，t=8，当x=，代入x2-4x+3-t=0，t=因为x＞-1，所以t＜8，所以t的取值范围是：-1≤t＜8四、解答题本题共28分，第22题8分，其余每小题5分。19.已知：如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，D，E分别为BC，AB边上一点，∠ADE=∠C．（1）求证：△BDE∽△CAD；（2）若CD=2，求BE的长．【答案】（1）证明见解析；（2）2.4【分析】（1）由题中条件可得∠B=∠C，所以由已知条件，求证∠BDE=∠CAD即可得△BDE∽△CA；（2）由（1）可得△BDE∽△CAD，进而由相似三角形的对应边成比例，即可求解线段的长．【详解】（1）因为AB=AC，所以∠B=∠C．因为∠ADE+∠BDE=∠ADB=∠C+∠CAD，且∠ADE=∠C，所以∠BDE=∠CAD．所以△BDE∽△CAD．（2）由（1）△BDE∽△CAD得．因为AB=AC=5，BC=8，CD=2，所以．所以．20.两个长为2，宽为1的矩形ABCD和矩形EFGH如图1所示摆放在直线l上，DE=2，将矩形ABCD绕点D顺时针旋转角（），将矩形EFGH绕点E逆时针旋转相同的角度．（1）当两个矩形旋转到顶点C，F重合时（如图2），∠DCE=°，点C到直线l的距离等于，=°；（2）利用图3思考：在旋转的过程中，矩形ABCD和矩形EFGH重合部分为正方形时，=°．【答案】（1）60,,30;（2）45【详解】解：（1）过C作CM⊥DE于M，如图2，因为CD=FE=DE=2，所以△CDE为等边三角形，所以∠DCE=60°，所以CM==，因为∠1=180°-∠ADC-∠CDE=180°-90°-60°=30°，而∠1等于旋转角，所以α=30°；（2）如图3，因为四边形MFNC为正方形，而矩形ABCD绕点D顺时针旋转和矩形EFGH绕点E逆时针旋转相同的角度．所以NF=NC，∠FNC=90°，所以∠DNE=90°，ND=NE，所以∠NDE=∠NED=45°，所以∠1=180°-90°-45°=45°，所以α=45°．故答案为：（1）60，，30；（2）45．21.已知：如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，OD⊥AC于点E，交⊙O于点F，连接BF，CF，∠D=∠BFC.（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）若AC=8，tanB=，求AD的长.【答案】（1）证明见解析；（2）【详解】（1）证明：因为OD⊥AC于点E，所以∠OEA=90°，∠1+∠2=90°．因为∠D=∠BFC，∠BFC=∠1，所以∠D+∠2=90°，∠OAD=90°．所以OA⊥AD于点A．因为OA是⊙O的半径，所以AD是⊙O的切线．（2）解：因为OD⊥AC于点E，AC是⊙O的弦，AC=8，所以．因为∠B=∠C，tanB=，所以在Rt△CEF中，∠CEF=90°，tanC=．所以．设⊙O的半径为r，则．在Rt△OAE中，由勾股定理得，即．解得r=5．所以在Rt△OAE中，．所以在Rt△OAD中，．22.请阅读下面材料：若，是抛物线（a≠0）上不同的两点，证明直线为此抛物线的对称轴.有一种方法证明如下：证明：因为，是抛物线（a≠0）上不同的两点，所以且≠.①-②得.所以.所以.又因为抛物线（a≠0）的对称轴为，所以直线为此抛物线的对称轴.（1）反之，如果，是抛物线（a≠0）上不同的两点，直线为该抛物线的对称轴，那么自变量取，时函数值相等吗？写出你的猜想，并参考上述方法写出证明过程；（2）利用以上结论解答下面问题：已知二次函数当x=4时的函数值与x=2007时的函数值相等，求x=2012时的函数值.【答案】（1）见解析;（2）2011【详解】解：（1）结论：自变量取，时函数值相等．证明：因为，为抛物线上不同的两点，由题意得且≠．得.因为直线是抛物线（a≠0）的对称轴，所以.所以.所以，即（2）因为二次函数当x=4时的函数值与x=2007时的函数值相等，所以由阅读材料可知二次函数的对称轴为直线.所以，.所以二次函数的解析式为.因为，由（1）知，当x=2012的函数值与时的函数值相等.因为当x=时的函数值为，所以当x=2012时的函数值为2011五、解答题本题共38分，第23题10分，第24题14分，第25题14分。23.已知关于x的一元二次方程.（其中m为实数）（1）若此方程的一个非零实数根为k，①当k=m时，求m的值；②若记为y，求y与m的关系式；（2）当＜m＜2时，判断此方程的实数根的个数并说明理由．【答案】（1）①1；②；（2）当＜m＜2时，此方程有两个不相等的实数根，理由见解析．【详解】解：（1）因为k为的实数根，所以①当k=m时，因为k为非零实数根，所以m≠0，方程※两边都除以m，得.整理，得解得，因为是关于x的一元二次方程，所以m≠2，所以m=1②因为k为原方程的非零实数根，所以将方程两边都除以k，得整理，得所以（2）解法一：当＜m＜2时，m＞0，＜0所以＞0，＞1＞0，Δ＞0所以当＜m＜2时，此方程有两个不相等的实数根解法二：直接分析＜m＜2时，函数的图象，因为该函数的图象为抛物线，开口向下，与y轴正半轴相交，所以该抛物线必与x轴有两个不同交点所以当＜m＜2时，此方程有两个不相等的实数根解法三：结合关于m的图象可知，（如图6）当＜m≤1时，＜≤4；当1＜m＜2时，1＜＜4所以当＜m＜2时，＞0所以当＜m＜2时，此方程有两个不相等的实数根．24.已知抛物线（其中a≠c且a≠0）.（1）求此抛物线与x轴的交点坐标；（用a，c的代数式表示）（2）若经过此抛物线顶点A的直线与此抛物线的另一个交点为，求此抛物线的解析式；（3）点P在（2）中x轴上方的抛物线上，直线与y轴的交点为C，若，求点P的坐标；（4）若（2）中的二次函数的自变量x在n≤x＜（n为正整数）的范围内取值时，记它的整数函数值的个数为N，则N关于n的函数关系式为.【答案】（1），（2）（3）（4）【详解】解：（1）抛物线与x轴交点的横坐标是关于x的方程（其中a≠0，a≠c）的解.解得，.所以抛物线与x轴交点的坐标为，（2）抛物线的顶点A的坐标为.因为经过此抛物线顶点A的直线与此抛物线的另一个交点为，由③得c=0.将其代入①、②得解得.所以所求抛物线的解析式为.（3）作PE⊥x轴于点E，PF⊥y轴于点F.（如图7）抛物线的顶点A的坐标，点B的坐标为，点C的坐标为.设点P的坐标为.因为点P在x轴上方的抛物线上，所以，且0＜m＜1，.所以，.因为，所以.解得m=2n，或（舍去）将m=2n代入，得.解得，（舍去）.所以.所以点P的坐标为（4）N关于n的函数关系式为N=4n说明：二次函数的自变量x在n≤x＜（n为正整数）的范围内取值，此时y随x的增大而减小，所以＜y≤，其中的整数有，，…..25.含30°角的直角三角板ABC中，∠A=30°.将其绕直角顶点C顺时针旋转角（且≠90°），得到Rt△，边与