浙江省温州市2023年高一《数学》上册期中试题与参考答案

22/22浙江省温州市2023年高一《数学》上册期中试题与参考答案一、单项选择题本大题共8小题，共40分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1.设，则（）A. B.C. D.【答案】B【分析】利用交集定义即可求得.【详解】，则.故选：B2.命题“”的否定是（）A. B.C. D.【答案】C【分析】根据题意，由特称命题的否定是全称命题，即可得到结果.【详解】因为命题“”，则其否定为.故选：C3.函数的定义域是（）A. B.C. D.【答案】D【分析】先列出关于x的不等式组，解之即可求得函数的定义域.【详解】由，可得，故且则函数的定义域是故选：D4.已知命题，则是的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】D【分析】根据题意，分别验证充分性以及必要性，即可得到结果.【详解】由推不出，比如，故充分性不满足；由推不出，比如，故必要性不满足；所以是的既不充分也不必要条件.故选：D5.已知函数是幂函数，且在上递增，则实数（）A.3 B.﹣1C.1 D.3或﹣1【答案】A【分析】根据题意，由幂函数的定义以及性质列出方程，不等式，代入计算，即可得到结果.【详解】因为函数是幂函数，且在上递增，则有，解得.故选：A6.中文“函数（function）”一词，最早是由近代数学家李善兰翻译出来的，之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”．已知集，给出下列四个对应法则，请由函数定义判断，其中能构成从到的函数的是（）A. B.C. D.【答案】C【分析】ABD选项，均有对应的函数值不在中，C选项中元素对应的函数值均在中.【详解】A选项，当时，，而，故A错误；B选项，当时，，而，故B错误；C选项，当时，，当时，，当时，，故满足要求，C正确；D选项，当时，，而，D错误.故选：C7.设，若不等式的解集为，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.【答案】D【分析】由一元二次不等式解集得到参数关系，进而有，再比较各函数值的大小.【详解】由题设，则，故，所以，，，且，所以.故选：D8.已知函数，用表示中的较大者，记为，若的最小值为1，则实数的值为（）A.0 B.C. D.【答案】B【分析】画出的图象，分，和三种情况，画出的图象，数形结合得到取得最小值的点，进而求出该点坐标，得到答案.【详解】令，定义域为，令，得，且在上单调递增，画出函数图象如下：则的图象如下：若，则，画出的图象如下，显然最小值为2，不合题意，若，则画出的图象如下：显然函数在点取得最小值，令，解得，正值舍去，令，解得，若，则画出的图象如下：显然函数在点取得最小值，令，解得，负值舍去，令，解得，综上，.故选：B二、多项选择题本大题共4小题，共20分，在每个小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.下列函数是奇函数且在区间上是单调递减函数的是（）A. B.C. D.【答案】AB【分析】根据函数的奇偶性定义即可排除CD，结合函数的单调性即可求解AB.【详解】由于函数的定义域为，关于原点对称，且故为奇函数，且在区间上是单调递减函数，故A正确，由于函数的定义域为，关于原点对称，且故为奇函数，且在区间上是单调递减函数，故B确，的定义域为,定义域不关于原点对称，故为非奇非偶函数，C错误，的定义域为，关于原点对称，且故为偶函数，不符合要求，D错误，故选：AB10.下列说法正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则【答案】ACD【详解】选项A：由，可得.判断正确；选项B：令，满足，但是则不成立.判断错误；选项C：由，可得，则不等式两边均除以可得.判断正确；选项D：又，则，则，则.判断正确.故选：ACD11.下列四个命题是真命题的是（）A.若函数的定义域为，则函数的定义域为B.函数的值域为C.若函数的值域为，则的取值范围是D.已知在上是增函数，则实数的取值范围是【答案】AD【分析】A选项，由题意得到不等式，求出抽象函数定义域；B选项，换元法求解函数值域；C选项，根据题意能取得任何非负数，分和，根据根的判别式得到不等式，求出答案；D选项，根据分段函数单调递增，需满足在每一段上均单调递增，且左端点函数值小于等于右端点函数值，得到不等式，求出实数的取值范围.【详解】A选项，令，解得，故函数的定义域为，A正确；B选项，令，则，故，故函数的值域为，B错误；C选项，若函数的值域为，则能取得任何非负数，若，则，能够取到任意非负数，满足要求，若，则要，解得，综上，的取值范围是，C错误；D选项，已知在上是增函数，要满足，解得，则实数的取值范围是，D正确.故选：AD12.已知函数，则以下结论正确的是（）．A.函数为增函数B.C.若在上恒成立，则的最小值为8D.若关于的方程有三个不同的实根，则【答案】BCD【分析】根据解析式可整理得到当，时，；根据可知A错误；根据且可知B正确；由恒成立可确定C正确；由方程根的个数可确定与有且仅有三个不同交点，根据在每一段上的值域可分析得到不等关系，解不等式可知D正确.【详解】当时，；当时，；依次类推，当，时，；对于A，，，不符合增函数定义，A错误；对于B，，，对于，不等式恒成立，B正确；对于C，当时，；当时，；当时，；当时，；当时，因为，则，在上恒成立，最小值为，C正确；对于D，由得：，当时，则，方程无解，不合题意；当时，则或；与有且仅有三个不同交点；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；，解得：；D正确.故选：BCD三、填空题本大题共4小题，每题5分，共20分．13计算：______．【答案】12【分析】根据题意，由指数幂的运算，即可得到结果.【详解】原式.故答案为：14.已知函数，则__．【答案】4【分析】利用分段函数解析式即可求得的值.【详解】由，可得，则故答案为：415.已知，若，则的最小值为______．【答案】【分析】得到，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.【详解】，，故，故，当且仅当，即时，等号成立.故答案为：16.定义在实数集R上的偶函数满足，则___．【答案】【分析】构造新函数，求得的周期为4，依据题给条件求得的值，进而求得的值.【详解】由，可得，则，即令，则，即，则则周期为4，则，由为偶函数，可得为偶函数，又由，可得，则，则，又的周期为4，则，则则，解之得，，又，则故.故答案为：四、解答题本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知集合．（1）当时，求；（2）若，求实数的取值范围．【答案】（1）或；（2）【分析】（1）根据题意，由集合的运算，代入计算，即可得到结果；（2）根据题意，分与讨论，代入计算，即可得到结果.【小问1详解】，又，或，或.【小问2详解】当时，．当时，．综上所述，实数的取值范围为．18.已知函数的图象经过点．（1）求函数的解析式；（2）判断函数在上的单调性并用定义证明；【答案】（1）；（2）函数在上为减函数，证明见解析【分析】（1）代入两点坐标，得到方程组，求出，得到解析式；（2）利用定义法证明函数单调性步骤为取值，作差，判号，下结论.【小问1详解】∵函数过点，∴，解得，.【小问2详解】函数在上为减函数，理由如下：设任意，且，则．，，，即，函数在上为减函数．19.已知函数（1）若的解集为，求的值；（2）若，求不等式的解集．【答案】（1）或；（2）答案见解析.【分析】（1）由一元二次不等式的解集，结合根与系数关系求参数值即可；（2）由题设得，讨论、、求对应解集.【小问1详解】的解集为．方程的两根为和，且，，解得或.【小问2详解】且不等式，即，即，①当时，，解得，解集为；②当时，，解得，解集为；③当时，原不等式即，解得，解集为．综上，当时，解集为；当时，，解集为；当时，解集为.20.已知定义在上的函数是奇函数．（1）求实数的值；（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据定义在上的奇函数函数，则有即可解题；（2）由（1）知，易知在上单调递减，根据奇偶性和单调性，可将条件转化为在上恒成立，再求的取值范围即可.【小问1详解】因为是定义在上的奇函数，所以，即，经检验满足题意，所以.【小问2详解】由（1）知，易知在上单调递减，由，可得，因为为定义在上的奇函数，所以原不等式等价于，又在上单调递减，所以，所以在上恒成立，当时，恒成立，符合题意；当时，有，解得，综上所述，实数的取值范围是.21.为宣传2023年杭州亚运会，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸（记为矩形，如图）上设计三个等高的宣传栏（栏面分别为一个等腰梯形和两个全等的直角三角形且），宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为．为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为（宣传栏中相邻的三角形和梯形间在水平方向上的留空宽度也都是10，设．（1）当时，求海报纸（矩形）的周长；（2）为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸量最少（即矩形的面积最小）？【答案】（1）；（2）选择矩形的长宽分别为的海报纸，可使用纸量最少【解析】【分析】（1）根据题意，列出面积公式，代入计算，即可得到结果；（2）根据题意，列出面积公式，结合基本不等式，代入计算，即可得到结果.【小问1详解】设阴影部分直角三角形的高为，阴影部分的面积，又，由图可知：，海报纸的周长为.【小问2详解】由（1）知，，，当且仅当，即时，等号成立，此时，故选择矩形的长宽分别为的海报纸，可使用纸量最少.22.已知函数，其中．（1）当时，求的单调区间；（2）若对任意的，且，都有成立，求实数的取值范围．【答案】（1）单调递增区间为和，单调递减区间为（2）【解析】【分析】（1）先化简的解析式，依据二次函数单调性即可求得的单调区间；（2）构造新函数，将题给条件转化为在上单调递增，按a分类讨论即可求得实数的取值范围．