湖南省邵阳市2025届高三第二次联考数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页湖南省邵阳市2025届高三第二次联考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A=xx2<9，B=xA.x−3<x<1 B.xx>1 C.x1<x<32.已知复数z在复平面内对应的点的坐标是2,−1，则z=(

)A.1+2i B.2+i C.2−i D.1−2i3.命题“∀x>1，ex−2>0”的否定为(

)A.∀x≤1，ex−2>0 B.∀x>1，ex−2≤0

C.∃x≤1，ex4.定义在R上的函数fx满足fx−f2−x=0，且fx在1,+∞上单调递增，设a=f−9，A.b<c<a B.c<b<a C.a<b<c D.b<a<c5.已知函数fx=3x3−sinx+x，则满足A.1,+∞ B.−∞,1 C.2,+∞ D.−∞,26.过抛物线x=2y2的焦点F的直线交抛物线于A、B两点，交抛物线的准线于点C.若AB=3AF，则A.34 B.1 C.98 7.有甲、乙、丙3台车床加工同一型号的零件，加工的次品率分别为6%、5%、3%，加工出来的零件混放在一起．已知甲、乙、丙3台车床加工的零件数分别占总数的30%、40%、30%.任取一个零件，如果取到的零件是次品，则它是甲车床加工的概率为(

)A.2147 B.2047 C.18478.已知向量a,b满足a=3,，4A.2,4 B.0,8 C.3,8 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列说法正确的是(

)A.一组数5，7，9，11，3，13，15的第60百分位数是11

B.若随机变量ξ，η满足η=3ξ−2，Dξ=3，则Dη=9

C.一组数据xi,yi1≤i≤15,i∈N∗的线性回归方程为y=3x+2，若x=2，则y=8

D.某学校要从12名候选人10.已知双曲线C:x24−y25=1的左、右焦点分别为F1、F2，过FA.直线y=52x−1与C恰有两个公共点

B.双曲线C的离心率为32

C.当∠F1AF2=60∘时，▵AF11.设函数Fx的导函数为fx，即F′x=fx.当fx≥0，函数fx在区间a,b上的图象连续不断时，直线x=a，x=b，y=0和曲线A.

B.当t>1时，

C.存在实数a>1，使得、、成等比数列

D.直线x=0，x=π，y=0和曲线y=sinx所围成的区域的面积为2三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.3x+1n的展开式中，各二项式系数的和与各项系数的和之比为1:128，则n的值为

13.在▵ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c.若2A=B+C，asinA=bcosB，则14.已知正六棱锥的高为3，它的外接球的表面积是163π.若在此正六棱锥内放一个正方体，使正方体可以在该正六棱锥内任意转动，则正方体的棱长的最大值为

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)已知向量a=sinx,3(1)求函数fx(2)当x∈0,π2时，t216.(本小题15分)如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，平面AA1C1C⊥平面ABC，AB=AC=2，BC=2(1)证明：A1C⊥平面(2)是否存在实数λ，使得点C到平面BPC1的距离为4517.(本小题15分已知等差数列an的前n项和为Sn，a2a3=45，S3(1)求数列an(2)证明：数列bn(3)求数列an+2anan+1b18.(本小题17分)已知椭圆C:x2a2+(1)求C的方程；(2)过C的右焦点F的直线交⊙O:x2+y2=a2于①证明：四边形AMBN的面积为定值，并求出该定值；②若直线AB的斜率存在且不为0，设线段AB的中点为E，记△AEN，▵BEM的面积分别为S1,S2.当19.(本小题17分)已知函数fx=x(1)求fx(2)当0<x<1时，证明：fx(3)当Fx=bex−1−x1+lnx−bx恰有四个零点x1，参考答案1.D

2.B

3.D

4.A

5.C

6.C

7.C

8.A

9.ACD

10.BC

11.BD

12.7

13.614.515.(1)∵fx∴函数fx的最小正周期T=由π2+2kπ≤2x−π得π3+kπ≤x≤5π∴fx的单调递减区间为π3+kπ,(2)∵当0≤x≤π2时，∴结合y=sinx的图像，当2x−π∵当x∈0,π2∴t2−52t≤0，解得0≤t≤5

16.(1)证明：∵AB=AC=2，BC=22，∴AB又∵面AA1C1C⊥面ABC，面AA1∴AB⊥面AA∵A1C⊂面A又A1C⊥BC1，AB,BC1⊂面AB(2)∵A1C⊥面ABC1，∴取A1C1的中点为E，连接AE，∵∠AC∴AE⊥A1C1.又AB⊥平面AA1C∴如图所示，以点A为坐标原点，分别以AB,AC,AE所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系A−xyz．则A0,0,0，B2,0,0，C0,2,0，A10,−1,BP=BA+AP=设n=x,y,z为面则n⋅BP=−2x−λy+3λz=0,设d为点C到面BPC则d=BC∴28λ2−16λ+1=0，即λ=故存在λ=12或

17.(1)∵an是等差数列，∴S又∵a2a∴等差数列an的公差d=∴a(2)∵2bn−又∵b1−15=1，∴∴bn−15是首项为1(3)由(2)得bn记cn∴=1

18.(1)根据题意，得ca=所以椭圆C的方程为x2(2)(ⅰ)证明：设四边形AMBN的面积为S，由(1)得⊙O:x2+因为直线MN的垂直平分线段AB，所以S=1当直线AB与x轴重合时，此时AB=23∴S=1由圆的性质知直线MN过坐标原点O，由椭圆的对称性知OM=当直线AB与x轴不重合时，设直线AB方程为x=ty+∵OE2=2∴AB∵MN⊥AB，则直线MN的方程为y=−tx，联立椭圆方程，得y=−txx2∴MN∴MN∴S=1综上所述，四边形AMBN的面积为定值2(ⅱ)易知S1=12AE∵直线AB的斜率存在且不为0，∴=1−2由(ⅰ)知ONOE设3t2+1=m∴ON当且仅当m=4m，即m=2时，等号成立，此时故S1S2

19.(1)由题知f′x令f′x=0，则当x>1时，f′x<0，此时fx当x<1时，f′x>0，此时fx故fx(2)∵fx令φx