北师大数学七年级下册全册整册教案

1.1同底数幕的乘法

1.理解并掌握同底数累的乘法法则；(重点)

2.运用同底数累的乘法法则进行相关运算.(难点)

一、情境导入

问题：2015年9月24日，美国国家航空航天局(下简称：NASA)对外宣称将有重大发

现宣布，可能发现除地球外适合人类居住的星球，一时间引起了人们的广泛关注.早在2014

年，NASA就发现一颗行星，这颗行星是第一颗在太阳系外恒星旁发现的适居带内、半径与

地球相若的系外行星，这颗行星环绕红矮星开普勒186,距离地球492光年」光年是光经过

5

一年所行的距离，光的速度大约是3X10km/s.l^：这颗行星距离地球多远(1年=

3.1536X107s)?

3X105X3.1536X107X492=3X3.1536X4.92X105X107X102=4.6547136X10X105X

107X102.

问题：“10Xl()5><107xi02”等于多少呢？

二、合作探究

探究点：同底数累的乘法

［类型一］底数为单项式的同底数幕的乘法

(SD计算：(1)23乂24义2；

(2)—fl!3,(—a)2,(—47)3；

(3)mn+l,m11•m2,m.

解析：(1)根据同底数森的乘法法则进行计算即可；(2)先算乘方，再根据同底数幕的乘

法法则进行计算即可；(3)根据同底数幕的乘法法则进行计算即可.

解:(1)原式=23+4+1=28;

⑵原式=—/,a2,(―a3)=tz3,a2,a3=a8；

(3)原式=根"+1+"+2+1=/"+4

方法总结：同底数累的乘法法则只有在底数相同时才能使用；单个字母或数可以看成指

数为1的薛，进行运算时，不能忽略了倦指数L

［类型二］底数为多项式的同底数导的乘法

(SB计算：

(l)(2a+i)2n+1-(2a+b)3•(2a+b)n~4；

(2)(x—y)2•(y—x)5.

解析：将底数看成一个整体进行计算.

解：⑴原式=(2a+b)Q"+i)+3+("-4)=(2°+6)3"；

(2)原式=_(x—y)2•(x—j)5=—(x—y)7.

方法总结：底数互为相反数的腰相乘时，先把底数统一，再进行计算.(1)"=

(b—a)"(〃为偶数)，

—(b—a)"(〃为奇数).

［类型三］运用同底数三的乘法求代数式的值

(SB若82a+3.8A2=81。,求2a+b的值.

解析：根据同底数赛的乘法法则，底数不变指数相加，可得a、b的关系，根据a、b

的关系求解.

解：：820+3•8〃-2=82。+3+户2=810,.•.2a+3+b—2=10,解得2a+b=9.

方法总结：将等式两边化为同底数嘉的形式，底数相同，那么指数也相同.

［类型四］同底数导的乘法法则的逆用

(SD已知/=3,an=2b求的值.

解析：把/+"变成/•4,代入求值即可.

解：；/=3,/=21,・/=3><21=63.

方法总结：逆用同底数嘉的乘法法则把a'""变成am•/.

三、板书设计

1.同底数塞的乘法法则：

同底数幕相乘，底数不变，指数相加.

即a1"•an^am+\m,n都是正整数).

2.同底数募的乘法法则的运用

在同底数暴乘法公式的探究过程中，学生表现出观察角度的差异：有的学生只是侧重观

察某个单独的式子，把它孤立地看，而不知道将几个式子联系起来；有的学生则既观察入微,

又统揽全局，表现出了较强的观察力.教师要善于抓住这个契机，适当对学生进行指导，培

养他们“既见树木，又见森林”的优良观察品质.对于公式使用的条件既要把握好“度”，

又要把握好“方向”

1.2幕的乘方与积的乘方

第1课时幕的乘方

卷司图梅

1.理解塞的乘方的运算性质，进一步体会和巩固塞的意义；(重点)

2.掌握幕的乘方法则的推导过程并能灵活应用.(难点)

一、情境导入

1.填空：

(1)同底数塞相乘，不变，指数;

⑵/x/=；10mX10,!=；

(3)(—3)7X(-3)6=；

(4)a-o2,tz3=;

(5)(23)2=23-23=；

(x4)5=x4•x4•x4•x4•x4=.

2.计算02)3;(25(102)3.

问题：(1)上述几道题目有什么共同特点？

(2)观察计算结果，你能发现什么规律？

(3)你能推导一下3"')"的结果吗？请试一试.

二、合作探究

探究点一：塞的乘方

(SD计算：

⑴(产4；⑵产¥；

(3)[(24)3]3;(4)[(«7-/1)3]4.

解析：直接运用(腔)"=屋"计算即可.

解：(l)(a3)4—«3X4—«12；

(2)(无"1猿=尤2(丁1)=*丁2；

(3)[(24)3]3=24X3X3=236；

(4)[(相一”为4=(m—n)12.

方法总结:运用福的乘方法则进行计算时，一定不要将寨的乘方与同底数倦的乘法混淆，

在腰的乘方中，底数可以是单项式，也可以是多项式.

探究点二：哥的乘方的逆用

[类型—]逆用幕的乘方比较数的大小

®B请看下面的解题过程：比较21°°与375的大小.

解:V2100=(24)25,375=(33)25,XV24=16,33=27,16<27,.,.2100<375.

请你根据上面的解题过程，比较31°°与56°的大小，并总结本题的解题方法.

解析：首先理解题意，然后可得31°°=。5严，560=(53)2°,再比较35与53的大小，即可

求得答案.

解：V31OO=(35)2°-56O=(53)2°>又：35=243,53=125,243>125,即35>53,.\3100

>560.

方法总结：此题考查了累的乘方的性质的应用.注意理解题意，根据题意得到3必=

(35)2°,56°=(53严是解此题的关键.

[类型二]逆用幕的乘方求代数式的值

陶❸已知2x+5y—3=o,求4*・32>的值.

解析：由2x+5y—3=0得2x+5y=3,再把4、•32〉统一为底数为2的乘方的形式，最

后根据同底数幕的乘法法则即可得到结果.

解：：2元+5y—3=O,；.2尤+5y=3,：.4X•32y=22x•25},=22x+5v=23=8.

方法总结：本题考查了嘉的乘方的逆用及同底数累的乘法，整体代入求解也比较关键.

[类型三]逆用塞的乘方结合方程思想求值

(HIJ已知221=8产1,9V=3尸\则代数式的值为.

解析：由221=8阳，夕=359得221=23/1),32y=359,则21=3。+1),2y=x-9,解

得x=21,y=6,故代数式$+%=7+3=10.故答案为10.

方法总结：根据嘉的乘方的逆运算进行转化得到x和y的方程组，求出x、y,再计算代

数式.

三、板书设计

1.募的乘方法则：

哥的乘方，底数不变，指数相乘.

即(/)"=/"⑺，"都是正整数).

2.塞的乘方的运用

累的乘方公式的探究方式和前节类似，因此在教学中可以利用该优势展开教学，在探究

过程中可以进一步发挥学生的主动性，尽可能地让学生在已有知识的基础上，通过自主探究,

获得累的乘方运算的感性认识，进而理解运算法则

第2课时积的乘方

爵司圜源

1.掌握积的乘方的运算法则；(重点)

2.掌握积的乘方的推导过程，并能灵活运用.(难点)

1.教师提问：同底数幕的乘法公式和幕的乘方公式是什么？

学生积极举手回答：

同底数幕的乘法公式：同底数幕相乘，底数不变，指数相加.

幕的乘方公式：塞的乘方，底数不变，指数相乘.

2.肯定学生的发言，引入新课：今天学习塞的运算的第三种形式——积的乘方.

二、合作探究

探究点一：积的乘方

［类型—］直接运用积的乘方法则进行计算

(SD计算：(1)(一5助3；(2)一(3。)2；

(3)(—产(4)(—x,3，，，)2.

解析：直接运用积的乘方法则计算即可.

解：(1)(—5ab)3=(-5)%崂=—125a崂；

22

(2)-(3dy)2=-3xy=-9xy；

(3)(—=(一｝3a366c9——3b6c9；

(4)(-yym)2=(-i)2x2,ym=^2Vm.

方法总结：运用积的乘方法则进行计算时，注意每个因式都要乘方，尤其是字母的系数

不要漏乘方.

［类型二］含积的乘方的混合运算

W计算：

(1)(—2a2)3•♦+(—4a，•a—(5a3)3；

(2)(—a3&6)2+(―

解析：(1)先进行积的乘方，然后根据同底数赛的乘法法则求解；(2)先进行积的乘方和

森的乘方，然后合并.

解：(1)原式=—8a6,<?3+16G2,fl7—125，=—8a9+16a9—125a°=-117a9；

(2)原式=“6512—/62=0.

方法总结：先算积的乘方，再算乘法，然后算加减，最后合并同类项.

［类型三］积的乘方的实际应用

(SB太阳可以近似地看作是球体，如果用KR分别代表球的体积和半径，那么丫=界

太阳的半径约为6X1()5千米，它的体积大约是多少立方千米(71取3)?

解析：将R=6X1()5千米代入丫=gnR3,即可求得答案.

解：：R=6X1()5千米，.•.y=/JtR3七gx3x(6Xl()5)3-8.64义1。17(立方千米).

答：它的体积大约是8.64X10"立方千米.

方法总结：读懂题目信息，理解球的体积公式并熟记积的乘方的性质是解题的关键.

探究点二：积的乘方的逆用

［类型—］逆用积的乘方进行简便运算

Oil计算：(|严4X(|严5.

aaa

解析：将号严5转化为考严4义会再逆用积的乘方公式进行计算.

解:原式文|严4义(|严4义|=(|乂|产4x|=|

方法总结：对公式/•。'=(次>)"要灵活运用，对于不符合公式的形式，要通过恒等变

形转化为公式的形式，运用此公式可进行简便运算.

［类型二］逆用积的乘方比较数的大小

(H⑼试比较大小：2口><31°与2i°X3i2.

M：V213X310=23X(2X3)10,21OX312=32X(2X3)10,又：23<32,；.2i3><3i°<2i°X

312.

方法总结：利用积的乘方，转化成同底数的同指数嘉是解答此类问题的关键.

三、板书设计

1.积的乘方法则：

积的乘方等于各因式乘方的积.

即(0力"=/〃'("是正整数).

2.积的乘方的运用

敬魏恩

在本节的教学过程中教师可以采用与前面相同的方式展开教学.教师在讲解积的乘方公

式的应用时，再补充讲解积的乘方公式的逆运算：a"•b"=(ab)",同时教师为了提高学生的

运算速度和应用能力，也可以补充讲解：当〃为奇数时，(一。)"=一/("为正整数)；当〃为

偶数时，(一为正整数)

1.3同底数塞的除法

第1课时同底数塞的除法

学凰圜橱

i.理解并掌握同底数塞的除法运算并能运用其解决实际问题；(重点)

2.理解并掌握零次募和负指数哥的运算性质.(难点)

敷整福

一、情境导入

一种液体每升含有10n个有害细菌，为了试验某种杀菌剂的效果，科学家们进行了实

验，发现1滴杀菌剂可以杀死1。9个此种细菌.要将1升液体中的有害细菌全部杀死，需要

这种杀菌剂多少滴？

二、合作探究

探究点一：同底数累的除法

［类型—］直接运用同底数幕的除法进行运算

(SB计算：

(1)(—xj)134-(-xy)8；

(2)(x-2y)3+(2y—x)2；

(3)(/+1)7+(/+1)4+(/+I)2.

解析：利用同底数赛的除法法则即可进行计算，其中⑴应把(一孙)看作一个整体；(2)

把(无一2y)看作一个整体，2y~x——(%—2y);(3)把(/+1)看作一个整体.

解：⑴(―x»3+(一移)8=(一孙严一8=(一xy)5=―/介

(2)(无一2y)3+(2y—尤猿=(无一2y)3+(x-2y)2=x-2y；

(3)(/+1)74-(6!2+l)4-r(6Z2+1)2=(/+1)7-4-2=(fl2+1)'=6/2+1.

方法总结：计算同底数赛的除法时，先判断底数是否相同或可变形为相同，再根据法则

计算.

［类型二］逆用同底数二的除法进行计算

(SB已知/=4,/=2,a=3,求/-"T的值.

解析：先逆用同底数氟的除法，对a"f'T进行变形，再代入数值进行计算.

2

解：'.'am=4,a=2,。=3,/.a'~n~l=am^-an^a=44-24-3=.

方法总结：解此题的关键是逆用同底数嘉的除法得出/一'7=/+/+。

(SB声音的强弱用分贝表示，通常人们讲话时的声音是50分贝，它表示声音的强度是

105,汽车的声音是100分贝，表示声音的强度是107喷气式飞机的声音是150分贝，求:

(1)汽车声音的强度是人声音的强度的多少倍？

(2)喷气式飞机声音的强度是汽车声音的强度的多少倍？

解析：(1)用汽车声音的强度除以人声音的强度，再利用“同底数赛相除，底数不变，

指数相减”计算；(2)将喷气式飞机声音的分贝数转化为声音的强度，再除以汽车声音的强

度即可得到答案.

解：（1）因为1010+105=101°r=105,所以汽车声音的强度是人声音的强度的105倍；

（2）因为人的声音是50分贝，其声音的强度是汽车的声音是100分贝，其声音的

强度为10?所以喷气式飞机的声音是150分贝，其声音的强度为10%所以1015+101°=

1015-10=105,所以喷气式飞机声音的强度是汽车声音的强度的105倍.

方法总结:本题主要考查同底数得除法的实际应用，熟练掌握其运算性质是解题的关键.

探究点二：零指数募和负整数指数幕

【类型一】零指数导

OU若（X—6）°=1成立，则无的取值范围是（）

A.x26B.xW6

C.xW6D.x=6

解析：；（X—6）°=1成立,Ax-6^0,解得无关6.故选C.

方法总结：本题考查的是0指数倦成立的条件，非0的数的0次嘉等于1,注意0指数

得的底数不能为0.

［类型二］比较数的大小

施囱若，=（—、）—2,6=（-l）T,C=（—1）°,则a、b、c的大小关系是（）

A.a>b—cB.a>c>b

C.c>a>bD.b>c>a

解析：*=（一|厂2=（-$2*，6=（—1『=-1,c=（一》=1,；.a：>c>6.故选B.

方法总结：本题的关键是熟悉运算法则，利用计算结果比较大小.当底数是分数，指数

为负整数时，只要把底数的分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数.

［类型三］零指数英与负整数指数妙中底数的取值范围

酶若（X—3）°—2（3x—6）-2有意义，则X的取值范围是（）

A.尤>3B.x#3且xW2

C.xW3或#2D.x<2

解析：根据题意,若（%—3）°有意义,则x—3#0,即尤W3.（3x—6厂,有意义，则3x—6#0,

即所以无#3且xW2.故选B.

方法总结：任意非0的数的0次累为1,底数不能为0,负整数指数嘉的底数不能为0.

［类型四］含整数指数内、零指数幕与绝对值的混合运算

（SB计算：-2?+（—；）-+（2015—n）°—12—十|.

解析：分别根据有理数的乘方、零指数赛、负整数指数森及绝对值的性质计算出各数，

再根据实数的运算法则进行计算.

,C1C兀JIJI

解：-22+（~2）+（2015-it）°-|2-yl=-4+4+1~2+^-=~-1.

方法总结：熟练掌握有理数的乘方、零指数累、负整数指数累及绝对值的性质是解答此

题的关键.

三、板书设计

1.同底数塞的除法法则：

同底数累相除，底数不变，指数相减.

2.零次幕:

任何一个不等于零的数的零次哥都等于1.即a°=l（aW0）.

3.负整数次暴：

任何一个不等于零的数的一p。是正整数）次塞，等于这个数p次募的倒数.即相"=+

（〃W0,p是正整数）.

敬魏恩

从计算具体问题中的同底数募的除法，逐步归纳出同底数暴除法的一般性质.教学时要

多举几个例子，让学生从中总结出规律，体验自主探究的乐趣和数学学习的魅力，为以后的

学习奠定基础

第2课时用科学记数法表示较小的数

善司国梅

1.理解并掌握科学记数法表示小于1的数的方法；（重点）

2.能将用科学记数法表示的数还原为原数.

鳍婕

一、情境导入

同底数暴的除法公式为am-^an^am-n,有一个附加条件：相>小即被除数的指数大于

除数的指数.当被除数的指数不大于除数的指数，即根=〃或相时，情况怎样呢？

二、合作探究

探究点：用科学记数法表示较小的数

［类型—］用科学记数法表示绝对值小于1的数

（HU2014年6月18日中商网报道，一种重量为0.000106千克，机身由碳纤维制成，

且只有昆虫大小的机器人是全球最小的机器人，0.000106用科学记数法可表示为（）

A.1.06X10-4B.1.06X10-5

C.10.6X10-5D.106X10-6

解析：0.000106=1.06X10-4故选A.

方法总结：绝对值小于1的数也可以用科学记数法表示，一般形式为aX10-\其中

l<a<10,n为正整数.与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数累，指数

由原数左边起第一个不为零的数前面的0的个数所决定.

［类型二］将用科学记数法表示的数还原为原数

（SB用小数表示下列各数：

（1）2X10-7;（2）3.14X10—5；

（3）7.08X10—3；（4）2.17X10，

解析：小数点向左移动相应的位数即可.

角¥：（1）2X10-7=0.0000002；（2）3.14X1O-5=O.OOOO314；

（3）7.08X10-3=0.00708；（4）2.17X10-1=0.217.

方法总结：将科学记数法表示的数aXIO'还原成通常表示的数，就是把。的小数点向

左移动〃位所得到的数.

三、板书设计

用科学记数法表示绝对值小于1的数：

一般地，一个小于1的正数可以表示为aX10",其中1W"1O,〃是负整数.

从本节课的教学过程来看，结合了多种教学方法，既有教师主导课堂的例题讲解，又有

学生主导课堂的自主探究.课堂上学习气氛活跃，学生的学习积极性被充分调动，在拓展学

生学习空间的同时，又有效地保证了课堂学习质量

1.4整式的乘法

第1课时单项式与单项式相乘

i.复习幕的运算性质，探究并掌握单项式乘以单项式的运算法则；(重点)

2.能够熟练运用单项式乘以单项式的运算法则进行计算并解决实际问题.(难点)

鳍婕

一、情境导入

根据乘法的运算律计算：

(l)2x・3y；(2)5crb•(—2a/).

解：(1)2尤-3y=(2X3)•(尤・y)=6xy；

(2)5/b•(―2a/)=5X(—2>(7•a)-(b-b2)=~10ab\

观察上述运算，你能归纳出单项式乘法的运算法则吗？

二、合作探究

探究点：单项式与单项式相乘

［类型—］直接利用单项式乘以单项式法则进行计算

(SB计算：

(1)(一2梦办).5不"；

(2)(一•3xy2•(2xy2)2；

(3)—6m2«,(x-j)3•^mn2(y-x)2.

解析：运用蒸的运算法则和单项式乘以单项式的法则计算即可.

2

解：(1)(一酎2力.1^c=—1x得a36c2=~^bc；

(2)(一•3xy2•(2孙2)2=—36,3义3孙2又4了2,4=—$9y9；

(3)—6m2^•(%—y)3•^mn2(y—xf=_6X^m3n3(x-y)5=-2m3n3(x-.y)5.

方法总结：(1)在计算时，应先进行符号运算，积的系数等于各因式系数的积；(2)注意

按顺序运算；(3)不要丢掉只在一个单项式里含有的字母因式；(4)此性质对于多个单项式相

乘仍然成立.

［类型二］单项式乘以单项式与同类项的综合

W已知一2丁'"+1产与7俨-3y5“-4的积与尤4y是同类项，求,„2+„的值.

解析：根据一2/"+i*与7钞）一3产-4的积与J、是同类项可得出关于根，〃的方程组,

进而求出〃的值，即可得出答案.

3m+l+5m—3=4,

解：•••一2?皿+1泮与7锣-3y5”-4的积与力是同类项,解得

2〃+5〃一4=1,

3

•2,.143

・・m-rn一口？，

5

n=q,

方法总结：掌握单项式乘以单项式的运算法则，再结合同类项，列出二元一次方程组是

解题关键.

［类型三］单项式乘以单项式的实际应用

____33

酶有一块长为xm,宽为ym的长方形空地，现在要在这块地中规划一块长飙，宽标

ym的长方形空地用于绿化，求绿化的面积和剩下的面积.

解析：先求出长方形的面积，再求出绿化的面积，两者相减即可求出剩下的面积.

c339Q

解：长方形的面积是xynr,绿化的面积是尹义招=而孙（!11-）,则剩下的面积是孙一而孙

=20^V（m）•

方法总结：掌握长方形的面积公式和单项式乘单项式法则是解题的关键.

三、板书设计

1.单项式乘以单项式的运算法则：

单项式相乘，把系数、同底数累分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里面含

有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.

2.单项式乘以单项式的应用

能暮信恩

本课时的重点是让学生理解单项式的乘法法则并能熟练应用.要求学生在乘法的运算律

以及累的运算律的基础上进行探究.教师在课堂上应该处于引导位置，鼓励学生“试一试”，

学生通过动手操作，能够更为直接的理解和应用该知识点

第2课时单项式与多项式相乘

卷司图梅

1.能根据乘法分配律和单项式与单项式相乘的法则探究单项式与多项式相乘的法则;

2.掌握单项式与多项式相乘的法则并会运用.（重点，难点）

鳍婕

一、情境导入

计算：(一12)xg—g—；).我们可以根据有理数乘法的分配律进行计算，那么怎样计算

2x-(3x2—2x+1)呢？

二、合作探究

探究点：单项式乘以多项式

［类型—］直接利用单项式乘以多项式法则进行计算

@D计算：

221

(1)(^ab-2次?)•亍仍；

1

(2)—2x-9+3)；—1).

解析：利用单项式乘以多项式法则计算即可.

212111°

解：(1)(1〃/—2ab).］ab=子》•呼/?—2ab•取—c^b2；

(2)-2»($2y+3y-1)=-2x-^x2y+(-2x)-3y+(-2x)-(-1)=-xy+(-6xy)+2x=一

xiy-6xy+2x.

方法总结：单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘

多项式的每一项，再把所得的积相加.

［类型二］单项式与多项式乘法的实际应用

的❷一条防洪堤坝，其横断面是梯形，上底宽4米，下底宽3+26)米，坝高•米.

(1)求防洪堤坝的横断面面积；

(2)如果防洪堤坝长100米，那么这段防洪堤坝的体积是多少立方米？

解析：(1)根据梯形的面积公式，然后利用单项式乘以多项式的运算法则计算；(2)防洪

堤坝的体积=梯形面积X坝长.

解：(1)防洪堤坝的横断面面积5=3［。+3+26)］义3。=9。(2°+26)=；/+3"(平方

米).故防洪堤坝的横断面面积为平方米；

(2)堤坝的体积y=S/=ga2+Ta6)X100=50a2+50M(立方米).故这段防洪堤坝的体积

是(50d+504)立方米.

方法总结：本题要知道梯形的面积公式及堤坝的体积(堤坝体积=梯形面积X长度)的计

算方法，同时掌握单项式乘以多项式的运算法则是解题的关键.

［类型三］利用单项式乘以多项式化简求值

(HEJ先化简，再求值：5ci(2ci2-5a+3)-2cz2(5«+5)+7a2,其中a=2.

解析：首先根据单项式与多项式相乘的法则去掉括号，然后合并同类项，最后代入已知

的数值计算即可.

解：5a(2a'—5a+3)—la1(5a+5)+7tz2=10tz3—25tz2+15i—10ai—10a2-\-7a2=-28/+

15a,当〃=2时，原式=-82.

方法总结：本题考查了整式的化简求值.在计算时要注意先化简然后再代值计算.整式

的加减运算实际上就是去括号与合并同类项.

三、板书设计

1.单项式与多项式的乘法法则：

单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加.

2.单项式与多项式乘法的应用

本节课在已学过的单项式乘以单项式的基础上，学习单项式乘以多项式.教学中注意发

挥学生的主体作用，让学生积极参与课堂活动，并通过不断纠错而提高解题水平

第3课时多项式与多项式相乘

1.理解多项式乘以多项式的运算法则，能够按多项式乘法步骤进行简单的乘法运算；(重

点)

2.掌握多项式与多项式的乘法法则的应用.(难点)

段髓福

一、情境导入

某地区在退耕还林期间，将一块长机米、宽。米的长方形林区的长、宽分别增加〃米

和6米.用两种方法表示这块林区现在的面积.

学生积极思考，教师引导学生分析，学生发现：

这块林区现在长为(〃z+〃)米，宽为(a+b)米，因而面积为(〃z+w)(a+6)平方米.

另外，如图，这块地由四小块组成，它们的面积分别为相。平方米，根6平方米、w平

方米，油平方米，故这块地的面积为(ma+〃仍+wa+〃6)平方米.

由此可得。"+")(。+6)=7W°+〃仍+以/+油.今天我们就学习多项式乘以多项式.

二、合作探究

探究点一：多项式与多项式相乘

［类型—］直接利用多项式乘多项式法则进行计算

(SB计算：

(1)(3尤+2)。+2)；

(2)(4y—1)(5—y).

解析：利用多项式乘以多项式法则计算，即可得到结果.

解：(1)原式=3x?+6尤+2x+4=3x?+8元+4；

(2)原式=20y—4y2—5+y=—4y2+21y—5.

方法总结：多项式乘以多项式，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏；多项式与多项

式相乘，仍得多项式，在合并同类项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积.

［类型二］多项式乘以多项式的混合运算

(例H计算：(3a+l)(2a—3)—(6a—5)(a—4).

解析：根据整式混合运算的顺序和法则分别进行计算，再把所得结果合并即可.

解：(3。+1)(2“一3)—(6a—5)(。-4)=6/—9a+2。-3—6。~+24。+5。-20=22。-23.

方法总结：在计算时要注意混合运算的顺序和法则以及运算结果的符号.

探究点二：多项式与多项式相乘的化简求值及应用

［类型—］多项式乘以多项式的化简求值

(例M先化简，再求值：3—26)(。2+2而+4七)一“3—56)(a+36),其中。=—1>b—1.

解析：先将式子利用整式乘法展开，合并同类项化简，再代入计算.

解：(a——2Z?)(a2+2ab+4b2)——a(a——5b)(a+3b)=/—8〃—5ab)(a+36)="—8//——a3

—3a2b+5a2,b+15ab2=-8&3+2a2/?+15aZ?2.^a=-1,6=1时，原式=-8+2—15=—21.

方法总结：化简求值是整式运算中常见的题型，一定要注意先化简，再求值，不能先代

值，再计算.

［类型二］多项式乘以多项式与方程的综合

(SD解方程：(无一3)(x—2)=(x+9)(尤+1)+4.

解析：方程两边利用多项式乘以多项式法则计算，移项、合并同类项，将x系数化为1,

即可求出解.

解：去括号后得X2—5X+6=#+10X+9+4,移项、合并同类项得一15尤=7,解得尤=

7

一1?

方法总结：解答本题就是利用多项式的乘法，将原方程转化为已学过的方程解答.

［类型三］多项式乘以多项式的实际应用

OB千年古镇杨家滩的某小区的内坝是一块长为(3a+b)米，宽为(2a+b)米的长方形地

块，物业部门计划将内坝进行绿化(如图阴影部分)，中间部分将修建一仿古小景点(如图中间

的正方形)，则绿化的面积是多少平方米？并求出当。=3,6=2时的绿化面积.

解析：根据长方形的面积公式，可得内坝、景点的面积，根据面积的差，可得答案.

解：由题意，得(3a+b)(2a+6)—(a+i>)2=6a2-\-5ab-\~b2—a2—2ab—/=5°2+3°6(平方

米).当。=3,6=2时，5/+3ab=5X32+3X3X2=63(平方米)，故绿化的面积是63平方

米.

方法总结：掌握长方形的面积公式和多项式乘多项式法则是解题的关键.

［类型四］根据多项式乘以多项式求待定系数的值

(SB已知a尤2+6尤+l(aWO)与3无一2的积不含f项，也不含x项，求系数a、b的值.

解析：首先利用多项式乘法法则计算出m?+/zr+l)(3x—2),再根据积不含f项，也不

含尤项，可得含f项和含x项的系数等于零，即可求出。与b的值.

解：2)=3。尤3—2"2+3加？一2Zzx+3x—2」.,积不含f项，也不含尤项，

3993

/.~2a+3b=Q,—26+3=0,解得6=］,a=Q系数a、6的值分别是不］

方法总结：解决此类问题首先要利用多项式乘法法则计算出展开式，合并同类项后，再

根据不含某一项，可得这一项系数等于零，再列出方程解答.

三、板书设计

1.多项式与多项式的乘法法则：

多项式和多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所

得的积相加.

2.多项式与多项式乘法的应用

殿簪溟

本节知识的综合性较强，要求学生熟练掌握前面所学的单项式与单项式相乘及单项式与

多项式相乘的知识，同时为了让学生理解并掌握多项式与多项式相乘的法则，教学中一定要

精讲精练，让学生从练习中再次体会法则的内容，为以后的学习奠定基础

1.5平方差公式

善司国梅

i.掌握平方差公式的推导和运用，以及对平方差公式的几何背景的理解；(重点)

2.掌握平方差公式的应用.(重点)

鳍婕

一、情境导入

1.教师引导学生回忆多项式与多项式相乘的法则.

学生积极举手回答.

多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘以

另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.

2.教师肯定学生的表现，并讲解一种特殊形式的多项式与多项式相乘——平方差公式.

二、合作探究

探究点：平方差公式

［类型—］直接运用平方差公式进行计算

(SD利用平方差公式计算：

(1)(3尤一5)(3x+5)；

(2)(—2a~b)(b—2a)；

(3)(-7m+8n)(-8n—7m)；

(4)(x—2)(x+2)(x2+4).

解析：直接利用平方差公式进行计算即可.

解：(1)(3%—5)(3/+5)=(3x)2—52=9X2—25；

(2)(~2a—b)(b~2a)=(12a)1~b2=4tz2—b2；

(3)(-7m+8n)(一8〃一7根)=(一7m)2一(8n)2=49m2—64j；

(4)(X-2)(X+2)(X2+4)=(X2-4)(X2+4)=X4-16.

方法总结：应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：(1)左边是两个二项式相乘,

并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；(2)右边是相同项的平方减去相

反项的平方；(3)公式中的a和b可以是具体的数，也可以是单项式或多项式.

［类型二］利用平方差公式进行简便运算

(SB利用平方差公式计算：

(l)2o|xi9|；(2)13.2X12.8.

1?11

解析：⑴把20§义19W写成(20+§)X(20—q),然后利用平方差公式进行计算；⑵把

13.2X12.8写成(13+02)X(13—0.2),然后利用平方差公式进行计算.

解：(l)2o1x191=(20+1)X(20—=202—(1)2=400—3991；

(2)13.2X12.8=(13+0.2)X(13-0.2)=132-0.22=169-0.04=168.96.

方法总结：熟记平方差公式的结构是解题的关键.

［类型三］化简求值

陶❸先化简，再求值：(2x—y)(y+2x)—(2y+x)(2y—x),其中x=l,y=2.

解析：利用平方差公式展开并合并同类项，然后把无、y的值代入进行计算即可得解.

解：C2x—y)(y+2x)—(2y+x)(2y—x)—4x2—y2~(4y2—x2)=4x2—y2-4y2+x2—5x2—5y2.

当x=l,y=2时，原式=5X『一5X2?=-15.

方法总结：利用平方差公式先化简再求值，切忌代入数值直接计算.

［类型四］平方差公式的几何背景

(SD如图①，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形(a>6),把剩下部

分拼成一个梯形(如图②)，利用这两幅图形的面积，可以验证的乘法公式是.

解析：:,图①中阴影部分的面积是d—b2,图②中梯形的面积是］(2a+2b)(a—6)=(a+

b)(a—b),o2—Z?2=(a+/?)(<?—&),即可验证的乘法公式为(a+6)(a—6)=q2—b?.

方法总结：通过几何图形面积之间的数量关系可对平方差公式做出几何解释.

［类型五］平方差公式的实际应用

(SB王大伯家把一块边长为a米的正方形土地租给了邻居李大妈.今年王大伯对李大

妈说：“我把这块地一边减少4米，另外一边增加4米，继续原价租给你，你看如何？”李

大妈一听，就答应了.你认为李大妈吃亏了吗？为什么？

解析：根据题意先求出原正方形的面积，再求出改变边长后的面积，然后比较二者的大

小即可.

解：李大妈吃亏了.理由如下：原正方形的面积为a2,改变边长后面积为(a+4)(a—4)

.•.李大妈吃亏了.

方法总结：解决实际问题的关键是根据题意列出算式，然后根据公式化简解决问题.

三、板书设计

1.平方差公式：

两数和与这两数差的积等于它们的平方差.即(。+33—6)=/一/.

2.平方差公式的应用

煞翰西

学生通过“做一做”发现平方差公式，同时通过“试一试”用几何方法证明公式的正确

性.通过这两种方式的演算，让学生理解平方差公式.本节教学内容较多，因此教材中的练

习可以让学生在课后完成

1.6完全平方公式

尊凰国糠

i.会推导完全平方公式，并能运用公式进行简单的运算；(重点)

2.灵活运用完全平方公式进行计算.(难点)

敷整褐

一、情境导入

计算：

⑴(彳+1产⑵(I)?;

(3)3+6/(4)(q—6)2.

由上述计算，你发现了什么结论？

二、合作探究

探究点：完全平方公式

［类型—］直接运用完全平方公式进行计算

(SD利用完全平方公式计算：

⑴(5—)2;

(2)(一3相一4")2；

(3)(—3a~\-b)2.

解析：直接运用完全平方公式进行计算即可.

解：(1)(5—4)2=25—100+/；

(2)(—3m—4〃)2=9rH2+24mn+16n2；

(3)(—3a-\-b)2—9a2—6ab~\-b2.

方法总结：完全平方公式：(4±6)2=。2±2诏+/.可巧记为“首平方，末平方，首末两倍

中间放”.

［类型二］利用完全平方公式求字母的值

(SB如果36尤2+(〃z+l)xy+25y2是一个完全平方式，求相的值.

解析：先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式确定根的值.

解：•.,36彳2+(加+1)孙+25y2=(6x)2+(根+1)孙+(5y)2,(m+l)xy-±2-6x-5y,m-\-l

=±60,.,.〃z=59或一61.

方法总结：两数的平方和加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式.注意积

的2倍的符号，避免漏解.

［类型三］灵活运用完全平方公式的变式求代数式的值

00若(x+y)2=9,且(无一y)2=l.

(1)求5+3的值；

xy

⑵求(d+i)(/+i)的值.

解析：(1)先去括号，再整体代入即可求出答案；(2)先变形，再整体代入，即可求出答

案.

解：⑴,(尤+y)2=9,(x—y)2=l,.,.x2+2xy+y2—9,x2—2Ay+y2=l,.*.4xy=9—1=8,

11x2+y2(x+y)2—2xy9—2X25

,孙=2,•,•?+y=-^-==—心—=4：

⑵(x+y)2=9,xy—2,(x2+l)(y2+1)=x2j2+j2+x2+1=x2j2+(x+y)2—2xy+1=22

+9-2X2+1=10.

方法总结：所求的展开式中都含有xy或x+y时，我们可以把它们看作一个整体代入到

需要求值的代数式中，整体求解.

［类型四］完全平方公式的几何背景

OD我们已经接触了很多代数恒等式，知道可以用一些硬纸片拼成的图形面积来解释

一些代数恒等式.例如图甲可以用来解释(“+b)2—(“一b)2=4H.那么通过图乙面积的计算，

验证了一个恒等式，此恒等式是()

A.o2—b~—(a~\~b)(a—b)

B.(a—b)(a+2b)—cr~\-ab—2b2

C.(a—%)2=。2—2ab+/

D.(cz+Z>)2=a2+2oZ?+Z22

解析：空白部分的面积为(“一32,还可以表示为cr-2ab+b2,所以此等式是(a—bK=

4—2"+。2.故选C.

方法总结：通过几何图形面积之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释.

［类型五］与完全平方公式有关的探究问题

(SB下表为杨辉三角系数表，它的作用是指导读者按规律写出形如(。+加"("为正整数)

展开式的系数，请你仔细观察下表中的规律，填出(a+b)6展开式中所缺的系数.

1

(a+by—a+b,

(a~\~b)2-a2'~\~2ab-\-b2,

(a+b)3—cz3+3a1b+3ab~+b，,

则(a+Z?)6=*+6a%+15a%2+a3b3+15a:2i>4+6ab5+b6.

解析：由(a+bp=a+b,(a+Z>)2=a:2+2ab+b~,(a+i>)3=a3+3a1b+3ab~+Z>3,可得(a

+3”的各项展开式的系数除首尾两项都是1夕卜，其余各项系数都等于(。+力”一1的相邻两个

系数的和，由此可得(a+b)4的各项系数依次为1、4、6、4、1;3+6)5的各项系数依次为］、

5、10、10、5、1,因此(。+力6的各项系数分别为1、6、15、20、15、6、1.故填20.

方法总结：对于规律探究题，读懂题意并根据所给的式子寻找规律，是快速解题的关键.

三、板书设计

1.完全平方公式：

两个数的和（或差）的平方，等于这两个数的平方和加（或减）这两个数乘积的2倍.

（6?+Z?）2=a+/lab+Z?2；（a—b）2—a—lab+b2.

2.完全平方公式的应用

本节课通过多项式乘法推导出完全平方公式，让学生自己总结出完全平方公式的特征，

注意不要出现如下错误：（“十份2=/+”,团一匕猿二川一/.为帮助学生记忆完全平方公式，

可采用如下口诀：首平方，尾平方，乘积两倍在中央.教学中，教师可通过判断正误等习题

强化学生对完全平方公式的理解记忆

1.7整式的除法

第1课时单项式除以单项式

i.复习单项式乘以单项式的运算，探究单项式除以单项式的运算规律；

2.能运用单项式除以单项式进行计算并解决问题.（重点，难点）

鳍婕

一、情境导入

填空：

⑴""•/=；⑵（/¥=；

/o\m+n•n_/八、mn•n_

（j）a~a-；（4）〃~a-.

我们已经学习了单项式乘以单项式的运算，今天我们将要学习它的逆运算.

二、合作探究

探究点：单项式除以单项式

［类型—］直接用单项式除以单项式进行计算

（SB计算：

⑴—x5y”小（一孙8）；

（2）-48a6b5c4-（24a办（一|办）2.

解析：（1）可直接运用单项式除以单项式的运算法则进行计算；（2）运算顺序与有理数的

运算顺序相同.

解：（1）_丁,3+（一孙）8=/7..3—8=fy5；

⑵一48a6氏+（24a办（一I办2）=［（-48）+24*（-焉）］尸+5.广4+2.°=|3063c.

方法总结：计算单项式除以单项式时应注意商的系数等于被除式的系数除以除式的系

数，同时还要注意系数的符号；整式的运算顺序与有理数的运算顺序相同.

【类型二】已知整式除法的恒等式，求字母的值

囱❷若°(；广/)3+(3%2)")2=4尤2y2,求a、"Z、72的值.

解析：利用积的乘方的计算法则以及整式的除法运算得出即可.

解：cz(xV)3(3%y)2=4%y,.•.ax3,y124-9xy,1=4xy,；.a+9=4,3租一4=2,12

—2力=2,解得a=36,m—2,n—5.

方法总结：熟练掌握积的乘方的计算法则以及整式的除法运算是解题关键.

[类型三]整式除法的实际应用

陶❸光的速度约为3X1()8米/秒，一颗人造地球卫星的速度是8X103米/秒，则光的速

度是这颗人造地球卫星速度的多少倍？

解析：要求光速是人造地球卫星的速度的倍数，用光速除以人造地球卫星的速度，可转

化为单项式相除问题.

解：(3X1。8)+(8X103)=(3^8)-(1084-103)=3.75X104.

答：光速是这颗人造地球卫星速度的3.75X104倍.

方法总结：解整式除法的实际应用题时，应分清何为除式，何为被除式，然后应当单项

式除以单项式法则计算.

三、板书设计

1.单项式除以单项式的运算法则：

单项式相除，把系数、同底数累分别相除，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字

母，则连同它的指数作为商的一个因式.

2.单项式除以单项式的应用

敷簪鳏

在教学过程中，通过生活中的情景导入，引导学生根据单项式乘以单项式的乘法运算推

导出其逆运算的规律，在探究的过程中经历数学概念的生成过程，从而加深