北师大初一数学《完全平方公式与整式的除法》基础提高巩固练习+知识讲解

学科教师辅导讲义

学员编号：年级：七年级课时数：3

学员姓名：辅导科目：数学学科教师：

授课主题第04讲--完全平方公式与整式的除法

授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结

①理解完全平方公式，了解完全平方公式的几何背景，会灵活运用完全平方公式进

教学目标行计算。

②掌握整式的除法法则，能够准确计算整式乘法的计算题；

授课日期及时段

T(Textbook-Based)后1少1果早

体系搭建

一、知识框架

完全平方公式

完全平方公式•完全平方公式几何意义

「完全平方公式应用

完全平方公式与整式的除法

单项式除以单项式

整式的除法

多项式除以单项式

二、知识概念

(-)完全平方公式

1、完全平方公式：3+力)2=。2+为必十力2

(a-Z?)2=层-2ab+庐

即两个数的和(或差)的平方，等于两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，这两个公式

称为完全平方公式。

完全平方公式的特点：

(1)两个公式的左边都是一个二项式的完全平方的形式，二者仅有一个“符号”不同；

(2)两个公式的右边都是二次三项式，其中有两项是公式左边两项式中每一项的平方，中间一项是左边二

项式中两项乘积的2倍，二者也仅有一个“符号”不同；

（3）公式中的a,b可以是数，也可以是单项式或多项式。

（4）完全平方公式的变形公式：①〃2+扇=（。+与2_2"②J+庐=（。一人）2+2ab

③2H?=(a+Z?)2一(。2+人2)@(^+b)^=(<2—b)^+4ab⑤(a—。)2=(q+b)2—4a〃

2、完全平方公式的几何意义

①如右图2中，一方面大正方形面积为（a+b）2,另一方面大正方形面积可看做

四个部分的面积之和，则有（a+〃）2=a2+ab+ab+庐=J+2ab+群

②如右图1中，左下角正方形面积为（〃-份2,另一方面它的面积可看做大正方

形减去其余三块部分的面积，则有

（a-by=a-（a-b）♦b-（a-b）♦b-b=cr-2ah+b£

3、完全平方公式的应用。完全平方式：形如（〃+加2或者（〃一32的叫做完全平

方式。完全平方公式一般运用在化简求值，找规律简便计算中等。会涉及完全平方

公式的变形公式。

（-）整式的除法

1、单项式除以单项式法则：把系数、同底数幕分别相除后，作为商的因式；对于

只在被除式里含有的字母,则连同它的指数一起作为商的一个因式。

2、多项式除以单项式法则：先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所有的商相加。

典例分析

考点一：完全平方公式

例1、下列计算正确的是()

A.(a+2b)(a-2b)=a2-2b2B.(2x+3)2=4X2+9

C.(a-4b)2=a2-8ab+4b2D.(-y-5)2=y2+10y+25

【解析】D

例2、(1)已知a+b=-5,ab=-6,求（a-b）2的值

(2)已知a(a-I)-(a2-b)=-5,求工(a2+b2)-ab的值

2

(3)(1)已知a+b=3,ab=-2,求a2-b2和a2-ab+b2的值

【解析】(1)解：,.,a+b=-5,ab=-6

/.(a-b)2=(a+b)2-4ab=(-5)2-4X(-6)=49

(2)解:Va(a-I)-(a2-b)=-5

..a--a-a+b=b-a=-5

(a2+b2)-ab

2

=1(a2+b2-2ab)(b-a)2=lx(-5)2二至

2222

(3)解：a2+b2=(a+b)2-2ab=32-2X(-2)=13

a2-ab+b2=(a+b)2-3ab=32-3X(-2)=15

例3、计算：

(1)2(x-y)2-(2x+y)(-y+2x)(2)(x2+4)2-I6x2(3)(x+y)2-(x-y)2

(4)(4x2-y2)[(2x+y)2+(2x-y)2](5)(x-y)2(x+y)2(x2+y2)2(6)(2x+y-1)2

[解析](1)原式=-2x2-4xy+3y2(2)原式=(x+2)2(x-2)2

(3)原式=4xy(4)原式=32x4-2y4

(5)原式=x8-2x4y4+y8(6)原式=4x2+4xy-4x+y2-2y+l

例4、阅读下列解答过程：

已知：xWO,且满足x?-3x=l.求：的值

解：,.,X2・3X=1,Ax2-3x-1=0

x-3_—=0»即x—-=3

XX

；•x2+._&-)2+片32+2=11

请通过阅读以上内容，解答下列问题：

已知aWO,且满足(2a+l)(1-2a)-(3-2a)2+9a2=14a-7

c12

求：⑴32心的值⑵a的值

a25a4+a2+5

【解析】解：(1)(2a+l)(1-2a)-(3-2a)2+9a2=l4a-71-4a2-(9-I2a+4a2)+9a2-I4a+7=O,

整理得：a2-2a-1=0

a--=2

a

a21号(a--)212=412=6

a2a

2r-4,2,(-

(2)解：一°的倒数为-a

5a4+/+5a2

•.・5a+5_5a2+1=5(a2+^-)+1=5X6+1=31

aaa

•,2二i

5a4+a2+5-31

例5、若4x2-(a-1)xy+9y2是完全平方式，则a=.

【解析】解：•；4x2+(a-1)xy+9y2

=(2x)2+(a-I)xy+(3y)2

(a-1)xy=±2X2xX3y

解得a-1=±12

a=l3,a=-11

例6、阅读材料：把形如ax?+bx+c的二次三项式(或其一部分)配成完全平方式的方法叫做配方法.配方

法的基本形式是完全平方公式的逆写，即a2±2ab+b2=(a±b)2.

例如：(X-1)2+3、(x-2)2+2X、(lx-2)2+当2是x?_2X+4的三种不同形式的配方(即“余项”分别是常

24

数项、一次项、二次项--见横线上的部分).

请根据阅读材料解决下列问题：

(1)比照上面的例子，写出x?-4x+9三种不同形式的配方；

(2)将a?+ab+b2配方(至少两种形式)；

(3)已知a2+b2+c2-ab-3b-2c+4=0,求a+b+c的值.

【解析】解：(1)x?-4x+9的三种配方分别为：

X2-4X+9=(X-2)2+5

x2,-4X+9=(X-3)2+2X

X2-4X+9=(-X-3)2+-A2

39

(2)a2+ab+b2=(a+b)2-ab

a2+ab+b2=(a+—b)2+-^b2

24

(3)a2+b2+c2-ab-3b-2c+4,

=(a2-ab+&2)+-3b+3)+(c2-2c+l)»

44

=(a2-ab+-i-b2)+—(b2-4b+4)+(c2-2c+l),

44

=(a-■)2+S(b-2)2+(c-1)2=0,

24

从而有a-工b=0,b-2=0,c-1=0,

2

即a=l,b=2,c=l,

a+b+c=4.

考点二：完全平方公式的几何意义

例1、如图（1）,是一个长为2a宽为2b（a>b）的矩形，用剪刀沿矩形的

2b

两条对角轴剪开，把它分成四个全等的小矩形，然后按图（2）拼成一个新

的正方形，则中间空白部分的面积是（）

图⑴图（2）

A.abB.(a+b)2C.(a-b)2D.a2-b2

【解析】由题意可得，正方形的边长为（a+b）

故正方形的面积为（a+b）2

•・•原矩形的面积为4ab

・•・中间空的部分的面积=(a+b)2-4ab=(a-b)2故选C

例2、如图，从边长为(a+1)cm的正方形纸片中剪去一个边长为(a-1)cm的正方形(a>l),剩余部分

沿虚线又剪拼成一个矩形(不重叠无缝隙)，则该矩形的面积是()

【解析】矩形的面积就是边长是(a+1)cm的正方形与边长是(a-1)cm的正方形的面积的差，列代数式

进行化简即可.

22

解：矩形的面积是：(a+1)2・(a-1)=4a(cm),故选：C

例3、先阅读后作答：我们已经知道，根据几何图形的面积关系可以说明完全平方公式，实际上还有一些等

式也可以用这种方式加以说明，例如：(2a+b)(a+b)=2a2+3ab+b2,就可以用图1的面积关系来说明.

①根据图2写出一个等式：；

②已知等式：(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq,请你画出一个相应的几何图形加以说明.

【解析】解:①(a+2b)(2a+b)=2a2+5ab+2b2：

②画出的图形如下：(答案不唯一，只要画图正确即得分)

(-4x)的结果是()

A.-3X2+2X-4B.-3x2-2x+4C.-3X2+2X+4D.3x2-2x+4

【解析】故选A

例2、若3x3+kx2+4被3x-1除后余3,则k的值为

【解析】V3x3+kx2+4被3x・1除后余3

A3x3+kx2+4-3=3x3+kx?+l可被3x-1整除

・・・3x-1为3x3+kx?+l的一个因式

・•・当3x7=0,即3x3+kx2+l=0

3

即3X-L+kxl-+l=0

279

解得k=-10

例3、计算：

3223

(1)(8a2b-4ab2)4-(-4ab)(2)[(3a+b)2-b2]-?a(3)(6xy-9xy)4-(-/xy)

(4)(2a-b)2-(8a3b-4a2b2)4-2ab(5)(3a2b3c‘)24-(-ia2b4)

3

【解析】(1)原式=-2a+b(2)原式=9a+6b(3)原式=-18x2y+27xy2

(4)原式=b2-2ab(5)原式=-27a2b2c'

例4、(1)已知(a1nbl3+(ab2)2=a4b5(a、b均不等于1和-1),求m、n的值

(2)小白在进行两个多项式的乘法运算时，不小心把乘以H型错抄成乘以三，结果得到(3x2-5xy),

22

则第一个多项式是多少？正确的结果又该是多少？

【解析】⑴解：(am>)3+(ab2)2=a3mb3-a2b4=a3m.2b3n-4=a4b5

.e.3m-2=4,3n-4=5

m=2,n=3

(2)解：根据题意得：(3x2-5xy)-rA=6X-lOy,即第一个多项式是6x-10y,

则算式应为(6x・10y)•史£=3x2+3xy-5xy-5y2=3x2-2xy-5y2

2

例5、已知多项式6a2+mab-ab-10b2除以3a-2b,得商为2a+5b,求m的值

【解析】解：V(3a-2b)(2a+5b)=6a2+llab-10b2

mab-ab=11ab

Am-1=11

解得m=12

故m的值为12

P(Practice-Oriented)实战演练

实战演练

>课堂狙击

1、下列计算正确的是()

A.(-x-y)2=-x2-2xy-y2B.(4x+l)2=16X2+8X+1

C.(2x-3)2=4X2+12X-9D.(a+2b)2=a2+2ab+4b2

【解析】B

2、已知X2・8X+1=0,求x2+上^-2的值

【解析】已知等式变形求出X+L的值，两边平方求出X?+上的值，代入原式计算即可

X2

XX

解：由X2-8X+1=0,得到X+L=8

X

两边平方得：（x+工）2=x2+—+2=64,即X2+L=62

x22

AXX

则原式=62-2=60

3、已知(2004-a)(2002-a)=2003,求(2004-a)2+(2002-a)2的值

【解析】因为(2004-a)(2002-a)=(2003-a+1)(2003-a-1)=(2003-a)2-1=2003

即可得：(2003-a)2=2004

所以(2004-a)2+(2002-a)2

=(2003-a+1)2+(2003-a-1)2

=(2003-a)2+2(2003-a)+1-(2003-a)2-2(2003-a)+1

=2(2003-a)2+2

=2X2004+2

=4010

4、已知(x+y)2=4,(x-y)2=10>求x2+y2和xy的值

【解析】直接利用完全平方公式计算，进而将x?+y2和xy看作整体求出即可

(x+y)2=4,(x-y)2=10

Ax2+y2+2xy=4,x2+y2-2xy=I0

故2(x2+y2)=14

x2+y2=7,故7+2xy=4,

解得：xy=-l

2

5、计算:

(I)(x+2y-z)(x-2y-z)-(x+y-z)2(2)(x+3)(x+4)-(x-1)2

(3)(2x+3y)2-(4x-9y)(4x+9y)+(2x-3y)2(4)(3x-2y)2-(4y-3x)(3x+4y)；

【解析】（1）原式=-5y-2xy+2yz(2)原式=9x+l1

(3)原式=-8x2+18y2(4)原式二18x?-12xy-12y2

6、计算：

2-65一国n+12、2二-1n2、2」_2nn\2

(1)(-12)X104-(2X10)(2)一)

2XV）•（a、y）（

3244n+12n2n2

(3)(-9a3b2)X(-4a2b3)4-(-6ab)⑷(-|ab)+(-kb)2・(-1a%)

乙13D

(5)

(2a3n)2.(f2n)3.(6广)2+15(_

J

422243

(-a4-a)+(-2a)3a2+(-a)-ra

【解析】(1)原式=7.2X10“°(2)原式=®&xn'2yn(3)原式=1944a9b8

9

(4)原式=-%n”b2n-2(5)原式」旦整"5(6)原式=a4-7a，

545a

2.2

7、若x(y-l)-y(x-1)=4,求工—---xy的值.

2

［解析］解：*.*x(y-1)-y(x-1)=4

/.xy-x-xy+y=4

Ay-x=4

x-y=-4

2(x-y)2G4)2_

・x"y

-xy=

22--2

8、如图所示，用1个边长为c的小正方形和直角边长分别为a,b的4个直角三角形，恰好能拼成一个新的

大正方形，其中a,b,c满足等式c2=a2+b?,由此可验证的乘法公式是()

A.a2+2ab+b2=(a+b)2B.a2-2ab+b2=(a-b)2

C.(a+b)(a-b)=a2-b2D.a2+b2=(a+b)2

【解析】根据4个直角三角形的面积+小正方形的面枳=新的大正方形的面积，即可解答.

4个直角三角形的面积为：—abX4=2ab

2

小正方形的面积为：C?

Vc2=a2+b2

・•・小正方形的面积为：a2+b2

新的大正方形的面积为：(a+b)2

/.a2+2ab+b2=(a+b)故选：A

9、求a=工，b=-3时，代数式(-L2b③)之小(--Lab)4-(A^ab3)的值

23821

【解析】解：’・'=工，b=-3

2

原式=(-Xa2b3)2+(-Lb)-r(l^ab3)

3821

=JLa4b64-(-工ab)+(l^b3)

9821

=-(3b3)

6321

=--^2b2

6

=-JLXJLX9=-W

648

10、小明在做一个多项式除以工不的题时，由于粗心误以为是乘以上型结果是8a%-4a3+2a2,你能知道正

222a

确的结果是多少吗？

【解析】解：根据题意得：

原多项式=(8a4b-4a3+2a2)4---=16a3b-8a2+4a,

22r

则正确的结果是(16a%-ga2+da)-i-a-32a2b-16a+8

2

11、把几个图形拼成一个新的图形，再通过图形面积的计算，常常可以得到一些有用的式子，或可以求出

一些不规则图形的面积

(1)如图1,是将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为a+b+c的正方形，试用不同的方法

计算这个图形的面积，你能发现什么结论，请写出来.

(2)如图2,是将两个边长分别为a和b的正方形拼在一起，B、C、G三点在同一直线上，连接BD和BF,

若两正方形的边长满足a+b=10,ab=20,你能求出阴影部分的面积吗？

【解析】(1)此题根据面积的不同求解方法，可得到不同的表示方法.一种可以是3个正方形的面积和6

个矩形的面积，种是大正方形的面积，可得等式(a+b+c)2=a2+b?+c2+2ab+2bc+2ac

(2)用S阴影=正方形ABCD的面积+正方形ECGF的面积-三角形BGF的面积-三角形ABD的面积求解

(1)(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac

(2)Va+b=10,ab=20,

ASisijii?=a2+b2--(a+b)・b--i-a2

22

=-i-a2+—b2--i-ab=—(a+b)2--ab

2222

=-LxiO2--^.X20=50

22

＞课后反击

1、下列计算中，正确的是(

A.(x-1)2=x2-2x-1

2=2a~+4ab+b-

C.(3x+2)2=9X2+6X+4

2

mn+n

【解析】D

2、下列四个算式：

①4x2y4./xy=xy3；②16a6b%+8a3b?=2a2b?c；

(3)9x8y24-3x3y=3x5y；④(12m?+8m2-4m)4-(-2m)=-6m2-4m+2.

其中正确的有()

A.0个B.1个C.2个D.3个

【解析】①应为4x2y44xy=16xy3,故本选项错误②应为16a6b%+8a3b?=2a3b?c,故本选项错误

③9x8y24-3x3y=3x5y,正确④(IZnAgrr?-4m)4-(-2m)=-6m2-4m+2,正

确

所以③④两个正确，故选C

3、计算：

(1)(x+3)(x-3)(x2-9)(2)(2x-3y)2-(4y-3x)(4y+3x)

(3)(2a+3b)2-(2a-b)(2a+b)(4)(a-2b+3c)2

884422+m,

(5)(a-b)4-(a+b)+(a+b)(6)(-2xml+5.xm+lxm-l)+(Xx)

26612

【解析】(1)原式二x4-18x2+81(2)原式=13x?-12xy-7y2

(3)原式=12ab+10b2(4)原式=a2-4ab+4b2+6ac-12bc+9c2

(5)原式=(a-b)(a+b)(6)原式=-18X2+10X+2

4、某天数学课上，学习了整式的除法运算，放学后，小明回到家拿出课堂笔记，认真地复习课上学习的内

容，他突然发现一道三项式除法运算题：(21x4y3-^^+7x2y2)+(-7x2y)=/^+5xy-y.被除式

的第二项被钢笔水弄污了，商的第一项也被钢笔水弄污了，你能算出两处被污染的内容是什么吗？

【解析】解：商的第一项^^=21x4y3：(-7x2y)=-3x2y2

被除式的第二项(-7x?y)X5xy=35x3y2

5、X2+2(a+4)x+25是完全平方式，求a的值

【解析】解：・・"2+2(a+4)x+25是完全平方式

：・2(a+4)=±2X5

解得a=l或a=-9

故a的值是1或-9

6、化简求值

(1)(x+2y)2-(x+y)(x-y),其中x=-2,y=^-

2

(2)(3a-b)2-3(2a+b)(2a-b)+3a2,其中a=・1,b=2

【解析】(I)解：(x+2y)2-(x+y)(x-y)

=x2+4xy+4y2-x2+y2=4xy+5y2

当x=-2,y弓时

原式=4X(-2)xl+5X(-1)2=-2-5.

224

(2)解：原式=9a?・6ab+b2-3(4a2-b2)+3a2

=9a2-6ab+b2-12a2+3b2+3a2

=-6ab+4b2

当a=-1,b=2时，

原式二-6X(-1)X2+4X22=28

7、我们可以用几何图形来解释一些代数恒等式，如上图可以用来解释(a+b)2=a2+2ab+b2

请构图解释：(1)(a-b)2=a2-2ab+b2；(2)(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac

【解析】解：(1)边长为(a-b)的正方形的面积可以直接由正方形面积公式表示为(a勺|

-b)2,又可以用边长为a的正方形的面积，减去2个长为a,宽为b的长方形面积，||

加上边长为b的正方形的血积，结果用含a,b的式子表示为a?-2ab+b2；|

h-a小b,

(2)已知大正方形的边长为a+b+c,

利用图形的面积关系可得：(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac

直击中考

1>[2015武汉】运用乘法公式计算(x+3)2的结果是()

A.X2+9B.x2-6x+9C.x2+6x+9D.x2+3x+9

【解析】C

2、[2015枣庄】图（1）是一个长为2a,宽为2b（a>b）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开,

把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积

是（）

A.abB.（a+b）2C.（a-b）2D.a2-b2

【解析】解：中间部分的四边形是正方形，边长是a+b・2b=a-b,

则面积是（a-b）2,故选C

3.[2006宁波】长、宽分别为a,b的矩形硬纸片拼成的一个“带孔”正方形如图所示.利用面积的不同表示

方法，写出一个代数恒等式

【解析】解：•・♦大正方形的面积-小正方形的面积=4个矩形的面积，

(a+b)2-(a-b)2=4ab

ummary-Embedded)归纳总结

重点回顾

（一）完全平方公式

1、完全平方公式:(。+力2=ci^+2ab+b^

-2而十庐

即两个数的和（或差）的平方，等于两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，这两个公式

称为完全平方公式。

完全平方公式的特点：

(1)两个公式的左边都是一个二项式的完全平方的形式，二者仅有一个“符号”不同；

(2)两个公式的右边都是二次三项式，其中有两项是公式左边两项式中每一项的平方，中间一项是左边二

项式中两项乘积的2倍，二者也仅有一个“符号”不同；

(3)公式中的a,b可以是数，也可以是单项式或多项式。

(4)完全平方公式的变形公式：①J+岸=(々+炉一2时©a1-^h1={a-h^+2ab

®2ab=(a+b)2-(a2+b2)®(6f+Z?)2=(a-b')2+4ab@(«-Z＞)2=(a+b)1-4ab

名师点拨a•

i、完全平方公式的几何意义

①如右图2中，一方面大正方形面积为(〃+初2,另一方面大正方形面积可看

做四个部分的面积之和，则有(〃+匕)2=cr+ab+ab+b2=a1+2ab+b1

②如右图1中，左下角正方形面积为3-6)2,另一方面它的面积可看做大正’

方形减去其余三块部分的面积，则有.J~~鼻

(a-by,=々2_(a-b)•b-(a-b)•b-科=后-2ab+庐图2

2、完全平方公式的应用。完全平方式：形如(a+b)2或者(〃-。)2的叫做完全平方式。

学霸经验*PQR

＞本节课我学到了・「TH

图1

＞我需要努力的地方是

晦

思考乐•优学

Uniquestudy

学科教师辅导讲义

学员编号：年级：七年级课时数：3

学员姓名：辅导科目：数学学科教师：

授课主题第04讲--完全平方公式与整式的除法

授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结

③理解完全平方公式，了解完全平方公式的几何背景，会灵活运用完全平方公式进

教学目标行计算。

④掌握整式的除法法则，能够准确计算整式乘法的计算题；

授课日期及时段

T（Textbook-Based）少1^早

体系搭建

一、知识框架

完全平方公式

完全平方公式•完全平方公式几何意义

「完全平方公式应用

完全平方公式与整式的除法

单项式除以单项式

整式的除法

多项式除以单项式

二、知识概念

（一）完全平方公式

1、完全平方公式:（a+。）2=3+2ab+科

（4_〃）2=/-2ab+庐

即两个数的和（或差）的平方，等于两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，这两个公式

称为完全平方公式。

完全平方公式的特点:

（1）两个公式的左边都是一个二项式的完全平方的形式，二者仅有一个“符号”不同;

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(2)两个公式的右边都是二次三项式，其中有两项是公式左边两项式中每一项的平方，中间一项是左边二

项式中两项乘积的2倍，二者也仅有一个“符号”不同；

(3)公式中的a,b可以是数，也可以是单项式或多项式。

<4)完全平方公式的变形公式：@a2+b2=(a+b)2-2ab@a2-^-b2=(a-b)1+2ab

③2a〃=(a+0)2—(。2+层)@(a+Z?)^=—Z?)^+4ab©(a—b)^=(a+—4ab

2、完全平方公式的几何意义

①如右图2中，一方面大正方形面积为(a+b)2,另一方面大正方形面积可看做

四个部分的面积之和，则有(a+力2=+时+々〃+〃2_a2+2ab+群

②如右图1中，左下角正方形面积为(a-力2,另一方面它的面积可看做大正方

图2

形减去其余三块部分的面积，则有(〃一占)2=/一(a-b)・bTa-b)，b-科=(?-2ab+b^

3、完全平方公式的应用。完全平方式：形如(a+bp或者(a-b)2的叫做完全平

方式。完全平方公式一般运用在化简求值，找规律简便计算中等。会涉及完全平方

公式的变形公式。

(-)整式的除法

图1

1、单项式除以单项式法则：把系数、同底数需分别相除后，作为商的因式；对于

只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。

2、多项式除以单项式法则：先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所有的商相加。

典例分析

考点一：完全平方公式

例1、下列计算正确的是()

A.(a+2b)(a-2b)=a2-2b2B.(2x+3)2=4X2+9

C.(a-4b)2=a2-8ab+4b2D.(-y-5)2=y2+10y+25

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例2、(1)已知a+b=-5,ab=-6,求(a-b)?的值

(2)已知a(a-1)-(a2-b)=-5,求工(a2+b2)-ab的值

2

(3)(1)已知a+b=3>ab=-2»求a2^b2和a?-ab+b2的值

例3、计算:

(1)2(x-y)2-(2x+y)(-y+2x)(2)(X2+4)2-16x2(3)(x+y)2-(x-y)2

(4)(4x2-y2)[(2x+y)2+(2x-y)2](5)(x-y)2(x+y)2(x2+y2)2(6)(2x+y-1)2

例4、阅读下列解答过程：

已知：x#0,且满足x?-3x=l.求：的值

解：Vx2-3x=l,Ax2-3x-1=0

-x-3--=0»即xy=3

x

22

1)+2=3+2=11

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请通过阅读以上内容，解答下列问题：

己知aWO,且满足(2a+l)(1-2a)-(3-2a)2+9a2=14a-7

c12

求：⑴@2心的值⑵a的值

a25a4+a2+5

例5、若4x2-(a-1)xy+9y2是完全平方式，则a=

例6、阅读材料：把形如ax?+bx+c的二次三项式(或其一部分)配成完全平方式的方法叫做配方法.配方

法的基本形式是完全平方公式的逆写，即1±2ab+b2=(a±b)2.

例如：(x・1)2+3、(x-2)2+2X>(Lx-2)?+当2是*2・？x+4的三种不同形式的配方(即“余项”分别是常

24

数项、一次项、二次项--见横线上的部分).

请根据阅读材料解决下列问题：

(1)比照上面的例子，写出x?-4x+9三种不同形式的配方；

(2)将a?+ab+b2配方(至少两种形式)；

(3)已知a2+b2+c2-ab-3b-2c+4=0,求a+b+c的值.

高超握分源于优学20

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考点二：完全平方公式的几何意义y

2b——；--

例1、如图（1）,是一个长为2a宽为2b（a>b）的矩形，用剪刀沿矩形的两_____：

条对角轴剪开，把它分成四个全等的小矩形，然后按图（2）拼成一个新的正图（1）

图（2）

方形，则中间空白部分的面积是（）

A.abB.(a+b)2C.(a-b)2D.a2-b2

例2、如图，从边长为（a+1）cm的正方形纸片中剪去一个边长为（a-1）cm的正方形（a>l）,剩余部分

沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），则该矩形的面积是（）

例3、先阅读后作答：我们已经知道，根据几何图形的面积关系可以说明完全平方公式，实际上还有一些等

式也可以用这种方式加以说明，例如：（2a+b）（a+b）=2a2+3ab+b2,就可以用图1的面积关系来说明.

①根据图2写出一个等式：;

②已知等式：（x+p）（x+q）=x2+（p+q）K+pq,请你画出一个相应的几何图形加以说明.

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考点三：整式的除法

例1、计算：(12x3_8X2+16X)彳(-4x)的结果是()

A.-3X2+2X-4B.-3x2-2x+4C.-3x2+2x+4D.3x2-2x+4

例2、若3x3+kx2+4被3x-1除后余3,则k的值为

例3、计算:

(1)(8a2b-4ab2)+(-4ab)(2)[(3a+b)2-b2]4-a(3)(6x3y2-9x2y3)+(-A-xy)

(4)(2a-b)2-(8a3b-4a2b2)4-2ab(5)(3a2b3c4)24-(-la2b4)

3

例4、(1)已知(am^)3+(ab2)2=a4b5(a、b均不等于1和-1),求m、n的值

(2)小白在进行两个多项式的乘法运算时，不小心把乘以H型错抄成乘以2,结果得到(3x2-5xy),

22

则第一个多项式是多少？正确的结果又该是多少？

高效握分源于优学I22

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4、已知(x+y)2=4,(x-y)2=10,求x2+y2和xy的值

5、计算:

(1)(K+2y-z)(x-2y-z)-(x+y-z)2(2)(x+3)(x+4)-(x-1)2

(3)(2x+3y)2-(4x-9y)(4x+9y)+(2x-3y)2(4)(3x-2y)2-(4y-3x)(3x+4y)；

6、计算：

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