2025届高考数学专题四恒成立问题精准培优专练文

PAGEPAGE2培优点四恒成立问题一、不等式恒成立问题一、不等式恒成立问题例1：已知，不等式恒成立，则的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】把原不等式的左端看成关于的一次函数，记，则对于随意的恒成立，易知只需①，且②即可，联立①②解得或．故选C．例2：不等式对随意实数恒成立，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由肯定值的几何意义易知的最小值为，所以不等式对随意实数恒成立，只需，解得．故选A．例3：已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】，∴，∴．二、函数恒成立问题二、函数恒成立问题例4：当时，指数函数恒成立，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由，得，即．故选B．例5：已知函数，若恒成立，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】首先画出的图像，的图像为过的一组直线，若恒成立，只需始终在的下方，即直线夹在与相切的直线，和之间，所以转化为求切线斜率，，联立，得①，令，即，解得或，将代入①，得成立；将代入①，得，不满意，所以舍去，故．三、三、分别参数解恒成立问题例6：对随意实数，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】∵对随意实数，不等式恒成立，∴恒成立，令，则原不等式等价于，即，由基本不等式可得，故．例7：关于的不等式在上恒成立，则的取值范围是．【答案】【解析】当时，，令，则问题等价于，则，所以，即在上单调递减，所以当时，，所以．对点对点增分集训一、选择题1．已知函数，且对定义域内的随意的恒成立，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】当时，原命题等价于在时恒成立，由双勾函数单调性可得．当时，原命题等价于，左边设为，右边设为，由数形结合易得．综上两种状况可得，故答案B．2．已知函数，对随意，不等式恒成立，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为，故为奇函数，又，而为增函数，故也为增函数，故对随意，不等式恒成立，可化为，对随意，不等式恒成立，即，解得．3．设是定义在上的增函数，且对随意，都有恒成立，假如实数满意不等，那么的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】∵对于随意的都有恒成立，∴，∵，∴，∵是定义在上的增函数，∴，∴，∵的圆心坐标为，半径为，∴内的点到原点距离的取值范围为，即，∵表示内的点到原点距离的平方，∴的取值范围是．故选A．二、填空题4．若不等式恒成立，则实数的取值范围是．【答案】【解析】令，当时，；当时，；当时，，∴在上是减函数，在上是增函数，在上是增函数，∴．∵恒成立，即恒成立，∴，即．三、简答题5．已知，，且．（1）若恒成立，求的取值范围；（2）若恒成立，求的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）∵，，∴，即，所以的最大值为，当且仅当时取等号，∴恒成立等价于，解得．（2）∵，当且仅当，时取等，∴恒成立等价于．①当时，，解得；②当时，，解得；③当时，，解得，综上可得．6．定义域为的函数满意：对于随意的实数，都有成立，且，当时，恒成立．（1）求，的值；（2）若不等式对于恒成立，求的取值范围．【答案】（1），；（2）．【解析】（1）令，得，∴，令，得，∴是奇函数，∵，∴．（2）设，则，∴，即，∴是减函数，∵，即，∴，即恒成立，∴，解得．7．已知函数．（1）试求函数的最大值；（2）若存在，使成立，试求的取值范围；（3）当，且时，不等式恒成立，求的取值范围．【答案】（1）；（2）或；（3）．【解析】（1）∵，，令，即有在单调递增，∴时，．（2）令，则存在使得，所以存在使得，或，即存在使得或，∴或．（3）由得恒成立，因为，且，所以问题即为恒成立，∴．设，令，则，，∴，所以当时，，∴．8．已知函数，且在处取得极值．（1）求的值；（2）若当时，恒成立，求的取值范围；（3）对随意的，是否恒成立？假如成立，给出证明，假如不成立，请说明理由．【答案】（1）；（2）或；（3）见解析．【解析】（1），∵在处取得极