北师大版九年级下册数学全册教案

第一章直角三角形的边角关系

1.1锐角三角函数

第1课时正切与坡度

G教学目标0

1.知识与技能

（1）经历探索直角三角形中某锐角确定后其对边与邻边的比值也随之确定的过程，理

解正切的意义.

⑵能够用表示直角三角形中两边的比，表示生活中物体的倾斜程度，并能够用正切进

行简单的计算.

2.过程与方法

逐步培养学生观察、比较、分析、综合概括等逻辑思维能力.

3.情感态度与价值观

在探索结论的过程中，体验探索的乐趣,增强数学学习的信心，感受成功的快乐.

（□教学重点。

掌握正切的概念并能运用它解决具体问题，能用正切表示坡度.

（□教学难点。

在现实情境中理解正切的意义.

一、新课导入：

1.如图，两个斜坡AB和EF,哪个更陡一些？你是如何判断的？

解：EF更陡.・・•罡=Tv禺=l,・•・EF更陡.

30m

60JTI

（第1题图）（第2题图）

2.如图，梯子AB沿墙OA下滑到CD处,OA=OD=4,OB=OC=3,梯子在AB或CD

处哪个更陡一些？如何用图上数据判定？

解：AB更陡.器/器=於器,器,.・.AB更陡.

二、新知探究：

［探究一：正切的定义］

阅读教材P2〜P3,完成下面的内容。

L什么是锐角的正切？如何表示？

学生回答：在直角三角形中，如果一个锐角确定，那么这个角的对边与邻边的比值便随

之确定.在/?rAABC中，锐角A的对边与邻边的比叫做NA的正切，记作心〃A,即tanK=

/A的对边

NA的邻边，

2.思考：(1)当直角三角形中一个锐角的大小确定时，其对边与邻边的比值是否随之确

定？

(2)如何求锐角A的正切值？

学生讨论回答：(I)确定.

(2)应先根据已知条件求出NA所在的直角三角形中NA的对边和邻边的值,再求出

tanA的值.

范例1：如图，在边长为1的小正方形组成的网格中,4ABC的三个顶点均在格点上,

则32A=(D)

A-55-5C4D;3

仿例1：如图，在RtAABC中,CO是斜边AB上的高,8C=44C=3,设N5CO=。，则

tana的值为(B)

3434

4彳8.£5飞

仿例2：如图,BD是菱形ABCD的对角线,CEJ_AB于点E,交BD于点F,且点E是AB

的中点，则指〃NBFE的值是(D)

［探究二：坡度］

阅读教材尸3〜P4,完成下面的内容.

什么是坡度？坡度与坡角的正切值有何关系？

答：坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度或坡比,很显然坡度即坡角的正切值.坡

角的正切值越大，坡度越陡.

范例2：如图为一水库大坝的横断面，坝高力=6m,迎水坡4B=10m,斜坡的坡度角为

。，则迎水坡的坡度是

D

仿例1：如图，河堤横断面是狒形，上底为4m,堤高为6m,斜坡AD的坡比为1：3,斜坡

BC的坡角为45。,则河堤的横断面的面积为(A)

A.96m2B.48m2C.192m2D.84m2

仿例2：如图，在RtAABC中,NAC8=90°,CO是48边上的中线，若8c=64C=8,

则tanNAC。的值为

仿例3：如图，某人从山脚A走了300/n的山路，爬到了120加高的小山顶B处,该山路

o__

的坡度为一介区_.

三、展示交流：

1.组织学生以小组为单位进行有序展示(表演、口述讲解或板书)学习成果，并将疑难

问题展示在黑板上,小组之间就上述问题“释疑”或“兵教兵”.

2.教师肯定点拨或矫正学生自学成果.

四、评价与反思：(引导学生自己总结)

1.今天学习了什么？学到了什么？还有什么疑惑？有什么感受？

在学生回答的基础上，教师点评并板书：

(1)正切的概念.

(2)坡度.

2.分层作业：

(1)教材P4〜P5,习题第1、2、4题.

(2)完成《智慧学堂》相应训练.

五、教后反思：

本节课的教学内容主要是通过让学生画图、动手操作获得相关的结论.在教学过程中

应充分调动学生的积极性与主动性，争取让学生发现并用自己的语言进行归纳，教师对表

述不当的地方予以纠正，其次教师通过讲解例题、进行对点导练等方式加深对正切的理解.

本节课学生初次接触锐角三角函数的概念，因此教师应有足够的耐心帮助学困生,让他们

扬起学习风帆.

第2课时正弦与余弦

o教学目标o

1.知识与技能(学习目标)

(1)理解正弦函数和余弦函数的意义，能根据边长求出锐角的正弦值和余弦值，准确分

清三种函数值的求法.

(2)经历探索知道直角三角形中某锐角确定后，它的对边、邻边和斜边的比值也随之确

定,能够根据直角三角形中的边角关系，进行简单的计算.

2.过程与方法

逐步培养学生观察、分析、类比、概括的思维能力.

3.情感态度与价值观

在探索结论的过程中，体验探索的乐趣,增强数学学习的信心，感受成功的快乐.

g教学重点B

掌握正弦、余弦的概念，并能运用它们解决具体问题.

0教学难点。

灵活运用三角函数的有关定义进行计算.

一、新课导入：

L什么叫锐角A的正切？

答：在RtAABC中，如果锐角A确定，那么NA的对边与邻边的比叫做NZ的正切，记

作tanA,即tanA=^.

2.什么是坡度？

答：正切也经常用来描述山坡的坡度,坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度.坡度

即坡角正切值.

二、新知探究：

［探究一：正弦和余弦的概念］

阅读教村〜尸6,完成下面的内容：

什么是锐角A的正弦和余弦？如何表示？

B.

斜边

乙I的对边

C/4的邻边力

答：在RtAABC中，如果锐角A确定时，那么的对边与斜边的比，邻边与斜边的比

也随之确定.

Q)在RtAABC中，锐角A的对边与斜边的比叫做/4的正弦，记作sinA,即sinA=

Z4的对边

斜边；

(2)在RtAABC中，锐角A的邻边与斜边的比叫做N4的余弦，记作cosA,即cosA=

NZ的邻边

斜边

（3）锐角A的正弦、余弦和正切都叫做NA的三角函数.

范例1：如图，在aABC中,NC=90°,AB=5,BC=3,则cosA的值是（D）

3434

512

仿例1：在直角三角形ABC中,NC=90°,lanA=、那么sin8=布.

仿例2：如图,在菱形ABCD中,DEJ_AB,垂足为£既=6。3必=刎菱形4&?。的

面积是一60cmz.

F.R（仿例2题图）

B\f「（变例1题图）

3

变例1：如图，在RtZkABC中,NC=90°,AM是边上的中线,sinNCAM=g,则tanB

的值为.

变例2：等腰三角形腰长为6cm,底边长为10。见则底角的正切值为_华_.

［探究二：铳角三角舀敷的应用］

阅读教材P$〜A，完成下面的内容：

范例2：（乐山中考）如图，已知△ABC的三个顶点均在格点上，则cosA的值为（D）

A坐喙.事平

4（仿例1题图））

仿例1：如图，已知h〃广〃卜,相邻两条平行直线间的距离相等，若等腰直角4ABC的

三个顶点分别在这三条平行直线上，则sina的值是（D）

仿例2：（•舟州中考）在平面直角坐标系xOy中,已知一次函数y=kx+b与x轴交于点

A,与y轴交于点B,且过点P(l,l),lanNA8O=3,那么点A的坐标是(一2.0)或(4.0).

仿例3：在RtZ\48C中,NC=90°,若48=4,sin4=2则斜边上的高等于_罂

三、展示与交流：

1.组织学生以小组为单位进行有序展示(表演、口述讲解或板书)学习成果，并将疑难

问题展示在黑板上,小组之间就上述问题“释疑”或“兵教兵”.

2.教师肯定点拨或矫正学生自学成果.

四、评价与反思：(引导学生自己总结)

1.今天学习了什么？学到了什么？还有什么疑惑？有什么感受？

在学生回答的基础上，教师点评并板书：

(1)正弦、余弦的定义.

(2)锐角三角函数的简单运用.

2.分层作业：

(1)教材此习题第1、2题R习题第3、4、5题.

(2)完成《智慧学堂》相应训练.

五、教后反思：

本节课的引入可采用探究的形式,首先引导学生认知特殊直角三角形中锐角的正弦

与余弦，进而归纳三角函数的定义；其次通过锐角三角函数求直角三角形的边长，加深了对

三角函数的理解，增强了知识的运用能力.本节课教师注意引导学生对知识与方法进行回

顾与总结，从而形成良好的反思习惯，掌握高效学习的方法.

1.230°,45°,60°角的三角函数值

C5教学目标B

1.知识与技能(学习目标)

⑴理解并掌握30°、45。、60°角的三角函数值，能用它们进行有关计算；

(2)能依据30°、45°、60°角的三角函数值，说出相应锐角的度数.

2.过程与方法

经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程，进一步体会三角函数的意义.

3.情感态度与价值观

在探索特殊角的三角函数值的过程中,增强斐生的推理能力和计算能力.

(5教学重点Q

熟记30。、45°、60°角的三角函数值,并用它们进行计算.

G教学难点Q

探索30°、45°、60°角的三角函数值的指导过程.

一、新课导入：

1.锐角A的三角函数有哪儿种？如何表示？

答：将锐角A的正弦、余弦、正切统称为NA的三角函数.

NA的对边人NA的邻边NA的对边

.“〃A一斜边cosA一斜边S〃A=/A的邻边

2.在/?/AABC中,/C=90。,若S〃A=4,则si〃A=喈，cosA=.

二、新知探究：

［探究一：30°、45°、60°角的三角函数值］

阅读教材尸8〜P%完成下列问题.

1.学生求出30°,45。，60°角的三角函数值，交流展示，教师整理归纳:

锐角A

30°45°60°

锐角三角函数

1

sina应也

222

cosa亚啦

22

tana亚1

3小

2.思考：通过表格发现什么规律？三角函数值随着角度的增大如何变换？

答：互余的两个锐角的正弦值的平方和等于1,互余的两个锐角的余弦值的平方和等

于1,互余的两个锐角的正切值互为倒数，积为1;sina的值随锐角a的增大而增大,cosa

的值随着锐角a的增大而减小的值随锐角a的增大而增大.

3.应用：(1)完成教材尸8例1,并思考：s加60°的平方如何表示？COS2450表示什么？

ton230°呢？

(2)完成教材尸9练习第1题.

【例11如果Na是等腰直角三角形的一个锐角，则tana的值是(C)

【例2】在△A8C中，若sinA-1+(cosB一32=(),则NC度数是(D)

A.30°B.450C.60°D.900

【例3】若a为锐角，且3tan190°一团=小,则。为(C)

A.30°B,45°C.60°D.75°

［探究二：30°、45°、60°角的三角的数值的应用］

阅读教材P8〜P%完成下列问题.

1.通过小组合作完成教材?9例2并思考如何将非直角三角形转化为直角三角形求解.

2.应用：(1)教材尸9练习第2题.

(2)身高相同的甲、乙、丙三人放风筝，各人放飞线长分别为30风25m和20m,线与地

面所成的角度分别为30°,45°和60°,假设风筝线是拉直的，三人所放风筝(B)

A.甲的最高B.乙的最高

C.丙的最高D.丙的最低

(3)一个小孩荡秋千，秋千链子的长度为4m,秋千向两边摆动时，两边的摆动角相同，当

秋千升高2m时,求秋千的摆动角度.

小组合作完成，教师点评，投影展示：

解：如图，在RtAOBD中，依题意得OB=OC=4,CD=2,・・.OD=2,

o

21

:.cosZDOB=4=2，

AZDOB=60°,

又OA=OB,OD_LAB,

・・・NAOB=120°,即秋千摆动的角度为120°.

三、展示交流：

1.组织学生以小组为单位进行有序展示(表演、口述讲解或板书)学习成果，并将疑难

问题展示在黑板上,小组之间就上述问题“释疑”或“兵教兵”.

2.教师肯定点拨或矫正学生自学成果.

四、评价与反思：(引导学生自己总结)

1.今天学习了什么？学到了什么？还有什么疑惑？有什么感受？

在学生回答的基础上，教师点评并板书：

(1)特殊角的三角函数值.

(2)特殊三角函数值的应用.

2.分层作业：

(1)教材Pio〜习题第1〜6题.

(2)完成《智慧学堂》相应训练.

五、教后反思：

本节课以“自主探究”为主体形式，所以应先给学生自主动手的时间，给学生提供创

新的空间，同时给不同层次的学生提供一个交流合作的机会,从而培养学生独立探究与合

作学习的能力.

1.3三角函数的计算

C2教学B标Q

1.知识与技能(学习目标)

掌握用计算器求锐角的三角函数值以及已知一锐角的某一三角函数值，利用计算器

求出这个锐角的度数的方法.

2.过程与方法

在运用计算器求锐角的三角函数值的过程中,锻炼动手操作能力.

3.情感态度与价值观

运用计算器来解决问题的过程中，可激发学生的学习兴趣.

o教学重点o

运用计算器求锐角三角函数值或求角.

0教学难点。

用计算器进行有关直角三角形的计算.

一、新课导入：

1.填表.

角度

30°45°60°

三角函数

1_返亚

sina

222

亚立

cosa

22

亚

tana1V3

3

RL——dC

2.如图,BC=3肛从B点望旗杆顶端A的视角为65°,怎样求旗杆AC的长呢？

学习本节课，将帮助你解答这个问题.

二、新知探究：

［探窕一：用科学计算卷求锐为三谕由数值］

阅读教材P12〜尸13，完成下面的内容：

锐角A为特殊角,可求得三角函数值.

如果锐角不是特殊角，怎样得到它的三角函数值呢？

答：利用计算器可求一般角的三角函数值.

范例1：用计算器计算si〃24°的值,以下按键顺序正确的（A）

A.血回回回8.②同血目

C.12〃"|厨团同。.国团同12〃"|

仿例1：si〃65°,CQS65°附〃65°的大小关系是(D)

A.tan65°<cos650<sin65°

B.sin650<cos650<tan650

C.cos65°<tan65°<sin65°

D.cos65c7加65c<565。

仿例2：下列四个计算结果中最大的是(D)

A.sin480+cos48°B.si〃48°+/a〃48°

C.cos48°+fa〃48°48c卡--：

cos48

仿例3：用计算器求锐角三角函数值(精确到0.001)：

⑴山〃55°1.428；

(2)cos350弋0.819.

(3)s加50°26'18〃0.771；

(4)3H5015'弋0.273.

A

仿例4：如图，某河道要建造一座公路桥，要求桥面离地面高度AC为3九引桥的坡角

ZABC为15°,则引桥的水平距离BC的长是11.2机.(精确到O.bn)

I探究二：用科学计算器求锐角的度数］

阅读教材Pl3〜尸14,完成下面的内容：

范例2：根据下列条件，求锐角度数.

(1)若s%a=0.6785.则Na=42°43'36〃；

A

(2)若cosa=掌则/。=54°44'8”；

(3)若=35.6,则Na=8823'28”.

仿例1：比较锐角a,B大小：已知sina=0.47B=52.3,则a<0.

仿例2：用“v”连接下列各题中的锐角a,B,丫.

⑴若sina=0.123,s%B=0.8456,5加Y=0.5678,则a.B.Y的大小关系为。<丫邙：

(2)若cosa=0.0123,esB=0.3879,cosy=0.1024,贝ija.B,Y的大小关系为

a_.

2

仿例3：已知tana奇则锐角a的取值范围是(B)

A.0°<<7<30°B.3O0<<7<45°

C.45°<a<60°D.60°<<?<90°

三、展示与交流：

1.组织学生以小组为单位进行有序展示(表演、口述讲解或板书)学习成果，并将疑难

问题展示在黑板上,小组之间就上述问题“释疑”或“兵教兵”.

2.教师肯定点拨或矫正学生自学成果.

四、评价与反思：(引导学生自己总结)

1.今天学习了什么？学到了什么？还有什么疑惑？有什么感受？

在学生回答的基础上，教师点评并板书：

(1)利用计算器求锐角三角函数值.

(2)已知锐角三角函数值，利用计算器求角.

2.分层作业：

(1)教材丹5习题第1、2、3、4、5、6题.

(2)完成《智慧学堂》相应训练.

五、教后反思：

本节课的教学应突出学生的主体性原则，指引学生自己动手操作，互相交流，或上台演

示自己的操作过程，分享学习的快乐，从而激发学生参与的热情和学习的积极性.

1.4解直角三角形

a教学目标o

1.知识与技能(学习目标)

理解直角三角形中三条边及两个锐角之间的关系，能运用勾股定理、直角三角形的两

锐角互余及锐角三角函数解直角三角形.

2.过程与方法

通过综合运用勾股定理及锐角三角函数等知识解直角三角形的过程,逐步培养学生

分析问题、解决问题的能力.

3.情感态度与价值观

渗透数形结合思想，在解决问题过程中，感受成功的快乐，树立良好的学习习惯.

①教学重点o

运用直角三角形的边角关系解直角三角形.

。教学难点O

灵活运用锐角三角函数解直角三角形.

一、新课导入：

L直角三角形三边之间有什么关系？

答：勾股定理：a2+b2=c2.

2.直角三角形两锐角之间有何关系？

答：互余：NA+NB=90。.

3.直角三角形边与角之间有何关系？

oRo

答：锐角三角函数sinA=z，cosA=K，tanA=p;.

4.在直角三角形中，除直角外.还有哪几个元素？

答：还有两个锐角，两条直角边和斜边五个元素.

二、新知探究：

［探究：解直角三角形］

阅读教材尸16一尸17完成下列问题.

1.(1)什么叫解直角三角形？

一般地，由直角三角形中除直角外的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角

三角形.

(2)由s加A=*你能得到哪些公式?

答：a=c-而A,c=氤・

2.思考：(1)直角三角形中，除直角外的5个元素之间有哪些关系？

(2)知道5个元素中的几个，就可以求出其余元素？

要求学生画出如图所示的直角三角形，小组交流探究、展示.

总结：

如图，在R/ZXABC中,NC=90°,NA、NB、NC的对边分别为a、b、c,那么除直角

ZC外的5个元素之间有如下关系：

(1)三边之间的关系：a2+b2=c2；

(2)两锐角之间的关系：ZA4-ZB=9O°；

(3)边角之间的关系：

NA的对边a人NA的邻边b*NA的对边aNB的对边

A=

_"'C°sA一斜边一部-NA的邻边—H同〃B=斜边

b-/B的邻边aNB的对边b

=-,cosB-斜边一3他"B—NB的邻边一『

通过它们之间的关系，可以发现，知道其中的2个元素(至少有一个是边)，就可以求出

其他所有元素.

3.应用：(1)完成教材Pg〜丹7例1、例2.思考：

①例1中，除直角外，已知哪几个元素？求剩下的哪几个元素？

②例2中，除直角外，已知什么？求什么？

(2)完成教材尸17练习.

(3)在4ABC中,NC=90°,若NB=2NA,b=3,则a=(C)

A.坐B.6c.小D.?

(4)如图，在△ABC中,cosB=坐sinC=,,4C=5,则△ABC的面积是

(5)(南通中考)如图，在/?/AABC中,CD是斜边AB上的中线，已知CD=2,AC=3,则

3

-

4

sinB的值是-

三、展示交流：

1.组织学生以小组为单位进行有序展示(表演、口述讲解或板书)学习成果，并将疑难

问题展示在黑板上,小组之间就上述问题“释疑”或“兵教兵”.

2.教师肯定点拨或矫正学生自学成果.

四、评价反思：(引导学生自己总结)

1.今天学习了什么？学到了什么？还有什么疑惑？有什么感受？

在学生回答的基础上，教师点评并板书：

(1)解直角三角彩的概念.

(2)解直角三角形.

2.分层作业：

(1)教材尸门〜尸18习题第1、2、3、4题.

(2)完成《智慧学堂》相应训练.

五、教后反思：

利用知识回顾，使学生进一步巩固和深化三角函数的认识理解，建立清晰的知识框架,

形成严谨的思维习惯.通过对解直角三角形分类研究，培养学生模型化思想与应用意识.可

能涉及到解斜三角形的转化问题，学生把握不是很好，应对学困生给予适当的指导,让他们

感受到学习的快乐.

1.5三角函数的应用

第1课时方位角问题

G教学目标3

1.知识与技能(学习目标)

(1)了解水平线、方位角等概念，并会用解直角三角形的有关知识解决某些实际问题;

(2)通过建模和解决问题，培养学生应用数学的意识.

2.过程与方法

通过实际问题的求解，总结出用解直角三角形的知识解决实际句题的一般过程，增强

分析问题和解决问题的能力.

3.情感态度与价值观

渗透数形结合的思想方法,增强学生的数学应用意识和能力.

(3教学重点。

要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系,

从而解决问题.

G教学难点Q

画出示意图并寻找适当的边角关系来快捷地解题.

一、新课导入：

1•什么叫解直角三角形？

答：由直角三角形中已知元素求出未知元素的过程，叫解直角三角形.

2.如图，指出OA,OBQC,OD表示的方位角.

答：0A：北偏东20°；OB：西北方向；OC：南偏西65°；OD：南偏东50°.

教师讲解强调方法角的有关知识,同时展示学习目标.

二、新知探究：

［徐兔一：方位角问题］

L阅读教材89“想一想”上面的内容并完成下列问题.

(1)图1—13中有几个直角三角形？思考怎样根据已知条件解每个三角形？

(2)解放Z\ACD,还需要的一个条件是边，可以先求出哪一条边？

(3)你能独立完成此问题吗？

2.思考：上述问题的解题方法或思路是什么？你还有其他的解法吗？

答：用公共边作桥梁，在两个直角三角形中求解，是解直角三角形的基本方法；设公共

边长为X,在两个直角三角形中表示边长，建立方程求解.

3.应用：【例1】光明中学九年级(1)班开展数学实践活动.小李沿着东西方向的公路以

SOmhnin的速度向正东方向行走，在A处测得建筑物C在北偏东60°方向上,20加〃后他

走到B处，测得建筑物C在北偏西45°方向上，求建筑物C到公路AB的距离.(已知小

=«1.732)

引导学生完成.

答案：CD=500(^3-1)366(w)

［探究二：解决方住角的实际问题］

［例2］如图,海上有座灯塔P,在它周围3海里有暗礁，一艘客轮以每小时9海里的速

度由西向东航行，行至A处测得灯塔P在它的北偏东60。,继续航行10分钟后到达B处，又

测得P在它的东北方向.若客轮不改变向，有无触礁危险？

引导学生完成.

解：作PD1AB于D.在/?rAPAD中,NPAD=30。,又在/?/APBD中,NPBD=45。,故

设PD=x，则BD=PD=x,AD=25x.又AB=9X器=/=1.5,，AD=1.5+x,；・x+1.5=小

x,解得：x岩(小+1)<3.，有触能危险.

三、展示交流：

1.组织学生以小组为单位进行有序展示(表演、口述讲解或板书)学习成果，并将疑难

问题展示在黑板上,小组之间就上述问题“释疑”或“兵教兵”.

2.教师肯定点拨或矫正学生自学成果.

四、评价与反思：(引导学生自己总结)

1.今天学习了什么？学到了什么？还有什么疑惑？有什么感受？

在学生回答的基础上，教师点评并板书：

(1)利用方位角解直角三角形.

(2)利用解直角三角形解决实际问题的一般过程.

2.分层作业：

(1)教材尸21习题第4题.

(2)完成《智慧学堂》相应训练.

五、教后反思：

本节课教学时应首先认知“方位角”的概念及其所代表的实际意义,然后将所要解

决的实际问题划归到相应的直角三角形中，从而用解直角三角形知识解决相应问题.本节

课注意根据方位角构造相应的直角三角形，培养模型化意识.

第2课时仰角、俯角问题

O教学目标O

1.知识与技能(学习目标)

(1)能将解直角三角形的知识与圆的知识结合起来解决问题.

(2)理解仰角、俯角等概念，会把类似于测量建筑物的高度的实际问题抽象成几何问题.

(3)能利用解直角三角形来解其他非直角三角形的问题.

2.过程与方法

在将实际问题转化为解直角三角形问题的过程中，培养学生的转化能力，增强分析问

题和解决问题的能力.

3.情感态度与价值观

进一步增强学生数学应用意识,感知数学来源于生活又服务于生活的辩证关系.

(3教学重点Q

仰角、俯角在解直角三角形中的应用.

C3教学难点Q

将实际问题抽象为数学模型.

一、新课导入：

1.某人从A看B的仰角为15°,则从B看A的俯角为15°.

2.什么是坡度？它与坡角正切有何关系？

答：坡面的铅垂高度与水平宽度的比叫坡度或坡比.如图，坡度i=h：l,tana=?，，坡

度即坡角正切值，坡度越大，坡面越陡.

二、新知探究：

［探究一：仰角和俯角问题］

阅读教材P|9〜Bo,完成下列问题.

/视线

管

铅

角

垂

角

线水平线

视线

1.仰角、俯角的定义.

如图，当我们测量时,在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在

水平线下方的角叫做俯角.

注意：(1)仰角和俯角必须是视线与水平线所夹的角，而不是与铅垂线所夹的角.

(2)仰角和俯角都是锐角.

完成教材“想一想”.

2.思考：“想一想”解题的基本思路是什么？

答：依据解直角三角形理论.利用己知条件分别在两个直角三角形中求解.

DR

3.应用：(1)【例1】某城市在发展规划中，需要移走一棵古树AB,在地面上事先划定以

B为圆心，半径与AB等长的圆形为危险区，现在一名工人站在离B点3米远的D处测得

树的顶端A点的仰角为60。，树的底部B点的俯角为30。，问距离B点8米远的保护物

是否在危险区内？

教师指导，学生完成.

答：不在危险区内.

(2)完成教材P20练习第1题.

［探究二：坡度问题］

阅读教材丹9〜Bo,完成下列问题.

1.坡度与坡角的关系.

AC

(1)坡面的铅垂高度与水平宽度的比叫坡度(或坡比)，记作i=^，坡度通常用1：m的

DC

形式,坡面与水平面的夹角叫坡角，记作a.

则i=fa〃B,注意坡度越大，坡角就越大，坡面就越陡.

(2)完成教材89“做一做”.

2.思考：“做一做”解题的基本思路是什么？

答：略

3.应用：【例2】

设计建造一条道路,路基的横断面为梯形ABCD,如图(单位：米).设路基高为h,两侧的

坡角分别为a和仇已知h=2米,a=45°=1,CD=10.

(1)求路基底部AB的宽；

(2)修筑这样的路基1000米，需要多少土石方？

答：(1)AB=16.(2)需要26000平方米土石方.

三、展示交流：

1.组织学生以小组为单位进行有序展示(表演、口述讲解或板书)学习成果，并将疑难

问题展示在黑板上,小组之间就上述问题“释疑”或“兵教兵”.

2.教师肯定点拨或矫正学生自学成果.

四、评价与反思：(引导学生自己总结)

1.今天学习了什么？学到了什么？还有什么疑惑？有什么感受？

在学生回答的基础上，教师点评并板书：

(1)仰角和俯角问题.

(2)坡度与实际问题.

2.分层作业：

(1)教材尸20练习第2题『21习题第1、2、3题.

(2)完成《智慧学堂》相应训练.

五、教后反思：

本节课我们学习了有关仰角、俯角的解直角三角形的应用题,对于这些问题，一方面要

把它们转化为解直角三角形的数学问题，另一方面针对转化而来的数学问题应选用适当

的数学知识加以解决.

1.6利用三角函数测高

O教学目标0

1.知识与技能(学习目标)

(1)利用直角三角形的边角关系测量并计算物体的高度.

(2)在活动中培养学生实际操作能力，培养运用数学的意识.

2.过程与方法

通过对活动课题的学习,使学生能够利用所学知识解决实际问题.

3.情感态度与价值观

在解决实际问题过程中使学生体验数学建模思想，培养学生分析问题，解决问题的能

C教学重点o

利用直角三角形的边角关系测物体的高度.

。教学难点Q

正确操作与计算.

一、新课导入：

1.测量倾斜角一般用什么仪器？它由哪些部分组成？

答：测量倾斜角可以用测倾器，简单的测倾器由度盘、铅锤和支杆组成.

2.使用测倾器测量倾斜角的步骤是什么？

答：(1)把支杆竖直插入地面，使支杆的中心线、铅垂线和度盘的0°刻度线重合，这时

度盘的顶线在水平位置；

(2)转动度盘，使度盘的直径对准目标，记下此时的铅垂线所指的度数.

二、新知探究；

I探究一：测量底部可以到达物体的高度］

阅读教材P22〜P23,回答下列问题：

如何测量底部可以到达的物体的高度？

答：测量底部可到达的物体的高度时，选择适当测点,测量出仰角，量出测点到物体

底部的水平距离及测倾器的高度三个数据.

范例1：测量底部可以到达的物体时，所得到的数学模型如图所示，这时物高h满足关

系式h=Hana+a.

,,(范例1题图))R£,(仿例1题图))

仿例1：如图，小明测自己前面大树高时，测得树顶的仰角为30°,眼睛距地面1.5见此

时距树5九则这棵树高_(1\庭!)_〃?.

仿例2：如图，大楼AD的高为106,远处有一塔BC,某人在楼顶D测得塔顶B点的仰

角为30°,塔底C点的俯角为45°，则塔BC的高度为(D)

A.15mB.20m

C.(10+lQ\/§)mD.(10+

仿例3：如图，在把易拉罐中的水倒入一个圆水杯的过程中，若水杯中的水在点P处与

易拉罐刚好接触，则此时水杯中的水深为(C)

A.2cmB.4cmC.6cmD.8cm

［探窕二：测量底部不可到达物体的高度］

阅读教材P22〜P23,完成下面的内容：

如何测量底部不可到达物体为高度？

答：测量底部不可到达的物体的高度时，要选择与物体在同一直线上的两个测点，测量

出两个仰角，两个测点间的距离及测倾器的高度四个数据.

范例2：如图所示，在高楼前D点测得楼顶的仰角为30°,向高楼前进60帆到C点,又

测得仰角为45°,则该高楼的高度大约为(A)

A.82mB.163mC.52mD.70m

题图))

仿例1：如图，山顶有一座电视塔，在地面上一点A处测得塔顶B处的仰角a=60°,

在塔底C处测得A点的俯角。=45°,已知塔高60肛贝I」山高CD等于(A)

A.3O(l+V5)mB.30(小一l)m

C.30mD.(3OV3+l)m

仿例2：如图,在高为60机的小山上，测得山底一建筑物顶端与底部的俯角分别为

30°,60°,这个建筑物的高度为(C)

A.20mB.30mC.40mD.50m

三、展示交流：

1.组织学生以小组为单位进行有序展示(表演、口述讲解或板书)学习成果，并将疑难

问题展示在黑板上,小组之间就上述问题“释疑”或“兵教兵”.

2.教师肯定点拨或矫正学生自学成果.

四、评价与反思：(引导学生自己总结)

1.今天学习了什么？学到了什么？还有什么疑惑？有什么感受？

在学生回答的基础上，教师点评并板书：

(1)测量底部可以到达的物体的高度.

(2)测量底部不可以到达的物体的高度.

2.分层作业：

(1)教材83习题第1、2、3题.

(2)完成《智慧学堂》相应训练.

五、教后反思：

本节课我们利用三角函数解决测高问题,无论是直接测高还是间接测高都是先转化

为解直角三角形，再选择合适的三角函数，求出所需的结果，从而激发学生学习数学的兴趣.

第二章二次函数

2.1二次函数

CJ教学目标0

1.知识与技能(学习目标)

(1)理解具体情景中二次函数的意义,理解并掌握二次函数的概念和一般形式.

(2)能够表示简单变量之间的二次函数关系式.

2.过程与方法

通过具体问题情景中的二次函数关系了解二次函数的一般表达式，在类比一次函数、

反比例函数表达式时感受二次函数中二次项系数a#0的重要特征.

3.情感态度与价值观

小世内函数来源于实际生活，感受到二次函数在实际生活中有着广泛的应用.

CJJfc学重点O

二次函数的概念.

©教学难点Q

在实际问题中，会写简单变量之间的二次函数关系式.

一、新课导入：

1.什么是一次函数？其一般形式有哪些？

答：形如y=kx+b(kHO)的函数叫一次函数.

2

2.下列关系式中：y=2x+l,y=—x—4,y=1,y=5x2,y=—4x,y=ax+l.其中一次函数

有哪些？反比例函数有哪些？

2

答：一次函数有：y=2x+1,y=-x—4,y=-4x.反比例函数有：y=-

二、新知探究：

［探究一：二次函教的定义］

阅读教材P29〜尸30,完成下面的内容：

什么是二次函数？

答：一般地，若两个变量x,y之间的对应关系，可以表示成y=ax2+bx+c(a,b,c是常

数,aWO)的形式，则称y是x的二次函数，其中x是自变量,a,b,c,分别是函数表达式的二次

项系数、一次项系数和常数项.

范例1：(至州中考)下列函数表达式中,一定为二次函数的是(C)

A.y=3x-1B.5=加+"+。

C..v=2z2-2r+1口.产/+1

仿例1：如果y=(a—1)x2—ax+6是关于x的二次函数，那么a的取值范围是(B)

A.aWOB.aWl

C.aHl且aHOD.无法确定

仿例2：若y=(m2+m)xm2-2m-1-x+3是关于x的二次函数，则(D)

A.加=—1或帆=3B.mW—1且mWO

C.m=—\D./n=3

仿例3：已知二次函数y=l—3x+5xz,则二次项系数a=5，一次项系数b=_二

3_,常数项c=_L.

仿例4：二次函数y=-4(l+x)(x-3)化为一般形式是y=-4x2+8x+12.

［探究二：列出实际问题中的二次法教表达式J

阅读教材尸29〜Ro，完成下面的内容：

范例2：在边长为6的正方形中间挖去一个边长为X(OVXV6)的小正方形，如果设剩余

部分的面积为y,写出y关于x的函数表达式.

解：y=36-x2(0<x<6).

仿例1：某印刷厂•月份印书50万册，如果从二月份起，每月E「书量的增长率都为x,

写出三月份的印书量y(万册)与x的函数表达式.

解：y=50(1+x)2.

仿例2：如图，在一幅长80cm、宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅

矩形挂画,设整个挂画总面积为yc〉,金色纸边的宽为xc也写出y关于x的函数表达式.

解：y=(80+2x)(50+2x),

y=4x2+260x+4000.

仿例3：n支球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛，则比赛次数m与球队数n之间

的关系式为m=n(n；1).

仿例4：如图，矩形ABCD中,AB=8,BC=6,P是线段BC上一点(P不与B重合)，且PB

2

=MD,设BP=x,AMBP的面积为y,则y与x的关系式为y=—02+4x(0VxW6).

三、展示交流：

1.组织学生以小组为单位进行有序展示(表演、口述讲解或板书)学习成果，并将疑难

问题展示在黑板上,小组之间就上述问题“释疑”或“兵教兵”.

2.教师肯定点拨或矫正学生自学成果.

四、评价与反思：(引导学生自己总结)

1.今天学习了什么？学到了什么？还有什么疑惑？有什么感受？

在学生回答的基础上，教师点评并板书：

(1)二次函数的定义及一般形式；

(2)在实际问题中写二次函数关系式时注意自变量x的取值范围.

2.分层作业：

(1)教材乃。〜Q3i习题第1、2、3、4题.

(2)完成《智慧学堂》相应训练.

五、教后反思：

教学时应注意引导学生探究新知，在观察、分析后归纳、概括二次函数的概念，注重学

生在建模二次函数中的经历和体验，让学生领悟到现实生活中的数学问题,提高建模与应

用能力.

2.2二次函数的图象与性质

第1课时二次函数丫=@乂2的图象与性质

CJ教学目标0

1.知识与技能(学习目标)

(1)会用描点法画函数y=ax2(aW0)的图象，并根据图象认识、理解和掌握其性质.

(2)体会数形结合的转化，能用y=ax2(a#0)的图象与性质解决简单的实际问题.

2.过程与方法

通过画出简单的二次函数y=x2,y=-1x2等探索出二次函数y=ax?的性质及图象特

征.让学生经历从特殊到一般的认识过程，学会合情推理.

3.情感态度与价值观

通过数学学习活动，体会数学与实际生活的联系,感受数学的实际意义，激发学习兴趣.

G教学童:点O

①会画y=ax2(a#0)的图象；②理解、掌握图象的性质.