北师大版初中数学教学大纲

北师大版七年级数学上册教学大纲

第一章丰富的图形世界

1、几何图形

从实物中抽象出来的各种图形，包括立体图形和平面图形。

立体图形：有些几何图形的各个部分不都在同一平面内，它们是立体图形。

平面图形：有些几何图形的各个部分都在同一平面内，它们是平面图形。

2、点、线、面、体

（1）几何图形的组成

点：线和线相交的地方是点，它是几何图形中最基本的图形。

线：面和面相交的地方是线，分为直线和曲线。

面：包围着体的是面，分为平面和曲面。

体：几何体也简称体。

（2）点动成线，线动成面，面动成体。

3、生活中的立体图形

「圆柱

「柱1

生活中的立体图形d球J棱柱：三棱柱、四棱柱（长方体、正方体）、五棱柱、…

（按名称分）匚畛「圆锥

工棱锥

4、棱柱及其有关概念：

棱：在棱柱中，任何相邻两个面的交线，都叫做棱。

侧棱：相邻两个侧面的交线叫做侧棱。

n棱柱有两个底面，n个侧面，共（n+2）个面；3n条棱，n条侧棱；2n个顶点。

5、正方体的平面展开图：11种

6、截一个正方体：用一个平面去截一个正方体，截出的面可能是三角形，四边形，五边形，六边形。

7、三视图

物体的三视图指主视图、俯视图、左视图。

主视图：从正面看到的图，叫做主视图。

左视图：从左面看到的图，叫做左视图。

俯视图：从上面看到的图，叫做俯视图。

8、多边形：由一些不在同一条直线上的线段依次首尾相连组成的封闭平面图形，叫做多边形。

从一个n边形的同一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，可以把这个n边形分割成(n-2)

个三角形。

弧：圆上A、B两点之间的部分叫做弧。

扇形：由一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形。

第二章有理数及其运算

1、有理数的分类

厂正有理数1

有理数4零卜有限小数和无限循环小数

匚负有理数」

或「整数

有理数4

匚分数

2、相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零

3、数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴(画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一

不可)。任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。解题时要真正掌握数形结合的思想，并能灵活

运用。

4、倒数：如果a与b互为倒数，则有ab=l,反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。

5、绝对值：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值。(|a|^0)o零的绝对值

时它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a,则a'O；若|a|=-a,则aWO。

6、有理数比较大小：正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数；数轴上的两个点所表示的数，右

边的总比左边的大；两个负数，绝对值大的反而小。

7、有理数的运算：

(1)五种运算：力口、减、乘、除、乘方

(2)有理数的运算顺序

先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，就先算括号里面的。

)运算律

加法交换律a+b=b+a

加法结合律(〃+Z?)+c=a+(b+c)

乘法交换律ab=ba

乘法结合律(ab)c=a(Jbc)

乘法对加法的分配律a(b+c)=ab+ac

第三章字母表示数

1、代数式

用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。单独的一个数或一个字母也是代数式。

2、同类项

所有字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项。几个常数项也是同类项。

3、合并同类项法则：把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变。

4、去括号法则

(1)括号前是“+”，把括号和它前面的“+”号去掉后，原括号里各项的符号都不改变。

(2)括号前是“-把括号和它前面的“-”号去掉后，原括号里各项的符号都要改变。

5、整式的运算：

整式的加减法：(1)去括号；(2)合并同类项。

第四章平面图形及其位置关系

1、线段：绷紧的琴弦，人行横道线都可以近似的看做线段。线段有两个端点。

2、射线：将线段向一个方向无限延长就形成了射线。射线有一个端点。

3、直线：将线段向两个方向无限延长就形成了直线。直线没有端点。

4、点、直线、射线和线段的表示

在几何里，我们常用字母表示图形。

一个点可以用一个大写字母表示。

一条直线可以用一个小写字母表示或用直线上两个点的大写字母表示。

一条射线可以用一个小写字母表示或用端点和射线上另一点来表示(端点字母写在前面)。

一条线段可以用一个小写字母表示或用它的端点的两个大写字母来表示。

5、点和直线的位置关系有两种：

①点在直线上，或者说直线经过这个点。

②点在直线外，或者说直线不经过这个点。

6、直线的性质

(1)直线公理：经过两个点有且只有一条直线。

(2)过一点的直线有无数条。

(3)直线是是向两方面无限延伸的，无端点，不可度量，不能比较大小。

(4)直线上有无穷多个点。

(5)两条不同的直线至多有一个公共点。

7、线段的性质

(1)线段公理：两点之间的所有连线中，线段最短。

(2)两点之间的距离：两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离。

(3)线段的中点到两端点的距离相等。

(4)线段的大小关系和它们的长度的大小关系是一致的。

8、线段的中点：

点M把线段AB分成相等的两条相等的线段AM与BM,点M叫做线段AB的中点。

9、角：

有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，两条射线的公共端点叫做这个角的顶点，这两条射线叫做

这个角的边。

或：角也可以看成是一条射线绕着它的端点旋转而成的。

10、平角和周角：一条射线绕着它的端点旋转，当终边和始边成一条直线时，所形成的角叫做平角。

终边继续旋转，当它又和始边重合时，所形成的角叫做周角。

11、角的表示

角的表示方法有以下四种：

①用数字表示单独的角，如Nl,Z2,/3等。

②用小写的希腊字母表示单独的一个角，如Na,ZP,Zy,/0等。

③用一个大写英文字母表示一个独立(在一个顶点处只有一个角)的角，如/B,NC等。

④用三个大写英文字母表示任一个角，如/BAD,ZBAE,/CAE等。

注意：用三个大写英文字母表示角时，一定要把顶点字母写在中间，边上的字母写在两侧。

12、角的度量

角的度量有如下规定：把一个平角180等分，每一份就是1度的角，单位是度，用“。”表示，1度

记作“1°”，n度记作“n°”。

把1°的角60等分，每一份叫做1分的角，1分记作“1'”。

把1'的角60等分，每一份叫做1秒的角，1秒记作“1”

1°=60',r=60”

13、角的性质

(1)角的大小与边的长短无关，只与构成角的两条射线的幅度大小有关。

(2)角的大小可以度量，可以比较

(3)角可以参与运算。

14、角的平分线

从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。

15、平行线：

在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线。平行用符号“〃”表示，如“AB〃CD”，读作“AB

平行于CD”。

注意：

(1)平行线是无限延伸的，无论怎样延伸也不相交。

(2)当遇到线段、射线平行时，指的是线段、射线所在的直线平行。

16、平行线公理及其推论

平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。

推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。

补充平行线的判定方法：

(1)平行于同一条直线的两直线平行。

(2)在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行。

(3)平行线的定义。

17、垂直：

两条直线相交成直角，就说这两条直线互相垂直。其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点

叫做垂足。

直线AB,CD互相垂直，记作“AB_LCD"(或“CD_LAB"),读作“AB垂直于CD"(或“CD垂直于AB”)。

18、垂线的性质：

性质1：平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。

性质2：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。简称：垂线段最短。

19、点到直线的距离：过A点作1的垂线，垂足为B点，线段AB的长度叫做点A到直线1的距离。

20、同一平面内，两条直线的位置关系：相交或平行。

第五章一元一次方程

1、方程

含有未知数的等式叫做方程。

2、方程的解

能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。

3、等式的性质

(1)等式的两边同时加上(或减去)同一个代数式，所得结果仍是等式。

(2)等式的两边同时乘以同一个数((或除以同一个不为0的数)，所得结果仍是等式。

4、一元一次方程

只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程叫做一元一次方程。

5、解一元一次方程的一般步骤：

(1)去分母(2)去括号(3)移项(把方程中的某一项改变符号后，从方程的一边移到另一边，这

种变形叫移项。)(4)合并同类项(5)将未知数的系数化为1

第六章生活中的数据

1、科学记数法

一般地，一个大于10的数可以表示成axio”的形式，其中l<a<10,n是正整数，这种记数方法叫

做科学记数法。

2、扇形统计图及其画法：

扇形统计图：利用圆与扇形来表示总体与部分的关系，即圆代表总体，圆中的各个扇形分别代表总体中的

不同部分，扇形的大小反映部分占总体的百分比的大小，这样的统计图叫做扇形统计图。

画法：

(1)计算不同部分占总体的百分比(在扇形中，每部分占总体的百分比等于该部分所对应的扇形圆心角

的度数与360的比)。

(2)计算各个扇形的圆心角(顶点在圆心的角叫做圆心角)的度数。

(3)在圆中画出各个扇形，并标上百分比。

3、各种统计图的优缺点

条形统计图：能清楚地表示出每个项目的具体数目。

折线统计图：能清楚地反映事物的变化情况。

扇形统计图：能清楚地表示出各部分在总体中所占的百分比。

第七章可能性

1、确定事件和不确定事件

(1)、确定事件

必然事件：生活中，有些事情我们事先能肯定它一定会发生，这些事情称为必然事件。

不可能事件：有些事情我们事先能肯定它一定不会发生，这些事情称为不可能事件。

(2)、不确定事件：

有些事情我们事先无法肯定它会不会发生，这些事情称为不确定事件

⑶、

「必然事件

「确定事件y

事件Y匚不可能事件

匚不确定事件

2、不确定事件发生的可能性

一般地，不确定事件发生的可能性是有大小的。

必然事件发生的可能性是1

不可能事件发生的可能性是0

北师大版七年级数学下册教学大纲

第一章整式运算

知识点（一）概念应用

1、单项式和多项式统称为整式。

单项式有三种：单独的字母（a,-w等）；单独的数字（125,——,3.25,-14562等）；

7

2Sr

数字与字母乘积的一般形式（-2s,—三等）。

371

2、单项式的系数是指数字部分，如-23加历的系数是-23万（注意系数部分应包含不，因为

〃是常数）；单项式的次数是它所有字母的指数和（记住不包括数字和»的指数），如56//y5

次数是8。

3、多项式：几个单项式的和叫做多项式。

4、多项式的特殊形式：立等。

2

5、一个多项式次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数。如:/y+2y_l是3次3项式。

6、单独的一个非零数的次数是0。

知识点（二）公式应用

1、am-an=a'n+n（m,n都是正整数）如—"•/=—凡

拓展运用#"+"=。*优如已知。帆=2,/=8,求优"+"。解：am+n=am-a"=2X8=16.

2、（am）n=a'm（m,n都是正整数）$n2(a2)6-(a3)4=2a2x6-a3x4=a12

拓展应用屋"=（〃"）"=。广。若a"=2,则=(优了=22=4。

3、（"）"=a»"（n是正整数）拓展运用a"bn=(ab)n-

4、=，­（a不为0,m,n都为正整数,且m大于n）。

拓展应用=。团+。"如若a"'=9,an=3,则a'"-"=9+3=3。

5、a°=l(a¥0)；ap=--{a0,是正整数)。如(—2)"=—二_=_

uP(—2)8

6、平方差公式（a+»（〃-/?）=〃一〃a为相同项，b为相反项。

如(—2m+n)(—2m—ri)—(—2m)2—n2=4m2—n2

7、完全平方公式(a+Z?)2=.2+2〃>+/3—力2=〃—2〃)+/

逆用：6i2-vlab+b1=(。+〃)2,片一2"+/=(a—〃)2.

如(2x-j)2=4x2-4xy+y2

8、应用式：a1+Z?2=(a+b)2-laba1+b2=(a-b)2+2ab

(a+5)2-(〃—32+4"b(4z-Z?)2=(a+b)2-4ab

两位数lOa+b三位数100a+10b+co

9、单项式与多项式相乘：m(a+b+c)=ma+mb+mco

10、、多项式与多项式相乘：(m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb。

11>多项式除以单项式的法则：(a+b+c)^-m=++

12、常用变形：(%—丁产二(丫—x)2\(x-y)2n+1=-(y-x)2n+1

知识点(三)运算：

1、常见误区：

1、-5(x2-3)-2(3x2+5)=-5x2-3-6x2+5(-5x2+15-6%2-10)；

2、la—a=1(a)；3、a2-a3=a6(<75)；

4、b4-b4=2b4(Z?8)；5、x5+x5=x10(2x5)；

6、-a^4=a4(一口)；7、(~3pq)2=-6p2q2(9p2q2)；

a,

8、a6^a3=a2(/)；9、a5^a5=0(1),(万一3.14)°=0(1)；

10、(2a+b)(2a-b)=2cr—b2((4«2-b2)；

11、(ab+8)(aZ?-8)=air—64(a-b2-64)；

12、(4x+5j)2=16x2+25y2(16%240xy+25y2)0

2、简便运算：

①公式类O.O42005x252006=O.O42005x252005x25=(0.04x25)2005x25=I2005x25=25

0.125100x2300=0.125100x(23)100=O.125100x8100=(0.125x8)100=1100=1

②平方差公式1232-124x122=1232-(123+1)(123-1)=1232-1232+1=1

③完全平方公式999?=（1000-1）2=1000000-2000+1=998001

第二章平行线与相交线

知识点（一）理论

1、若Nl+N2=90,则N1与N2互余。若N3+N4=180,则N3与N4互补。

2、同角的余角相等若Nl+N2=90,N2+N4=90.则N1=N4

等角的余角相等若Nl+N2=90,Z3+Z4=90.Z1=Z3则Z2=Z4

同角的补角相等若Nl+N2=180,Z2+Z4=180.则N1=N4

等角的补角相等若Nl+N2=180,Z3+Z4=180.Z1=Z3则Z2=Z4

3、对顶角

（1）、两条直线相交成四个角，其中不相邻的两个角是对顶角。

（2）、一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角叫做对顶角。

（3）、对顶角的性质：对顶角相等。

4、同位角、内错角、同旁内角

（1）、两条直线被第三条直线所截，形成了8个角。形成4对同位角，2对内错角，2对同

旁内角

（2）、同位角：两个角都在两条直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，这样的一

对角叫做同位角。

（3）、内错角：两个角都在两条直线之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，这样的一对

角叫做内错角。

（4）、同旁内角：两个角都在两条直线之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，这样的一

对角叫同旁内角。

5、平行线的判定方法

（1）、同位角相等，两直线平行。（2）、内错角相等，两直线平行。

（3）、同旁内角互补，两直线平行。

（4）、在同一平面内，如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线平行。

（简称为：平行于同一直线的两直线平行）

（5）、在同一平面内，如果两条直线都垂直于第三条直线，那么这两条直线平行

（简称为：垂直于同一直线的两直线平行）

6、尺规作线段和角

（1）、在几何里，只用没有刻度的直尺和圆规作图称为尺规作图。

（2）、尺规作图是最基本、最常见的作图方法，通常叫基本作图。

知识点(二)

1、万位问题

①若从A点看B是北偏东20,则从B看A是南偏西20.(南北相对；东西相对，数值不变);

②从甲地到乙地，经过两次拐弯若方向不变，则两次拐向相反，角相等；若方向相反，则两

次拐向相同，角互补。

2、光反射问题

如图若光线A0沿0B被镜面反射则

ZA0C=ZB0DZA0N=ZB0N.

第三章生活中的数据

知识点

一、单位换算

1、长度单位：(1)百万分之一米又称微米，即1微米=10-6米。

(2)10亿分之一米又称纳米，即1纳米=1()T米。(3)1微米no,纳米。

(4)1米=10分米=100厘米=103毫米=106微米=109纳米。

2、面积单位:(1)ICT千米2=1米2=102分米2=104厘米2=106毫米2=1012微米2=1018纳米2。

3、质量单位(1)1吨=1()3千克=1。6克。

二、科学计数法

1、用科学计数法表示绝对值小于1的较小数据时，可以表示为aX10"的形式，其中1WIa

I〈10,n为负整数，

2、用科学计数法表示绝对值较大数据时，可以表示为aX10。的形式，其中1WIaI<10,n

为正整数，

三、近似数与精确数

例如：考范围题目：近似数X=2.8,则X的范围是

近似数X=4.0,则X的范围是

(规律：左边为最后一位数字减5,且有等号，右边为最后一位数字后面多写一个数字5,

且没有等号)

四、有效数字

1、对于一个近似数，从左边第一个不为零的数字起，到精确到的数位为止，所

有的数字都叫这个数的有效数字。

2、对于科学计数法型的近似数，由aX10"(1WIaI<10)中的a来确定，a的有效数字就

是这个近似数的有效数字。与X10"无关。

五、近似数的精确度1、近似数的精确度是近似数精确的程度。2、近似数四舍五入到哪一位,

就说这个近似数精确到哪一位。3、精确度是由该近似数的最后一位有效数字在该数中所

处的位置决定的。

例如：2.10万精确到位，有效数字个，分别是

2.1x104精确到位,有效数字个，分别是

六、统计图（表）

1、条形统计图：能清楚地表示出每个项目的具体数目。

2、折线统计图：能清楚地反映事物的变化情况。

3、扇形统计图：能清楚地表示出各部分在总体中所占的百分比。

4、象形统计图：能直观地反映数据之间的意义。

第四章概率

知识点

一、事件：

1、事件分为必然事件、不可能事件、不确定事件。

2、必然事件：事先就能肯定一定会发生的事件。也就是指该事件每次一定发生，不可能不

发生，即发生的可能是100%（或1）。

3、不可能事件：事先就能肯定一定不会发生的事件。也就是指该事件每次都完全没有机会

发生，即发生的可能性为零。

4、不确定事件：事先无法肯定会不会发生的事件，也就是说该事件可能发生，也可能不发

生，即发生的可能性在0和1之间。

二、等可能性：是指几种事件发生的可能性相等。

1、概率：是反映事件发生的可能性的大小的量，它是一个比例数，一般用P来表示，P（A）

=事件A可能出现的结果数/所有可能出现的结果数。

2、必然事件发生的概率为1,记作P（必然事件）=1；

3、不可能事件发生的概率为0,记作P（不可能事件）=0；

4、不确定事件发生的概率在0—1之间，记作0〈P（不确定事件）＜1。

5、概率的计算：（1）直接数数法：即直接数出所有可能出现的结果的总数n,再数出事件A

可能出现的结果数m,利用概率公式P（A）=詈直接得出事件A的概率。（2）对于较复杂的

题目，我们可采用“列表法”或画“树状图法”。

四、几何概率

1、事件A发生的概率等于此事件A发生的可能结果所组成的面积（用，表示）除以所有可能

结果组成图形的面积（用S至表示），所以几何概率公式可表示为P（A）=S/S金，这是因

为事件发生在每个单位面积上的概率是相同的。

2、求几何概率：（1）首先分析事件所占的面积与总面积的关系；

（2）然后计算出各部分的面积；

（3）最后代入公式求出几何概率。

第五章三角形

知识点一理论整理。

1、三角形一由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形。

2、判断三条线段能否组成三角形。

①a+b〉c（ab为最短的两条线段）

②a-b〈c（ab为最长的两条线段）

3、第三边取值范围：a-b<c<a+b如两边分别是5和8则第三边取值范围为3〈x〈13.

4、对应周长取值范围

若两边分别为a,b则周长的取值范围是2a<L<2（a+b）a为较长边。

如两边分别为5和7则周长的取值范围是14<L<24.

5、三角形中三角的关系

（1）、三角形内角和定理：三角形的三个内角的和等于180°。

n边行内角和公式（n-2）xlO8°

（2）、三角形按内角的大小可分为三类：

（1）锐角三角形，即三角形的三个内角都是锐角的三角形；

（2）直角三角形，即有一个内角是直角的三角形，我们通常用“RtA”表示“直角三角

形”，其中直角NC所对的边AB称为直角三角表的斜边，夹直角的两边称为直角三角形

的直角边。注：直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余。

（3）钝角三角形，即有一个内角是钝角的三角形。

（3）、判定一个三角形的形状主要看三角形中最大角的度数。

（4）、直角三角形的面积等于两直角边乘积的一半。

6、三角形的三条重要线段

（1）、三角形的角平分线：

1、三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段

叫做三角形的角平分线。

2、任意三角形都有三条角平分线，并且它们相交于三角形内一点。（内心）

（2）、三角形的中线：

1、在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线。

2、三角形有三条中线，它们相交于三角形内一点。（重心）

3、三角形的中线把这个三角形分成面积相等的两个三角形

（3）、三角形的高线：（1）从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线做垂线，顶点和垂足

之间的线段叫做三角形的高线，简称为三角形的高。（2）任意三角形都有三条高线，它们

所在的直线相交于一点。（垂心）（3）注意等底等高知识的考试

7、相关命题：

1、三角形中最多有1个直角或钝角，最多有3个锐角，最少有2个锐角。

2、锐角三角形中最大的锐角的取值范围是60WX〈90o最大锐角不小于60度。

3、任意一个三角形两角平分线的夹角=90+第三角的一半。

4、钝角三角形有两条高在外部。

5、全等图形的大小（面积、周长）、形状都相同。

6、面积相等的两个三角形不一定是全等图形。

7、能够完全重合的两个图形是全等图形。

8、三角形具有稳定性。

9、三条边分别对应相等的两个三角形全等。

10、三个角对应相等的两个三角形不一定全等。

11、两个等边三角形不一定全等。

12、两角及一边对应相等的两个三角形全等。

13、两边及一角对应相等的两个三角形不一定全等。

14、两边及它们的夹角对应相等的两个三角形全等。

15、两条直角边对应相等的两个直角三角形全等。

16、一条斜边和一直角边对应相等的两个三角形全等。

17、一个锐角和一边（直角边或斜边）对应相等的两个三角形全等。

18、一角和一边对应相等的两个直角三角形不一定全等。

19、有一个角是60的等腰三角形是等边三角形。

8、全等图形

1、两个能够重合的图形称为全等图形。

2、全等图形的性质：全等图形的形状和大小都相同。

9、全等三角形

1、能够重合的两个三角形是全等三角形，用符号“名”连接，读作“全等于”。

2、用“话”连接的两个全等三角形，表示对应顶点的字母写在对应的位置上。

10、全等三角形的判定

1、三边对应相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS”。

2、两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简写为“角边角”或“ASA”。

3、两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简写为“角角边”或“AAS”。

4、两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写为“边角边”或“SAS”。

n、做三角形（3种做法：已知两边及夹角、已知两角及夹边、已知三边、已知两角及一边

可以转化为已知已知两角及夹边）。

12、利用三角形全等测距离；

13、、直角三角形全等的条件：在直角三角形中，斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角

形全等，简写成“斜边、直角边”或“HL”。

第六章变量之间的关系

一理论理解

1、若Y随X的变化而变化，则X是自变量Y是因变量。

自变量是主动发生变化的量，因变量是随着自变量的变化而发生变化的量，数值保持不变的

量叫做常量。

自变量因变量

联系1、两者都是某一过程中的变量;；2、两者因研究的侧重点或先后顺序不同可

以互相转化。

区别先发生变化或自主发生变化后发生变化或随自变量变化而变化的量

的量

2、能确定变量之间的关系式：相关公式①路程=速度X时间②长方形周长=2X（长+宽）

③梯形面积=（上底+下底）X高+2④本息和=本金+利率X本金X时间。⑤总价=单价X

总量。⑥平均速度=总路程！总时间

3、若等腰三角形顶角是y,底角是x,那么y与x的关系式为y=180-2x.

二、列表法：采用数表相结合的形式，运用表格可以表示两个变量之间的关系。列表时要选

取能代表自变量的一些数据，并按从小到大的顺序列出，再分别求出因变量的对应值。列表

法最大的特点是直观，可以直接从表中找出自变量与因变量的对应值，但缺点是具有局限性,

只能表示因变量的一部分。

三.关系式法：关系式是利用数学式子来表示变量之间关系的等式，利用关系式，可以根据任

何一个自变量的值求出相应的因变量的值，也可以已知因变量的值求出相应的自变量的值。

四、图像注意：a.认真理解图象的含义，注意选择一个能反映题意的图象；b.从横轴和纵

轴的实际意义理解图象上特殊点的含义（坐标），特别是图像的起点、拐点、交点

五、两种图彖的区别平行于田由的线段的含义

IV一七（速度与时间）

说明=线段OA表示汽车正在加速行驶，线段AB表示汽车ZE在均速行驶O不

变：h

线段BC表示汽车正在彼速行驶；线段CD表示汽车停止了CkO）.

2.S-tC星巨福月时恒D

说明二线段OA表示汽车正在高开出发地；线段AB表示汽车汽车停止了Cv=O,

S不变）；

线段BC表示汽车EE在返回出发地，线段CD表示汽车己名至回到出友

地弁停止了Cs=o,v=o）.

注意：理解平行于横车由的线段的不同含义C在这段时间内因变量不变）.

六、变化速度的匕*

在相同的时间内因变量变化速度的比较,明B一支图象至陡一些，这支图象

代表的因变量变化会更,央一些。

L士^K速度

丫八甲

甲图象更陡，所以甲增长的更快.

2下降速度

甲图彖更陡，所以甲下降的更,史.

七、编得实际背景

结合图象的变化埴势，编写一畏合情合理的实际背景.持另IJ要注意的是编

耳内容必须紧扣“变化趋势”和“合•情合理”即符合实际情况。

八、事物变化趋势的描述：对事物变化趋势的描述一般有两种：

1.随着自变量x的逐渐增加（大），因变量y逐渐增加（大）（或者用函数语言描述也可:

因变量y随着自变量x的增加（大）而增加（大））；

2.随着自变量x的逐渐增加（大），因变量y逐渐减小（或者用函数语言描述也可：因

变量y随着自变量x的增加（大）而减小）.

注意：如果在整个过程中事物的变化趋势不一样，可以采用分段描述.例如在什么范围内

随着自变量X的逐渐增加（大），因变量y逐渐增加（大）等等.

九、估计（或者估算）对事物的估计（或者估算）有三种：

1.利用事物的变化规律进行估计（或者估算）.例如：自变量x每增加一定量，因变量y

的变化情况；平均每次（年）的变化情况（平均每次的变化量=（尾数一首数）/次数或相差

年数）等等；

2.利用图象：首先根据若干个对应组值，作出相应的图象，再在图象上找到对应的点对应

的因变量y的值；

3.利用关系式：首先求出关系式，然后直接代入求值即可.

第七章生活中的轴对称

1、轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个

图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。

2、轴对称：对于两个图形，如果沿一条直线对折后，它们能互相重合，那么称这两个图形成

轴对称，这条直线就是对称轴。可以说成：这两个图形关于某条直线对称。

3、轴对称图形与轴对称的区别：轴对称图形是一个图形，轴对称是两个图形的关系。

联系：它们都是图形沿某直线折叠可以相互重合。

2、成轴对称的两个图形一定全等。

3、全等的两个图形不一定成轴对称。

4、对称轴是直线。

5、角平分线的性质1、角平分线所在的直线是该角的对称轴。

2、性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

6、线段的垂直平分线

1、垂直于一条线段并且平分这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线，又叫线段的中

垂线。

2、性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等。

7、轴对称图形有：

等腰三角形（1条或3条）、等腰梯形（1条）、长方形（2条）、菱形（2条）、正方形（4条）、

圆（无数条）、线段（1条）、角（1条）、正五角星。

8、等腰三角形性质：

①两个底角相等。②两个条边相等。③“三线合一”。

④底边上的高、中线、顶角的平分线所在直线是它

的对称轴。

9、①“等角对等边"VZB=ZC.\AB=AC

②“等边对等角”AB=ACAZB=ZC

A

10、角平分线性质：

角平分线上的点到角两边的距离相等。A

B

：0A平分NCAD0E，AC,0F，AD.，.0E=0FFD*

n、垂直平分线性质：垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。

•.•0C垂直平分AB/.AC=BC

12、轴对称的性质C

1、两个图形沿一条直线对折后，能够重合的点称为对应点（对称点），能够重合的线段

称为对应线段，能够重合的角称为对应角。2、关于某条直线对称的两个图形是全等图形。

2、如果两个图形关于某条直线对称，那么对应点所连的线段被对称轴垂直平分。

3、如果两个图形关于某条直线对称，那么对应线段、对应角都相等。

13、镜面对称

1.当物体正对镜面摆放时，镜面会改变它的左右方向；

2.当垂直于镜面摆放时，镜面会改变它的上下方向；

3.如果是轴对称图形，当对称轴与镜面平行时，其镜子中影像与原图一样；

学生通过讨论，可能会找出以下解决物体与像之间相互转化问题的办法：

（1）利用镜子照（注意镜子的位置摆放）；（2）利用轴对称性质；

（3）可以把数字左右颠倒，或做简单的轴对称图形；

（4）可以看像的背面；（5）根据前面的结论在头脑中想象。

北师大版八年级数学上册教学大纲

第一章勾股定理

※勾股定理：直角三角形两直角边的平和等于斜边的平方。即：片+4=02。

勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a,b,c满足/+〃=。2,那么这个三角

形是直角三角形。

满足条件。的三个正整数，称为勾股数。

常见的勾股数组有：（3,4,5）；（5,12,13）；（7,24,25）；（8,15,17）；

（9,40,41）；（20,21,29）；……（这些勾股数组的倍数仍是勾股数）

第二章实数

1.※平方根和算术平方根的概念及其性质：

（1）概念：如果好=口，那么x是a的平方根，记作：±G；其中&叫做a的算

术平方根。

（2）性质：①当「20时，&2O；当a<0时，&无意义；

②（&『二a；

③A/^~=同O

及

其

概

根

方念

2_A.

・_\^

心

勃

)概

/1z若3

VX

\那么x是a的立方根，记作：网;

性

即=a

l①

2za;

②

-。.

③，

=-加

3.※实数的概念及其分类:

（1）概念：实

自然数(0,1,2,3-)数是有理数和

整数无理数的统

负整数

(-L-2,-3…)称；

有理数正分数g,|...）（整数.有限小数,无限循环小物（2）分类：按

分数（小数），定义分为有理

负分数（一1_[・•.）数可分为整数

乙◊的分数；按性

质分为正数、

[正有理数负数和零。

无理数（无限不循环小数）

负有理数

无理数就是无

限不循环小数；小数可分为有限小数、无限循环小数和无限不循环小

数；其中有限小数和无限循环小数称为分数。

4.与实数有关的概念：在实数范围内，相反数，倒数，绝对值的意义与有理

数

范围内的意义完全一致；在实数范围内，有理数的运算法则和运算律同样成立。

每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表

示一个实数，即实数和数轴上的点是一一对应的。因此，数轴正好可以被实数

填满。

第三章图形的平移与旋转

平移：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定距离，这样的图形运动称为

平移。

平移的基本性质：经过平移，对应线段、对应角分别相等；对应点所连的线段

平行且相等。

旋转：在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图

形运动称为旋转。

这个定点叫旋转中心，转动的角度叫旋转角。

旋转的性质：旋转后的图形与原图形的大小和形状相同；

旋转前后两个图形的对应点到旋转中心的距离相等；

对应点到旋转中心的连线所成的角度彼此相等。

第四章四平边形性质探索

※平行四边的定义：两线对边分别平行的四边形叫做平行四边形，平行四边形

不相邻的两顶点连成的线段叫做它的对鹿殖。

※平行四边形的性质：平行四边形的对边相等,对角相等,对角线互相平分。

※平行四边形的判别方法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。

※平行线之间的距离：若两条直线互相平行，则其中一条直线上任意两点到另

一条直线的距离相等。这个距离称为平行线之间的距离。

※菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

※菱形的性质：具有平行四边形的性质，且四条边都相等,两条对角线互相垂直

平分,每一条对角线平分一组对角。

菱形是轴对称图形，每条对角线所在的直线都是对称轴。

※菱形的判别方法：一组邻边相等的平行四边形是菱形。

对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

四条边都相等的四边形是菱形。

※矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫矩形。矩形是特殊的平行四边

形。

※矩形的性质：具有平行四边形的性质，且对角线相等，四个角都是直角。（矩

形是轴对称图形，有两条对称轴）

※矩形的判定：有一个内角是直角的平行四边形叫矩形（根据定义）。

对角线相等的平行四边形是矩形。

四个角都相等的四边形是矩形。

推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

※正方形的定义：一组邻边相等的矩形叫做正方形。

※正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。（正方形是

轴对称图形，有两条对称轴）

※正方形常用的判定：

有一个内角是直角的菱形是正方形；

邻边相等的矩形是正方形；

对角线相等的菱形是正方形；

对角线互相垂直的矩形是正方形。

正方形、矩形、菱形和平行边形四者之间的关系（如图所示）:

※梯形定义：一组对边平行且另一组对边不平行的四边形叫做梯形。

※两条腰相等的梯形叫做等腰梯形。

※一条腰和底垂直的梯形叫做直角梯形。

※等腰梯形的性质：等腰梯形同一底上的两个内角相等，对角线相等。

同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形。

※多边形内角和：n边形的内角和等于（n-2）-180°

※多边形的外角和都等于360。

※在平面内，一个图形绕某个点旋转180。，如果旋转前后的图形互相重合，那

么这个图开叫做史心对称图形。

※中心对称图形上的每一对对应点所连成的线段被对称中心平分。

第五章位置的确定

※平面直角坐标系概念：在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平

面直角坐标系，水平的数轴叫x轴或横轴；铅垂的数轴叫y轴或纵轴，两数轴的

交点。称为原点。

※点的坐标：在平面内一点P,过P向x轴、y轴分别作垂线，垂足在x轴、y轴上

对应的数a、b分别叫P点的横坐标和纵坐标，则有序实数对（a、b）

叫做P点的坐标。

※如何根据已知条件建立适当的直角坐标系？

根据已知条件建立坐标系的要求是尽量使计算方便，一般地没有明确的方法,

但有以下几条常用的方法：①以某已知点为原点，使它坐标为（0,0）；②以图

形中某线段所在直线为X轴（或y轴）；③以已知线段中点为原点；④以两直线

交点为原点；⑤利用图形的轴对称性以对称轴为y轴等。

※图形“纵横向伸缩”的变化规律：

A、将图形上各个点的坐标的纵坐标不变，而横坐标分别变成原来的n倍时，所

得的图形比原来的图形在横向：①当n>l时，伸长为原来的n倍；②当0<n〈l

时，压缩为原来的n倍。

B、将图形上各个点的坐标的横坐标不变，而纵坐标分别变成原来的n倍时，所

得的图形比原来的图形在纵向：①当n〉l时，伸长为原来的n倍；②当0<n〈l

时，压缩为原来的n倍。

※图形“纵横向位置”的变化规律：

A、将图形上各个点的坐标的纵坐标不变，而横坐标分别加上a,所得的图形形

状、大小不变，而位置向右（a〉0）或向左（a〈0）平移了|a|个单位。

B、将图形上各个点的坐标的横坐标不变，而纵坐标分别加上b,所得的图形形

状、大小不变，而位置向上（b〉0）或向下（b〈0）平移了|b|个单位。

※图形“倒转与对称”的变化规律：

A、将图形上各个点的横坐标不变，纵坐标分别乘以T,所得的图形与原来的

图形关于x轴对称。

B、将图形上各个点的纵坐标不变，横坐标分别乘以T,所得的图形与原来的

图形关于y轴对称。

※图形“扩大与缩小”的变化规律：

将图形上各个点的纵、横坐标分别变原来的n倍（n>0）,所得的图形与原图形

相比，形状不变；

①当n>l时，对应线段大小扩大到原来的n倍；

②当0<n〈l时，对应线段大小缩小到原来的n倍。

第六章一次函数

※一次函数：若两个变量x,y间的关系式可以表示成丫=1^+1）e£0）的形式,则称y

是x的一次函数（x为自变量,y为因变量）。特别地，当b=0时，称y是x的正比例函

数。

※正比例函数y=kx的图象是经过原点（0,0）的一条直线。

派一次函数图像的性质：

当k>0时,y随x的增大而增大；当k〈0时,y随x的增大而减小。

>o

ko

>0-

<O

第七章二元一次方程组

※含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方

程。两个一次方程所组成的一组方程叫做二元二次方程组。

※解二元一次方程组：①代入消元法；②加减消元法

（无论是代入消元法还是加减消元法，其目的都是将“二元一次方程”变为“一

元一次方程”，所谓之“消元”）

※在利用方程来解应用题时，主要分为两个步骤：

①设未知数（在设未知数时，大多数情况只要设问题为x或y；但也有时也须

根据已知条件及等量关系等诸多方面考虑）；

②寻找等量关系（一般地，题目中会含有一表述等量关系的句子，只须找到

此句话即可根据其列出方程）。

派处理问题的过程可以进一步概括为：

问题勰-方程绚求解

一解答

第八章数据的代表

※加权平均数：一组数据占'工2，・一£的权分加为叱，叱，…得，则称

X"+々叫+…+居吗

"+叫+•••+”,为这n个数的加权平均数。

（如：对某同学的数学、语文、科学三科的考查，成绩分别为72,50,88,而三

72x4+50x3+88x1

项成绩的“权”分别为4、3、1,则加权平均数为：4+3+1）

※中位数：一般地，n个数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据（或最中间两个数

据的平均数）叫做这组数据的空位数。

※众数：一组数据中出现次数最多的那个数据叫做这组数据的众数。

※众数着眼于对各数据出现次数的考察，中位数首先要将数据按大小顺序排列，而且要注意

当数据个数为奇数时，中间的那个数据就是中位数；当数据个数为偶数时，居于中间的两

个数据的平均数才是中位数，特别要注意一组数据的平均数和中位数是唯一的，但众数则

不一定是唯一的。

北师大版八年级数学下册教学大纲

第一章一元一次不等式和一元一次不等式组

一、一般地，用符号（或M）（或">'）连接的式子叫做不等式。

1、能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解.

2、不等式的解不唯一，把所有满足不等式的解集合在一起，构成不等式的解

集.

3、求不等式解集的过程叫解不等式.

4、由几个一元一次不等式组所组成的不等式组叫做一元一次不等式组

5、不等式组的解集：一元一次不等式组各个不等式的解集的公共部分。

6、等式基本性质1：在等式的两边都加上（或减去）同一个数或整式，所得

的结果仍是等式.

基本性质2：在等式的两边都乘以或除以同一个数（除数不为0）,所得

的结果仍是等式.

二、不等式的基本性质1：