北师大版八年级数学下册教案全册教学设计

北师大版八年级数学下册教案（完整版）全册教学设计

第一章

1等腰三角形

第1课时三角形的全等和等腰三角形的性质

教学目标

一、基本目标

1.了解作为证明基础的8条公理的内容.

2.使学生经历“探索一一发现一一猜想一一证明”的过程，学会用综合法证明等腰三

角形的有关性质定理.

3.让学生学会分析几何证明即的思路，并掌握证明的基本步骤和书写格式.

4.经历作辅助线的证明过程，进一步发展学生的合情推理意识，培养主动探究的习惯，

体会数学与现实生活的紧密联系.

二、重难点目标

【教学重点】

等腰三角形的性质及推论.

【教学难点】

运用等腰三角形的性质及推论解决相关问题及证明的书写格式.

教学过程

环节1自学提纲，生成问题

[5〃〃力阅读】

阅读教材P2〜P3的内容，完成下面练习.

[3如力反馈】

1.两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等.

2.全等三角形的对应边相等、对应角相等.

3.等腰三角形的两底角相等，简述为：等边对等角.

4.等腰三角形“三线合一”：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线

互相重合.

5.如图，已知N1=N2,则不一定能使△力即且△力切的条件是！B）

A.BD=CD

B.AB=AC

C.

D.NBAD=4CAD

6.如图，△ABC^XCDA、那么下列结论错误的是（D）

A.N1=N2B.AC=CA

C.NP=N8D.AC=BC

环节2合作探究，解决问题

活动1小组讨论（师生互学）

【例1】如图,AB=AC=AD,若NBAD=80°,则NBCD=（）

C.140°D.160°

【互动探索】（引发学生思考）由边相等可以得到什么？这与NBCD有什么关系？

【分析丁・・NBAD=80°,・・・NB+NBCD+ND=360°—NBAD=280°.又・.・AB=AC=AD,

AZB=ZACB,ZACD=ZD,/.ZBCD=ZACB+ZACD=280°4-2=140°.

【答案】C

【互动总结】（学生总结，老师点评）求角的度数时，需根据实际情况分析：（1）在等腰

三角形中，要考虑三角形内角和定理；（2）有平行线时，要考虑平行线的性质：两直线平行,

同位角相等，内错角相等，同旁内角互补；（3）两条相交直线中，对顶角相等，互为邻补角

的两角之和等于180°.

【例2】等腰三角形的一个角等于30°,求它其余两角的度数.

【互动探索】（引发学生思考）等腰三角形的角有什么特征？已知角是顶角还是底角？

【解答】分情况讨论：

当底角为30°时，顶角度数为180。-2X30°=120°；

当顶角为30°时，底角度数为（180°-30°）4-2=75°.

综上，该等腰三角形其余两角的度数为30°,120°或75°,75°.

【互动总结】（学生总结，老师点评）己知的一个锐角可以是等腰三角形的顶角，也可以

是底角；一个钝角只能是等腰三角形的顶角.分类讨论是正确解答本题的关键.

活动2巩固练习（学生独学）

1.至少有两边相等的三角形是（B）

A.等边三角形B.等腰三角形

C.直角三角形D.锐角三角形

2.在AABC中，若AB=AC,ZA=44°,则NB=68度.

3.已知等腰三角形两条边的长分别是3和6,则它的周长等于15.

4.如图所示，已知AB=AC,FD_LBC于点D,DEJ_AB于点E,若NAFD=145°,则NEDF

=55度.A

HXXD€.

5.如图所示，点D是AABC内一点，AB=AC,/1=N2.求证：AD平分NBAC.

A

程

证明：VZ1=Z2,ABD=DC.VAB=AC,AD=AD,AAADB^AADC,AZBAD=ZCAD,

即AD平分NBAC.

活动3拓展延伸（学生对学）

【例3】如图，在AABC中，已知AB=AC,NBAC和NACB的平分线相交于点D,ZADC

=125°.求NACB和NBAC的度数.

【互动探索】根据等腰三角形“三线合一”可得AEJJ3C-求出NCDE-根据“直角三角

形两锐角互余”求出NDCE一根据角平分线的定义求出NACB一根据“等腰三角形两底角相等”

列式求出NBAC.

【解答】'・・AB=AC,AE平分NBAC,AAE1BC.VZADC=125°,AZCDE=180°-N

ADC=55°,.\ZDCE=90o-NCDE=35°.又・.・CD平分NACB,/.ZACB=2ZDCE=70°

AB=AC,・・・NB=NACB=70°,.\ZBAC=180°-（ZB+ZACB）=40".

【互动总结】（学生总结，老师点评）利用等腰三角形“三线合一”的性质进行计算，有

两种类型：一是求边长，求边长时应利用等腰三角形底边上的中线与其他两线互相重合；二

是求角度的大小，求角度时，应利用等腰三角形的顶角平分线或底边上的高与其他两线互相

重合.

环节3课堂小结，当堂达标

（学生总结，老师点评）

1.两三角形全等的判定：AAS.ASA.SSS、SAS.

性质定理：等边对等角

2.等腰三角形

三线合一

练习设计

请完成本课时对应练习!

第2课时等边三角形的性质

教学目标

一、基本目标

1.进一步学习等腰三角形的相关性质，了解等腰三角形两底角的平分线（两腰上的高、

中线）的性质.

2.学习等边三角形的性质，并能够运用其解决问题.

3.把等腰二角形与等边二角形的性质进行比较.体会等腰二角形和等边二角形的相同

之处和不同之处.

二、重难点目标

【教学重点】

等腰三角形、等边三角形的相关性质.

【教学难点】

等腰三角形、等边三角形的相关性质的应用.

教学过程

环节1自学提纲，生成问题

【5min阅读】

阅读教材〜P6的内容，完成下面练习.

（3卬力7反馈】

1.等腰三角形两个底角的平分线相等；等腰三角形两腰上的高杓等；等腰三角形两腰

上的中线相等.

2.等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°.

3.一个等腰非等边三角形中，它的角平分线、中线及高线的条数共为（重合的算一

条）（B）

A.9B.7

C.6D.5

4.等腰三角形一腰上的高与底边所成的角等于（B）

A.顶角B.顶角的一半

C.顶角的2倍D.底角的一半

环节2合作探究，解决问题

活动1小组讨论（师生互学）

【例1】如图，在AABC中，AB=AC,CDJ_AB于点D,BEJ_AC于点E,求证：DE〃BC.

【互动探索】（引发学生思考）要证DE//BC,需证/ADE=NABC,从而结合已知条件考

虑证△BEC04CDB即可.

【证明】・.・AB=AC,,・・NABC=NACB.又・.・CDJ_AB于点D,BE_LAC于点E,，NAEB=N

ADC=90°,AZABE=ZACD,AZABC-ZABE=ZACB-ZACD,AZEBC=ZDCB.2EABEC

ZBEC=ZCDB,

和4CDB中，V5ZEBC=ZDCB,/.ABEC^ACDB,ABD=CE,.\AB-BD=AC-CE,

BC=CB,

即AD=AE,・・.NADE=NAED.又TNA是aADE和AABC的顶角，/.ZADE=ZABC,ADE/ZBC.

【互动总结】（学生总结，老师点评）等腰三角形两底角的平分线相等，两腰上的中线相

等，两腰上的高相等.

【例2】如图，△ABC是等边三角形，E是AC上一点，I）是BC延长线上一点，连结BE、

DE.若NABE=40°,BE=DE,求NCED的度数.

【互动探索】（引发学生思考）由AABC是等边三角形可以得到哪些结论？如何利用这些

结论求NCED?

【解答】:△ABC是等边三角形，.・・NABC=NACB=60°.VZABE=40°,/.ZEBC=

ZABC-ZABE=20°.VBE=DE,AZD=ZEBC=20°,AZCED=ZACB-ZD=40°.

【互动总结】（学生总结，老师点评）等边三角形是特殊的三角形，它的三个内角都是

60°,这个性质常常应用在求三角形角度的问题上，所以必须熟练掌握.

活动2巩固练习（学生独学）

1.如图，在四边形ABCD中,AC、BD为对角线,AB=BC=AC=B1）,则/ADC的大小为（D）

A.120°B.135°

C.145°D.1500

BPC

第2题

2.如图所示，Z\ABC为等边三角形，AQ=PQ,PR=PS,PR_LAB于点R,PS_LAC于点S,

则下列四个结论正确的是（A）

①点P在NBAC的平分线上；②AS=AR；③QP〃AR；®ABRP^ACSP.

A.全部正确B.仅①和②正确

。.仅②和③正确D.仅①和③正确

3.已知等腰三角形一腰的垂直平分线与另一腰所在直线的夹角为40°,则此等腰三角

形的顶角为50°或130。.

4.如图所示，已知l〃m,等边三角形ABC的顶点B在直线m上，边BC与直线m所夹

锐角为20。，求Na的度数.

解：如题图，过点C作CE〃直线m.Al/ZmZ/CE,AZACE=Za,ZBCE=Z

CBF=20°.在等边三角形ABC中，ZACB=60°,AZa+ZCBF=ZACB=60°,/.Za=

40°.

5.如图，AABC为正三角形，点M是边BC上任意一点，点N是边CA上任意一点，且

BM=CN,BN与AM相交于点Q,求NBQM的度数.

RM

解：:△ABC为正三角形，・・・NABC=NC=NBAC=60°,AB=BC在△AMB和△BNC中，

AB=BC,

V*ZABM=ZC,/.AAMB^ABNC,/.ZBAM=ZCBN,AZBQM=ZABQ+ZBAM=ZABQ

BM=CN,

+ZCBN=ZABC=60°.

活动3拓展延伸（学生对学）

【例3】如图，已知等边aABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，且CE=

CD,DM±BC,垂足为M,求证：BM=EM.

A

【互动探索】要证BM=EM,由题意证△BDMgZXEDM即可.

【证明】连结BD.•・•在等边aABC中，D是AC的中点，・・・NABC=NACB=60°,・・・NDBC

=|ZABC=3O°.VCE=CD,AZCDE=ZE.VZACB=ZCDE+ZE,Z.ZE=30o,AZDBC

=NE=30°.VDM±BC,:,ZDMB=ZDME=900.在△DMB和△DME中，•:

ZDMB=ZDME,

，ZDBM=ZE,/.△DMB^ADME,.\BM=EM.

.DM=DM,

【互动总结】（学生总结，老师点评）证明线段相等可以利用三角形全等得到.此外，要

明确等边三角形是特殊的等腰三角形，所以等腰三角形的性质完全适合等边三角形.

环节3课堂小结，当堂达标

（学生总结，老师点评）

1.等腰三角形两底角的平分线相等，等腰三角形两腰上的高相等；等腰三角形两腰上

的中线相等.

2.等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°.

练习设计

请完成本课时对应练习！

第3课时等腰三角形的判定与反证法

教学目标

一、基本目标

1.理解等腰三角形的判定定理，并会运用其进行简单的证明.

2.了解反证法的基本证明思路，培养学生的逆向思维能力，并能简单应用.

二、重难点目标

【教学重点】

掌握等腰三角形的判定定理.

【教学难点】

利用反证法进行证明.

教学过程

环节1自学提纲，生成问题

[5min阅读】

阅读教材/B〜P9的内容，完成下面练习.

（3加〃反馈】

1.有两个角相等的三角形是等腰三角形，简述为：等角对等边.

2.先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相

矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立，这种证明方法称为反证法.

3.用反证法证明命题“一个三角形的三个外角中，至多有一个锐角”的第一步是假设

三角形的三个外角中，有两个锐角.

4.如图所示，在△力%中，ZJ=36°,AB=AC,勿是△力回的角平分线.若在边力8

上截取BE=BC,连结庞；则图中等腰三角形共有（D）

A

A.2个B.3个

C.4个D.5个

环节2合作探究，解决问题

活动1小组讨论（师生互学）

【例1】如图，在aABC中，ZACB=90°,CD是AB边上的高，AE是NBAC的平分线,

AE与CD交于点F,求证：4CEF是等腰三角形.

【互动探索】（引发学生思考）要证ACEF是等腰三角形，结合已知条件考虑证明CE=CF

即可.

【证明】•.•在AABC中，ZACB=90°,AZB4-ZBAC=90°.;CD是AB边上的高，:.

NACD+ZBAC=90°,:.ZB=ZACD.VAE是NBAC的平分线，:.ZBAE=ZEAC.又tZB+

ZBAE=ZAEC,ZACD+ZEAC=ZCFE,/.ZCEF=ZCFE,ACE=CF,AACEF是等腰三角

形.

【互动总结】（学生总结，老师点评）“等角对等边”是判定等腰三角形的重要依据，是

先有角相等再有边相等，只限于在同一个三角形中，若在两个不同的三角形中，此结论不一

定成立.

【例2】求证：AABC中不能有两个钝角.

【互动探索】（引发学生思考）用反证法证明时，假设什么？

【证明】假设AABC中能有两个钝角，不妨设NAV90°,ZB>90°,ZC>90°,

所以NA+NB+NC>180°,

这与三角形的内角和为180°矛盾，所以假设不成立，

因此原命题正确，即AABC中不能有两个钝角.

【互动总结】（学生总结，老师点评）反证法的步骤：（1）假设结论不成立；（2）从假设出

发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立.在假设结论不成立时要注意考虑结论反面的所

有可能的情况.如果只有一种，那么否定一种就可以了；如果有多种情况，则必须一一否定.

活动2巩固练习（学生独学）

1.用反证法证明命题"三角形中必有一个内角小于或等于60°"时，首先应假设这个

三角形中（C）

A.有一个内角大于60°

B.有一个内角小于60。

C.每一个内角都大于60°

D.每一个内角都小于60°

2.在等腰梯形力腼中，4ABe=24ACB,BD平■分/ABC,BC,则图中的等腰三角

形有（D）

A.1个B.2个

C.3个D.4个

3.如图，在4X3的正方形网格中，点A、B分别在格点上，在图中确定格点C,则以A、

B、C为顶点的等腰三角形有3个.

4.用反证法证明等腰三角形的底角必为锐角.

证明：不妨设等腰三角形aABC中，NA为顶角，则分情况证明.①设/B、NC都是直

角，则NB+NC=180°,故NA+NB+NC=180°+NA>180°,这与三角形内角和等于

180°矛盾；②设NB、ZC都是钝角，则NB+NC>180°,故/A+NB+NC>180°,这

与三角形内角和等于180°矛盾.综上所述，假设①②错误，所以NB、NC只能为锐角，即

等腰三角形的底角必为锐角.

5.如图所示，D为AABC的边AB的延长线上一点，过点D作DFJ_AC,垂足为点F,交

BC于点E,且BD=BE,求证：ZXABC是等腰三角形.

证明：VDF1AC,/.ZDFA=ZEFC=90°,，NA+ND=90°,ZC+Z1=9O°,AZ

A+ZD=ZC+Z1.VBD=BE,AZ2=ZD.VZ1=Z2,AZ1=ZD,AZA+ZD=ZC+

ND,/.ZA=ZC,/.AB=BC,...△ABC是等腰三角形.

活动3拓展延伸（学生对学）

【例3】如图，在aABC中，AB=AC,点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE=CF,

BD=CE.

（1）求证：4DEF是等腰三角形；

（2）当NA=50°时，求NDEF的度数.

【互动探索】（1）根据“等边对等角”可得/B=NC,从而利用“边角边”证明4BDE

^△CEF,进而根据“全等三角形对应边相等"可得DE=EF,即可证得结论；（2）根据“全

等三角形对应角相等”可得NBDE=NCEF,从而得到NBED+NCEF=NBED+NBDE,再利用

三角形的外角定理求出NB=NDEF,进而求出NDEF.

BD=CE,

【解答】（1）证明：VAB=AC,AZB=ZC.ffiABDE^UACEFZB=ZC,:.

_BE=CF,

△BDE^ACEF,ADE=EF,六Z^DEF是等腰三角形.

（2）VABDE^ACEF,AZBDE=NCEF,NBED+NCEF=ZBED4-ZBDE.VNB+NBDE

=NDEF+NCEF,AZB=ZDEF.VZA=50°,AB=AC,AZB=1x（180°一NA）=65°,

.,.ZDEF=65°.

【互动总结】（学生总结，老师点评）等腰三角形提供了很多相等的线段和相等的角，判

定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段.

环节3课堂小结，当堂达标

（学生总结，老师点评）

1.等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）.

2.反证法的步骤：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾：（3）假设不成立，则

结论成立.

练习设计

请完成本课时对应练习！

第4课时

等边三角形的判定及含30°角的直角三角形的性质

教学目标

一、基本目标

1.理解等边三角形的判定定理及其证明，理解含有30°角的直角三角形性质及其证明，

并能利用这些定理解决一些简单的问题.

2.经历运用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，建立初步的符号感，发展

抽象思维.

二、重难点目标

【教学重点】

等边三角形判定定理的发现与证明.

【教学难点】

理解并掌握含30°角直角三角形的性质，能灵活运用其解决有关问题.

教学过程

环节1自学提纲，生成问题

[5min阅读】

阅读教材n0〜P12的内容，完成下面练习.

【3〃〃力反馈】

1.三个角都相等的三角形是等边三角形：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角

形.

2.在直角三角形中，如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.

3.等边三角形中，两条中线所夹的钝角的度数为（A）

A.120°B.1300

C.150°D.160°

4.下列三角形：①有两个角等于60°；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个外

角（每个顶点处各取••个外角）都相等的三角形;④一腰.上的中线也是这条腰上的高的等腰三

角形.其中是等边三角形的有（D）

A.®®@B.①②④

C.®®D.①②③®

环节2合作探究，解决问题

活动1小组讨论（师生互学）

【例1】已知a、b、c是aABC的三边，且满足关系式a?+c2=2ab+2bc—2b2,试说明

△ABC是等边三角形.

【互动探索】（引发学生思考）证明4ABC是等边三角形应从哪些角度考虑？（边、角）.结

合已知条件，本题应从边的角度考虑证明AABC是等边三角形.

【证明】原关系式整理，得a-+c'一2ab—2bc+2b2=0,

/.a2+b'_2ab+c'_2bc+bJ=0,

（a—b）2+（b—c）2=0,

.•・a——b=0且b——c=0,BPa=bKb=c,

••a=b=c,

/.△ABC是等边三角形.

【互动总结】（学生总结，老师点评）（1）几个非负数的和为零，那么每一个非负数都等

于零；（2）有两边相等的三角形是等腰三角形，三边都相等的三角形是等边三角形，等边三

角形是特殊的等腰三角形.

【例2】如图，在放AABC中，ZACB=90°,ZB=30°,CD是斜边AB上的高，AD=3

cm,则AB的长度是（）

C.9cmD.12cm

【互动探索】（引发学生思考：）在芯ZkABC中，TCD是斜边AB上的高，.・.NADC=90°,

.\ZACD=ZB=30°,，在以ZXACD中，AC=2AD=6cm,在aZ\ABC中，AB=2AC=12cm.

即AB的长度是12cm.

【答案】D

【互动总结】（学生总结，老师点评）运用含30。角的直角三角形的性质求线段长时，

要分清线段所在的直角三角形.

活动2巩固练习（学生独学）

1.若三角形中，三条中线都垂直于所对的边，则此三角形是（D）

A.等腰三角形B.钝角三角形

C.直角三角形D.等边三角形

2.下列说法错误的是（C）

A.等边三角形是等腰三角形

B.一个外角的平分线平行于一边的三角形是等腰三角形

C.有两个内角不相等的三角形不是等腰三角形

D.有两个内角分别是70°和40°的三角形是等腰三角形

3.%中,AB=AC,Z/1=ZG贝i]NQ600.

4.在△48C中，/B=NC=15。,AB=2cm,々?_L力夕交力的延长线于点〃则喜的

长度是1cm.

5.如图所示，尸、0是△/!欧边宽上的两点，豆BP=PQ=QC=AP=AQ,求N劭C的度数.

BpQC

解：•・•阳=&=40,•••△”0是等边三角形，，//做=N/?，=NQJQ60°.•・・勿=阳,

:・NB=NPAB.又♦：NB+NPAB=NAPQ=6。。,二N加=N*8=30°.同理，N3C=30°,

AZBAC=Z.BAP-\-ZPA（HZQAC=30°+60°+30°=120°.

活动3拓展延伸（学生对学）

【例3】如图，在△魏中，EB=ED,点、C在BD上,CE=CD,BELCE,力是位延长线

上一点，力6=%试判断△力比的形状，并证明你的结论.

【互动探索】出CE=CD,EB=ED,根据“等边对等角”及三角形外角性质，可得NCBE

出再由储_1解根据三角形内角和定理，可得/反⑦=60°.又・・♦力8=%从而得出

乙

△/比是等边三角形.

【解答】△力比是等边三角形.证明如下：

、：CE=CD,：.4CED=4D.

又•：4ECB=/CEZ/D,

：,Z.ECB=2^D.

,:BE=DE,:"CBE=/D,

:・/ECB=2/CBE,:./CBE*NECB.

■:BELCE,:"CEB=9。；

又■：ZECB+ZCBE+ZCEB=18Q。,

:./ECB+g/ECBS=189°,

・・・/月360°.

又・・"8=优，，△加。是等边三角形.

【互动总结】（学生总结，老师点评）（1）已知一个三角形中两边相等，要证明这个三角

形是等边三角形，有两种方法：①证明另一边也与这两边相等；②证明这个三角形中有一个

角等于60°.（2）已知一个三角形中有一个角等于60°,要证明这个三角形是等边三角形，

有两种方法：①证明另外两个角也等于60°；②证明这个三角形中有两边相等.

环节3课堂小结，当堂达标

（学生总结，老师点评）

1.等边三角形的判定定理：

[三个角都相等的三角形是等边三角形

1有一个角等于60。的等腰三角形是等边三角形

2.含30°角的直角三角形的性质定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°,那

么它所对的直角边等于斜边的一半.

练习设计

请完成本课时对应练习！

2直角三角形

第1课时直角三角形的性质与判定

教学目标

一、基本目标

1.掌握勾股定理及其逆定理，并能应用定理解决与直角三角形有关的问题.

2.结合具体例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，明确原命题成立，其逆命

题不一定成立.

二、重难点目标

【教学重点】

掌握直角三角形的性质定理（勾股定理）及判定定理的证明方法.

【教学难点】

运用定理解决与直角三角形有关的问题.

教学过程

环节1自学提纲，生成问题

[50力?阅读】

阅读教材P14〜P16的内容，完成下面练习.

[3加〃反馈】

（一）直角三角形的性质与判定

1.直角三角形的两个锐角互余.反之，有两个角互余的三角形是直角三角形.

2.勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.

3.如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.

4.下列四组线段中，能组成直角三角形的是（D）

A.a=Lb=2,c=3

B.a=2fb=3,c=4

C.a=2,b=4,c=5

D.a=3,b=4,c=5

5.如图所示，在中，NQ90°,若b=5,c=13,则a=12；若a=8,b=6,

则c=10.

（二）命题与逆命题

1.在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么

这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题.

2.如果有些命题，原命题是真命题，逆命题也是真命题，那么我们称它们为互逆定理.

环节2合作探究，解决问题

活动1小组讨论（师生互学）

【例1】如图，在△力比'中，NACB=90：力8=13cm,%=5cn,切_1_力8于点〃求:

⑴四的长;

（2）△力比的面积；

⑶切的长.

BDA

【互动探索】（引发学生思考）观察图形与已知条件，利用勾股定理求力C的长，利用三

角形的面积公式计算△力宛的面积，利用等面积法求⑦的长.

【解答】（1）・・•在△力比'中，/ACB=9G0,49=13cm,BC=3cm,：.AC=y]A^-BCi=

12cm.

（2）S^^ASC=BCB•AC=30cm\

⑶VSA.HX=^AC•BC=^CD*AB,

AC-BC60

：.CD=AB=l3cm.

【互动总结】（学生总结，老师点评）解此类题时，一般是先利用勾股定理求出第三边，

利用两种方法表示出同一个直角三角形的面积，然后根据面积相等得出一个方程，再解这个

方程即可.

【例2】写出下列各命题的逆命题，并判断其逆命题是真命题还是假命题.

（1）两直线平行，同旁内角互补；

（2）垂直于同一条直线的两直线平行；

（3）相等的角是内错角；

（4）有一个角是60°的三角形是等边三角形.

【互动探索】（引发学生思考）什么是逆命题？逆命题一定是真命题吗？

【解答】（1）逆命题：同旁内角互补，两直线平行.该逆命题是真命题.

（2）逆命题：如果两条直线平行，那么这两条直线垂直于同一条直线（在同一平面内）.该

逆命题是真命题.

（3）逆命题：内错角相等.该逆命题是假命题.

（4）逆命题：等边三角形有一个角是60°.该逆命题是真命题.

【互动总结】（学生总结，老师点评）逆命题的条件是原命题的结论，逆命题的结论是原

命题的条件.

【例3】如图，在正方形力比〃中，AE=EB,4T加,求证：CEIEF.

AFD

0

【互动探索】（引发学生思考）观察图形，要证应能考虑证△。叨是直角三角形.结

合已知条件，可考虑利用勾股定理的逆定理进行证明.

【证明】如题图，连结用设正方形的边长为4.•・•四边形ABCD为正方形，：.AB=BC

=09=〃4=4.•・•点“为08中点，AF=^AD,:・AE=BE=2,AF=\tDF=3,工由勾股定理，

得屋=「+22=5,£^=22+42=20,凡2=4?+32=25.•・•欧+%=〃，:.丛CFE是直凫三

角形，且/侬-90°,即比L位

【互动总结】（学生总结，老师点评）利用勾股定理的逆定理可以判断一个三角形是否为

直角三角形，所以此定理也是判定垂直关系的一个主要方法.

活动2巩固练习（学生独学）

1.具备下列条件的△/均。中，不是直角三角形的是（D）

A.N4+N6=NC

B.N/-N8=NC

C.ZJ：/B：AC=\：2：3

D.NA=NB=3NC

2.如图，正方形网格中有△48C,若小方格边长为1,则△?1%的形状为(A)

C.钝角三角形【).以上答案都不对

3.命题“全等三角形的周长相等”的逆命题是周长相等的三角形是全等三角形.

4.如图所示，以i?fAABC的三条边为边长分别向外作正方形，其面积分别为S1、S2、

S3,且Si=4,52=8,则Sa=12.

5.如图，CD是应△ABC斜边上的高.

(1)求证：ZACD=ZB；

⑵若AC=3,BC=4,AB=5,则求CD的长.

(1)证明：CD是a△ABC斜边上的高，AZACB=ZADC=90°,AZA+ZACD=ZA

+NB=90°,AZACD=ZB.

(2)解：VAC=3,BC=4,AB=5,・CD='c・BC,/.CD=*B

LLAB33

活动3拓展延伸(学生对学)

【例4】如图所示，在等腰直角三角形OAA1中，Z0AA!=90O,OA=1,以0人为直角边

作等腰直角三角形0A也，以OA?为直角边作等腰直角三角形OA2A3,…，则0An的长度为.

【互动探索】•••△OAAi为等腰直角三角形，OA=1,・・・0Ai=，50A=qi••'△OA也为等腰

直角三角形，・・・042=4(^=2=(m)2.•••△04次为等腰直角三角形，・・・0八3=*0八2=24=

(乖尸.〈△OAq为等腰直角三角形，・・・0人4=m0饱=4=(m)4,・・・，・・・0An=m()Ai=(m)n.

【答案】（乖尸

【互动总结】（学生总结，老师点评）此题主要考查了等腰直角三角形的性质以及勾股定

理，熟练应用勾股定理是解题关键.

环节3课堂小结，当堂达标

（学生总结，老师点评）

1.直角三角形的性质：（1）直角三角形的两个锐角互余；（2）直角三角形两条直角边的

平方和等于斜边的平方（勾股定理）.

2.直角三角形的判定

有两个角互余的三角形是直角三角形

♦如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，

、那么这个三角形是直角三角形

3.逆命题：在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条

件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题.

4.如果有些命题，原命题是真命题，逆命题也是真命题，那么我们称它们为互逆定理.

练习设计

请完成本课时对应练习！

第2课时直角三角形全等的判断

教学目标

一、基本目标

1.能够证明直角三角形全等的“应”定理，并能利用“应”定理解决实际问题.

2.进一步掌握推理证明的方法，提升演绎推理能力和思维能力.

二、重难点目标

【教学重点】

直角三角形全等的判定方法.

【教学难点】

直角三角形全等的判定的应用.

教学过程

环节1自学提纲，生成问题

（5min阅读】

阅读教材n8〜P20的内容，完成下面练习.

[3加〃反馈】

1.证明三角形全等的方法有：AAS、ASA、SAS、SSS.

2.斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.这一定理可以简述为“斜边、

直角边”或“HL”.

3.如图，ABAD=ABCD=W,AB=CB,可以证明△物作△的的理由是（A）

A.HLB.ASA

C.SASD.AAS

4.下列条件中能判定两个直角三角形全等的有（D）

①有两条直角边对应相等；②有两个锐角对应相等；③有斜边和一条直角边对应相等;

④有一条直角边和一个锐角对应相等；⑤有斜边和一个锐角对应相等；⑥有两条边相等.

A.6个B.5个

C.4个D.3个

环节2合作探究，解决问题

活动1小组讨论（师生互学）

【例1】如图，已知NA=/D=90°,E、F在线段BC上，DE与AF交于点0,且AB=

CD,BE=CF.求证：行△ABFgAYADCE.

【互动探索】（引发学生思考）证明三角形全等的方法有哪些？已知两边对应相等可以寻

找哪些条件证明三角形全等？

【证明】•；BE=CF,；.BE+EF=CF+EF,即BF=CE.丁NA=ND=90°,.•.△人8尸与4

BF=CE,

DCE都为直角三角形.在7?fAABF和??fADCE中，:，应AABF丝应△DCE（/〃）.

[AB=CD,

【互动总结】（学生总结，老师点评）利用“比”判定三角形全等，首先要判定这两个三

角形是直角三角形，然后找出对应的斜边和直角边相等即可.

【例2】如图，已知AD、AF分别是两个钝角AABC和4ABE的高，若AD=AF,AC=AE.

求证：BC=BE.

【互动探索】（引发学生思考）从图中可以知道，要证BC=BE,可以从三角形全等入手.观

察图形判断7?fAADC和/?tAAFE全等吗？/?tAABD和/?fAABF呢？

【证明】；AD、AF分别是两个钝角AABC和4ABE的高，・・.ND=/F=90°.在aZ\ADC

AC=AE,

和欣ZXAFE中，；，心△ADCg欣Z\AFE（比），・・・CD=EF.在^AABD和欣ZXABF

AD=AF,

[AB=AB,

中,Vj/.^△ABD^^AABF（^）,ABD=BF,ABD-CD=BF-EF,BPBC=BE.

AD=AF,

【互动总结】（学生总结，老师点评）证明线段相等可通过证明三角形全等解决.直角三

角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件.

活动2巩固练习（学生独学）

1.下列条件中能说明两个直角三角形全等的是（D）

A.锐角分别相等

B.一条直角边分别相等

C.斜边分别相等

D.两直角边分别相等

2.如图所示，AB//EF//DC,/力比、=90。，AB=DC,那么图中共有全等三角形（C）

3.在以ZkABC和服Z\DEF中，AB=DE,ZA=ZD=90°,再补充一个条件BC=EF（答

案不唯一），便可得放ZXABCg应2XDEF.

4.如图，AB=AD,ZABC=ZADC=90°,EF过点C,BE_LEF于点E,DF_LEF于点F,

BE=DF.求证：a△BCEga/XDCF.

证明：连结BD.・・・AB=AD,/.ZABD=ZADB.VZABC=ZADC=90°,AZCBD=ZCDB,

BC=DC,

ABC=DC.VBE±EF,DF±EF,/.ZE=ZF=9O0.在7?fABCE和^ADCF中，,乂

BE=DF,

A^ABCE>?fADCF（//L）.

活动3拓展延伸（学生对学）

【例3】如图，在欣ZXABC中，NC=90°,AC=20,BC=10,PQ=AB.点P、Q分别在

线段AC和过点A且垂直于AC的射线AM上运动，且点P不与点A、C重合，那么当点P运动

到什么位置时，才能使aABC与△APQ全等？

【互动探索】本题要分情况讨论：（□/△APQg??〃\CBA,此时AP=BC=10,可据此求

出点P的位置；（2）应ZXQAPg应Z\BCA,此时AP=AC,P、C重合，不合题意.

【解答】分情况讨论：⑴当点P运动到AP=BC时，在放AABC和服4QPA中，ZC=

ZQAP=90°,BC=AP,AB=PQ,，/ZXABC也以4QPA（血），即AP=BC=10；（2）当点P运

动到与点C重合时，AP=AC,不合题意.综上所述，当点P运动到距离点A为10时，4ABC

与4APQ全等.

【互动总结】（学生总结，老师点评）判定三角形全等的关键是找对应边和对应角，由于

本题没有说明全等三角形的对应边和对应角，因此要分类讨论，以免漏解.

环节3课堂小结，当堂达标

（学生息结，老师点评）

直角三角形全等的判定定理：斜边和一条直角边分别相等的两个宜角三角形全等.这一

定理可以简述为“斜边、直角边”或“HL”.

练习设计

请完成本课时对应练习！

3线段的垂直平分线

第1课时线段的垂直平分线

教学目标

一、基本目标

1.掌握线段的垂直平分线的性质定理及判定定理，能够利用这两个定理解决一些问题.

2.经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理证明能力，丰富对几何图形

的认识.

二、重难点目标

【教学重点】

掌握线段垂直平分线的性质定理及判定定理.

【教学难点】

证明线段的垂直平分线的性质定理及判定定理.

教学过程

环节1自学提纲，生成问题

（5min阅读】

阅读教材？2〜P23的内容，完成下面练习.

[3加〃反馈】

1.线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.

2.到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.

3.如图所示，已知直线1W是线段力8的垂直平分线，垂足为〃，点尸是腑,上一点，若

45=10cm,则占9=5cm；若处=10cm,则加=10cm.

M

P

\DB

N

环节2合作探究，解决问题

活动1小组讨论（师生互学）

【例1】如图，在△力比'中，48=4C=20cm,应垂直平分力8,垂足为£,交AC于点、D,

若△胸的周长为35cm,则用的长为（）

A.5cmB.10cm

C.15cmD.17.5cm

【互动探索】（引发学生思考）ZWBC的周长等于哪些线段的和？利用线段的垂直平分线

的性质可•以将4DBC的周长转化为哪些线段的和（差）关系？

【分析】由题意可知，ADBC的周长=BC+BD+CD=35cm.丁DE垂直平分AB,二AD=

BD,.\BC+AD+CD=35cm,XVAC=AD+DC=20cm,/.BC=35-20=15（efl7）.

【答案】C

【互动总结】（学生总结，老师点评）利用线段垂直平分线的性质，可以实现线段之间的

相互转化，从而求出未知线段的长.

【例2】