高中数学必修2：高一年级下册立体几何线面平行、垂直

教师辅导教案

学员编号：年级：高一课时数：

学员姓名：辅导科目：数学学科教师：郭老师

课程主题：复习数列、不等式、立体几何授课时间：

学习目标掌握线面平行

教学内容

知识精讲

立体几何空间点、线、面的位置关系

1.五种位置关系，用相应的数学符号表示

(1)点与线的位置关系：点A在直线1上；点B不在直线1上

(2)点与面的位置关系：点A在平面a内；点B在平面a外

(3)直线与直线的位置关系：a与b平行；a与b相交于点0

(4)直线与平面的位置关系：直线a在平面a内；直线a与平面a相交于点

A；直线a与平面a平行

(5)平面与平面的位置关系：平面a与平面夕平行

平面a与平面夕相交于a

平行问题

(一)直线与直线平行

L定义：在同一平面内不相交的两条直线平行

2.判定两条直线平行的方法：

(1)平行于同一条直线的两条直线互相平行(公理4),记为a〃b,b//c=a//c

(2)线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相

交，那么这条直线和交线平行。记为：alla,au=bnallb.

(3)两个平面平行的性质：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平

行。

(4)线面垂直的性质定理：如两条直线同垂直与一个平面，则这两条直线平行

（二）直线与平面平行

1.定义：直线a与平面a没有公共点，称直线a平行与平面a,记为a〃a

2.|线面平行的判定定理|：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条

直线和这个平面平行。定理模式：.

aqua

bua>=alia

allb

I*找线线平行常甬的而因:

①中位线定理②平行四边形③比例关系

④面面平行-线面平行

中位线定理

线面平行练习题2

4.在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，M,N分别是AB,PC的中点.

求证：MN〃平面PAD；

5、如图，在三棱柱ABC—A1B1C1中，D是AC的中点。

求证：AB1〃平面DBC1

8.正四棱锥S-ABCD中，E是侧棱SC

的中点.求证：直线SA//平面BDE

9.已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，E、F分别是AB、PD的中点.

求证：AF//平面PEC

10.ABCD-AiBiCiDi是正四棱柱，E是棱BC的中点。求证：BD//平面CQE

11.在三棱柱ABC-A瓦G中，。为8C中,求证:

4B〃平面4£>G；

(1)求证：；PA〃面EFG；

(2)求三棱锥。-EEG的体积.

2、如图，在直三棱柱AB。-A8©中,ZACB=90°,

E,EG分别是9,4C,35的中点，且CGLGG.(I)求证：CG〃平面5E.

4、(山东文)如图，几何体E-ABCD是四棱锥，△A8/)为正三角形，CB=CD,ECLBD.

(I)求证：BE=DE;

(H)若N3CO=120。，〃为线段池的中点，E

求证：DM〃平面BEC./\\\

空间线面垂直、面面垂直

一、直线与平面垂直二直线与平面内任意一条直线都垂直

垂线、垂面、垂足、画法

二、I线面垂直的判定判定定理卜如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条

直线垂直于这个平面。

三、I线面垂直的性质定理:如果一条直线和一个平面垂直，那么这条直线垂直这个平面内的任

何一条直线。

四、证线线垂直的方法：

①菱形的对角线互相垂直②等腰三角形底边的中线垂直底边

③圆的直径所对的圆周角为直角④利用勾股定理

⑤间接法，用线面垂直的性质定理(/_L"bua=/_Lb)

①菱形的对角线互相垂直：

例题。已知E,F分别是正方形ABCD边AD,AB的中点，EF交AC于M,GC垂直于

ABCD所在平面。求证：EFJ_平面GMC.

②等腰三角形底边的中线垂直底边

例1、如图，在三棱锥P—ABC中，AC=8C=2,ZACB=90',AP=BP=AB,

PCIAC.求证：PCLAB；

2K

(r

③圆的直径所对的圆周角为直角

例题3、如图AB是圆O的直径，C是圆周上异于A、B的1任意一点，E4_L平面ABC,

(1)图中共有多少个直角三角形？(2)若AH_LPC上LAH与PC交于H,求证：AH±

平面PBC.

C

④利用勾股定理

例4、在长方体4BCD-AHCn中，底面ABC。是边长)匀1的正方形，侧棱441=2,E是

侧棱6坊的中点。求证：平面ARE；

dDi________幺

证明：•・,A3CZ)-AliG，为长方体，

ApB

练习：如图，四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形,

PA±CD,PA=\,=求证：(1)PA_L平面ABC1

(2)求四棱锥P-ABCD的体积.

BC

⑤间接法，用线面垂直的性质定理(/_Lb,buanUh)

例题：如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，NDA8=60。,

48=24),包＞，底面4?8,证明：PA±BD;

练习1：如图，在直三棱柱ABC-44G中，AC=3,

BC=4,AB=5,M=4,点。是4B的中点。(I)求

证：ACJ.BG；

练习2：如图，四边形ABC。为矩形，BCY^ABE,口为CE上的点，且8尸，平面ACE.

求证：AEA.BE；

证明：因为平面ABE,AEu平面43E,

练习1：已知ABC-A|B|g是正三棱柱，棱长均为石，E、F分别是AC、的中点,

(1)求证：平面AB|F〃平面BEC1

(2)求点A到平面BEC।间的距离

5、(广东文数)如图5所示，在四棱锥P-ABCD中，AB，平面PAD,AB//CD,PD=AD,

E是PB中点,

尸是。。上的点，且。/=!43,PH为AE4Z)中A。边上的高。

2

(1)证明：平面ABC。；

(2)若P”=1,AD=2,/C=l,求三棱锥E—3C尸的体积;

(3)证明：防，平面上钻.

6、(佛山一模)如图，三棱锥尸-ABC中，P8_L底面ABC,

ZBC4=90,PB=BC=CA=4,E为PC的中点,

M为A3的中点，点尸在PA上，且AF=2FP.

(1)求证：B£_L平面P4C；

(2)求证：CM〃平面班F；

(3)求三棱锥产-ABE的体积.

7、如图所示四棱锥P-ABCD中，PAL底面ABC。，四边形A5CO中，AB±AD,BC//AD,

PA=AB=BC=2,AD=4,E为尸。的中

点，F为PC中点.

(1)求四棱锥P-ABCD的体积；

(2)求证：平面P4C；

(3)在棱PC上是否存在点M(异于点C),使得BM〃平面PAD,

若存在，求也的值，若不存在，说明理由。；

PC

复习

1.一元二次不等式-4x+6>0的解集为.

2.已知2x+y=l,且x,>ER+,则工二的最小值为

xy

2

3.若x>0,则/(x)=x-2x+4的最小值为

X

4.已知机>0,，?>0,m+〃=1,则工—的最小值为.

mn+1

5.已知Q>0,b>0,a+4A=4,则2+2的最小值为.

ab

6.函数y=4x——-—,X〉［•的最小值为

2-4x2

7、已知等差数列｛aj的前n项和为S0,且$99=空，函数f(x)=7isin2x-3cos2x+2,

23

则f(a1)+f(a2)+・・・+f(a99)=()

8.已知数列｛斯｝的前〃项和SnVn2-/n，等比数列｛与｝满足：力］，b2=^-<«eN*).

(I)求数列伍"｝通项公式；

(II)若数列｛Cn｝满足Cn=a,j6,”求数列｛Cn｝的前〃项和心.

9.设数列｛斯｝的前"项的和(〃CN*).

(I)求数列｛斯｝的通项公式；

(II)令bn=(2n+l)an,求数列｛仇｝的前〃项和6.

10.已知数列｛斯｝的前“项和为S”Sn=2an-1,数列｛与｝是等差数列,且加=“1，16=。5・

(1)求数列｛斯｝和｛为｝的通项公式;

(2)若Cn=―--,记数列｛Cn｝的前〃项和为力”证明：3T„<1.

^n^n4-l

11.己知数列｛斯｝的前八项和为S”且2S”=3斯-3.

(I)求数列｛斯｝的通项公式；

(II)设瓦=log3。"，c=-------求数列｛Cn｝的前〃项和

nbQn+1

22.(12分)已知｛a“｝是首项不为1的正项数列，其前〃项和为男,且满足6S”=a”2+3a“+2.

(1)求数列｛时｝的通项公式；

(2)设7n=—^+―^―+—^―+...+——?--------,求证：Tn<-^~.

4】42。3。243。44a5anan+\an+260

12.在AABC中，角A,B,C所对的边为a,b,c,若AABC的面积走(a2+b2-c2),则

1