2024-2025学年黑龙江省哈尔滨市高二下册第一次月考数学检测试卷（附解析）

2024-2025学年黑龙江省哈尔滨市高二下学期第一次月考数学检测试卷注意事项：1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息.2.请将答案正确填写在答题卡上.一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1.在等差数列中，若，，则公差等于（）A.2 B.3 C. D.【正确答案】C【分析】根据题意，由等差数列的公差计算公式，代入计算，即可得到结果.【详解】由题意可得.故选:C2.在等比数列中，，则（）A. B. C. D.【正确答案】D【分析】根据等比中项的性质计算可得.【详解】由，∴．故选：D3.已知，则＝（）A. B.C. D.【正确答案】C【分析】由导数的运算法则验算即可.【详解】由题意.故选：C.4.下列求导结果正确的是（）A. B.C D.【正确答案】A【分析】由初等函数导数公式求导.【详解】，A正确；，B错误；，C错误；，D错误.故选：A5.已知数列是首项为5，公差为2等差数列，则（）A. B. C. D.【正确答案】A【分析】根据等差数列的定义，写出通项公式，结合题意，可得答案.【详解】由题意得，即，则．故选：A．6.已知抛物线上一点，则在点处的切线的倾斜角为（）A. B. C. D.【正确答案】B【分析】利用导数的定义求出抛物线在点处的切线的斜率，即可得出该切线的倾斜角.【详解】抛物线在点处的切线的斜率为，故切线的倾斜角为．故选：B.7.已知曲线在点处的切线与直线垂直，则（）A. B. C.2 D.【正确答案】B【分析】先求出导函数得出切线斜率，再结合直线垂直得出斜率关系列式求参.【详解】因为曲线，所以所以在点处的切线斜率为，直线斜率为，又因为两直线垂直，所以，所以.故选：B.8.已知数列的项满足，而，则（）A. B. C. D.【正确答案】B【分析】依题意可得，利用累乘法计算可得.【详解】因为，所以，则，，，，，，累乘可得，所以，又，所以，经检验时也成立，所以.故选：B二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的0分.9.已知数列{}中，，，下列说法正确的是（）A.若{}是等比数列，则=-8或8 B.若{}是等比数列，则或-16C.若{}是等差数列，则=17 D.若{}是等差数列，则公差为【正确答案】BCD【分析】分类讨论根据等差等比数列的相关知识即可进行判断.【详解】由已知，当数列{}为等差数列时：，解得，故D正确，解得，故C正确.当数列{}为等比数列时：，所以，解得，故A错误.，故B正确.故选：BCD10.若为数列的前项和，且，则下列说法正确的是A. B.C.数列是等比数列 D.数列是等比数列【正确答案】AC【分析】根据题意，先得到，再由，推出数列是等比数列，根据等比数列的通项公式与求和公式，逐项判断，即可得出结果.【详解】因为为数列的前项和，且，所以，因此，当时，，即，所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，故C正确；因此，故A正确；又，所以，故B错误；因为，所以数列不是等比数列，故D错误.故选：AC.本题主要考查由递推公式判断等比数列，以及等比数列基本量的运算，熟记等比数列的概念，以及等比数列的通项公式与求和公式即可，属于常考题型.11.下列命题正确的有（）A.已知函数在上可导，若，则B.已知函数，若，则C.D.设函数的导函数为，且，则【正确答案】BD【分析】通过导数的概念可判断选项，对复合函数求导然后计算可判断选项，直接用除法的求导法则可判断选项，对于选项直接求导然后代数解方程即可.【详解】对于因为函数在上可导，且，所以，故错误.对于因为，若则，即，故正确.对于因为，故错误.对于因为,故，故，正确.故选:三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知等比数列满足，，则公比q=__________．【正确答案】【分析】利用等比数列的通项公式由条件列方程，解方程求q.【详解】∵数列为等比数列，公比为q，，，∴，∴，故答案为.13.已知函数，则______．【正确答案】【分析】对求导，再代入，从而求得，进而得到，由此计算可得.【详解】因为，所以，则，解得：，所以，则.故答案为.14.已知数列满足.且，若，则______.【正确答案】【分析】利用构造法与迭代法求得，从而利用并项求和法即可得解.【详解】因为，所以，又，则，所以，故，则，所以，则的各项分别为，所以.故四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知数列{an}是一个等差数列，且a2＝1，a5＝－5.(1)求{an}的通项an；(2)求{an}前n项和Sn的最大值．【正确答案】（1）an＝－2n＋5.（2）4【详解】（Ⅰ）设{an}的公差为d，由已知条件，，解出a1＝3，d＝－2．所以an＝a1＋(n－1)d＝－2n＋5．（Ⅱ）Sn＝na1＋d＝－n2＋4n＝－(n－2)2＋4，所以n＝2时，Sn取到最大值4．16.已知数列是公差不为0的等差数列，数列是公比为2的等比数列，是的等比中项，．（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和．【正确答案】（1），；（2）.【分析】（1）利用基本量，结合题意，列出方程组，求得以及公差，即可求得两个数列的通项公式；（2）根据（1）中所求，利用裂项求和法，即可求得.【小问1详解】设的公差为，因为是的等比中项，故，即，整理得：，又，故可得；又，即，故，，解得，，；故，.【小问2详解】由（1）可知，，故，故.故数列的前项和.17.已知函数的图象在原点处的切线的斜率为2.（1）求的值；（2）若，求曲线的过点的切线方程.【正确答案】（1）或1（2）或【分析】（1）求出导函数，利用导数的几何意义列式求解的值即可；（2）结合（1）可得，设切点为，结合导数的几何意义，利用点斜式方程求出切线方程，最后利用过点求出的值，即可得解.小问1详解】由已知得，根据题意得，解得或1；【小问2详解】因为，所以由（1）可得，所以，设切点坐标为，则切线的斜率，所以切线方程为，因为切线过点，所以，得，解得或，所以切线方程为或.18.已知曲线.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求过点且与曲线相切的直线方程.【正确答案】（1）（2）和.【分析】（1）“在”某点处的切线方程，求导，代入点斜式即可求得；（2）“过”某点处的切线方程，设切点，结合切点在曲线上，切点在切线上，联立方程组即可求得.小问1详解】，当时，，所以曲线在点处的切线方程为，即.【小问2详解】设切点坐标为，由（1）知切线的斜率为，故切线方程为，因为切线过点，所以，即，所以或，故过点且与曲线相切的直线有两条，其方程分别是和，即和.19.在①；②；③这三个条件中，请选择一个合适的条件，补充在下题横线上（只要写序号），并解答该题．已知数列的各项均为正数，其前项和为，且对任意正整数，有______．（1）求的通项公式；（2）设，数列的前项和为，证明：．【正确答案】（1）答案见解析（2）证明见解析【分析】（1）条件①不符合题意.如果选条件②，则可根据及条件②，得到，从而可判断是等差数列，求得的通项公式，进而得到的通项公式，最后得到的通项公式.如果选条件③，可直接得到与的关系，进而可得到的通项公式.（2）由已知条件，可求得的通项公式，从而得到的表达式，即可证明.【小问1详解】对于条件