黑龙江省哈尔滨市第九中学校2024-2025学年高三下学期第二次模拟考试数学+答案

第二次模拟考试数学学科试卷满分150分，考试时间120分钟一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z在复平面内对应的点的坐标是(1,-2),则运=()A.1+2iB.1-2iC.2+i2.已知命题p:3x≥0,x|=-x;命题q:Vx>0,x²-1>0,则()C.一P和q均为真命题D.一P和-q均为真命题A.3a-2bB.3a+2bC.-2a+3b4.甲、乙、丙、丁对某组数据(该组数据由5个整数组成)进行分析，得到以下数字特征，则不能判断这组数据一定都小于12的是()A.甲：中位数为9,众数为11B.乙：中位数为9,极差为3C.丙：平均数为8,极差为4D.丁：平均数为8,方差为3A.[-,0]B.[-1,0]C.[-1,0]U[1,+oo)D.(1,+6.高相同的圆柱与圆台的体积分别为V,V₂,且圆柱的底A.V₁>V₂B.V₁<V₂C.V₁=V₂D.不确定7.如图，在高为16的圆柱型筒中，放置两个半径均为3的小球，两个小球均与筒壁相切，且分别与两底面相切，已知平面α与两个小球也相切，平面α被圆筒所截得到的截面为椭圆，则该椭圆的离心率为()8.已知函数f(x)=x³⁻¹,g(x)=alnx,当x>0时，函数f(x)的图象始终在函数g(x)二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.A.函数y=f(x)g(x)的最小正周期为2πC.函数y=f(x)-g(x)的所有零点构成的集合为D.函数y=f(x)+g(x)在上是减函数10.抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛向射出.反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线C:y²=4x,0为坐标原点，一束平行于x轴的光线₁从点1P(m,1射入，经过C上的点A(x₁,y₁),反射后，再经过C上另一点B(x₂,y₂)反射后，沿直线l₂射出，经过点Q,则()B.延长AO交直线x=-1于点D,则D,B,Q三点共线11.已知函数f(x)=2xlnx+ax²-x,则下列说法正确的是()A.当a=2时，f(x)在x=1处的切线与坐标轴围成的三角形的面积B.当a>0时，f(x)在(0,+)上是增函数C.若f(x)在(0,+∞)上为减函数，则D.当a<0时，若函数F(x)=f(x)+ax有且只有一个零点，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分14.某同学在学习和探索三角形相关知识时，发现了一个有趣的性质的外接圆的三条圆弧(劣弧)沿着三角形的边进行翻折，则三条圆弧交于该三角形内部一点，且此交点为该三角形的垂心(即三角形三条高线的交点)如图，已知锐角人ABC外接圆的半径为4,AC:AB:BC=6:5:4,则PA+PB+PC的值为四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)已知数列{a,}是公比为的等比数列，且1-a₂是a与1+a₃的等比中项.16.(15分)现有甲、乙两个抽题箱，两抽题箱内放有大小、质量、颜色均相同的小球，且小球内放有题目.已知甲箱内有4个A类题目的小球，5个B类题目的小球，3个C类题目的小球；乙箱内有2个A类题目的小球，2个B类题目的小球，6个C类题目的小球.(1)从甲箱、乙箱内各随机抽取一个小球，记X表示抽取的小球内放有B类题目的个数，求X的分(2)先从甲箱内抽取一个小球放入乙箱内，再从乙箱内抽取一个小球，求这个小球内放有A类题目的概率.17.(15分)如图，点C在以AB为直径的半圆的圆周上，∠ABC=60°,且BP⊥平面ABC,(i)若是“有限对偶函数”,证明y=xg(x)有2个极值点；(ii)若g(3)=0,证明：3g(x)≤-In(x-1)+2.数学试题第3页共3页数学二模答案即,由于∠ACB是锐角，故则由于AC:AB:BC=6:5:4,不妨假设AC=6k,AB=5k,BC=4k,k>0,设AD,CE,BF为三角形的三条高，由于同理可15.(1)依题可得：(1-a₂)²=a(1+a₃),即：(2)证明：设b=-8log₂a=8n,………8分所以,………10分16.解(1)从甲箱内抽取一个小球，且小球内放有B类题目的概率为小球内没有B类题目的概率为从乙箱内抽取一个小球，且小球内放有B类题目的概率为小球内没有B类题目的概率为X的可能取值为0,1,2,………1分,……7分所以X的分布列为X012P(2)设事件D=“从乙箱内抽取一个小球，且小球内放有A类题目”,设事件A,B,C分别是从甲箱中取出A类题目的小球，B类题目的小球，C类题目的小球.则P(D)=P(A)P(D|A)+P(B)P(D|B)+P(C)P(D|C)17.(1)由BP⊥平面ABC,ACc平面ABC,又点C在以AB为直径的半圆的圆周上，则BC⊥AC,………2分(2)若0为AB的中点，即为半圆的圆心，作Oz⊥面ABC,在面ABC内作Ox⊥AB,由∠ABC=60,AB=2BP=4,则BC故可构建如下图示的空间直角坐标系O-xyz,则A(0,-2,0),B(0,2,0),C(√3,1,0),P(0,2,2),若m=(x,y,z),n=(a,b,c)分别为面ACD、面ABD的一个法向量，,取α=2λ,n=(22,0,√3a-√3),…11分整理得,则57λ²-58λ+13=0,可得或……15分解得x=0,所以m(x)只有一个对偶点，且对偶点为0,所以m(x)=x+x²+x³+x⁴为有限对偶函数，且对偶点唯一………3分所以c>0…7分所以函数y=xg(x)有两个极值点.………………10分欲证3g(x)≤-n(x-1)+2,即证In(x-令F(x)=In(x-1)-x²+3x令F'(x)=0,得x=2,所以F(x)在(1,2)单调递增，在(2,+)单调递减，………15分且两根之积为-2n²<0,所以该方程的两根一正一负，对应直线I与C的上下两支各有一个公共