2025年河南省洛阳市汝阳县中考数学一模试卷

第1页（共1页）2025年河南省洛阳市汝阳县中考数学一模试卷一、选择题（每小题3分，共30分，下列各小题均有四个答案，只有一个是正确的，将正确的选项代码填入括号中．）1．（3分）已知⊙O的直径为6cm，点A不在⊙O内，则OA的长（）A．大于3cm B．不小于3cm C．大于6cm D．不小于6cm2．（3分）下列各组二次根式中，化简后是同类二次根式的是（）A．与 B．与 C．与 D．与3．（3分）每年4月23日是“世界读书日”，为了了解某校八年级500名学生对“世界读书日”的知晓情况，从中随机抽取了50名学生进行调查．在这次调查中（）A．500名学生 B．所抽取的50名学生对“世界读书日”的知晓情况 C．50名学生 D．每一名学生对“世界读书日”的知晓情况4．（3分）如图，D是△ABC的边AB上的一点，那么下列四个条件不能单独判定△ABC∽△ACD的是（）A．∠B＝∠ACD B．∠ADC＝∠ACB C． D．AC2＝AD•AB5．（3分）若α，β（α≠β）是一元二次方程x2﹣5x﹣24＝0的根，则α+β的值为（）A．﹣5 B．5 C．24 D．﹣246．（3分）方程2x（x+3）+5（3+x）＝3+x的根是（）A．x＝2 B．x＝3 C．x1＝2，x2＝3 D．x1＝﹣2，x2＝﹣37．（3分）将抛物线y＝（x﹣1）2+3向左平移1个单位，得到的抛物线与y轴的交点坐标是（）A．（0，2） B．（0，3） C．（0，4） D．（0，7）8．（3分）如图，点A为∠α边上的任意一点，作AC⊥BC于点C，下列用线段比表示cosα的值，错误的是（）A． B． C． D．9．（3分）如图，在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长1.25米，在同一时刻旗杆AB的影长不全落在水平地面上，他测得落在地面上影长为BD＝9米，留在墙上的影长CD＝2米（）A．7.2米 B．8.2米 C．9.2米 D．10.2米10．（3分）已知正方形内接于半径为10且圆心角为90°的扇形（即正方形的各定点都在扇形边或弧上），则正方形的边长是（）A． B． C．或 D．或二、填空题（每小题3分，共15分）11．（3分）二次函数y＝x2﹣4x+5的最小值为．12．（3分）某学校组织学生到社区开展公益宣传活动，成立了“垃圾分类”“文明出行”“低碳环保”三个宣传队，如果小华和小丽每人随机选择参加其中一个宣传队．13．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，以点B为圆心，交边AB于点D，则CD的长为．14．（3分）用半径为6的半圆形纸片围成一个圆锥侧面，则这个圆锥的底面半径为．15．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），下列结论：①a＜0，②c＞0，④9a+c＞3b，⑤若点A（﹣3，y1）、点、点在该函数图象上1＜y3＜y2．其中正确的结论是．三、解答题（本大题共8个小题，满分0分．）16．计算：（1）．（2）解方程：x2﹣6x+5＝0．17．如图所示，在△ABC中，以BC为直径的⊙O交AB于点P，点Q是AC的中点．（1）请你判断直线PQ与⊙O的位置关系为．（2）证明（1）中你的判断．18．2017年9月，我国中小学生迎来了新版“教育部统编义务教育语文教科书”，本次“统编本”教材最引人关注的变化之一是强调对传统文化经典著作的阅读，随机调查了若干名学生（每名学生必选且只能选这四大名著中的一部）并将得到的信息绘制了下面两幅不完整的统计图：（1）本次一共调查了名学生；（2）请将条形统计图补充完整；（3）某班语文老师想从这四大名著中随机选取两部作为学生暑期必读书籍，请用树状图或列表的方法求恰好选中《三国演义》和《红楼梦》的概率．19．某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天180元时，房间会全部住满．当每个房间每天的房价每增加10元时，每个房间每天的房价不得高于340元．设每个房间的房价增加x元（x为10的正整数倍）．（1）设一天订住的房间数为y，直接写出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围；（2）设宾馆一天的利润为w元，求w与x的函数关系式；（3）一天订住多少个房间时，宾馆的利润最大？最大利润是多少元？20．由我国完全自主设计，自主建造的首艘国产航母于2018年5月成功完成首次海上试验任务．如图，航母由西向东航行，测得小岛在北偏东60°方向上，航行20海里到达C点（1）求线段AC的长度；（2）若小岛A周围10海里内有暗礁，如果航母不改变航线继续向东航行，有没有触礁危险？请说明理由．21．如图，BE是⊙O的直径，点A和点D是⊙O上的两点（1）若∠ADE＝25°，求∠C的度数；（2）若AB＝AC，CE＝2，直接写出AC的长．22．如图，抛物线y＝x2+mx与直线y＝﹣x+b相交于点A（2，0）和点B．（1）求m和b的值；（2）求点B的坐标，并结合图象写出不等式x2+mx＞﹣x+b的解集；（3）点M是直线AB上的一个动点，将点M向左平移3个单位长度得到点N，若线段MN与抛物线有两个公共点，直接写出点M的横坐标xM的取值范围．23．已知，如图△ABC中，∠C＝90°，BC＝8，点D在边AC上（1）当CD＝2时，求线段BE的长；（2）已知，点G，H在AB边上且四边形DGHE是矩形，判断点D在线段AC上的位置？（3）已知点M是边AB上的一动点，若△DEM是等腰直角三角形，请直接写出线段DE的长．

2025年河南省洛阳市汝阳县中考数学一模试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）题号12345678910答案BDBCBDBCCC一、选择题（每小题3分，共30分，下列各小题均有四个答案，只有一个是正确的，将正确的选项代码填入括号中．）1．（3分）已知⊙O的直径为6cm，点A不在⊙O内，则OA的长（）A．大于3cm B．不小于3cm C．大于6cm D．不小于6cm【解答】解：点A不在圆内，则点到圆心的距离大于或等于圆的半径．故选：B．2．（3分）下列各组二次根式中，化简后是同类二次根式的是（）A．与 B．与 C．与 D．与【解答】解：A、＝2和，本选项不合题意；B、＝2与，本选项不合题意；C、与不是同类二次根式；D、＝6，是同类二次根式．故选：D．3．（3分）每年4月23日是“世界读书日”，为了了解某校八年级500名学生对“世界读书日”的知晓情况，从中随机抽取了50名学生进行调查．在这次调查中（）A．500名学生 B．所抽取的50名学生对“世界读书日”的知晓情况 C．50名学生 D．每一名学生对“世界读书日”的知晓情况【解答】解：样本是所抽取的50名学生对“世界读书日”的知晓情况．故选：B．4．（3分）如图，D是△ABC的边AB上的一点，那么下列四个条件不能单独判定△ABC∽△ACD的是（）A．∠B＝∠ACD B．∠ADC＝∠ACB C． D．AC2＝AD•AB【解答】解：∵∠A是公共角，∴再加上∠B＝∠ACD，或∠ADC＝∠ACB都可判定△ABC∽△ACD，∵∠A是公共角，再加上AC2＝AD•AB，即＝，∴选项A、B、D都可判定△ABC∽△ACD．而选项C中的对两边成比例，但不是相应的夹角相等．故选：C．5．（3分）若α，β（α≠β）是一元二次方程x2﹣5x﹣24＝0的根，则α+β的值为（）A．﹣5 B．5 C．24 D．﹣24【解答】解：∵α，β是一元二次方程x2﹣5x﹣24＝2的根，∴α+β＝5，故选：B．6．（3分）方程2x（x+3）+5（3+x）＝3+x的根是（）A．x＝2 B．x＝3 C．x1＝2，x2＝3 D．x1＝﹣2，x2＝﹣3【解答】解：整理得：（2x+5﹣2）（x+3）＝0，5x+5﹣1＝3或x+3＝0，x6＝﹣2，x2＝﹣5，故选：D．7．（3分）将抛物线y＝（x﹣1）2+3向左平移1个单位，得到的抛物线与y轴的交点坐标是（）A．（0，2） B．（0，3） C．（0，4） D．（0，7）【解答】解：抛物线y＝（x﹣1）2+4的顶点坐标为（1，3），把点（7，3）向左平移1个单位得到点的坐标为（5，所以平移后抛物线解析式为y＝x2+3，所以得到的抛物线与y轴的交点坐标为（4，3）．故选：B．8．（3分）如图，点A为∠α边上的任意一点，作AC⊥BC于点C，下列用线段比表示cosα的值，错误的是（）A． B． C． D．【解答】解：∵AC⊥BC，CD⊥AB，∴∠α+∠BCD＝∠ACD+∠BCD，∴∠α＝∠ACD，∴cosα＝cos∠ACD＝＝＝，只有选项C错误，符合题意．故选：C．9．（3分）如图，在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长1.25米，在同一时刻旗杆AB的影长不全落在水平地面上，他测得落在地面上影长为BD＝9米，留在墙上的影长CD＝2米（）A．7.2米 B．8.2米 C．9.2米 D．10.2米【解答】解：作CE⊥AB于E点，如图，由题意可得：BD＝CE＝9，BE＝CD＝2，∴，即，∴AB＝AE+BE＝7.6+2＝9.3（m）．故选：C．10．（3分）已知正方形内接于半径为10且圆心角为90°的扇形（即正方形的各定点都在扇形边或弧上），则正方形的边长是（）A． B． C．或 D．或【解答】解：如图1，连接OD，∵正方形内接于半径为10且圆心角为90°的扇形，∴∠EOC＝90°，OD＝10，在Rt△OCD中，根据勾股定理得：OD2＝OC5+CD2，∴102＝x5+x2，解得；如图2，过O作OG⊥DE，连接OD，设FH＝x，∵四边形CDEF是正方形，∴OH⊥CF，∴FH＝CH＝x，∵∠AOC＝90°，∴CH＝OH，∴OG＝3x，在Rt△ODG中，根据勾股定理得：OD2＝GD2+OG2，∴107＝x2+（3x）4，解得：，∴；综上分析可知：正方形的边长是或，故C正确．故选：C．二、填空题（每小题3分，共15分）11．（3分）二次函数y＝x2﹣4x+5的最小值为1．【解答】解：配方得：y＝x2﹣4x+5＝x2﹣4x+22+1＝（x﹣5）2+1，当选x＝6时，二次函数y＝x2﹣4x+6取得最小值为1．12．（3分）某学校组织学生到社区开展公益宣传活动，成立了“垃圾分类”“文明出行”“低碳环保”三个宣传队，如果小华和小丽每人随机选择参加其中一个宣传队．【解答】解：把“垃圾分类”“文明出行”“低碳环保”三个宣传队分别记为A、B、C，画树状图如下：共有9种等可能的结果，小华和小丽恰好选到同一个宣传队的结果有3种，∴小华和小丽恰好选到同一个宣传队的概率为，故答案为：．13．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，以点B为圆心，交边AB于点D，则CD的长为2．【解答】解：连接CD，∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴∠B＝60°，BC＝，∵以点B为圆心，BC长为半径画弧，∴△BCD是等边三角形，∴CD＝BC＝2，故答案为：2．14．（3分）用半径为6的半圆形纸片围成一个圆锥侧面，则这个圆锥的底面半径为3．【解答】解：圆锥的侧面展开图的弧长为2π×6÷4＝6π，∴圆锥的底面半径为6π÷2π＝3，故答案为：315．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），下列结论：①a＜0，②c＞0，④9a+c＞3b，⑤若点A（﹣3，y1）、点、点在该函数图象上1＜y3＜y2．其中正确的结论是①②．【解答】解：①由二次函数的部分图象可知，抛物线开口向下；故①正确；②抛物线与y轴交于正半轴，c＞0，符合题意；③∵，即b＝﹣4a，∴4a+b＝7，故③错误；④∵图象过点（﹣1，0），∴当x＝﹣6时，y＜0，∴y＝a×（﹣3）3﹣3b+c＜0即4a+c＜3b，故④错误；⑤∵对称轴为直线x＝2，且开口向下，∴A、B、C到对称轴的距离分别为8，，，∴y1＜y7＜y3，故⑤错误，不符合题意，综上所述，符合题意的有：①②．故答案为：①②．三、解答题（本大题共8个小题，满分0分．）16．计算：（1）．（2）解方程：x2﹣6x+5＝0．【解答】解：（1）原式＝＝＝；（2）分解因式可得：（x﹣5）（x﹣8）＝0，∴x﹣5＝4，x﹣1＝0，∴x3＝5，x2＝3．17．如图所示，在△ABC中，以BC为直径的⊙O交AB于点P，点Q是AC的中点．（1）请你判断直线PQ与⊙O的位置关系为相切．（2）证明（1）中你的判断．【解答】（1）解：直线PQ与⊙O的位置关系为：直线PQ是⊙O的切线．故答案为：相切；（2）证明：连接OP、CP，∵BC是⊙O的直径，∴∠BPC＝∠CPA＝90°，∴∠APQ+∠CPQ＝90°．又∵AC是⊙O的切线，∴BC⊥CA，∴∠A+∠B＝90°．又∵∠B+∠BCP＝90°，∴∠A＝∠BCP，∵OC＝OP，∴∠BCP＝∠OPC由题意可得：PQ＝QA，∠A＝∠APQ，∴∠OPC＝∠APQ，又∵∠APQ+∠CPQ＝90°，∴∠OPC+∠CPQ＝90°，∴OP⊥PQ，∴PQ是⊙O的切线．18．2017年9月，我国中小学生迎来了新版“教育部统编义务教育语文教科书”，本次“统编本”教材最引人关注的变化之一是强调对传统文化经典著作的阅读，随机调查了若干名学生（每名学生必选且只能选这四大名著中的一部）并将得到的信息绘制了下面两幅不完整的统计图：（1）本次一共调查了50名学生；（2）请将条形统计图补充完整；（3）某班语文老师想从这四大名著中随机选取两部作为学生暑期必读书籍，请用树状图或列表的方法求恰好选中《三国演义》和《红楼梦》的概率．【解答】解：（1）本次一共调查：15÷30%＝50（人）；故答案为：50；（2）B对应的人数为：50﹣16﹣15﹣7＝12，如图所示：（3）列表：ABCDAABACADBBABCBDCCACBCDDDADBDC∵共有12种等可能的结果，恰好选中A，∴P（选中A、B）＝＝．19．某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天180元时，房间会全部住满．当每个房间每天的房价每增加10元时，每个房间每天的房价不得高于340元．设每个房间的房价增加x元（x为10的正整数倍）．（1）设一天订住的房间数为y，直接写出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围；（2）设宾馆一天的利润为w元，求w与x的函数关系式；（3）一天订住多少个房间时，宾馆的利润最大？最大利润是多少元？【解答】解：（1）由题意得：y＝50﹣，且10≤x≤160．（2）w＝（180﹣20+x）（50﹣），即w＝﹣x2+34x+8000；（3）w＝﹣x2+34x+8000＝﹣（x﹣170）8+10890抛物线的对称轴是：直线x＝170，抛物线的开口向下，w随x的增大而增大，但10≤x≤160，因而当x＝160时，利润最大，此时一天订住的房间数是：50﹣＝34间，最大利润是：34×（340﹣20）＝10880元．答：一天订住34个房间时，宾馆每天利润最大．20．由我国完全自主设计，自主建造的首艘国产航母于2018年5月成功完成首次海上试验任务．如图，航母由西向东航行，测得小岛在北偏东60°方向上，航行20海里到达C点（1）求线段AC的长度；（2）若小岛A周围10海里内有暗礁，如果航母不改变航线继续向东航行，有没有触礁危险？请说明理由．【解答】解：（1）过点A作AD⊥BC，垂足为D，根据题意可知∠ABC＝30°，∠ACD＝60°，∵∠ACD＝∠ABC+∠BAC，∴∠BAC＝30°＝∠ABC，∴CB＝CA＝20海里；（2）如果航母不改变航线继续向东航行，没有触礁的危险，理由如下：在Rt△ACD中，∠ADC＝90°，sin∠ACD＝，∴sin60°＝，∴AD＝20×sin60°＝20×＝10，∴航母不改变航线继续向东航行，没有触礁的危险．21．如图，BE是⊙O的直径，点A和点D是⊙O上的两点（1）若∠ADE＝25°，求∠C的度数；（2）若AB＝AC，CE＝2，直接写出AC的长．【解答】解：（1）如图，连接OA，∵AC是⊙O的切线，OA是⊙O的半径，∴OA⊥AC，∴∠OAC＝90°，∵∠ADE＝25°，∴∠AOE＝2∠ADE＝50°，∴∠C＝90°﹣∠AOE＝90°﹣50°＝40°；（2）∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵∠AOC＝2∠B，∴∠AOC＝4∠C，∵∠OAC＝90°，∴∠AOC+∠C＝90°，∴3∠C＝90°，∴∠C＝30°，∴OA＝OC，设⊙O的半径为r，∵CE＝2，∴r＝（r+2）解得：r＝2，∴OA＝r＝2，∴AC＝OA＝2．22．如图，抛物线y＝x2+mx与直线y＝﹣x+b相交于点A（2，0）和点B．（1）求m和b的值；（2）求点B的坐标，并结合图象写出不等式x2+mx＞﹣x+b的解集；（3）点M是直线AB上的一个动点，将点M向左平移3个单位长度得到点N，若线段MN与抛物线有两个公共点，直接写出点M的横坐标xM的取值范围．【解答】解：（1）抛物线y＝x2+mx与直线y＝﹣x+b相交于点A（2，7）和点B4+2m＝6，解得m＝﹣2，将点A（2，7）代入直线y＝﹣x+b得：﹣2+b＝0，解得b＝8；（2）由（1）得：抛物线的解析式为y＝x2﹣2x，一次函数的解析式为y＝﹣x+8，联立得，解得或，∴点B的坐标为（﹣1，7），结合函数图象可知，不等式x2+mx＞﹣x+b的解集x＜﹣1或x＞4；（3）点M的横坐标xM的取值范围为2≤xM＜3．理由如下：由题意得：MN＝3，∵A（2，0），3），∴OA＝2，点A，抛物线y＝x2﹣3x化成顶点式为y＝（x﹣1）2﹣2的顶点坐标为（1，﹣1），作图象如下：当点N2与抛物线的顶点（1，﹣1）重合时M+5＝﹣1，解得xM＝3，此时