中考数学一轮复习：专题12 相反数、绝对值【十大题型】（举一反三）（沪科版）（解析版）

专题L2相反数、绝对值【十大题型】

【沪科版】

♦题型梳理

【题型1相反数与绝对值的概念辨析】............................................................1

【题型2相反数的几何意义的应用】..............................................................3

【题型3绝对值非负性的应用】..................................................................5

【题型4化简多重符号】.........................................................................6

【题型5化简绝对值】...........................................................................8

【题型6利用相反数的性质求值】................................................................9

【题型7解绝对值方程】........................................................................11

【题型8绝对值几何意义的应用】................................................................13

【题型9有理数的大小比较】....................................................................16

【题型10应用绝对值解决实际问题】.............................................................18

，举一反三

【知识点1相反数与绝对值】

相反数：

1.概念：只有符号不同的两个数队做互为相反数.

相反数的表示方法；一般地，a和-a互为相反数，这里的a表示任意一个数可以是正数、负数也可以是零,

特别地，一个数的相反数等于它本身这个数是零.

2.性质：若a与b互为相反数，那么a+b=0.

绝对值：

1.定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|.

2.性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.

【题型1相反数与绝对值的概念辨析】

【例I】（2023秋・福建龙岩•七年级校考阶段练习）与4的和为0的数是（）

A.；B.4C.-4D,-1

【答案】B

【分析】与-4的和为0的数，就是“的相反数4.

【详解】解：与-4的和为0的数，就是求出-4的相反数4,

故选：B.

【点睛】此题考查相反数的意义，掌握互为相反数的两个数的和为0的性质是解决问题的基础.

【变式1-11(2023・江苏•七年级假期作业)将符号语言“|Q|=a(a>0)''转化为文字表达，正确的是()

A.一个数的绝对值等于它本身B.负数的绝对值等于它的相反数

C.非负数的绝对值等于它本身D.0的绝对值等于0

【答案】C

【分析】根据绝对值的含义及绝对值的性质逐项判断即可解答.

【详解】解：•・•一个非负数的绝对值等于它本身，一个负数的绝对值等于它的相反数，

・・・A项不符合题意；

VG>0,表示的是非负数的绝对值，不是负数的绝对值，

•••B不符合题意；

••・一个非负数的绝对值等于它本身，

・・・C符合题意;

Va>0,表述的是非负数的绝对值，不只是0的绝对值，

，选项D不符合题意；

故选:C.

【点睛】本题考查了绝对值的含义及绝对值的性质，掌握绝对值的性质是解题的关键.

【变式1-2](2023•江苏•七年级假期作业)下列各对数中，互为相反数的是()

A.—(+1)和+(—1)B.—(―1)和+(-1)

C.一(+1)和-1D.+(-1)和-1

【答案】B

【分析】先化简各数，然后根据相反数的定义判断即可.

【详解】解：A、-(+1)=-1,+(-1)=-1,不是相反数，故此选项不符合题意；

B、—(—1)=1,+(—1)=-1,是相反数，故此选项符合题意；

C、-(+1)=-1,不是相反数，故此选项不符合题意；

D、+(-1)=-1,不是相反数，故此选项不符合题意；

故选：B.

【点睛】本题主要考查了相反数.先化简再求值是解题的关键.

【变式1-3](2023秋•江苏盐城•七年级江苏省响水中学阶段练习)绝对值小于2016的所有的整数的和

【答案】0

【详解】绝对值小于2016的所有整数为:-2015.........0,1,...»2015,

故-2015+(-2014)+(-2013)+...+2013+2014+2015

=(-2015+2015)+(-2014+2014)+(-2013+2013)+…1+1)+0=0；

故答案为0.

点睛：由于数比较多，不可能挨个求和，故考虑用“互为相反数的两个数的和等于0”这个性质.

【题型2相反数的几何意义的应用】

【例2】(2023•全国•七年级假期作业)如图，图中数轴的单位长度为1.请回答下列问题：

——I---------1-------1----------1-----------4-------1------------A-------1------------1----------1----------A--------1-----------1—►

DEACB

(1)如果点A、8表示的数是互为相反数，那么点。表示的数是多少？

(2)如果点。、8表示的数是互为相反数，那么点C、。表示的数是多少？

【答案】⑴-I

(2)点。表示的数是0.5,。表示的数是-4.5

【分析】(1)根据互为相反数的定义确定出原点的位置，再根据数轴写出点C表示的数即可；

(2)根据互为相反数的定义确定出原点的位置，再根据数轴写出点C、。表示的数即可.

【详解】(1)由点4、6表示的数是互为相反数可知数轴上原点的位置如图，

——।---i----i-------------1-----------i--------1------«----1-----------1----------1----------i---------1-----------1—►

DEACB

故点。表示的数是-1.

(2)由点。、B表示的数是互为相反数可知数轴上原点的位置如图，

-------1，J-------L，I，♦4---------1------------1----------1，J-----------1—

DEA0C--------B

故点。表示的数是05D表示的数是-4.5.

【点睛】本题考查了相反数的定义和数轴，解题的关键是根据题意找出原点的位置..

【变式2-1】(2023秋•七年级课时练习)如图，数轴上两点A、B表示的数互为相反数，若点B表示的数为

6,则点A表示的数为()

AB

—।--------------------------1---------------------------1——►

06

【题型3绝对值非负性的应用】

【例3】（2023秋•云南昭通•七年级校考阶段练习）已知|a・2|与|b・3|互为相反数，求a+b的值.

【答案】5.

【分析】根据互为相反数的两个数的和等于。列出方程，再根据非负数的性质列非常求出a、b的值，然后

代人代数式进行计算即可得解.

【详解】・・・|a-2|与|b-3|互为相反数，

A|a-2|+|b-3|=0,

.*.a-2=0,b-3=（）,

解得a=2,b=3»

所以,a+b=2+3=5.

【点睛】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为。时，这几个非负数都为0.

【变式3-1］（2023秋•云南楚雄•七年级校考阶段练习）对于任意有理数a,下列式子中取值不可能为。的是

（）

A.|G+11B.|-1|+QC.|Q|+1D.-1+|cz|

【答案】C

【分析】根据绝对值的非负性即可得出答案.

【详解】解：A.当。=一1时，a+1=0,则|a+l|=0,故A选项不符合题意；

B.当a=-1.时，|-1|+a=1-1=0,故B选项不符合题意；

C.|a|>0,则|a|+lNl,不可能为。故C选项符合题意；

D.当。=±1时，-1+|a|=-1+1=0,故D选项不符合题意：

故选：C.

【点睛】本题考查了绝对值的非负性，解题的关键是掌握任何数的绝对值都是非负数，两个非负数的和一定

为非负数.

【变式3-2］（2023秋・山东潍坊「七年级统考期中）若|。一1|+仍+2|=0,求a+|-b|.

【答案】3

【分析】根据绝对值的非负性求解即可.

【详解】解：V|a-l|+|b+2|=0,

G-1=0,b+2=0.

解得：a=1,b=—2

故a+\—b\=1+2=3.

【点睛】本题考查了绝对值的非负性，准确的计算是解决本题的关键.

【变式3-3】(2023秋•七年级课时练习)对于任意有理数相，当刀为何值时，5-|瓶-3|有最大值？最大值

为多少？

【答案】5

【分析】根据绝对值的非负性得到3|N0,得到当m=3时，|m-3|最小，代入求解即可；

【详解】解：由绝对值都是非负数，得-当m=3时，|m—3|最小，最小值为0,此时5-制一3|

有最大值，最大值是5.

【点睛】本题主要考杳了绝对值的非负性应用，准确计算是解题的关键.

【题型4化简多重符号】

【例4】(2023秋・全国•七年级专题练习)化简下列各数：

(D-(~|)=；(2)—(+g)=；(3)-{+[-(+3)]}=.

【答案】|Y3

【分析】根据多重符合化简的法则，化简结果的符合由符号的个数决定，确定符号后可得结果.

【详解】解：-(-|)=|,

-(+5)=-?

-{+[-(+3)]}=3,

故答案为：:，—：，3.

JD

【点睛】本题考查了化简多重符号，多重符号的化简是由“-”的个数来定，若“-”个数为偶数个时，化简结果

为正；若“-”个数为奇数个时・，化简结果为负.

【变式4-1](2023・浙江•七年级假期作业)下列化简正确的是()

A.十(-6)=6B.-(-8)=8

C.—(—9)=-9D.-[+(-7)]=-7

【答案】B

【分析】根据化简多重符号的方法逐项判断即可求解.

【详解】解•：A.+(-6)=-6,原选项计算错误，不合题意；

B.-(-8)=8,原选项计算正确，符合题意；

c.-(-9)=9,原选项计算错误，不合题意；

D.-[+(-7)]=7,原选项计算错误，不合题意.

故选：B.

【点睛】本题考查有理数的多重符合化简，化简多重符号就是看数字前负号的个数，如果负号的个数是奇数

个则最终符号为负号，如果负号个数为偶数个则最终符号为正号.

【变式4-2](2023秋•江苏无锡•七年级统考期末)在-(+2.末,-(-2.5),+(—2.5),+(+2.5)中，正数的个

数是()

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】根据多重符号化简原则逐一进行判断即可得到答案.

【详解】解：•••一(+2.5)=-2.5,-(-2.5)=2.25,+(-2.5)=-2.5,+(+2.5)=2.5,

正数的个数是2个，

故选B.

【点睛】本题考查了多重符号化简，解题关键是掌握多重符号化简的原则：若一个数前有多重符号，则看该

数前面的符号中，符号“-”的个数来决定，即奇数个符号则该数为负数，偶数个符号，则该数为正数.

【变式4-3](2023•全国•七年级假期作业)化简下列各式的符号：

(1)-(+4)；

(2)+(勺；

(3)-[-(-3-)j；

5

(4)-{-[-(-n)]}.

化简过程中，你有何发现？化简结果的符号与原式中的号的个数与什么关系吗？

【答案】(1)-4；(2)-*(3)-31；(4)兀；最后结果的符号与-的个数有着密切联系，如果一个数

是正数，当-的个数是奇数，最后结果为负数，当-的个数是偶数，最后结果为正数

【分析】根据已知数据结合去括号的法则化简各数，进而得出结果的符号与原式中的号的个数的关系.

【详解】解：(1)-(+4)=-4：

⑵+(-}=-不

(3)-[-(-3-)]=-3a

55

(4)-{-[-(-71)J}=71.

最后结果的符号与的个数有着密切联系，如果•个数是正数，当的个数是奇数，最后结果为负数，

当，，・，，的个数是偶数，最后结果为正数.

【点睛】本题考查了相反数的意义，正确发现数字变化规律是解题的关键.

【题型5化简绝对值】

【例5】(2023春•黑龙江哈尔滨•六年级统考期中)有理数小c在数轴上的位置如图所示，化简|b+c|+

\a-c\=•

1111»

cb0ci

【答案】a-b-2c

【分析】先由数轴判断a,b,。与0的大小关系，其中Q>0,bV0,cV0,则b+cVO,a-c>0,再根据绝对值

的意义，正数的绝对值是其本身，负数的绝对值是其相反数，。的绝对值是0,进而得出结果.

【详解】解：Q>0,bv0,c<0,

二b+c<0,a-c>0,

•••|b+c|+|a-c|=-(b+c')-^a-c=-b-c+a-c=a-b-2c

故答案为：a—b—2c.

【点睛】本题主要考查了数轴上的点以及绝对值的意义，其中正确掌握正负数的绝对值是解题的关键.

【变式5-1](2023秋・江苏宿迁•七年级统考期中)如果|m|二|n|,那么m,九的关系()

A.相等B.互为相反数C.都是0D.互为相反数或相等

【答案】D

【分析1利用绝对值的代数意义化简即可得到小与〃的关系.

【详解】解：’

・・・m=?1或771=・"即互为相反数或相等，

故选：D.

【点睛】此题考查了绝对值，熟练掌握绝对值的代数意义是解本即的关键.

【变式5-2](2023・浙江•七年级假期作业)化简：

(DI-(+7)1；

(2)-|-8|；

【答窠】(1)7

(2)-8

【分析】(1)先化简括号的符号，然后再根据绝对值的性质化简即可；

(2)直接化简绝对值即可.

【详解】⑴解:|-(+7)|

=1-71

=7

(2)—|—8|

=-8.

【点睛】本题主要考查绝对•值的化简，熟练掌握运算法则是解题关键.

【变式5-3](2023•全国•七年级假期作业)求下列各数的绝对值：

(1)-38：

(2)0.15；

(3)a(a<0)；

(4)3b(b>0)；

【答案】⑴38

(2)0.15

⑶-Q

(4)3b

【分析】根据正数与0的绝对值是其本身，负数的绝对值是其相反数即可求解.

【详解】(1)|-38|=38；

(2)|0.15|=0.15；

(3)QV0,

|a|=-a；

(4)•:b>0,

：.3b>0,

••・|3团=3b

【点睛】本题考查了绝对值的性质，准确把握“正数与0的绝对值是其本身，负数的绝对值是其相反数”是解

题的关键.

【题型6利用相反数的性质求值】

【例6】(2023•全国•七年级专题练习)已知一2；的相反数是工，一5的相反数是y,z的相反数是0,求x+.v

+z的相反数.

【答案】-7；

【分析】根据相反数的概念求出X,y,Z的值，代入x+y+z即可得到结果.

【详解】解：:一21的相反数是x,-5的相反数是y,z相反数是0,

.*.A=21,）=5,z=0,

A+y+z=2^+5+0=71.

・F+），+z的相反数是一71.

【点睛】本题考查了相反数的定义，熟记相反数的概念是解题的关键.

【变式6-1】（2023秋•湖北孝感•七年级统考期中）在数轴上表示整数。、b、c、d的点如图所示，单位长度

为I,且a+b=0,则c+d的值是.

lilllllllllliita

Cabcl

【答案】-4.

【分析】根据题意先确定原点的位置，然后得到c、d表示的数，再进行计算即可.

【详解】解：•・・Q+〃=0,

...a与b互为相反数，

由数轴可知，如图：

ca0bd

/.a=—2,b=2,c=—8,d=4,

Ac+d=—8+4=—4；

故答案为：-4.

【点睛】本题考查了数轴的定义，相反数的定义，解题的关键是熟练掌握所学的知识进行解题.

【变式6-2】（2023春・广东河源•七年级校考开学考试）若Q+匕=0,则r的值是（）

A.-1B.0C.无意义D.-1或无意义

【答案】D

【分析［分b=0,bH0两种情形计算即可.

【详解】当bHO时，

Va+b=0,

，a=­b,

.a-b

,•广Z=T；

当b=0时，

'：a+b=O,

.\a-0»

.Y无意义，

b

•••的勺值是一1或无意义，

故选D.

【点睛】本题考查了相反数的意义，及共商的意义，熟练掌握相反数的意义是解题的关键.

【变式6-31(2023秋・湖南永州•七年级校考阶段练习)已知a,b互为相反数，则a+2a+3a+…+49a+50a+

50b+49b+…+3b+2匕+匕=.

【答案】0

【分析】根据相反数的概念，得到a+b=O,继而可得出答案.

【详解】解：•・•%b互为相反数,

,*.a+b=0.

:.G+2a+3a+…+49a+50a+50b+49b+…+3b+2b+b

=(a+b)+2(a+b)+3(a+b)+…+50(Q+b)

=0.

故答案为：0.

【点睛】本题考查了相反数的概念，属于基础题，注意掌握相反数的概念是关键.

【题型7解绝对值方程】

【例7】(2023秋・江苏宿迁•七年级泗阳致远中学校考阶段练习)若|-m|=|—与，则m的值为()

A.±2B.-泗C.1D.

【答案】B

【分析】根据绝对值的性质，进行化简求解即可.

【详解】解：|一加|=|一9

I-刈=5

.1

•••m=±-9

故选：B.

【点睛】本题考查了绝对值方程问即，解题的关键是掌握绝对值化简的性质，正数的绝对值是本身，负数的

绝对值是其相反数.

【变式7-1】（2023秋•海南省直辖县级单位•七年级校考阶段练习）如果优|-2=2,那么%是（）

A.4B.-4C.±2D.±4

【答案】D

【分析】根据绝对值意义进行解答即可.

【详解】解：团—2=2,

•••\x\=4,

x=±4,

故选:D.

【点睛】本题考查了绝对值的意义，绝对值表示该数在数轴表示的点距原点的距离.

【变式7-2]（2023秋•湖北孝感•七年级统考期中））已知（+1|=2,侬-1|=7,。〈匕,求|可+回.

【答案】5或7

【分析】根据绝对值的意义以及a与b的关系求出a和b的值，代入计算即可.

【详解】解：・・・|a+l|=2,|2b-l|=7,

，a=l或-3,b=4或・3,

Va<b,

/.a=1,b=4,或a=-3>b=4,

|Q|+|b|=5或7.

【点睛】本题考查了绝对值的意义，解题的关键是掌握已知一个数的绝对值，求这个数.

【变式7-3]（2023秋・江苏•七年级专题练习）解方程：3x-|x|+5=1.

【答案】x=-l

【分析】根据绝对值的意义，分类讨论求解即可.

【详解】解：当％之0时，3x-x+5=1»

解得：%=-2（不符合题意，舍去），

当XV0时，3%+无+5=1,

解得：x=—1,

综上所述：x=-l,

•,•原方程的解为：X=-1.

【点睛】本题考查了绝对值方程，悔本题的关键在熟练掌握绝对值的意义.正数的绝对值为它本身，负数的

绝对值则是它的相反数，0的绝对值还是为0.

【题型8绝对值几何意义的应用】

［例8］（2023秋•全国•七年级专题练习）|x-l|+|x-2|+|x-3|+•••+|x-2021|的最小值是（）

A.1B.1010C.1021110D.2020

【答案】C

【分析】力为数轴上的一点，用1什任2|+归-3|+…|步2021|表示：点入到数轴上的2021个点（1、2、3、…2021）

的距离之和,进而分析得出最小值为:|1011-2|+|1011-3|+…11011-202”求出即可.

【详解】解：在数轴上，要使点x到两定点的距离和最小，则x在两点之间，最小值为两定点为端点的线段

长度（否则距离和大于该线段）；

所以:当1*021时，1-1|+岳2021|有最小值最20；

当2s区2020时,仅-2|+岳2020|有最小值2018；...

当x=10U时,岳1011|有最小值0.

综上,当户1011时，Ml|+M2|+|*3|+...M2021|能够取到最小值,

最小值为:|1011-1|+|1011-2|+|1011-3|+...|1011-2021|

=1010+1009+...+0+1+2+...+1010

=1011x1010

=1021110.

故选:C.

【点睛】本题考查了绝对值的性质以及利用数形结合求最值问题，利用已知得出x=1011时，

|x-l|+|x-2|+|x-3|+…|x-2021|能够取到最小值是解题关键.

【变式8-1］（2023秋•七年级单元测试）小亮把中山路表示成一条数轴，如图所示，把路边几座建筑的位置

用数轴上的点，其中火车站的位置记为原点，正东方向为数轴正方向，公交车的1站地为1个单位长度（假

设每两站之间距离相同）回答下列问题：

烈人北

士民火劝国博

陵商车业商物

园场站场城馆

，

•

-，，

T

O

1

2

—1—

3

-2

.

_和_

的是

站地

等于2

的距离

火车站

⑴到

和.

的是

站地

等于2

的距离

劝业场

⑵到

数是

示的

个，表

点有一

于2的

离等

的距

1的点

到表示

上，

数轴

（3）在

图

结合

.请你

或-2

a=2

2时，

|。|=

离，当

的距

车站

到火

该点

表示

么㈤

点，那

轴上的

图中数

a表示

果用

（4）如

值.

，a的

=2时

-l|

当|a

并求出

义，

几何意

表达的

|=2

。-1

等式|

形解释

城

国商

，北

陵园

）烈士

】（1

【答案

物馆

场，博

民商

（2）人

3

-1或

（3）2,

-1

3或

值为