中考数学试题分类32圆的有关性质

第32章圆的有关性质

一、选择题

1.（2011广东湛江16,4分）如图，A,B,C是OO上的三点，=则N80C=

度.

【答案】60

2.（2011安徽，7,4分）如图，。。的半径是1,4、氏C是圆周上的三点，NB4c=36。,

则劣弧的长是（

D.女

【答案】B

3.（2011福建福州,9,4分）如图2,以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦切小圆于点

C,若403=120，则大圆半径R与小圆半径，•之间满足（)

A.R=6rD./<=2后

图2

【答案】C

4.（2011山东泰安，10,3分）如图，。。的弦48垂直平分半径OC,若48个佝，则00

的半径为（)

C也D坐

小啦

A.B.22

【答案】A

5.（2011四川南充市，9.3分）在圆柱形油槽内装有一些油。截面如图，油面宽AB为6

分米，如果再注入一些油后，油面AB上升1分米，油面宽变为8分米，圆柱形油槽直

径MN为（）

（A）6分米（B）8分米（C）10分米（D）12分米

【答案】C

6.（2011浙江衢州，1,3分）一个圆形人工湖如图所示，弦48是湖上的一座桥，已知桥A8

长100m,测得圆周角NAC3=45。，则这个人工湖的直径AO为（）

A.50>/2mB.1005/2mC.150^mD.200>/2m

【答案】B

7.（2011浙江绍兴，4,4分）如图，A3为0。的直径，点C在。。上，若NC=16。,

则N8OC的度数是（）

A.74°B.48°C.32°D.16°

A

（第5题图）

【答案】C

8.（2011浙江绍兴,6,4分）一条排水管的截面如图所示.已知排水管的截面圆半径08=10,

截面圆圆心。到水面的距离OC是6,则水面宽A8是（）

A.16B.10C

【答案】A

9.（2011浙江省，5,3分）如图，小华同学设计了一个圆直径的测量器，标有刻度的尺子

OA、OB在O点钉在一起，并使它们保持垂直，在测直径时，把O点靠在圆周匕读得

刻度OE-g个单位，OF-6个单位，则圆的直径为（）

A.12个单位B,10个单位个单位D.15个单位

【答案】B

10.（2011四川重庆，6,4分）如图，。。是AABC的外接圆，NOC8=40。则NA的度数

等于（）

A.60°B.50°C.40°D.30°

回

【答案】B

11.（2011浙江省嘉兴，6,4分）如图，半径为10的。。中，弦的长为16,则这条弦

的弦心距为（）

（A）6（B）8（C）10（D）12

Q

（第6题）

【答案】A

12.（2011台湾台北，16）如图（六），而为圆。的直径，直线EO为圆O的切线，4、C

两点在圆上，AC平分NBA。且交而于F点。若19°,则的度数为何？

阕（六）

A.97B.104C.116D.142

【答案】C

13.（2011台湾全区，24）如图（六），^ABC的外接圆上，AB.BC、CA三弧的度数比为

12：13：11.自8c上取一点。，过。分别作直线AC、直线48的并行线，且交而于

E、产两点,则/瓦W的度数为何？

A

D

圈（六）

A.55B.60C.65D.70

【答案】C

14.（2011甘肃兰州，12,4分）如图，。。过点B、C,圆心O在等腰RtaABC的内部，

ZBAC=90°,OA=1,BC=6o则。O的半径为

A.6B.13C.屈D.2万

【答案】C

15.(2011四川成都,7,3分)如图,若43是。0的直径,CD是。。的弦,NA8ZA58。,则

ZBCD=(B)

(A)116°(B)32°(C)58°(D)64°

【答案】B

16.(2011四川内江,9,3分)如图,0O是AABC的外接圆,NBAO60。,若。O的半径

OC为2,则弦BC的长为

A.1B.GC.2D.2石

【答案】D

17.(2011江苏南京，6,2分汝I图，在平面直角坐标系中，(^^的圆心是(2,a)(a>2),半

径为2,函数y=x的图象被(DP的弦AB的长为26,则a的值是

A.2GB.2+2&C.273D.2+6

y=x

O

（第6题）

【答案】B

1.18.（2011江苏南通，8,3分）如图，00的弦48=8,M是A8的中点，且OM=3,

则。。的半径等于

A.8B.2C.10D.5

【答案】D

19.（2011山东临沂，6,3分）如图，。。的直径CD=5cm,AB是。O的弦，AB1CD,

垂足为M,OM：OD=3：5,则AB的长是（）

A.2cmB.3cme.4cmD.2-72?cm

【答案】C

20.（2011上海，6,4分）矩形A8CO中，AB=8,8。=3指，点P在边A8上，且8P

=3AP,如果圆P是以点P为圆心，夕力为半径的圆，那么下列判断正确的是（）.

（A）点仄C均在圆P外；（B）点8在圆P外、点C在圆P内；

（C）点B在圆P内、点C在圆P外；（D）点8、C均在圆P内.

【答案】C

21.（2011四川乐山6,3分）如图（3）,CD是。。的弦，直径AB过CD的中点M,若

ZBOC=40°,贝”ABD二

A.40°B.60°C.70°D.80°

【答案】C

22.（2011四川凉山州，9,4分）如图，乙404=100，点C在OO上，且点C不与A、

B重合，则NAC3的度数为（）

A.50B.80或50C.130D.50或130

【答案】D

23.（2011广东肇庆，7,3分）如图，四边形A8C。是圆内接四边形，E是8c延长线上一

点，芯/BAD=105%则NOCE的大小是

BCE

A.115°B.105°C.100°D.95°

【答案】B

24.（2011内蒙古乌兰察布，9,3分）如图，AB为。0的直径，CD为弦，AB±CD,

如果NBOC=70°,那么NA的度数为（）

A.70°B.35°C.30°D.20°

【答案】B

25.（2011重庆市潼南,3,4分）如图，AB为。O的直径，点C在。O上,NA=30。,则/B的

度数为

A.15°

3题图

【答案】D

26.（2011浙江省舟山，6,3分）如图，半径为1（）的00中，弦A3的长为16,则这条弦

的弦心距为（）

(A)6(C)10(D)12

（第6题）

【答案】A

二、填空题

1.（2011浙江省舟山，15,4分）如图，A8是半圆直径，半径OC_L4B于点O,4。平分

NCAB交弧于点。，连结C。、OD,给出以下四个结论：®AC//ODx②CE=OE；

③△OOKs△人。o；©2CD2=CEAB.其中止确结论的序号是,

【答案】①@

（2011安徽，13,5分）如图，。。的两条弦AB、C7）互相垂直，垂足为E,且48二CQ,

已知CE=1,ED=3,则。。的半径是,

【答案】小

3.（2011江苏扬州，15,3分）如图,OO的弦CD与直径AB相交,若NBAD=50。，则NACD:

【答案】40°

4.（2011山东日照，14,4分）如图，在以A8为直径的半圆中，有一个边长为1的内接正

方形CDEF,则以AC和BC的长为两根的一元二次方程是.

AcB

【答案】如：x2V5x+l=O；

5.（2011山东泰安，23.3分）如图，必与。O相切，切点为A,PO交。。于点C,点

B是优弧CBA上一点，若N4BC==32°,则NP的度数为。

【答案】26°

6.（2011山东威海，15,3分）如图，。0的直径AB与弦CD相交于点E,若

AE=5.BE=1,CD=472，则ZAED=___________.

【答案】30。

7.（2011山东烟台，16,4分）如图，△A8C的外心坐标是.

【答案】（一2,-1）

8.（2011浙江杭州，14,4）如图，点4,B,C,。都在。O上，比的度数等于84。，CA

是NOCO的平分线，则NABQ十NCAO二°.

（第14题）

【答案】53。

9.（2011浙江温州，14,5分）如图，是。O的直径，点C,。都在。。上，连结C4,

CB,DC,DB.已知/£>=30。，RC=3,则A8的长是

（第14题图）

【答案】6

10.（2011浙江省嘉兴，16,5分）如图，/W是半圆直径，半径OC_L/W于点O,人。平分

NC4B分别交OC于点E,交弧BC于点D,连结CD、OD,给出以下四个结论：

①SSEC=2S.DFQ;②AO2CQ；③线段OD是DE与DA的比例中项;④2CD2=CE•4B.其

中正确结论的序号是.

（第16题）

【答案】@@

11.（2011福建泉州，16.4分）已知三角形的三边长分别为3,4,5,则它的边与半径为

1的圆的公共点个数所有可能的情况是.（写出符合的一种情况即可）

【答案】2（符合答案即可）

12.（2011甘肃兰州，16,4分）如图，OB是。O的半径，点C、D在。O上，ZDCB=27°,

则/OBD二度。

D

c

【答案】63°

13.（2011湖南常德，7,3分）如图2,已知。O是AABC的外接圆，且NC=70。，则NOAB

【答案】20°

14.（2011江苏连云港，15,3分）如图，点。为边AC上一点，点。为边A3上一点，AQ=QO.

以。为圆心，0。长为半径作半圆，交AC于另一点£,交AB于点、F,G,连接EE若

ZBAC=22°,则NE〃G=.

第16题图

【答案】-

2

15.（2011四川广安，19,3分）如图3所不，若。。的半径为13cm,点〃是弦上一

动点，且到圆心的最短距离为5cm，则弦A4的长为________cm

4n

【答案】24

16.（2011重庆江津，16,4分）已知如图，在圆内接四边形ABCD中,NB=30。,则ND=

第16题图

【答案】150°

17.（2011重庆藜江，13,4分）如图，已知A8为。。的直径，NCA8=30。,则,

【答案】：60°

18.（2011江西南昌，13,3分）如图，在△ABC中，点P是△ABC的内心，则

ZPBC+ZPCA+ZPAB=度.

【答案】90

19.（2011江苏南京，13,2分）如图，海边有两座灯塔A、B,暗礁分布在经过A、R两点的

弓形（弓形的弧是。。的一部分）区域内，NAOB=80。，为了避免触礁，轮船P与A、

B的张角NAPB的最大值为°.

【答案】40

20.（2011上海，17,4分）如图，AB.AC都是圆。的弦，OM_LAB,ON1AC,垂足分别

为M、M如果MN=3,那么8C=

【答案】6

21.（2011江苏无锡，18,2分）如图，以原点。为圆心的圆交x轴于点A、B两点,交），

轴的正半轴于点C,D为第一象限内。。上的一点，若ND48=20°,则NOC。=

【答案】65

22.（2011湖北黄石，14,3分）如图（5）,ZU8C内接于圆O,若NB=30°.4C=,则

00的直径为o

【答案】2百

23.（2011湖南衡阳，16，3分）如图，。。的直径C£＞过弦上产的中点G,ZEOD=4（）°,

贝”PC。的度数为.

D

【答案】20

24.（2011湖南永州，8,3分）如图，在。O中，直径CD垂直弦AB于点E,连接OB,CB,

己知。O的半径为2,AB=2石，则NBCD=度.

（第8题）

【答案】30

25.（20011江苏镇江,15,2分）如图,DE是。O的直径，弦AB_LDE,垂足为C,若AB=6,CE=1,贝I」

OC=CD=

答案：4,9

26.（2011内蒙古乌兰察布，14,4分）如图，8E是半径为6的。D的,圆周，c点是

4

上的任意一点，4ABD是等边三角形，则四边形ABCD的周长P的取值范围是

SI4JSRI

【答案】18<〃<18-6五

27.（2011河北，16,3分）如图7,点O为优弧ACB所在圆的圆心，NA00108。，点D

在AB的延长线上，BD=BC,则ND=_。.

【答案】27

28.（2011湖北荆州，⑵4分）如图，。。是AABC的外接圆，CD是直径，ZB=40°,

则NACD的度数是,

【答案】50

三、解答题

1.（2011浙江金华，21,8分）如图，射线PG平分NEPF,。为射线PG上一点，以。为

圆心，10为半径作（DO,分别与/EP/两边相交于A、8和C、。,连结04,此时有OA〃PE.

（1）求证：AP=AO；

（2）若弦A〃=12,求tanNOPA的值；

（3）若以图中已标明的点（即P、A、B、。、。、O）构造四边形，则能构成菱形的四个

点为，能构成等接梯形的四个点为或或.

证明：（1）;PG平分NEPF,

:,NDPO=NBPO，

yOA//PE,

:・/DPO=/POA,

NBPO=NPOA,

：.R\=OA；...2分

解：（2）过点。作O〃_LAB于点从则...1分

2

OH।

tanZOPB=——=",：,PH=2OH,...1分

PH2

设0”二x,则P〃=2x,

由（1）可知以=0A=10,：.AH=PH-R\=2x~\0,

VAH^OH2=OA\A（2x-i0）2+x2=102,......1分

解得内=0（不合题意，舍去），x2=8,

：,AH=6,：.AB=2AH=\2x...1分

(3)P、A、O、C；A、8、。、。或P、A、0、O或P、C、0、B....2分(写对1个、

2个、3个得1分，写对4个得2分)

2.(2011浙江金华，24,12分)如图，在平面直角坐标系中，点A(10,0),以OA为直径

在第一象限内作半圆C,点8是该半圆周上的一动点，连结03、AB,并延长48至点。,

使DB=AB,过点。作x轴垂线，分别交x轴、直线04于点区R点£为垂足，连结

CF.

(I)当N4OB=30。时,求弧AB的长;

(2)当DE=8时，求线段E尸的长；

(3)在点B运动过程中，是否存在以点E、C、尸为顶点的三角形与△AO8相似，若存

在，请求出此时点E的坐标：若不存在，请说明理由.

解：(1)连结BC,

V4(10,0),・・・OA=10,C4=5,

N4OB=30。，

・•・NAC8=2NAOB=60。，

.M,八"i/60x4x557r，八

••弧A8的长=--------=—;...4分

1803

(2)连结OD,

•・•OA是(DC直径，・•・NO8A=90。，

又〈AB=BD,

・・・。4是AO的垂直平分线，

・•・OD=OA=10,

在RtAOOE中，

OE=y/OD2-DE2=A/102-82=6,

，心40—。石=106=4,

由NAO8=NADE=90°NOAB,NOEF=/DEA,

得AOEFsADEA,

:嘿=蕊即；着

，E尸=3；4分

(3)设OE=x,

①当交点E在O,C之间时，由以点E、C、F为顶点的三角形与△40B相似，有

/ECF=/B0A或/ECF=N0AB,当NECF=N804时，此时△0CF为等腰三角形，点

E为0C中点，即0E=2,

2

**•Ei(—>0)；

2

当NEC尸=NOAB时，有CE=5x,AE=10x,

：,CF//AB^CF=-AB,

2

♦：△ECFSREAD、

・・.C£=C£,即生土解得:10

x=一

AEAD10-x43

Ez(—,0);

3

②当交点石在点C的右侧时,

•:/ECF>4B0A,

・•・要使与△84。相似，只能使NEC尸=/840,

连结6E,

•・•BE为RtAAD£斜边上的中线，

：,BE=AB=BD,

工NBEA=NBAO,

JNBEA-ECF,

CF0C

C.CF//BE,・•・——=——

BEOE

VZECF=ZBAO,ZFEC=ZDEA=RtZ,

,CFCE

:ACEFsAAED,

''~AD~~AE'

PCCE

而AD=2BE.

2OE~7JE'

,5x-5初-5+5折5-5A/17,,,

即Hr一=--------解得届=——:——-------<0（舍去）,

2x1（）一x44

・,出（冷叵

,0）;

4

③当交点E在点O的左侧时，

•・•ZBOA=ZEOF>/ECF.

・•・要使AECF与△84。相似，只能使NECQNBAO

连结8E,得BE二LD二AB,ZBEA=ZBAO

2

/.ZECF=ZBEA,

:.CF〃BE,

.CFPC

^~BE~~OE^

又•：/ECF=/BAO,ZFEC=ZDEA=RtZ,

CECF

:.△CEFs/\AED,・'・——=—,

AEAD

.PCCE

而AD=2BE,

.5x+5切但-5+5V17-5-5我……、

••----=-------解得X1=---------,x,=---------<0（舍去），

4一4

・・・点七在，轴负半轴上，•・•&（亨，。），

综上所述：存在以点E、C、尸为顶点的三角形与aAOB相似,此时点E坐标为:

(2011山东德州22,10分)•观察计算

当。=5,〃=3时，勺吆与乱的大小关系是__________________.

2

当。=4,人=4时，竺与疝的大小关系是__________________.

2

•探究证明

如图所示，AA5c为圆。的内接三角形，A8为直径，过。作C3_LA3于。，设

BD=b.

(1)分别用b表示线段。C,CD；

(2)探求。。与CD表达式之间存在的关系

r

(用含4,〃的式子表示).

•归纳结论

根据上面的观察计算、探究证明，你能得出空与，石的大小关系是：

2

•实践应用

要制作面积为1平方米的长方形镜框，直接利用探究得出的结论，求出镜框周长的最小

值.

【答案】•观察计算:竺^疝,

2分

2

•探究证明:

(1)\AB=AD^BD=2OC,

.・.%=也....

3分

2

AB为。。直径,

・•・ZACB=90°.

ZA+ZACO=900,ZACD+ZBCD=90°,

；・/A=/BCD.

•••△ACDsACBD................................4分

.ADCD

''~CD~~BD

即C£>2=AO.8O=而，

/.CD=\[ab.5分

(2)当。二8时,OC=CD,"2二疝；

2

。工人时,OC>C£>.^->4^b..............................6分

2

•结论归纳：—>^.................7分

2

•实践应用

设长方形一边长为x米,则另一边长为,米,设镜框周长为/米，则

x

l=2(x+-)>4^x-l=4...................9分

当/=,，即戈=1(米)时，镜框周长最小.

x

此时四边形为正方形时，周长最小为4米.............10分

4.(2011山东济宁，19,6分)如图，AD为AA5C外接圆的直径，AD上BC,垂足为点

F,NABC的平分线交AD于点E,连接8。，CD.

(I)求证：BD=CD：

(2)请判断3,E,C三点是否在以。为圆心，以03为半径的圆上？并说明理白.

A

（第19W

【答案】（1）证明：•・•AD为直径，AD1BC,

BD=CD.:.BD=CD.

（2）答：B,E,。三点在以。为圆心，以为半径的圆上.

理由：由（1）知：BD=CD,：・/BAD=/CBD.

VZDBE=ZCBD+ZCBE,ZDEB=NBAD+ZABE,ZCBE=ZABE,

・•・ZDBE=NDEB；DB=DE.

由（1）知：BD=CD.:.DB=DE=DC.

:,B,E,C三点在以。为圆心，以08为半径的圆上.

5.（2011山东烟台，25,12分）已知：A8是。。的直径，弦CD_LA8于点G,£是直线A8

上一动点（不与点4、B、G重合），直线DE交00于煎F,直线交直线AA于点

P.设。。的半径为二

（1）如图1,当点E在直径上时，试证明：0E0P"

（2）当点E1在/W（或BA）的延长线上时，以如图2点七的位置为例，请你画出符合

题意的图形，标注上字母，（1）中的结论是否成立？请说明理由.

BE

（图I）（图2）

【答案】（1）证明：连接尸。并延长交。。于Q，连接Q。.

Q是。O直径，・・・NFQQ=90°.

••・NQf7)+NQ=90。.

•・•CD1.AB,・•・NP+ZC=90°.

•・・NQ=NC,:./QFD=4P.

（第25题图）

'：ZFOE=ZPOF,△FOESAPOF.

.：,OEOP=OF2=r.

OFOP

(2)解：(1)中的结论成立.

理由：如图2,依题意画出图形，连接尸。并延长交。0

M,连接CM.

•••FM是。。直径，.'.ZFCM=90°,・・・/M+NCFM=

*：CDLAB,.\Z£+ZD=90o.

*：ZM=ZD,AZCFM=ZE.

*：ZPOF=ZFOE,APOFs0£.

.OPOF

：.OEOP=OF2=r.

'~OF~~OE

6.（2011宁波市，25,10分）阅读下面的情境对话，然后解答问题

（1）根据“奇异三角形”的定义，请你判断小华提出MJ命题：”等边三角形一定是奇异三

角形''是真命题还是假命题？

（2）在RtAABC中，NACB=90。，AB=c,AC=b,BC=a,且b>a,若RtAABC

是奇异三角形，求a：b：c；

（3）如图，A/3是。。的直径，C是上一点（不与点A、4重合），。是半圆4砺的中点,

CD在直径AB的两侧，若在。。内存在点上使得AE=AD,CB=CE.

S求证：AACE是奇异三角形；

3当AACE是直角三角形时，求NAOC的度数.

【答案】解：(1)真命题

(2)在RtAABC中层+属=上

・・・2^>，+〃，2a2<c2+b2

・•・若RtAAAC是奇异三角形，一定有2乂=»+a2

A2/?2=O2+(a2+b2)

：.h2=2a2得:b=-j2a

Vc2=Z>2+a2=3a2

.*.£?：htc=I：yjlz、行

(3)d)VAB是。O的直径ACBADB=90。

在RtAABC中，AC2+BC2=AB2

在RtAAQB中，3+8。2=人炉

•・•点D是半圆A砺的口点

AA

：,AD=BD

：.AD=BD

：.AB2=AD2-\~BD1=2AD2

：.AC2+CB2=2AD2

又・.・CB=CE,AE=AD

：,AC2=CE2=2AE2

•••△ACE是奇异三角形

3由心可得AACE是奇异三角形

：.AC2=CE2=2AE2

当AACE是直角三角形时

由(2)可得AC：AE：CE=\：地：小或AC：AE：CE=小:^2：1

(I)当AC：AE：CE=\：A/2：/时

AC：CE=1：小即AC：CB=1：小

N4CB=90。

JZABC=30°

/.ZA0C=2ZABC=60°

(II)当AC：AE：CE=小:啦：1时

AC：CE=®1BPACtCR=^：1

ZACB=9()°

：.ZABC=60°

/.ZAOC=2ZABC=120°

/.ZAOC=2ZABC=120°

・•・ZAOC的度数为600或120°

7.(2011浙江丽水，21,g分)如图，射线0G平分NEP—O为射线PG上一点，以O为

圆心，1()为半径作。。，分别与NEP厂两边相交于4、B和C、Q,连结04,此时有

(I)求证：AP=AOi

(2)若弦AB=12,求lanN。尸8的值；

(3)若以图中已标明的点(即P、A、B、C、。、。)构造四边形，则能构成菱形的四个点

为，能构成等接梯形的四个点为或或.

B

【解】(1)•.•〃G平分/七—

，/DPO=/BPO,

♦：OA"PE,

/.ZDPO=ZPOA,

/.NBPO=NPOA,

：.PA=OAx

(2)过点O作OHLAB于点H,则AH=HBf

\'AB=\2,

：,AH=6,

由(1)可知以=OA=10,

：.PH=R\+AH=\6,

IO?-62=8,

OH]

tanN

(3)P、A、O、CiA.B、D、。或夕、4、O、。或夕、C、O、B.

8.(2011广东广州市，25,14分)

如图7,。。中八B是直径，。是。。上一点，NA8C=45。，等腰直角三角形。C七中

NOCE是直角，点D在线段4c上.

(1)证明：B、C、E三点共线；

(2)若M是线段BE的中点，N是线段AD的中点，证明：MN=^OM；

(3)将4DCE绕点C逆时针旋转a(0A<u<90A)后，记为(图8),右Mi

是线段BE1的中点，N］是线段AD］的中点，MINI4OM］是否成立？若是，请证明;

若不是，说明理由.

AA

【答案】(1)TAB为。O直径

:.ZACB=90°

,•♦△OCE为等腰直角三角形

:.ZACE=90°

.•.ZBCE=90o+90°=180o

，B、C、E三点共线.

(2)连接BD,AE,ON.

VZACB=90°,NA8c=45。

AAB=AC

VDC=DE

ZACB=ZACE=90°

/.△BCD^AACE

AAE=BD,ZDBE=ZEAC

AZDBE+ZBEA=90°

ABD1AE

VO,N为中点

，ON〃BD,ON=1BD

同理OM〃AE,OM=1AE

AOM±ON,OM=ON

AMN=V2OM

(3)成立

证明：同(2)旋转后NBCD尸NBCE]=9(T-NACDi

所以仍有△BCDigZiACEi，

所以AACEi是由绕点C顺时针旋转90。而得到的，故BD.lAEi

其余证明过程与(2)完全相同.

9.(2011浙江丽水，24,12分)如图，在平面直角坐标系中，点4(10,0),以。4为直径

在第一象限内作半圆C,点3是该半圆周上的一动点，连结08、AB,并延长48至点

D,使。过点。作x轴垂线，分别交x轴、直线于点石、尸，点石为垂足，

连结CF.

(1)当NAO8=3乙时,求弧AB的长;

(2)当DE=8时，求线段EE的长：

(3)在点8运动过程中，是否存在以点E、C、尸为顶点的三角形与aAOB相似，若存

在，请求出此时点后的坐标：若不存在，请说明理由.

【解】(1)连结AC，

VA(10,0),・・・OA=10,CA=5,

NAO8=30。，

；・/4C8=2NAOB=60。,

，翕的长」60X；［X55兀

180~35

(2)连结0。,

•・•Q4是。C的直径，，/OBA=90°,

又・・F8=BD,

・•・。3是4。的垂直平分线，

J00=04=10,

在RtaODE中，

OE=yJOD2-DE2=yj102-82=6.

：.AE=AO-OE=\0~()=4,

由NAOB=NADE=90。-N0A8,

/OEF=NDEA,

得AOEFS^DEA,

ApFFdFF

-D^OF：即市T，•・衣=3；

⑶设OE=x,

①当交点E在O,。之间时，由以点E、C、b为顶点的三角形与AAOB相似,

有N£C4N80A或NECQ/0A8,当NEC尸=/80A时，此时△OCT为等腰三角

形，点石为OC的中点，即

.*.£|（1，0）；

当NECF=N048时，WCE=5~x,AE=\O-x,

:,CFHAB,<CF=^AB,

'：△ECFsXEQ,

・红旦冏5—x1貂得3

m。'即10--4'解得入-3'

・••扬（孚0）；

②当交点E在C的右侧时,

•・•NECF>NBOA

J要使△EC尸与△BA。相似，只能使NEC尸=/840,

连结BE,

•・•/法为RtZXAQE斜边上的中线,

:,BE=AB=BD,

・・・NB£A=NBAO,

ZBEA=ZECF,

CFOC

*：CF//BE,:,BE=OE，

•:/ECF=/BAO,NFEC=NDEA=RtN,

CFCE

，彳三十，

:ACEFsXAED,AL7JAL

QQCE

而AD=23E,

5A—5

即

2x~lO-x*

5+5而5-5VH

解得（舍去）,

4X2=^<0

5+5行

）；

4,0

③当交点E在。的左（M时,

,/ZBOA=ZEOF>ZECF

・•・要使△£©尸与△84。相似，只能使N£C尸=N84。,

连结BE,得BE劣D=AB,

NBEA=NBAO,

NECF=NBEA,

C.CFHBE.

.CFPC

••宿瓦'

乂•：4ECF=/BA0,/产EC=/OE4=RlN,

CECF

:ZEFSMAED,工正而

_亡OCCE

而AZ5=28E，••2OE-AEf

一一屈

,卷一解得5+555—5

；0；x，xk，<0（舍去）,

4X2-4

5—5折

•・•点E在x轴负半轴上,,0),

4

综上所述：存在以点E、C、尸为顶点的三角形与△A08相似，此时点七坐标为:

5

55-5

£Cviz

510-44

£1(3£4

10.（2011江西，21,8分）如图，已知。O的半径为2,弦BC的长为26，点A为弦BC

所对优弧上任意一点（B,C两点除外）。

⑴求NBAC的度数；

⑵求4ABC面积的最大值.

（参考数据:

2

【答案】（1）过点。作。。_14c于点D,连接OA.

因为BC=26,所以CD=；BC=6.

又OC=2,所以sin/DOC=0,即sinNQOC二追，

OC2

所以NQ0060。.

又OD_LBC,所以N8AC=N/）OC=60°.

（2）因为AABC中的边的长不变，所以底边上的高最大时，△ABC面积的最大值,

即点A是BAC的中点时，XABC面积的最大值.

因为NB4C=60。，所以△ABC是等边三角形，

在RtZ\AOC中，AC=26,DC=£,

所以AD=>JAC2-DC2=1（2后-忖=3.

所以△ABC面积的最大值为2Gx3x；=36.

11.（2011湖南常德，25,10分）已知△ABC,分别以AC和BC为直径作半圆。］、0?,P

是AB的中点.

(I)如图8,若△ABC是等腰三角形，且AC=BC,在AC,上分别取点E、F,使

乙40淀=/302尸,见有结论①②四边形P0C02是菱形•请给出结

论②的证明；

(2)如图9,若(1)中AABC是任意三角形，其它条件不变，则(1)中的两个结论还

成立吗？若成立，请给出证明；

(3)如图10,若PC是。。的切线，求证：AB2=BC2+3AC2

【答案】

(1)证明：TBC是。02直径，则02是8C的中点

又P是AB的中点.

・・・P02是aABC的中位线

：.P02=-AC

2

又AC是。O1直径

：,PO2=O\C=-AC

2

同理P01=02C=，BC

2

VAC=BC

：,PO2=O\C=PO\=O2C

・•・四边形pqco2是菱形

(2)结论①,/«£孔尸0产,成立，结论②不成立

证明：在(1)中已证P02=，AC,又OIE=』AC

22

・•・P02=0\E

同理可得尸01=02F

•・•尸。2是△ABC的中位线

：.PO2//AC

：.ZPO2B=ZACB

同理NPO1A;NAC5

:,NPO2B=NPO\A

•・•N4OIE=NBO2F

4P01A+NAO1E=NQO2B+NBO2F

即/2。1£：=//02。

（3）证明：延长AC交。02于点D,连接BD.

•・•BC是。02的直径，则ND=90°,

乂PC是。。的切线，则ZACP=9（I°,

AZACP=ZD

XZPAC=ZBAD,

:.XAPCsXBAO

又P是AB的中点

・-JJ

••法一赤-5

AAC=CD

・•・在RtABCD中，BC2=CD2+BD2=AC2+BD2

在RtAABD中，AB2=AD2+BD2

・•・AB2=4AC2+3D2=（AC?+BD1）+3AC2

・•.AB2=BC2+3AC-

12.（2011江苏苏州，268分）如图,已知AB是。O的弦,0B=2,ZB=30°,C是弦AB

上任意一点（不与点A、B重合），连接CO并延长CO交。O于点D,连接AD.

（1）弦长AB=（结