2025年山东省泰安市高新区九年级数学中考模拟题（解析版）

九年级模拟试卷数学试题本试卷共4页．满分150分．考试用时120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．注意事项：1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号和座号填写在答题卡和试卷规定的位置上．2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效．3．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个选项符合题目要求．1.下列各数中为无理数的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数，掌握无理数的定义是解题的关键．无理数就是无限循环小数，依据定义即可作出判断．【详解】解：A．是有理数，不符合题意；B．是有理数，不符合题意；C．无限不循环小数，是无理数，正确；D．是整数，不符合题意；故选：C．2.未来将是一个可以预见的时代，下列是世界著名人工智能品牌公司的图标，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查了轴对称图形的定义，中心对称图形的定义，根据沿着某条直线折叠，两边的图形能够重合的图形是轴对称图形；在平面内，把一个图形绕某点旋转，如果旋转后的图形与原图形重合，那么这两个图形互为中心对称图形；据此进行逐项判断即可【详解】解：A、是中心对称图形但不是轴对称图形，故该选项不符合题意；B、是轴对称图形但不是中心对称图形，故该选项不符合题意；C、不是中心对称图形也不是轴对称图形，故该选项不符合题意；D、是轴对称图形也是中心对称图形，故该选项不符合题意；故选：A3.是人工智能研究实验室新推出的一种由人工智能技术驱动的自然语言处理工具，的背后离不开大模型、大数据、大算力，其技术底座有着多达175000000000个模型参数，数据175000000000用科学记数法表示为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定a与n的值是解题的关键．用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可．【详解】解：，故选：C．4.若点，在第二象限，那么a的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查解一元一次不等式组和点的坐标，解题的关键是掌握各象限内横，纵坐标的符号，列出不等式组．在第二象限，可得，即可解得答案．【详解】解：点在第二象限，，解得：；故选：A5.下列各题中，计算结果正确的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】此题主要考查了合并同类项法则，直接利用合并同类项法则化简求出各项再判断即可．【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，故此选项错误，不符合题意；B、与不是同类项，不能合并，故此选项错误，不符合题意；C、，故此选项错误，不符合题意；D、，正确，符合题意．故选：D．6.从1，2，3，4四个数字中随机选出两个不同的数，分别记作，则关于x的一元二次方程只有两个相等实数根的概率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查了画树状图法求概率，一元二次方程根的判别式；根据题意画出树状图得出所有等可能的结果数，再找出满足的结果数，然后根据概率公式求解即可．【详解】解：画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中满足的结果数有1种，，则关于的一元二次方程有两个相等实数根的概率．故选：D．7.“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是（）A.在同一个三角形中，等边对等角B.两个角互余的三角形是等腰三角形C.如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形D.如果一个三角形有两条边相等，那么这个三角形是等腰三角形【答案】C【解析】【分析】此题考查命题的逆命题，一个命题的题设和结论是另一个命题的结论和题设，则该命题是原命题的逆命题．根据逆命题的定义直接解答即可．【详解】解：“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形，故选：C．8.已知有理数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论中正确的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查利用数轴判断式子符号．通过数轴判断出点所代表的数的符号以及大小关系，是解题的关键．【详解】解：由图可知：，；A、，选项错误，不符合题意；B、，选项错误，不符合题意；C、，选项错误，不符合题意；D、，选项正确，符合题意；故选：D．9.我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率的近似值为3.1416．圆的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正十二边形面积近似估计圆的面积，可得的估计值为3．如图，若用半径为1的圆的内接正六边形面积作近似估计，可得的估计值为（）A.3 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查了正多边形与圆的综合、等边三角形的判定及性质、含角的直角三角形的特征．连接、，作于，利用正多边形的性质得，再根据等边三角形的判定及性质得，，进而可得，再利用割补法求得正六边形的面积，进而可求解．【详解】解：连接、，作于，如图：六边形是正六边形，，，，，，，，，，，，的估计值为，故选：B．10.某市需要紧急生产一批民生物资，现有甲、乙两家资质合格的工厂招标，加工一天需付甲厂货款万元，付乙厂货款万元，指挥中心的负责人根据甲乙两厂的投标测算，可有三种施工方案：方案①：甲厂单独完成这项任务刚好如期完成；方案②：乙队单独完成这项任务比规定日期多用天；方案③：若甲乙两厂合作天后，余下的工程由乙厂单独做也正好如期完成，在不耽误工期的前提下，最节省费用的加工方案是（）A.方案① B.方案② C.方案③ D.方案①和方案③【答案】C【解析】【分析】设甲厂单独完成这项任务需要天，则乙厂单独完成这项任务需要天，根据甲乙合作天的工作总量乙做（规定天数）天的工作量，求出甲厂单独完成这项任务需要天数，再分别算出三种方案的价钱，根据题意进行选择即可．【详解】解：设甲厂单独完成这项任务需要天，则乙厂单独完成这项任务需要天，根据题意得：，解得：，经检验：是原分式方程的解，，这三种方案需要的工程款为：方案①（万元）；方案②（万元）；方案③（万元）．综上所述，可知在保证正常完工的前提下，应选择方案③．故选：．【点睛】本题考查了分式方程的应用，把完成工作量看作，根据工作量=工作时间工作效率可列出方程求解，是解答本题的关键．二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分．11.若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是___________．【答案】【解析】【分析】此题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，熟记两个条件是解题的关键．根据二次根式有意义的条件：被开方数非负，分式有意义的条件：分母不为0，即可求解．详解】解：由题意得，且，∴，故答案为：．12.一元二次方程的解为_________________．【答案】【解析】【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键．利用因式分解法求解即可．【详解】解：或，解得：．13.如图，一直线与两坐标轴的正半轴分别交于A，B两点，P是线段AB上任意一点（不包括端点），过P分别作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形的周长为10，则该直线的函数表达式是__．【答案】【解析】【详解】试题分析：首先设点P的坐标为(x，y)，根据矩形的周长可得：2(x+y)=10，则y=-x+5，即该直线的函数解析式为y=-x+5.14.如图，在中，，如果将绕点A顺时针旋转得到，点D、E分别与点B、C对应，如果，那么旋转角（大于且小于）的大小为______．【答案】或【解析】【分析】本题主要考查了旋转的性质，分点D在上方，点D在下方两种情况，根据角的和差关系分别求出的度数即可得到答案．【详解】解：如图所示，当点D在上方时，由旋转的性质可得，∵，∴，∴，∴旋转角的大小为；如图所示，当点D在下方时，由旋转的性质可得，∵，∴，∴∴，∴旋转角的大小为；综上所述，旋转角的大小为或；故答案为：或．15.在平面直角坐标系中，有一系列的点其中每一个点的横坐标是它前一个点的纵坐标的相反数与1的和，纵坐标是它前一个点的横坐标与2的和，即若点，则．若点的坐标为，则点的坐标为___________．【答案】【解析】【分析】根据题意，计算出各点的坐标，从中得出坐标4个为一个循环，由此得出结果．本题考查的是点的坐标变化规律，熟练找出其中的规律是解题的关键．【详解】解：∵点的坐标为，∴点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，．．．．．．．∴上述坐标4个为一个循环，∴，∴点的坐标为，故答案为：．三、解答题：本题共8小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16.计算：（1）．（2）先化简，再求值：，其中．【答案】（1）（2）【解析】【分析】本题考查了实数的混合运算，分式的化简求值，涉及特殊角的三角函数值，零指数幂和立方根的概念等，熟练掌握知识点，正确计算是解题的关键．（1）分别计算绝对值，零指数幂，计算三角函数值，负整数指数幂和求立方根，再进行加减计算；（2）先计算括号内分式加法，再将除法化为乘法计算，最后代入求值，分母有理化求解即可．【小问1详解】解：；【小问2详解】解：，当时，原式17.《几何原本》是一部集前人思想和欧几里得个人创造性于一体的不朽之作，把人们公认的一些事实列成定义，公理和公设，用它们来研究各种几何图形的性质，从而建立了一套从定义，公理和公设出发，论证命题得到定理的几何学论证方法．初中教材中已经学习了“在一个三角形中，等边对等角；等角对等边”．小丽同学提出问题：一个三角形中，不相等的边和角有没有什么对应关系呢？学习了角平分线后，小丽进行了如下探究．请根据她的思路，完成以下作图与填空：已知：如图，中，．求证：．（1）尺规作图：在图1中，作的角平分线，交于点D，在上截取，连接．（保留作图痕迹）（2）证明：平分线，∴___________．在和中，．___________．___________，．通过探究可以得出结论：在同一个三角形中，_____________________．（3）如图2，在四边形中，．请猜想和的关系，并证明你的结论．【答案】（1）见解析（2）；；；；大边对大角（3）【解析】【分析】（1）按照尺规作图---角平分线的方法即可作图；（2）先证明，，由三角形外角性质得到，即可证明；（3）连接，由，得到，而，则，再根据不等式的性质得到，即可得到；【小问1详解】解：如图，即为所作：【小问2详解】证明：平分线，∴．在和中，．，，．通过探究可以得出结论：在同一个三角形中，大边对大角．故答案：；；；；大边对大角；【小问3详解】解：连接，∵，∵，∵，∴，∴，∴．【点睛】本题考查了角平分线的尺规作图，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的外角性质，不等式的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．18.已知反比例函数与正比例函数相交于A，B两点，A点横坐标为2．（1）______；当，x取值范围是______．（2）若A点坐标为，则B点坐标为______；（用a，b表示）（3）将正比例函数图象向下平移3个单位长度，分别交反比例函数图象于点C，D．交y轴于点E．连接，，求的面积．【答案】（1）4，或（2）（3）【解析】【分析】本题主要考查待定系数法求函数解析式及函数的交点问题、三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用待定系数法确定函数解析式，学会利用图象根据条件确定自变量取值范围，属于中考常考题型．（1）把A点横坐标代入正比例函数可求得A点坐标，代入反比例函数解析式可求得k，可求得反比例函数解析式；根据图象反比例函数图象在正比例函数图象的上方，即可写出x的取值范围．（2）根据点A和点B关于原点对称即可得点B的坐标；（3）过点B作轴交于点I，由条件可求得D、C的坐标，用的面积减去的面积即可求出．【小问1详解】解：A点横坐标2，，即，，即，∵点A和点B关于原点对称，∴，由图像可知，时，或；故答案为：4，或；【小问2详解】解：∵点A和点B关于原点对称，A点坐标为，∴B点坐标为，故答案为：；【小问3详解】解：由题意可得，，，联立得，即，解得，，过点B作轴交于点I，则，，的高为6，底为3，的高为1，底为3，．19.学校团委进行了入团积极分子测试，分别从八，九年级各随机抽取20名学生的测试成绩（满分：100分）进行整理，描述和分析，给出以下部分信息：（Ⅰ）八年级20名学生测试成绩的频数分布表和频数分布直方图如下：成绩（分）频数（人）频率0.0530.1580.4060.30合计201.00（Ⅱ）八年级测试成绩在中分别为：83，84，86，87，88，89，89，89．（Ⅲ）八，九年级测试成绩的统计数据如下表所示：年级平均分中位数众数八年级83.789九年级84.28585中根据以上信息，解答下列问题：（1）______；______；（2）补全频数分布直方图；（3）结合所给数据及图表中信息，对下列说法进行判断，正确的画“√”，错误的画“×”．①在这次测试活动中，某学生的测试成绩是86分，在他所属的样本中位于中等偏上水平，那么这个学生是八年级的学生．（）②若测试成绩不低于85分为优秀，根据统计结果，估计八年级600名学生中测试成绩优秀的人数为360人．（）【答案】（1）1；87.5（2）见详解（3）①×；（2）√【解析】【分析】本题主要考查频数分布直方图，频数分布表，中位数以及样本估计总体，熟练掌握计算方法是解题的关键．（1）根据“频率频数总数”可得的值，再根据中位数的定义得到的值；（2）根据数据补全图形即可；（3）根据题中信息进行判定．【小问1详解】解：由题意得：；把八年级学生的竞赛成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别是，；【小问2详解】解：由题意知，成绩在这一组的人数为人，故补全频数分布直方图：【小问3详解】解：①由题意知，八年级的中位数为，九年级的中位数为，某学生的测试成绩是86分，在他所属的样本中位于中等偏上水平，那么这个学生是九年级的学生．故该说法错误，故答案为：；②若测试成绩不低于85分为优秀，根据统计结果，估计八年级600名学生中测试成绩优秀的人数为人．故该说法正确，故答案为：√．20.如图，在正方形中，点为对角线上一动点（点不与、重合），连接，过点作交直线于，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，，．（1）求证：；（2）试探究与的数量关系，并说明理由；（3）若正方形的边长为，求的最小值．【答案】（1）证明见解析（2），理由见解析（3）【解析】【分析】（）利用正方形的性质和旋转的性质可得，，利用余角性质可得，进而即可求证；（）由全等三角形的性质得，即得，进而由正方形性质得；（）延长至，使，连接、、，由正方形和全等三角形的性质得，进而可得，即得，得到，即可得，利用勾股定理求出即可求解．【小问1详解】证明：∵四边形是正方形，∴，，∴，又由旋转得，，，∴，∴，∴；【小问2详解】解：，理由如下：∵，∴，∴，∵四边形是正方形，∴，∴；【小问3详解】解：如图，延长至，使，连接、、，则，∵四边形是正方形，∴，∵，∴，∴，∴，又∵，，∴，∴，∴，∴当点三点共线时，取最小值，最小值为的长，∵，∴的最小值为．【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，两点之间线段最短，正确作出辅助线是解题的关键．21.如图，在中，是直径，是弦，且，垂足为，，，在的延长线上取一点，连接，使．

（1）求证：是的切线；（2）求的长．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】本题考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，圆周角定理，正确地作出辅助线是解题的关键．（1）连接，根据等腰三角形的性质得到，等量代换得到，得到，根据切线的判定定理得到结论；（2）根据垂径定理得到，根据勾股定理得到，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．【小问1详解】证明：连接，

，，，，，，，，，，是的半径，是的切线；【小问2详解】解：是直径，是弦，且，，，，，，，，，，，．22.某校无人机兴趣小组在广场上开展活动，测量无人机的飞行高度．如图所示，点，，在同一平面内，操控者站在坡度是，坡面长的斜坡的底部处遥控无人机，坡顶处的无人机以的速度沿仰角的方向爬升，时到达空中的点处．（1）求此时无人机离点所在地面的高度；（2）此时，若在距离点处的点处站着一个人，他正抬头仰望无人机，请问无人机是否在此人头顶的正上方？请说明理由．（结果精确到，参考数据：，，，，）【答案】（1）