小学奥数工程问题

小学奥数工程问题一、工程问题基本概念与公式1.基本概念工程问题是小学数学应用题教学中的重点，是分数应用题的引申与补充，是培养学生抽象逻辑思维能力的重要工具。它是把工作总量看成单位"1"的应用题，它具有抽象性，学生认知起来比较困难。2.基本公式工作总量=工作效率×工作时间工作效率=工作总量÷工作时间工作时间=工作总量÷工作效率

二、简单的工程问题（一）已知工作总量和工作时间求工作效率1.例题一项工程，甲队单独做10天完成，乙队单独做15天完成。甲队每天完成这项工程的几分之几？乙队每天完成这项工程的几分之几？2.分析把这项工程的工作总量看成单位"1"。根据工作效率=工作总量÷工作时间，可得：甲队工作效率：\(1\div10=\frac{1}{10}\)乙队工作效率：\(1\div15=\frac{1}{15}\)3.练习一批零件，王师傅单独做要12小时完成，李师傅单独做要15小时完成。王师傅每小时完成这批零件的几分之几？李师傅每小时完成这批零件的几分之几？一项工程，甲单独做20天完成，乙单独做30天完成。甲、乙两队每天各完成这项工程的几分之几？

（二）已知工作总量和工作效率求工作时间1.例题一项工程，甲队每天完成\(\frac{1}{12}\)，乙队每天完成\(\frac{1}{15}\)。两队合做几天可以完成这项工程？2.分析首先求出两队的工作效率之和：\(\frac{1}{12}+\frac{1}{15}=\frac{5}{60}+\frac{4}{60}=\frac{3}{20}\)。

再根据工作时间=工作总量÷工作效率，可得两队合做完成这项工程需要的时间为：\(1\div\frac{3}{20}=1\times\frac{20}{3}=\frac{20}{3}\)（天）3.练习一批货物，甲车单独运4小时运完，乙车单独运6小时运完。两车合运几小时可以运完这批货物？一项工程，甲队单独做每天完成\(\frac{1}{10}\)，乙队单独做每天完成\(\frac{1}{12}\)。两队合做多少天可以完成这项工程的\(\frac{11}{12}\)？

（三）已知工作效率和工作时间求工作总量1.例题甲队每天修路\(\frac{1}{8}\)千米，乙队每天修路\(\frac{1}{10}\)千米。两队合修5天，一共修了多少千米？2.分析先求出两队每天一共修路的长度：\(\frac{1}{8}+\frac{1}{10}=\frac{5}{40}+\frac{4}{40}=\frac{9}{40}\)（千米）

再根据工作总量=工作效率×工作时间，可得两队合修5天的工作总量为：\(\frac{9}{40}\times5=\frac{9}{8}\)（千米）3.练习一台拖拉机每小时耕地\(\frac{1}{5}\)公顷，3台这样的拖拉机4小时耕地多少公顷？一个工程队每天铺设管道\(\frac{3}{4}\)千米，照这样计算，12天铺设管道多少千米？

三、工程问题中的合作问题（一）两人合作问题1.例题一件工作，甲单独做12小时完成，乙单独做10小时完成。甲先做3小时后，余下的由甲乙二人合做，还需几小时才能完成？2.分析甲先做3小时的工作量为：\(\frac{1}{12}\times3=\frac{1}{4}\)

那么剩下的工作量为：\(1\frac{1}{4}=\frac{3}{4}\)

甲乙合作的工作效率为：\(\frac{1}{12}+\frac{1}{10}=\frac{5}{60}+\frac{6}{60}=\frac{11}{60}\)

根据工作时间=工作总量÷工作效率，可得甲乙合作完成剩下工作需要的时间为：\(\frac{3}{4}\div\frac{11}{60}=\frac{3}{4}\times\frac{60}{11}=\frac{45}{11}\)（小时）3.练习一项工程，甲单独做15天完成，乙单独做12天完成。甲先做6天后，剩下的由甲乙合做，还要几天完成？一件工作，甲单独做8小时完成，乙单独做12小时完成。甲先做2小时，余下的由乙单独做，还需要几小时完成？

（二）多人合作问题1.例题一项工程，甲、乙、丙三人合做6天可以完成。甲、乙两人合做9天可以完成。丙单独做需要几天完成？2.分析甲、乙、丙三人的工作效率之和为：\(1\div6=\frac{1}{6}\)

甲、乙两人的工作效率之和为：\(1\div9=\frac{1}{9}\)

那么丙的工作效率为：\(\frac{1}{6}\frac{1}{9}=\frac{3}{18}\frac{2}{18}=\frac{1}{18}\)

根据工作时间=工作总量÷工作效率，可得丙单独完成需要的时间为：\(1\div\frac{1}{18}=18\)（天）3.练习一项工程，甲、乙、丙三人合做8天可以完成。乙、丙两人合做12天可以完成。甲单独做需要几天完成？一件工作，甲、乙合做6天可以完成，乙、丙合做8天可以完成，甲、丙合做12天可以完成。三人合做几天可以完成？

四、工程问题中的交替工作问题（一）两人交替工作1.例题一项工程，甲单独做需要12小时完成，乙单独做需要18小时完成。若甲做1小时后乙接替甲做1小时，再由甲接替乙做1小时......两人如此交替工作，问完成任务时共用了多少小时？2.分析甲乙各做1小时看作一个循环周期，一个周期完成的工作量为：\(\frac{1}{12}+\frac{1}{18}=\frac{3}{36}+\frac{2}{36}=\frac{5}{36}\)

\(1\div\frac{5}{36}=1\times\frac{36}{5}=7\frac{1}{5}\)，即经过7个完整周期后还剩下的工作量为：\(1\frac{5}{36}\times7=1\frac{35}{36}=\frac{1}{36}\)

此时轮到甲做，甲完成剩下的\(\frac{1}{36}\)需要的时间为：\(\frac{1}{36}\div\frac{1}{12}=\frac{1}{36}\times12=\frac{1}{3}\)（小时）

所以完成任务共用的时间为：\(7\times2+\frac{1}{3}=14+\frac{1}{3}=14\frac{1}{3}\)（小时）3.练习一项工程，甲单独做要6小时完成，乙单独做要10小时完成。如果按甲、乙；甲、乙......的顺序交替工作，每次1小时，需要多少小时才能完成？一部书稿，甲单独打字要14小时完成，乙单独打字要20小时完成。如果先由甲打1小时，然后由乙接替甲打1小时；再由甲接替乙打1小时......两人如此交替工作，打完这部书稿共需用多少小时？

（二）多人交替工作1.例题一项工程，甲、乙、丙三人合做需13天完成。如果丙休息2天，乙就要多做4天，或者由甲、乙两人合做多做1天。这项工程由甲单独做需要多少天完成？2.分析根据"丙休息2天，乙就要多做4天"可知，丙2天的工作量等于乙4天的工作量，那么丙的工作效率是乙的\(4\div2=2\)倍。

由"丙休息2天，甲、乙两人合做多做1天"可知，丙2天的工作量等于甲、乙合作1天的工作量。

设乙的工作效率为\(x\)，则丙的工作效率为\(2x\)，可得方程：

\(2\times2x=1\times(x+甲的工作效率)\)

\(4x=x+甲的工作效率\)

所以甲的工作效率为\(3x\)。

甲、乙、丙三人工作效率之和为\(1\div13=\frac{1}{13}\)，即\(3x+x+2x=\frac{1}{13}\)

\(6x=\frac{1}{13}\)

\(x=\frac{1}{78}\)

则甲的工作效率为\(3\times\frac{1}{78}=\frac{1}{26}\)

所以甲单独完成这项工程需要的时间为：\(1\div\frac{1}{26}=26\)（天）3.练习一项工程，甲、乙、丙三人合做需10天完成。如果甲休息1天，乙就要多做2天，或者由甲、乙两人合做多做1天。这项工程由甲单独做需要多少天完成？一件工作，甲、乙、丙三人合做需8天完成。如果丙休息3天，甲就要多做6天，或者由甲、乙两人合做多做2天。这项工程由乙单独做需要多少天完成？

五、工程问题中的注水与排水问题（一）注水问题1.例题一个水池，单开甲管40分钟可以注满，单开乙管1小时可以注满。两管同时打开，多长时间可以注满水池的\(\frac{3}{4}\)？2.分析1小时=60分钟，甲管的注水效率为\(1\div40=\frac{1}{40}\)，乙管的注水效率为\(1\div60=\frac{1}{60}\)。

两管同时打开的注水效率为：\(\frac{1}{40}+\frac{1}{60}=\frac{3}{120}+\frac{2}{120}=\frac{1}{24}\)

根据工作时间=工作总量÷工作效率，可得注满水池的\(\frac{3}{4}\)需要的时间为：\(\frac{3}{4}\div\frac{1}{24}=\frac{3}{4}\times24=18\)（分钟）3.练习一个水池，单开甲管30分钟可以注满，单开乙管45分钟可以注满。两管同时打开，多长时间可以注满水池的\(\frac{5}{6}\)？一个水箱有甲、乙、丙三根进水管，如果只打开甲、丙两管，甲管注入30吨水时，水箱已满；如果只打开乙、丙两管，乙管注入40吨水时，水箱才满。已知乙管每分钟注水量是甲管的1.5倍，则该水箱注满时可容纳多少吨水？

（二）排水问题1.例题一个水池，有一个进水管和一个排水管。单开进水管4小时可以将空池注满，单开排水管6小时可以将满池水放完。如果两管同时打开，多长时间可以将空池注满？2.分析进水管的注水效率为\(1\div4=\frac{1}{4}\)，排水管的排水效率为\(1\div6=\frac{1}{6}\)。

两管同时打开的实际注水效率为：\(\frac{1}{4}\frac{1}{6}=\frac{3}{12}\frac{2}{12}=\frac{1}{12}\)

根据工作时间=工作总量÷工作效率，可得注满空池需要的时间为：\(1\div\frac{1}{12}=12\)（小时）3.练习一个水池，有一个进水管和一个排水管。单开进水管5小时可以将空池注满，单开排水管8小时可以将满池水放完。如果两管同时打开，多长时间可以将空池注满？一个蓄水池，每分钟流入4立方米水。如果打开5个水龙头，2.5小时就把水池水放空，如果打开8个水龙头，1.5小时就把水池水放空。现在打开13个水龙头，要多长时间才能把水放空？

（三）注水与排水综合问题1.例题一水池装有甲、乙两个水管。乙管每小时排水量是甲管的\(75\%\)。先用乙管排水5小时后，改用甲管排水，结果比只用乙管提前1小时把水池中的水排空；如用乙管排水120吨后再改用甲管排水，则比只用乙管可提前2小时把水池中的水全部排空。那么水池原有水多少吨？2.分析设甲管每小时排水量为\(x\)吨，则乙管每小时排水量为\(0.75x\)吨。

设水池原有水\(y\)吨。

根据"先用乙管排水5小时后，改用甲管排水，结果比只用乙管提前1小时把水池中的水排空"可列方程：

\(\frac{y}{0.75x}51=\frac{y5\times0.75x}{x}\)

根据"如用乙管排水120吨后再改用甲管排水，则比只用乙管可提前2小时把水池中的水全部排空"可列方程：

\(\frac{y}{0.75x}\frac{120}{0.75x}2=\frac{y120}{x}\)

联立方程组求解：

由\(\frac{y}{0.75x}51=\frac{y5\times0.75x}{x}\)可得：

\(\frac{y}{0.75x}6=\frac{y3.75x}{x}\)

\(\frac{y}{0.75x}\frac{y3.75x}{x}=6\)

\(\frac{y}{0.75}(y3.75x)=6x\)

\(\frac{4y}{3}y+3.75x=6x\)

\(\frac{y}{3}=2.25x\)

\(y=6.75x\)

将\(y=6.75x\)代入\(\frac{y}{0.75x}\frac{120}{0.75x}2=\frac{y120}{x}\)可得：

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