人教版专题33 函数的奇偶性、周期性与对称性【2024年高考数学一轮复习题型突破】及试题解析

专题3.3函数的奇偶性、周期性与对称性

【题型目录】

题型一判断函数的奇偶性

题型二利用奇偶性求函数值或参数值

题型三利用奇偶性求解析式

题型四函数周期性的应用

题型五函数对称性的应用

题型六单调性与奇偶性的综合问题

题型七对称性、周期性与奇偶性的综合问题

【典型例题】

题型一判断函数的奇偶性

例1.(2023•北京房山・统考二模)下列函数中，是偶函数且有最小值的是()

A.f(x)=x2-2xB./(x)=|ln.x|

C.f(x)=xsinxD,〃x)=2'+2T

例2.(2023•山东青岛・统考二模)已知函数/(x)=x,g(x)=2、2、则大致图象

如图的函数可能是()

A.〃x)+g(x)B./㈤-g(x)C./(x)g(x)D.44

举一反三

练习1.(2023春•北京•高三北京师大附中校考期中)下列函数是奇函数的是()

A./(X)=1+COSA-B./(x)=x+sinx

C./(x)=x+cosxD./(.v)=l+sinx

练习2.(2023•上海•高三专题练习)函数y=lg(lr)+lg(l+%)是()

A.奇函数B.偶函数C.奇函数也是偶函数D.非奇非偶函

数

练习3.(2023•北京海淀•统考二模)下列函数中，既是奇函数又在区间(OJ)上单

调递增的是()

2

A..y=lgxB.y=-C.>'=2|r|D.y=tanx

x

练习4.(2023春・上海松江•高一上海市松江二中校考期中)下列函数在其定义域

内既是严格地函数，又是奇函数的是()

A.y=SinXB.y=log,x

C.y=x-cosxD.y=e-cx

练习5.(2()23•海南•校联考模拟预测)函数/(同=就行

的大致图象是()

”；；¥；

c卜DMl

题型二利用奇偶性求函数值或参数值

例3.(2023春•宁夏银川•高二银川一中校考期中)若/3二防丁二+小+〃-1为奇

函数，则〃=()

A.In2B.2C.IngD.1+In1

例4.(2023春・河北保定•高三保定一中校考期中)已知函数f(x)=e+/短+3且

“2023)=16,则/(-2023)的值为

里•反三

练习6(2022秋•高三课时练习)/(力为奇函数,g(x)为偶函数,且

/(-l)+g⑴=4,/⑴+飘-1)=2则g6=()

A.3B.-1C.1D.-3

练习7.(2023・辽宁•校联考二模)城=1”是“函数/(x)=lg(6+,7)是奇函数”

的().

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

练习8.(2022秋•江苏南通・高一江苏省通州高级中学校考阶段练习)若函数

14

/(x)=a'+"(a＞。，。＞。，“工1，》工1)是偶函数，则一+二的最小值为()

ab

A.4B.2C.2V2D.2g

练习9.（2023・广西玉林・统考三模）函数=版-tanx+2,若/（2=1,则

“f）=•

练习10.（2023・上海金山•统考二模）已知＞=/（"是定义域为R的奇函数，当20

时，/（X）=2F+2*-1,则2）=.

题型三利用奇偶性求解析式

小—3Txv0

例5.（2023・全国•高一专题练习）已知奇函数/（“）=「、」二则

g|x）+l,x＞0,

g（x）=.

例6.（2023春・上海宝山•高三上海交大附中校考期中）已知是定义域为

R的奇函数，当工＞0时，/⑴印―2%,则当xvo时，尸”r）的表达式为.

圜二反三

练习II.（2023•安徽马鞍山•统考三模）函数/*）的定义域为R,y=/（x）+2e,是偶

函数，），=/。）-3^是奇函数，则Ax）的最小值为（）

A.eB.6C.2x/2D.2后

练习12.（2023・全国•模拟预测）已知函数”X）是奇函数,函数g（x）是偶函数.若

f（x）-g（x）=xsinxt则（）

&202371n202371〃八一

A.——B.——--C.0D.-1

22

练习13.（2023・全国•高三专题练习）已知函数/（刈是定义在R上的奇函数，当

2

x>0时，/(X)=-A-+4X-3,则函数的解析式为.

练习14.(2023秋•安徽芜湖•高三统考期末)函数)，=〃力为偶函数，当x>0时,

f(x)=hvc+x-\,贝lJx<0时，f(x)=.

练习15.(2022秋安徽马鞍山.高三安徽省马鞍山市第二十二中学校考期中)已

知f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，/(x)=3-2.

⑴求/("的解析式；

(2)若方程/(X)=。有两个实数解，求，”的取值范围.

题型四函数周期性的应用

例7.(2()23•山西运城・统考三模)已知定义在R上的函数“力满足

/(x+3)=-/W，g(x)=〃x)-2为奇函数,则，(198)=()

A.0B.1C.2D.3

例8.(2023・陕西商洛•统考三模)定义在R上的奇函数/⑴满足V"R,

2023

/(x)+/(4-x)=0,且当0vx<2时，/(X)=X2-2\则Z|f(i)|=.

举一反三

练习16.(2023春・江西・高三江西师大附中校考阶段练习)已知定义在R上的函

数f(x)满足〃xT)+〃x+l)=0,且当xe[0,2)时,/(x)=log2(x+l),则“2025)的

值为()

A.-3B.3C.-1D.1

4’¥<0

练习17.(2023•全国•模拟预测)已知函数/。)=/~.、，则

27(x-ln)-2/(x-2),x>0n

7(2023)的值为()

A.2MoB.2",,,C.2,0,0D.22022

练习18.(2023•全国•高三专题练习)若函数/(*)满足f(x+2)=-f(x),且当xe[0,l]

时，/(x)=—则/(23)=()

4-2x

A.-IB.-；C.0D.g

练习19.(2023・广东•高三专题练习)已知WxwR,函数/(“都满足

〃工)./"(*14)=1，又/1)=2,则/(")=.

练习20.(2023秋•黑龙江哈尔滨・高三哈尔滨三中校考期末)已知定义在R上的

奇函数/(x)满足〃x+4)="x)恒成立，且/⑴=1,则〃2)+〃3)+〃4)的值为

题型五函数对称性的应用

例9.(2023・湖北・统考二模)已知函数〃⑪+方)图象的对称轴为x=J则/(X)图

象的对称轴为()

A.x=ab+cB.x=ab-c

C.x=ac+bD.x=ac-b

例10.(2023•浙江•高三专题练习)定义在R上的非常数函数“力满足:

“r)=/(x),且/(2-x)+/(x)=0.请写出符合条件的一个函数的解析式

/(-'•)=______

举一反三

练习21.(2023•山西晋中统考二模)已知函数/(“1，-孰⑺，则/⑴的图

象()

A.关于直线x=2对称B.关于点(2⑼对称C.关于直线x=0对

称D.关于原点对称

练习22.(2023・陕西安康・统考二模)已知定义在R上的奇函数/")满足

/(x+l)=/(1-x),则“2022)=()

A.-IB.0C.1D.2.

练习23.(2023秋・河北承德•高三统考期末)已知函数/(x)"eR)满足

/(x)=/(4-x),若y=|x-2|与y=/(x)图象的交点为(8,乂象叫必)，(为必)，(冷切)，

则±+±+工3+%=()

A.-4B.0C.4D.8

练习24.(2021春•陕西汉中•高三统考期中)已知二次函数/(x)=ad+瓜+。，满

足/(3+x)=/(3-x),且f(4卜〃5),则不等式的解集为______.

练习25.(2023秋・江苏苏州•高三统考开学考试)写出一个非常数函数同时满足

条件:0/(x+2)=/(x),②H1—X)="1+x).则/。)=.

题型六单调性与奇偶性的综合问题

例11.（2022秋.新疆乌鲁木齐.高三乌鲁木齐市第四中学校考期末）已知函数

/（尤+1）是偶函数，当1<为<七时，［/&）-/（毛）］&-毛）>。恒成立，设a=

〃=/（2）,c=/（3）,则0b,c的大小关系为（）

A.c<b<aB.b<a<cC.b<c<aD.a<b<c

例12.（2022秋•广东佛山・高三佛山市荣山中学校考期中）若函数人力是定义在

（T1）上的奇函数，当xw（-L0）时，"%）=寸-1,则当％w（0,l）时，函数/"）的解

析式为;若函数“X）是定义在上的偶函数，且在上为增函

数.则不等式/—的解集为

里•反三

练习26.（2023・广西•校联考模拟预测）下列函数既是奇函数又在（-11）上是增函

数的是（）

A.y=sinA-

C.y=-x3

练习27.（2023・全国•高三专题练习）已知函数〃同=喧（看+1）+。

+3,则不

等式41闵>3的解集为（）

C.（1,1。）

练习28.（2023秋•浙江杭州•高三杭州市长河高级中学校考期末）若“X）是奇函

数，且在（0，+8）上是增函数，又/（-3）=0,则加力＜0的解是（）

A.（-3,0）J（l,+oo）B.（F,-3）5（）,3）C.（^O-3）J（3,+OO）D.（-3,0）U（0,3）

练习29.（2023春・河北保定•高三保定一中校考期中）已知函数/"）是定义在

2

卜3,3］上的奇函数，当0＜”3时，f（x）=^x+x+\.

（1）求函数/"）的解析式.

（2）若/（。+1）+/（窃-1）＞0,求实数。的取值范围.

练习30.（2023春•陕西咸阳•高三校考阶段练习）已知函数””=晦（历W+同

是奇函数.

⑴求，的值.

⑵若〃＞0时，/（”是R上的增函数，且/何―3）+/（2加）＞0,求，”的取值范围.

题型七对称性、周期性与奇偶性的综合问题

例13.（2023•新疆喀什•统考模拟预测）已知函数”A的定义域为R,满足/（x+1）

为奇函数且"6-x）=〃x）,当x€［l,3］时，/（x）=2'-2x\则”2023）=（）

A.-10B.7C.0D.10

例14.（山东省烟台市2023届高考适应性练习（一）数学试题）（多选）定义在

R上的函数/⑴满足〃2+2x）是偶函数，/⑴=1,则（）

A./。）是奇函数B.”2023）=7

100

C./（X）的图象关于直线/=1对称D.ZV（2AT=T0（）

R=1

举一反三

练习31.(2023・贵州毕节•统考模拟预测)已知函数/⑴的定义域为R,〃x+3)为

偶函数，/(3x+*为奇函数,则()

A./(-7)=0B./(-^)=0C./(3)=0D./⑹=。

42

练习32.(2023・河南•校联考模拟预测)已知将函数的图像向左平移1个单

位后关于，轴对称，若/(1+3)+/(-K-2)=0,且“2023)=2,则/(2)=()

A.2B.-2C.1D.-1

练习33.(2023春•安徽合肥・高三合肥市第八中学校考期中)若函数/(')的定义

域为R,/⑵n)是偶函数，且/(2r)+/(2+x)=6.则下列说法正确的个数为()

①/")的一个周期为2；

②"22)=3；

③/(X)的一条对称轴为x=5；

@/(1)+/(2)+.+/(19)=57.

A.1B.2C.3D.4

练习34.(2023•山东荷泽•山东省东明县第一中学校联考模拟预测)(多选)已知

函数/(x)的定义域为R,/(4+1)为奇函数，且对出eR,〃x+4)=/(-x)恒成立,

则()

A.f(x)为奇函数B./(3)=0c.吗卜-《|)D.7(2023)=0

练习35.(2023・重庆・校联考模拟预测)(多选)已知R卜的偶函数.v=f(x)在区

间［TO］上单调递增，且恒有〃l-x)+/(l+x)=O成立，则下列说法正确的是()

A./W在［1闺上是增函数B.的图象关于点(L0)对称

C.函数/(x)在x=2处取得最小值D.函数)，=/(.。没有最大值

参考答案与试题解析

专题3.3函数的奇偶性、周期性与对称性

【题型目录】

题型一判断函数的奇偶性

题型二利用奇偶性求函数值或参数值

题型三利用奇偶性求解析式

题型四函数周期性的应用

题型五函数对称性的应用

题型六单调性与奇偶性的综合问题

题型七对称性、周期性与奇偶性的综合问题

【典型例题】

题型一判断函数的奇偶性

例1.(2023•北京房山•统考二模)下列函数中，是偶函数且有最小值的是()

A.f(x)=x2-2xB./(-v)=|lnAi

C./(x)=xsin.¥D./(x)=2*+2T

【答案】D

【分析】判断二次函数的对称轴，可得函数，(x)=x2-2x不是偶函数，判断选项

A,根据函数/(x)=lhd的定义域判断选项B,判断得/(r)=/(“)，从而得函数

f(x)=xsinx为偶函数，结合三角函数的性质可判断得该函数不具有最小值，从而

判断选项C,根据f(T)=f(x),得函数=2T为偶函数，再利用基本不等式

求解出最小值，即可判断选项D.

【详解】对A,二次函数八劝=-一次的对称轴为x=l,

不是偶函数，故A错误；

对B,函数/(尤)=1W的定义域为(Q+8),

定义域不关于原点对称，所以不是偶函数，故B错误；

对C,f(-x)=(-x)sin(-x)=xsinx=f(x)f

定义域为R,所以函数/(J)=xsinx是偶函数，

结合三角函数的性质易判断函数/Q)=xsinx无最小值，故C错误；

对D,"7)=2-*+2、/(X),定义域为R,

所以函数〃乃=2，+27是偶函数,因为2，>0,2T>0,

所以2*+2T之h=2,当且仅当2,=2，即％=0时取等号,

所以函数f(x)=2、27有最小值2,故D正确.

故选：D

例2.(2023•山东青岛・统考二模)已知函数/(x)=x,g(x)=2,+2'则大致图象

如图的函数可能是()

A./(”+g(x)B./(x)-g(x)C./(x)g(x)D.刀

【答案】D

【分析】由函数的奇偶性及选项逐项排除即可得到答案.

【详解】f(x),g(x)的定义域均为R,且/(-x)=T=-〃x),g(T)=2r+2*=g(x),

所以f(x)为奇函数，g(x)为偶函数.

由图易知其为奇函数，而f(6+g(x)与/W-g(x)为非奇非偶函数,故排除AB.

当上一内时，〃x)g(X)f+0O,排除C.

故选:D.

举一反三

练习1.(2023春・北京•高三北京师大附中校考期中)下列函数是奇函数的是()

A./(x)=l+cos.vB./(.v)=A+sinx

C.f(x)=x+coaxD./(x)=l+sinx

【答案】B

【分析】利用奇偶性定义判断各项函数的奇偶性.

【详解】显然各项函数的定义域均为R,

./'(-X)=1+cos(-x)=1+COSA=/(A),偶函数，A不符合；

〃一x)=-x+sin(-r)=-x-sinx=~(x+sinA)=-/(x),奇函数，B符合；

f(--V)=-x+cos(-v)=-x+cosx*±/(x),非奇非偶函数，C不符合；

f(-x)=\+sin(-A)=1-sinx±/(x),非奇非偶函数,D不符合.

故选：B

练习2.(2023・上海•高三专题练习)函数y=lg(lr)+lg(l+%)是()

A.奇函数B.偶函数C,奇函数也是偶函数D.非奇非偶函

数

【答案】B

【分析】求出定义域，根据函数奇偶性的定义判断即可.

【详解】由函数y=ig(i-x)+ig(i+x)可知,定义域为(-U)关于原点对称,又

/(-x)=lg(1+A-)+lg(1-x)=/(x),故函数为(T.1)内的偶函数.

故选：B

练习3.(2()23•北京海淀•统考二模)下列函数中，既是奇函数又在区间(0,1)上单

调递增的是()

2

A.y=lgxB.y=-C.y=2|r|D.y=tanx

x

【答案】D

【分析】根据函数的奇偶性以及单调性，结合基本初等函数的性质，即可由选项

逐一判断.

【详解】对于A,y=kr的定义域为(0,+8),定义域不关于原点对称.所以为非

奇非偶函数，故A错误，

对于B,〃力=2的定义域为(e,0)U(0,m)，定义域关于原点对称，又

f(-x)=-x-=-f(x)t所以/■")为奇函数，但在(0,1)单调递减，故B错误，

对于。山)=2凶的定义域为R,关于原点对称，又3句(x),故小)为

偶函数，故C错误，

对于D,f(x)=tanx,由正切函数的性质可知/(x)=tanx为奇函数，且在(0,1)单调

递增，故D正确，

故选：D

练习4.(2023春・上海松江•高一上海市松江二中校考期中)下列函数在其定义域

内既是严格增函数，又是奇函数的是()

A.y=s\nxB.y=log,x

C.J=X-COSJVD.尸e'-e-x

【答案】D

【分析】根据初等函数的单调性和奇偶性的判定方法，逐项判定，即可求解.

【详解】对于A中，函数y=sinx在定义域R上不是严格的单调函数，不符合题

意；

对于B中，函数丁=1理21的定义域为3+8),所以为非奇非偶函数，不符合题意；

对于C中，函数/(x)=X-COSX,可得f(-x)=-x-cos(-M=-x-cosxw/(x),

所以函数/(力不是奇函数.不符合题意；

对于D中，函数/(x)=eJeT=e，-C，在定义域R上严格的单调递增函数，

e

且〃r)=eT_e，=-(e，-e7)=-f(x),所以函数/(x)为奇函数，符合题意.

故选：D.

e'+e'x

练习5.(2023・海南•校联考模拟预测)函数/(耳=丽刁的大致图象是()

【答案】D

【分析】根据函数的奇偶性证明函数/（X）为偶函数；分别求出八；）＜0，/（2）＞0,

利用排除法，结合选项即可求解.

【详解】函数/V）的定义域为{MXH±1},关于原点对称，

e-A+

f（-x）=—-----=f（X）,

则函数f（x）为偶函数，图象关于），轴对称，故排除C;

1I

.2~22-2

又/弓）=宁^＜0，八2）=三*＞。，故排除AB,D符合题意.

2

故选：D.

题型二利用奇偶性求函数值或参数值

例3.（2023春•宁夏银川•高二银川一中校考期中）若"x）=lnQ+/〃+〃-1为奇

函数，则〃=（）

A.In2B.2C.l-ln1D.1+ln—

22

【答案】C

【分析】利用奇函数的定义，对，”分类讨论即可得解.

【详解】因为函数/(X)为奇函数，所以/(X)的定义域关于原点对称.

若…，则/⑺的定义域"以不关于原点对称，

所以/〃，OJ(x)的定义域为＜且X。；-/},

所以：-白=-1，解得m=

22m22

所以/(x)=ln；+定义域为/.

ZZX—12

令/(o)=。，得ln；+〃-l=O,故〃=l-ln；,

此时经检验，/("为奇函数.

故选：C

例4.(2023春・河北保定•高三保定一中校考期中)已知函数=a/+加+3且

/(2023)=16,则〃-2023)的值为

【答案】-10

【分析】由函数/("的解析式发现，它是由一个奇函数加一个常数的形式，再注

意到已知的函数值和要求的函数值，它们的自变量互为相反数，所以可以直接代

入利用奇函数的性质求解.

【详解】因为加+3,所以/(2023)=ax2023'+力x2023'+3=16,

5

所以ax2023+〃x20233=n?

所以〃-2023)=ax(-2023)5+/?x(-2O23)3+3

=-(^X20235+/?X20233)+3=-I3+3=-10,

故答案为；-io.

举一反三

练习6.(2022秋•高三课时练习)/("为奇函数，g(x)为偶函数，且

/(-I)+^(1)=4,/(I)+^(-1)=2l11ljg(l)=()

A.3B.-1C.1D.-3

【答案】A

【分析】根据函数奇偶性可知/(7)=7D，g(-D=g⑴，解方程组即可求得g(l)=3.

【详解】因为/(X)为奇函数，g")为偶函数，

贝丫(-1)=-/(1)，或-1)=以1)

所以-/(1)+以1)=4,/(D+g⑴=2

两式相加可得2g(1)=6,即g(l)=3

故选：A.

练习7.(2023・辽宁•校联考二模)〜=1”是"函数/")=怆(庐7-x)是奇函数”

的().

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】函数/(x)=lg(JJ+a-x)为奇函数,解得。=±1，判断。=±1与〃=1的互

推关系，即可得到答案.

【详解】当函数+a2-x)为奇函数，

则/(力+/(-力=吆(必+a2-x卜怆田+〃2+3)=怆/=0,

解得4=±1.

所以"。=1''是"函数/3=檐(>/?彳7)为奇函数”的充分不必要条件.

故选：A.

练习8.(2022秋・江苏南通・高一江苏省通州高级中学校考阶段练习〉若函数

f(x)=a'bl(a>0,b>0,“工1,〃工1)是偶函数，则+：的最小值为()

+ab

A.4B.2C.2V2D.2x/3

【答案】A

【分析】根据/（X）为偶函数求出曲=1，再利用基本不等式求解.

【详解】由“力为偶函数可得〃T）=/（X）,即=+1=加+〃，

ab

所以（"+"）[«好T]=0.

因为X£R,且“>（）,所以a*+Rx>0,

所以=1,

则J_+:22、陌=4,当且仅当，=。，即〃=3力=2时，取最小值4.

ah\abab2ab

故选：A

练习9.（2023•广西玉林・统考三模）函数/（”=«--辰-tanx+2,若=则

/（一帆）=•

【答案】3

【分析】根据题意可得an^-bm-Vdnin=-1»结合=-bm-tan〃?）+2计算

即可求解.

【详解】由题得I（6）=-加-tanm+2=l,

:.cun'-bm-tanw=-l,

所以/（一7〃）=一卬〃3+bm+tan，〃+2=-^anr-bm-tan/〃）+2=14-2=3.

故答案为：3.

练习10.（2023・上海金山・统考二模）已知产/（“是定义域为R的奇函数，当北0

时，〃X）=2F+2-1,则六―2）=.

【答案】79

【分析】根据奇函数性质求解即可.

【详解】因为函数/（刈是定义域为R的奇困数，

所以八-2）=-/⑵=-（2x2；+22-l）=-19,

故答案为：-19.

题型三利用奇偶性求解析式

例5.(2023・全国•高一专题练习)已知奇函数；则

g(x)=.

【答案】-丁+3，_]

【分析】根据奇函数的定义，先求当%>0时，-x<0,=再进一步

求解g(x).

【详解】当x>0时，-x<0,/(x)=(x)+1=-f(-x)=-[(-x)2-3^]=-x2+31,

则履力=—/+3'—1.

故答案为：

例6.(2023春・上海宝山•岛三上海交大附中校考期中)已知了=/(用是定义域为

R的奇函数，当x>0时.，/W=l-2x,则当XV0时，y=/(x)的表达式为.

【答案】-l-2x/-2X-1

【分析】根据给定条件，利用奇函数的定义求出xv()时的解析式作答.

【详解】y=/(”)是定义域为R的奇函数,当犬>0时，/U)=1-2x,

则当xv()时，-x>0,/(x)==H1-2(-x)]=-1-2x,

所以当x<0时，)，=fM的表达式为/*)=-i-2x.

故答案为：-l-2x

圜二反三

练习II.(2023•安徽马鞍山•统考三模)函数"0的定义域为R,y=/(x)+2/是偶

函数，y=/(x)-3e，是奇函数，则/(X)的最小值为()

A.eB.75C.2&D.26

【答案】B

【分析】根据奇偶函数的定义可得/(©=更手再利用基本不等式求最小值.

f/(x)+2ex=/(-A-)+20户、但，

【详解】由题意可得〃、&,匕,、&-〃，解得

[/(x)-3ex="|_/(-x)-3eJ2

因为〃幻=已£，延芋=0，当且仅当e'5eT,即“fn5时，等号成立,

所以/(©的最小值为加.

故选:B.

练习12.(2023•全国•模拟预测)已知函数/(*)是奇函数,函数g(x)是偶函数.若

/(x)-^(x)=xsin.v,则〒六()

A202371n202371

A.---B.-------D.-1

22

【答案】C

【分析】根据函数的奇偶性结合已知等式可得gW=xsin(x),联立可得

/W=o,即得答案.

【详解】由函数f(x)是奇函数,函数g(1是偶函数，/(X)-g(x)=%sinx,

故/(r)-g(-%)=-xsin(T),即一/(x)-g(x)=xsin(x),

将该式和/W-g(x)=心由x相减可得/(x)=0,

则/(竽)=0，

故选：C

练习13.(2023・全国•高三专题练习)已知函数/(4)是定义在R上的奇函数，当

2

"0时，/(X)=-A-+4X-3,则函数/(X)的解析式为.

.V2+4.r+3,.x<0

【答案】/(x)=0,x=0

-x2+4x-3,.r>0

【分析】利用函数的奇偶性求解即可.

【详解】由于函数/(X)是R上的奇函数，则/(())=().

当x>0时，/(X)=-X2+4X-3,

iSA-<0,则-x>0,则=-4工一3=-/(不)，

所以f(x)=『+4x+3.

A2+4X43,A<0

综上所述，/(x)=<(U=O

-x2+4A-3,x>0

A*2+4x+3,x<0

故答案为：/(x)Jo,：=。

-x2+4A-3,x>0

【点睛】方法点睛：根据函数奇偶性求解析式的步骤：

(1)设：要求哪个区间的解析式，”就设在哪个区间；

(2)代：利用已知区间的解析式代入进行推导；

(3)转：根据〃幻的奇偶性，把/(t)写成-/(*)或/⑶,从而解出了⑴.

练习14.(2023秋・安徽芜湖•高三统考期末)函数丁=〃》)为偶函数，当x>0时,

f(x)=\nx+x-\,贝l」xvO时，/(x)=.

【答案】ln(-x)-x-l

【分析】由偶函数的定义求解.

【详解】xvO时，-x>0,/⑶是偶函数，

:.f(x)=/(-x)=ln(-x)-x-l,

故答案为：W-%)-x-1.

练习15.(2022秋•安徽马鞍山•高三安徽省马鞍山市第二十二中学校考期中)已

知/(力是定义在R上的奇函数，当“〉0时，〃司=3'-2.

(1)求/("的解析式；

(2)若方程/(力-6=0有两个实数解，求，〃的取值范围.

-3-*+2,x<0

【答案】(1)/3=0

3'-2,x>0

⑵(T0)U(0,l)

【分析】(1)设尤<0,则一>。，/(-x)=3-*-2,然后由函数是定义在R上的

奇函数求解/("的解析式.

(2)在同一坐标系中作出函数)，=/(。)，=〃?的图象，根据方程〃x)=，〃有两个解,

转化为函数)，=/(切。=〃?的图象有两个交点求解.

【详解】(1)设K<0,则-x>0,

所以/(-力=31-2,

因为函数/(力是定义在R上的奇函数，

所以/«=—〃T)=_(3--2)=-3-+2,/(0)=0

-3-*+2,工<0

所以〃力=0;

3*-2,%>0

(2)在同一坐标系中作出函数y=/(X),y=〃?的图象，

因为方程/")=机有两个解，

所以函数，=/(x),y=〃?的图象有两个交点,

由图象知：0<加象或TvmvO,

所以，〃的取值范围是(TO)U(O,1).

题型四函数周期性的应用

例7.(2023・山西运城・统考二槿)已知定义在R卜的函数“X)满足

/(x+3)=-/W，g(x)=〃x)-2为奇函数,则〃198)=()

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【分析】由题意推出函数f(x)的周期以及满足等式/(X)+〃T)=4,赋值求得

"0)=2,利用函数的周期性即可求得答案.

【详解】因为〃x+3)=-/(x),所以/(x+6)=-/(x+3)=/(x),所以/(%)的周期

为6,

又g(x)=〃x)-2为奇函数，所以〃x)-2+/(-x)-2=。，所以/(X)+〃T)=4,

令x=0,得2/(0)=4,所以"0)=2,

所以〃198)=/(O+6x33)=f(O)=2,

故选：C.

例8.(2023・陕西商洛・统考三模)定义在R上的奇函数/⑴满足依wR,

2023

/(x)+/(4-x)=0,且当0cx<2时，/(x)=x2-2\贝lJZ|f(i)|=.

【答案】1012

【分析】根据函数的奇偶性、周期性求解即可.

【详解】因为〃劝是奇函数,且洋劝+〃4-%)=0,

所以f(x)=-/(4-x)=/(A-4),

故”0是周期为4的周期函数.

/(D+/(3)=/(1)+/(-I)=0,所以/(3)=-/(1)=1,

令*=2,可得f(2)+f(2)=0,所以八2)=0,

因为函数为奇函数且周期为4,所以/(4)=八0)=0,

则1/⑴1+"(2)|+"⑶|+|/(4)|=2"⑴|=2,

20234

则Z/⑴1=506-Zlf⑴I-I八4)1=506x2-0=1012.

i=1i=l

故答案为:1012.

反三

练习16.(2023春・江西・高三江西师大附中校考阶段练习)已知定义在R上的函

数/(x)满足“X—l)+/(x+l)=0,且当代［0,2)时，/(x)=log2(x+l),则“2025)的

值为()

A.-3B.3C.-1D.1

【答案】D

【分析】根据〃x-l)+/G+l)=O,可得〃x+2)=-/(x),从而可得函数的周期，

再根据函数的周期性计算即可.

【详解】因为/——1)+/。+1)=(),所以/(x+l)=—

则f(x+2)=-f(x),所以〃x+4)=-/(x+2)=,

所以函数/(“是以4为周期的周期函数，

则/(2。25)=/(1)=10&2=1.

故选：D.

练习17.(2023・全国•模拟预测)已知函数n；7,、八，则

/(2023)的值为()

A.22020B.2,0,,C.2m。D.22022

【答案】C

【分析】通过小)，f(x+D和〃x+2)的方程联立,得到通=-4〃x),根据函

数的周期性赋值求解.

【详解】当x>0时，由fa)=2〃x-l)-2/(x-2)①,

得/(A+1)=2/(A)-2/Q-1)②，

①②联立，可得/("+1)=2/(x-I)-4/(x-2),

得/(A+2)=2/(X)—”(x-1)③

把①代入③可得/(x+2)=-4/(A-2),即/(x+4)=-4/(x),

故/(2023)=/(4x506-l)=(-4)306/(-1)=4^=2,0,°,

故选：C.

练习18.(2023•全国•高三专题练习)若函数/⑶满足会+2)=-小),且当XU[O,1]

时，/(x)=—则/(23)=()

4-2x

A.-1B.C.0D.y

【答案】B

【分析】先利用f(x+2)=-/(x)求出函数的周期，利用周期性转化/(23)代入

/(》)=£-即可求解.

4-2x

【详解】依题意，

因为/(x+2)=-/(A),所以〃％+4)=-/(%+2),

所以/(x)=/(x+4),所以丞(数/(x)的周期为4,

所以”23)="4x5+3)=/⑶.

乂因为〃x+2)=-/(.r),所以/(3)=-/(1),

当xe［O,l］时，.f(x)=#］，所以

4-2x4-2x12

所以〃3)=-/。)=彳.

故选：R

练习19.(2023・广东•高三专题练习)已知WxwR,函数〃力都满足

/(x)/(x+4)=l,X/(-l)=2,则f(19)=.

【答案】1/0.5

【分析】首先确定函数的周期，再根据条件和函数的后期，求函数值.

【详解】根据题意,/(x)/(x+4)=I,显然

所以小+4)=看，

所以/(»8)=品可=/(6，

所以函数仆)的周期为8,所以加9)=/(3)=志=；.

故答案为：y

练习20.(2023秋•黑龙江哈尔滨・高三哈尔滨三中校考期末)已知定义在R上的

奇函数f(x)满足〃x+4)=f(x)恒成立，且f⑴=1,则〃2)+/(3)+〃4)的值为

【答案】-I

【分析】由函数的奇偶性得到"0)=0,且/(T)=-/(X),结合函数的周期和

/1)=1,求出〃2)1(3)J(4),得到答案.

【详解】因为/")是定义在R上的奇函数，

故/(0)=0,且/(T)=-/(X),

又f(X+4)=/(%),所以〃4)=/(0)=0,

且/(x+4)=/(x)=-/(-^)，

当x=—2时，〃2)=-*2),故"(2)=0,解得：〃2)=0,

〃T)=—〃力种，当x=l时，/(-l)=-/(l)=-h

又〃x+4)=/(%),所以/(3)=/(-1)=-1,

故/⑵+/(3)+/(4)=0T+0=-1.

故答案为：-I

题型五函数对称性的应用

例9.(2023.湖北•统考二统)已知函数〃ar+北图象的对称轴为*则/(力图

象的对称轴为()

A.x=ab+cB.x=ab-c

C.x=ac+hD.x=ac-b

【答案】C

【分析】根据题设条件可得/(改+人词=/3+〃+词，故可得正确的选项.

【详解】设g(x)=/(奴+b),则g(cr)=g(c+x),

故/[”(c-x)+/)]=/[a(c+x)+。],整理得至lj〃ac+力一以)=/(叱+力+ov),

所以/(X)图象的对称轴为x=ac+b.

故选：c.

例10.(2023•浙江•高三专题练习)定义在R上的非常数函数/(X)满足：

〃T)=/(X),且〃2r)+/(M=0.请写出符合条件的一个函数的解析式

〃加.

【答案】y=cos/x(答案不唯一)

【分析】根据已知"T)=f(",且f(2-%)+〃x)=0得出对称轴和对称中心,确

定一个具体函数即可.

【详解】因为“2T)+/(.V)=0.得出对称中心(1,0),且洋T)=〃X)得出对称轴为

「轴，且周期为4的函数都可以.

故答案为：y=COSy,V

举一反三

练习21.(2023•山西晋中•统考二模)己知函数/(尤)=2'-S%wR),则小)的图

象()

A.关于直线1=2对称B.关于点(2⑼对称C.关于直线x=0对

称D.关于原点对称

【答案】B

【分析】利用函数的对称性及奇偶性即可求解.

【详解】对于A,由〃1)=21-9=吴2\小)，所以/⑴的图象不关于

直线户2对称，故A错误；

对于B,由〃4-”=2i-募=竽-2，=-/(力，所以/⑴的图象关于点(2,0)对

称.故B正确；

对于C,由=所以/(x)不是偶函数，故/(x)的

图象不关于直线x=0对称，故C错误；

对于D,由/(-)=2。¥4-16、2\-/(力，所以/(x)不是奇函数，故/⑺的

图象不关于原点对称，故D错误；

故选：B.

练习22.(2023・陕西安康统考二模)已知定义在R上的奇函数/⑺满足

/(x+l)=/(l-x),则“2022)=()

A.1B.0C.1D.2.

【答案】B

【分析】由奇偶性及对称性得函数的周期性，由周期性计算函数值，

【详解】由〃x+l)=/(lr)及/⑴是奇函数得/(2+x)=/(r)=-〃x),/(0)=0,

所以f(x+4)=-/(x+2)=f(x),所以,⑶是周期函数，周期为4,

/(2022)=/(2)=/(0)=0,

故选：B.

练习23.(2023秋・河北承德•高三统考期末)已知函数F(x)(xwR)满足

/(x)=/(4-.v),若y=|x-2|与y=/(x)图象的交点为(百,乂象/,必)，(外,%),6，%)，

贝|］玉+&+占+%=()

A.-4B.0C.4D.8

【答案】D

【分析】由)，=〃力和尸卜-2|的图象都关于直线”=2对称，利用对称性求解.

【详解】由〃x)=〃47)可知)，=/("的图象关于直线户2对称，y=|x-Z的图

象关于直线戈=2对称，

所以升+占+占+儿=4x2=8.

故选：D

练习24.(2021春映西汉中•高三统考期中)已知二次函数/(司=加+区+c,满

足/(3+x)=/(3-x),且〃4)＜/(5),则不等式的解集为______.

【答案】［十＜%＜。｝

【分析】根据二次函数的对称性、单调性求得正确答案.

【详解】由于，(3+X)=〃3T),所以二次函数的对称轴为X=3,

由于〃4)V〃5),所以〃才)开口向上,

/(x)在(YO,3)上递减；在(3,也)上递增，

由/(1-A,)</(1)^|1-X-3|<|1-3|,

BP|x+2|<2,-2<x+2<2,-4<x<0,

所以不等式的解集为｛.r|Yc<。｝.

故答案为：｛x|-4<x<0｝

练习25.(2023秋•江苏苏州•高三统考开学考试)写出一个非常数函数同时满足

条件：①/(x+2)=/(x),②"1一x)=f(i+x).则/(x)=.

【答案】cos心•(形如acosm+b或asi嗤十8或a|sin兀1-|十6或acos?|十〃)

【分析】根据函数所满足的周期性、对称性写出满足条件的函数即可.

［详解］因为“x+2)=fix),"1—x)="1+x),

所以函数周期7=2,函数对称轴为4=1,

故可取函数/(X)=COS7LV,

故答案为：cos心(答案不唯一，形如acosm+Z?或&5访彳+/)或4冈11心1+/2或

ITv

〃ms—+〃都可以)

题型六单调性与奇偶性的综合问题

例11.(2022秋•新疆乌鲁木齐・高三乌鲁木齐市第四中学校考期末)已知函数

/(1+1)是偶函数，当1<不<为时，［/'(4)-/(马)］G-毛)>。恒成立，设〃=-g

。=/(2),c=/(3),则mb,c的大小关系为()

A.c<b<a