五年级奥数第十讲数论之余数问题教师版

第十讲：数论之余数问题

余数问题是数论学问板块中另一个内容丰富，题目难度较大的学问体系，也是各

大杯赛小升初考试必考的奥数学问点，所以学好本讲对于学生来说特别重要。

很多孩子都接触过余数的有关问题，并有不少孩子说“遇到余数的问题就基本晕

菜了!”

余数问题主要包括了带余除法的定义，三大余数定理(加法余数定理，乘法余数

定理，和同余定理)，与中国剩余定理和有关弃九法原理的应用。

学问点拨：

一、带余除法的定义与性质：

一般地，假如a是整数，b是整数(b#0)，若有a+b=q...r,也就是a=bXq

+r,

O^r<b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。这里：

(1)当r=0时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商

(2)当厂工。时：我们称a不行以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商

一个完备的带余除法讲解模型：

中如图，这是一堆书，共有a本，这个a就可以理解

b1为被除数，现在要求依据b本一捆打包，那么b就是除

|||||||||口数的角色，经过打包后共打包了c捆，那么这个c就是

0本书商，最终还剩余d本，这个d就是余数。

这个图能够让学生清楚的明白带余除法算式中4个量的关系。并且可以看出余数

确定要比除数小。

二、三大余数定理：

1.余数的加法定理

a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的

余数0

例如:23,16除以5的余数分别是3和1,所以23+16=39除以5的余数等

于4,即两个余数的和3+L

当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。

例如：23,19除以5的余数分别是3和4,故23+19=42除以5的余数等于3+4=7

除以5的余数，即2.

2.余数的乘法定理

a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c

所得的余数。

例如：23,16除以5的余数分别是3和1,所以23义16除以5的余数等于3X1=3O

当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。

例如：23,19除以5的余数分别是3和4,所以23X19除以5的余数等于3X4

除以5的余数，即2.

3.同余定理

若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式

子表示为：a=b(modm),左边的式子叫做同余式。

同余式读作：a同余于b,模m。由同余的性质，我们可以得到一个特别重要的推

论：

若两个数a,b除以同一个数m得到的余数相同，则a,b的差确定能被m整除

用式子表示为：假如有a三b(modm),那么确定有a—b=mk,k是整数，即m|(a

—b)

三、弃九法原理：

在公元前9世纪，有个印度数学家名叫花拉子米，写有一本《花拉子米算术》，他

们在计算时通常是在一个铺有沙子的土板上进行，由于胆怯以前的计算结果丢失

而常常检验加法运算是否正确，他们的检验方式是这样进行的：

例如：检验算式1234+1898+18922+678967+178902=889923

1234除以9的余数为1

1898除以9的余数为8

18922除以9的余数为4

678967除以9的余数为7

178902除以9的余数为0

这些余数的和除以9的余数为2

而等式右边和除以9的余数为3,那么上面这个算式确定是错的。

上述检验方法恰好用到的就是我们前面所讲的余数的加法定理，即假如这个等式

是正确的，那么左边几个加数除以9的余数的和再除以9的余数确定与等式右边和除

以9的余数相同。

而我们在求一个自然数除以9所得的余数时，常常不用去列除法竖式遂行计算，

只要计算这个自然数的各个位数字之和除以9的余数就可以了，在算的时候往往就是

一个9一个9的找并且划去，所以这种方法被称作“弃九法”。

所以我们总结出弃九发原理：任何一个整数模9同余于它的各数位上数字之和。

以后我们求一个整数被9除的余数，只要先计算这个整数各数位上数字之和，再

求这个和被9除的余数即可。

利用十进制的这个特性，不仅可以检验几个数相加，对于检验相乘、相除和乘方

的结果对不对同样适用

留意；克九法只能知道原题确定是错的或有可能正确，但不能保证确定正确。

例如：检验算式9+9=9时，等式两边的除以9的余数都是0,但是明显算式是错

误的

但是反过来，假如一个算式确定是正确的，那么它的等式2两端确定满意弃九法

的规律。这个思想往往可以帮助我们解决一些较困难的算式迷问题。

四、中国剩余定理：

那么就接着看5和7的“下一个”倍数35x2=70是否可以，很明显70除以3余1

类似的，我们再构造一个除以5余1,同时又是3和7的公倍数的数字，明显21

可以符合要求。

最终再构造除以7余1,同时又是3,5公倍数的数字，45符合要求，那么所求的

自然数可以这样计算：

2x70+3x21+2x45143,5,7］=233-43,5,7］,其中k是从1起先的自然数，

也就是说满意上述关系的数有无穷多，假如依据实际状况对数的范围加以限制，

那么我们就能找到所求的数。

例如对上面的问题加上限制条件“满意上面条件最小的自然数”，

那么我们可以计算2乂70+3乂21+2*45-2乂［3,5,7］=23得到所求

假如加.上限制条件“满意上面条件最小的三位自然数”，

我们只要对最小的23加上［3,5,7］即可，即23+105=128。

例题精讲：

【模块一：带余除法的定义和性质】

［例1］（第五届小学数学报竞赛决赛）用某自然数。去除1992,得到商是46,余数是「，

求°和r.

【解析】因为1992是a的46倍还多r,得到1992+46=43......14,得1992=46x43+14,所以

a=43,r=14.

【巩固】（清华附中小升初分班考试）甲、乙两数的和是1088,甲数除以乙数商II余32,

求甲、乙两数.

【解析】（法1）因为甲=乙41+32,所以甲+乙=乙xll+32+乙=乙乂12+32=1088;

则乙=（1088-32）+12=88，甲=1088-乙=1000.

（法2）将余数先去掉变成整除性问题，利用倍数关系来做：从1088中减掉32以

后，1056就应当是乙数的（11+1）倍，所以得到乙数=1056+12=88,甲数

=1088-88=1000.

【巩固】一个两位数除310,余数是37,求这样的两位数。

【解析】本题为余数问题的基础题型，须要学生明白一个重要学问点，就是把余数问题

--即“不整除问题”转化为整除问题。方法为用被除数减去余数，即得到一

个除数的倍数；或者是用被除数加上一个“除数与余数的差”，也可以得到一

个除数的倍数。

本题中310-37=273,说明273是所求余数的倍数，而273=3X7X13,所求的

两位数约数还要满意比37大，符合条件的有39,91.

【例2】（2003年全国小学数学奥林匹克试题）有两个自然数相除，商是17,余数是13,

已知被除数、除数、商与余数之和为2113,则被除数是多少？

【解析】被除数+除数+商+余数=被除数+除数+17+13=2113,所以被除数+除数=2083,

由于被除数是除数的17倍还多13,则由“知倍问题”可得：除数二（2083T3）

4-（17+1）=115,所以被除数二2083Tl5=1968.

【巩固】用一个自然数去除另一个自然数，商为40,余数是16.被除数、除数、商、余

数的和是933,求这2个自然数各是多少？

L解析】本题为带余除法定义式的基本题型。依据题意设两个自然数分别为x,y,可以

得到

尸=吗?6解方程组得即这两个自然数分别是856,21.

[x+y+40+16=933[y=21

【例31（2000年“祖冲之杯”小学数学邀请赛试题）三个不同的自然数的和为2001,

它们分别除以19,23,31所得的商相同，所得的余数也相同，这三个数是

99O

【解析】设所得的商为“，除数为〃.（I9〃+〃）+（23a+Z?）+（314+力=2（X）1,7M+3Z?=2001,由

匕＜19,可求得a=27,/2=10.所以，这三个数分别是19a+b=523,2"+8=631,

31。+〃=847o

【巩固】（2004年福州市“迎春杯”小学数学竞赛试题）一个自然数，除以11时所得到

的商和余数是相等的，除以9时所得到的商是余数的3倍，这个自然数是

【解析】设这个自然数除以11余〃（0工”11）,除以9余万（0M/,v9）,则有+a=+

即M=7〃，只有a=7,b=3,所以这个自然数为12x7=84。

[例4](1997年我爱数学少年数学夏令营试题)有48本书分给两组小挚友，已知其

次组比第一组多5人.假如把书全部分给第一组，那么每人4本，有剩余；

每人5本，书不够.假如把书全分给其次组，那么每人3本，有剩余；每人

4本，书不够.问：其次组有多少人？

【解析】由48+4=12,48+5=9.6知，一组是10或11人.同理可知48+3=16,48+4=12知，

二组是13、14或15人，因为二组比一组多5人，所以二组只能是15人，一

组10人.

【巩固】一个两位数除以13的商是6,除以11所得的余数是6,求这个两位数.

【解析】因为一个两位数除以13的商是6,所以这个两位数确定大于13x6=78,并且小

于13x(6+l)=91;又因为这个两位数除以11余6,而78除以11余1,这个两位

数为78+5=83.

【模块二：三大余数定理的应用】

【例5】有一个大于1的整数，除45,59,101所得的余数相同，求这个数.

【解析】这个题没有告知我们，这三个数除以这个数的余数分别是多少，但是由于所得

的余数相同，依据同余定理，我们可以得到：这个数确定能整除这三个数中的

随意两数的差，也就是说它是随意两数差的公约数.101-45=56,59-45=14,

(56,14)=14,14的约数有1,2,7,14,所以这个数可能为2,7,14。

【巩固】有一个整数，除39,51,147所得的余数都是3,求这个数.

【解析】(法1)39-3=36,147-3=144,(36.144)=12,12的约数是1,2,3,4,6,12,因为余数

为3要小于除数，这个数是4,6,12：

(法2)由于所得的余数相同，得到这个数确定能整除这三个数中的随意两数的

差,也就是说它是随意两数差的公约数.51-39=12,147-39=108,(12,108)=12,

所以这个数是4,6,12.

【巩固】在小于1000的自然数中，分别除以18与33所得余数相同的数有多少个？(余

数可以为0)

【解析】我们知道18,33的最小公倍数为[18,33]=198,所以每198个数一次.

1〜198之间只有1,2,3,…，17,198（余0）这18个数除以18与33所得的

余数相同，

而9994-198=5……9,所以共有5X18+9=99个这样的数.

【巩固】（2008年仁华考题）一个三位数除以17和19都有余数，并且除以17后所得的

商与余数的和等于它除以19后所得到的商与余数的和.那么这样的三位数中

最大数是多少，最小数是多少？

【解析】设这个三位数为s,它除以17和19的商分别为〃和余数分别为〃,和〃，则

s=17a+m=19。+〃.

依据题意可知4+〃7=〃+〃，所以$-（4+/〃）=$-e+〃），即16a=1汕，得&/=9〃.所

以a是9的倍数，％是8的倍数.此时，由a+=+〃知〃-〃7=a-==.

99

由于s为三位数，最小为100,最大为999,所以100〈l7a+/〃W999,而1K〃?K16,

所以17a+lK17a+〃区999,100417。+〃区17a+16,得到5KaK58,而a是9的倍数，

所以a最小为9,最大为54.

当〃=54时，〃-m=L=6,而〃W18,所以〃山2,故此时s最大为17x54+12=930;

9

当〃=9时，〃-〃?=宗=1,由于〃z之1,所以此时s最小为17x9+1=154.

所以这样的三位数中最大的是930,最小的是154.

【例6】两位自然数元与初除以7都余1,并且a”,求立x瓦.

【解析】ab-ba能被7整除，即（10a+Z?）-（10。+〃）=9x（〃-/?）能被7整除.所以只能有〃-8=7,

那么不可能为92和81,验算可得当7=92时，而=29满意题目要求，

abxba=92x29=2668

【巩固】学校新买来118个乒乓球，67个乒乓球拍和33个乒乓球网，假如将这三种物

品平分给每个班级，那么这三种物品剩下的数量相同.请问学校共有多少个

班？

【解析】所求班级数是除以118,67,33余数相同的数.那么可知该数应当为118-67=51和

67-33=34

的公约数，所求答案为17.

【巩固】（2000年全国小学数学奥林匹克试题）在除13511,13903与14589时能剩下相

同余数的最大整数是.

【解析】因为13903-13511=392,14589-13903=686,

由于13511,13903,14589要被同一个数除时，余数相同，那么，它们两两之

差必能被同一个数整除.（392,686）=98,所以所求的最大整数是98.

【例7]（2003年南京市少年数学智力冬令营试题）2g与2003?的和除以7的余数是

【解析】找规律.用7除2,22,2\24,25,23…的余数分别是2,4,1,2,4,1,

2,4,1,…,2的个数是3的倍数时，用7除的余数为1；2的个数是3的倍数

多1时，用7除的余数为2；2的个数是3的倍数多2时，用7除的余数为4.因

为泮3=2—,所以泮J除以7余4.又两个数的积除以7的余数，与两个数分

别除以7所得余数的积相同.而2003除以7余1,所以2003?除以7余1.故2的

与20032的和除以7的余数是4+1=5.

【巩固】（2004年南京市少年数学智力冬令营试题）在1995,1998,2000,2001,2003

中，若其中几个数的和被9除余7,则将这几个数归为一组.这样的数组共有

_组.

【解析】1995,1998,2000,2001,2003除以9的余数依次是6,0,2,3,5.

因为2+5=2+5+0=7,2+5+34-6=0+2+5+3+6=7+9,

所以这样的数组共有下面4个：（2000,2003）,（1998,2000,2003）,

【例8】（2005年全国小学数学奥林匹克试题）有一个整数，用它去除70,110,160

所得到的3个余数之和是50,那么这个整数是.

【解析】（70+110+160）-50=290,50+3=16......2,除数应当是290的大于17小于70的约

数，只可能是29和58,110+58=1......52,52>50,所以除数不是58.

70・29=2……12,110+29=3......23,160+29=5......15,12+23+15=50,所以除数是29

【巩固】（2002年全国小学数学奥林匹克试题）用自然数n去除63,91,129得到的三

个余数之和为

25,那么n=

【解析】n能整除63+91+129-25=258.因为25+3=8...1，所以n是258大于8的约数.明

显，n不

能大于63.符合条件的只有43.

【巩固】号码分别为101,126,173,193的4个运动员进行乒乓球竞赛,规定每两人竞赛

的盘数是他们号码的和被3除所得的余数.那么打球盘数最多的运动员打了多

少盘？

【解析】本题可以体现出加法余数定理的巧用。计算101,126,173,193除以3的余

数分别为2,0,2,lo那么随意两名运动员的竞赛盘数只须要用2,0,2,1

两两相加除以3即可。明显126运动员打5盘是最多的。

【例9]（2002年《小学生数学报》数学邀请赛试题）六名小学生分别带着14元、17

元、18元、21元、26元、37元钱，一起到新华书店购买《成语大词典》.一

看定价才发觉有5个人带的钱不够，但是其中甲、乙、丙3人的钱凑在一起

恰好可买2本，丁、戊2人的钱凑在一起恰好可买1本.这种《成语大词典》

的定价是元.

【解析】六名小学生共带钱133元.133除以3余1,因为甲、乙、丙、丁、戊的钱恰

好能买3本，所以他们五人带的钱数是3的倍数，另一人带的钱除以3余1.易

知，这个钱数只能是37元，所以每本《成语大词典》的定价是

（14+17+18+21+26）4-3=32（元）.

【巩固】（2000年全国小学数学奥林匹克试题）商店里有六箱货物，分别重15,16,18,

19,20,31千克，两个顾客买走了其中的五箱.已知一个顾客买的货物重量

是另一个顾客的2倍，那么商店剩下的一箱货物重量是千克.

【解析】两个顾客买的货物重量是3的倍数.

（15+16+18+19+20+31）+（1+2）=119+3=39…2,剩下的一箱货物重量除以3应当余2,

只能是20千克.

【例10］求2461x135x6047・11的余数.

【解析】因为2461+11=223...8,135-11=12...3,6O47-M1=549...8,依据同余定理（三），

2461x135x6047・11的余数等于8x3x8+11的余数，而8x3x8=192,

192+11=17...5，所以2461x135x6047・11的余数为5.

【巩固】（华罗庚金杯赛模拟试题）求478x296x351除以17的余数.

【解析】先求出乘积再求余数，计算量较大.可先分别计算出各因数除以17的余数，

再求余数之积除

以17的余数.478,296,351除以17的余数分别为2,7和11,（2x7x11）-17=9......1.

【巩固】求3则的最终两位数.

【解析】即考虑3,除以100的余数.由于100=4x25,由于3:27除以25余2,所以39除

以25余8,

除以25余24,那么32。除以25余1；又因为3:除以4余1,则320除以4余1；

即3第-1能被4和25整除，而4与25互质，所以32。-1能被100整除，即320除

以100余1,由于

1997=20x99+17,所以3—除以100的余数即等于版除以100的余数，而36=729

除以100余29,35=243除以100余43,3,7=（36）2x35,所以3叫除以100的余数

等于29x29x43除以100的余数，而29x29x43=36163除以100余63,所以一如除

以100余63,即3M7的最终两位数为63.

【巩固】些/除以13所得余数是.

2000个“2"

【解析】我们发觉222222整除13,2000+6余2,所以答案为22・13余9。

【巩固】求14389除以7的余数.

【解析】》去一：

由于143=3（mod7）（143被7除余3）,

所以143、9=3的5。＜17）（143心被7除所得余数与驴被7除所得余数相等）

而3,=729,729=1（mod7）（729除以7的余数为1）,

所以32=36X36Xx36x3,三3‘三5（mod7）.

―144^-

故143般除以7的余数为5.

法二：

计算非被7除所得的余数可以用找规律的方法，规律如下表:

3,323334353637

m(xl73264513

于是余数以6为危期改变.所以3触三3、三5（mod7）.

【巩固】（2007年试验中学考题）/+2?+32++200/+2002除以7的余数是多少？

002x

【解析】由于12+2?+32+…+20012+20022=22°°3x4005=〕0G〔又2003x1335,而1001是7的

6

倍数，所以这个乘积也是7的倍数，故A22+32++200/+2002?除以7的余数

是0；

【巩固】（3P+3O与被13除所得的余数是多少？

【解析】31被13除所得的余数为5,当n取1,2,3,…时5"被13除所得余数分别是

5,12,8,1,5,12,8,1…以4为周期循环出现，所以5前被13除的余数与52

被13除的余数相同，余12,则3产除以13的余数为12；

30被13除所得的余数是4,当n取1,2,3,时，4”被13除所得的余数分

别是4,3,12,9,10,1,4,3,12,9,10,以6为周期循环出现，所

以4"被13除所得的余数等于4被13除所得的余数，即4,故30箝除以13的余

数为4；

所以（3产+3炉）被13除所得的余数是12+4-13=3.

【巩固】（2008年奥数网杯）已知a=200820082008,问：“除以13所得的余数是多少？

2008个2008

【解析】2008除以13余6,10000除以13余3,留意至IJ20082008=2008x1（XXX）+2008;

依据这样的递推规律求出余数的改变规律：

20082008除以13余6x3+6—13=11,2除以13余11x3+6—39=0,即2是13的倍

数.

而2008除以3余1,所以“=200820082008除以13的余数与2008除以13的余数

2008个2008

相同，为6.

【巩固】777.二77除以41的余数是多少？

1996个7

【解析】找规律：7+41=口・-7,77+41=口-36,777+41=口-39，7777+41=口•••28，

77777^41=Q---0,....，所以77777是41的倍数，而1996+5=3991,所以777二77

1晨个7

可以分成399段77777和1个7组成，那么它除以41的余数为7.

【巩固】1,+22+33+44+……+2OO52005除以10所得的余数为多少？

【解析】求结果除以10的余数即求其个位数字.从1到2005这2005个数的个位数字

是10个一循环的，而对一个数的幕方的个位数，我们知道它总是4个一循环

的，因此把全部加数的个位数按每20个（20是4和10的最小公倍数）一组，则

不同组中对应的个位数字应当是一样的.

首先计算T+22+33+4、…+202。的个位数字，

为1+4+7+6+5+6+3+6+9+0+1+6+3+6+5+6+7+4+9+0=94的个位数字，为4,

由于2005个加数共可分成100组另5个数，100组的个位数字和是4x100=400的

2（XM2005

个位数即0，另外5个数为200型、2002^、2003?期、2004s2OO5,它们和

的个位数字是1+4+7+6+5=23的个位数3,所以原式的个位数字是3,即除以

10的余数是3.

【例11】求全部的质数P,使得4/+1与6犷+1也是质数.

【解析】假如〃=5,则4P2+1=101,6P2+1=151都是质数，所以5符合题意.假如P不等

于5,那么P除以5的余数为1、2、3或者4,/除以5的余数即等于广、2\

3?或者4?除以5的余数，即1、4、9或者16除以5的余数，只有1和4两种

状况.假如除以5的余数为1,那么4//+1除以5的余数等于4xl+l=5除以5

的余数，为0,即此时4P\1被5整除,而4P2+1大于5,所以此时4P2+1不是

质数；假如p2除以5的余数为4,同理可知6P2+1不是质数，所以P不等于5,

4P?+1与6p?+l至少有一个不是质数，所以只有〃=5满意条件.

【巩固】在图表的其次行中，恰好填上89-98这十个数，使得每一竖列上下两个因数的

乘积除以11所得的余数都是3.

因数899969798

【解析】因为两个数的乘积除以11的余数，等于

因数

两个数分别除以11的余数之积.因此原

题中的8928

可以改换为170,这样上下两数的乘积除以11余3就简单计算了.我们得到

下面的结果：

因数899969798

因数37195621048

因89999

数9678

因9989999999

数1597340826

【巩固】(2000年“华杯赛'试题)3个二位数乘积的算式他cxAcax〈迎=234235286(其中

a>b>c)9在校对时，发觉右边的积的数字依次出现错误，但是知道最终一位

6是正确的，问原式中的“加是多少？

【解析】由于234235286三2+3+4+2+3+5+2+8+6三8(mod9)，/x而x正三(a+〃+c)3(mod9),

于是3+Hc)3三8(mod9),从而(用4+/2+°三0,1,2,...,8h0<19)代入上式检验)

a+〃+c三2,5,8(mod9)…⑴，对a进行探讨：

假如a=9,那么〃+。三2,5,8(mod9)…(2),又cxax〃的个位数字是6,所以Z?xc的

个位数字为4,〃xc可能为4x1、7x2、8x3、6x4,其中只有(6©=(4,1),(8,3)符

合(2),经检验只有983x839x398=328245326符合题意.

假如a=8,那么〃+c三3,6,0(mod9)…(3),又bxc的个位数字为2或7,则bxc可

能为2x1、4x3、6x2>7x6>7x1,其中只有S,c)=(2,l)符合⑶，经检验，而=821

不合题意.

假如〃=7,那么Z?+c三4,7,l(mod9)…(4),则bxc可能为4x2、6x3,其中没有符合

(4)的(Ac).

假如a£6,那么〃£5,c<4,次x而x嬴<700x600x500=210000000<222334586,

因此这时正不行能符合题意.综上所述，而二983是本题唯一的解.

【例12】一个大于1的数去除290,235,200时，得余数分别为〃十2,〃十5,则这

个自然数是多少？

【解析】依据题意可知，这个自然数去除290,233,195时，得到相同的余数(都为。).

既然余数相同，我们可以利用余数定理，可知其中随意两数的差除以这个数确

定余0.那么这个自然数是290-233=57的约数，又是233-195=38的约数，因此

就是57和38的公约数，因为57和38的公约数只有19和1,而这个数大于1,

所以这个自然数是19.

【巩固】一个大于10的自然数去除90、164后所得的两个余数的和等于这个自然数去

除220后所得的余数，则这个自然数是多少？

【解析】这个自然数去除90、164后所得的两个余数的和等于这个自然数去除

90+164=254后所得的余数，所以254和220除以这个自然数后所得的余数相同，

因此这个自然数是254-220=34的约数，又大于10,这个自然数只能是17或者

是34.假如这个数是34,那么它去除90、如4、220后所得的余数分别是22、

28、16,不符合题目条件；假如这个数是17,那么他去除90、164、220后所

得的余数分别是5、11、16,符合题目条件，所以这个自然数是17.

【例13】甲、乙、丙三数分别为603,939,393.某数4除甲数所得余数是力除乙数所

得余数的2倍，A除乙数所得余数是A除丙数所得余数的2倍.求A等于多少？

【解析】依据题意，这三个数除以A都有余数，则可以用带余除法的形式将它们表示出

来：

由于5=2个弓=2口要消去余数、弓，小我们只能先把余数处理成相同的,

再两数相减.

这样我们先把其次个式子乘以2,使得被除数和余数都扩大2倍，同理，第三

个式子乘以4.

于是我们可以得到下面的式子：603+A=（…（（939x2）+A=2K?2弓

（393X4HA=2A%这样余数就处理成相同的.最终两两相减消去余数，意味

着能被A整除.

51的约数有1、3、17、51,其中1、3明显不满意，检验17和51可知17满

意,所以A等于17.

【巩固】一个自然数除429、791、500所得的余数分别是"5、2八〃，求这个自然数

和〃的值.

【解析】将这些数转化成被该自然数除后余数为2。的数：（429-5）x2=848,791、

500x2=1000,这样这些数被这个自然数除所得的余数都是2a,故同余.

将这三个数相减，得到848-791=57、1000-848=152,所求的自然数确定是57和152

的公约数，而（57/52）=19,所以这个自然数是19的约数，明显1是不符合条件

的，那么只能是19.经过验证，当这个自然数是19时，除429、791、500所得的

余数分别为11、12、6,”6时成立，所以这个自然数是19,4=6.

【模块三：余数综合应用】

【例14］闻名的裴波那契数列是这样的：1、1、2、3、5、8、13、21……这串数列当

中第2008个数除以3所得的余数为多少？

【解析】斐波那契数列的构成规则是从第三个数起每一个数都等于它前面两个数的和，

由此可以依据余数定理将裴波那契数列转换为被3除所得余数的数列：

1、1、2、0、2、2、1、0、1、1、2、0....

第九项和第十项连续两个是1,与第一项和其次项的值相同且位置连续，所以

裴波那契数列被3除的余数每8个一个周期循环出现，由于2008除以8的余

数为0,所以第2008项被3除所得的余数为第8项被3除所得的余数，为0.

【巩固】（2009年走美初赛六年级）有一串数：1,1,2,3,5,8,……,从第三个

数起，每个数都是前两个数之和，在这串数的前2009个数中，有几个是5的

倍数？

【解析】由于两个数的和除以5的余数等于这两个数除以5的余数之和再除以5的余数.

所以这串数除以5的余数分别为：1,1,2,3,0,3,3,1,4,0,4,4,3,

2,0,2,2,4,1,0,1,1,2,3,0,……可以发觉这串余数中，每20个

数为一个循环，且一个循环中，每5个数中第五个数是5的倍数.由于

2009+5=4014,所以前2009个数中，有401个是5的倍数.

【例15］（圣彼得堡数学奥林匹克试题）托玛想了一个正整数，并且求出了它分别除以

3、6和9的余数.现知这三余数的和是15.试求该数除以18的余数.

【解析】除以3、6和9的余数分别不超过2,5,8,所以这二个余数的和恒久不超过

2+5+8=15,

既然它们的和等于15,所以这三个余数分别就是2,5,8.所以该数加1后能

被3,6,9整除，而［3,6,9］=18,设该数为则〃即々=18（…1）+17（m

为非零自然数），所以它除以18的余数只能为17.

【巩固】（2005年香港圣公会小学数学奥林匹克试题）一个家庭，有父、母、兄、妹四

人，他们随意三人的岁数之和都是3的整数倍，每人的岁数都是一个质数，四

人岁数之和是100,父亲岁数最大，问：母亲是多少岁？

【解析】从随意三人岁数之和是3的倍数，100除以3余1,就知四个岁数都是弘+1型

的数，又是质数.只有7,13,19,31,37,43,就简单看出：

父43岁，母37岁，兄13岁，妹7岁./

【例16］（华杯赛试题）如图，在一个圆圈上有几十个孔（不到100个），；

小明像玩跳棋那样，从A孔动身沿着逆时针方向，每隔几孔跳

一步，希望一圈以后能跳回到A孔.他先试着每隔2孔跳一'；」：

步，结果只能跳到B孔.他又试着每隔4孔跳一步，也只能

跳到B孔.最终他每隔6孔跳一步，正好跳回到A孔，你知道这个圆圈上共

有多少个孔吗？

【解析】设想圆圈上的孔已按下面方式编了号：A孔编号为1,然后沿逆时针方向顺次

编号

为2,3,4,…，B孔的编号就是圆圈上的孔数.

我们先看每隔2孔跳一步时，小明跳在哪些孔上?很简单看出应在1,4,7,10,…

上，也就是说，小明跳到的孔上的编号是3的倍数加1.按题意，小明最终跳到

B孔，因此总孔数是3的倍数加1.

同样道理，每隔4孔跳一步最终跳到B孔，就意味着总孔数是5的倍数加1；

而每隔6孔跳一步最终跳回到A孔，就意味着总孔数是7的倍数.

假如将孔数减1,那么得数既是3的倍数也是5的倍数，因而是15的倍数.这

个15的倍数加上1就等于孔数，设孔数为八则〃=15〃?+1（“为非零自然数）

而且〃能被7整除.留意15被7除余1,所以15x6被7除余6,15的6倍加1

正好被7整除.我们还可以看出，15的其他（小于的7）倍数加1都不能被7整

除，而15x7=105已经大于100.7以上的倍数都不必考虑，因此，总孔数只能

是15x6+1=91.

【巩固】（1997年全国小学数学奥林匹克试题）将12345678910111213……依次写到第1997个

数字，组成一个1997位数，那么此数除以9的余数是.

【解析】本题第一步是要求出第1997个数字是什么，再对数字求和.

1-9共有9个数字，10』共有90个两位数，共有数字：90x2=180（个），

100-999共900个三位数，共有数字：900x3=2700（个），所以数连续写，不会写

到999,从100起先是3位数，每三个数字表示一个数，（1997-9-180）-3=602……2,

即有602个三位数，第603个三位数只写了它的百位和十位.从100起先的第

602个三位数是701,第603个三位数是9,其中2未写出来.因为连续9个自

然数之和能被9整除，所以排列起来的9个自然数也能被9整除，702个数能

分成的组数是：702.9=78（组），依次排列后，它仍旧能彼9整除，但702中

2未写出来，所以余数为9-2=7.

【例17】设2〃+1是质数，证明：F,2"…，，/被2〃+1除所得的余数各不相同.

【解析】假设有两个数。、b,(\<b<a<n),它们的平方/,从被2〃+1除余数相同.那

么，由

同余定理得a2-b2=0(mod(2w+1)),即(a-b){a+b)=0(mod(2〃+1)),由于2〃-1是质数,

月『以a十。三0(mod(2〃+l))或4一人三0(mod(2〃十1)),由于a+b,〃一。均/卜丁.2/1+1且大丁

0,可知,a+b与2〃+1互质,a-〃也与2〃+1互质，即a+b,〃都不能被2〃+1整

除，产生冲突，所以假设不成立，原题得证.

【巩固】试求不大于100,且使3”+7”+4能被11整除的全部自然数n的和.

【解析】通过逐次计算，可以求出3"被11除的余数，

依次为：丁为3,32为9,3,为5,3」为4,及为1,…，

因而3”被11除的余数5个构成一个周期：3,9,5,4,1,3,9,5,4,1,……；

类似地，

可以求出7”被11除的余数10个构成一个周期：7,5,2,3,10,4,6,9,8,

于是3”+7"+4被11除的余数也是10个构成一个周期：3,7,0,0,4,0,8,

7,5,6,.....；

这就表明，每一个周期中，只有第3、4、6个这三个数满意题意，

即〃=3,4,6,13,14,16,......,93,94,96时3"+7”+4能被11整除，所以，

全部满意条件的自然数n的和为：

【巩固】若〃为自然数，证明10|(产-产).

【解析】10=2x5,由于*5与/9的奇偶性相同，所以2|(产-产).

/5_六=产面6_]),假如〃能被5整除，那么5"晒(/6_1)；假如〃不能被5整

除，那么〃被5除的余数为1、2、3或者4,/被5除的余数为广、2、3

被5除的余数，即为1、16、81、256被5除的余数，而这四个数除以5均余1,

所以不管。为多少，/被5除的余数为1,而/=(/)上即14个不和乘，所以

，产除以5均余1,则a56-1能被5整除，有水产“LT).所以5|3域-a，，.

由于2与5互质，所以同侬2^—/..

【例18】设n为正整数，2=2004”，k被7除余数为2,k被11除余数为3,求n的最

小值.

【解析】2004被7除余数为2,被11除余数也为2,所以2〃被7除余数为2,被11除

余数为3.

由于2=2被7除余2,而2、8被7除余1,所以n除以3的余数为1；

由于丁=256被11除余3,严=1024被11除余1,所以n除以10的余数为8.

可见〃+2是3和10的公倍数，最小为［3,10］=30,所以n的最小值为28.

【巩固】有三个连续自然数，其中最小的能被15整除，中间的能被17整除，最大的能

被19整除，请写出一组这样的三个连续自然数.

【解析】设三个连续自然数中最小的一个为n,则其余两个自然数分别为〃+i,〃+2.

依题意可知：15|〃，17|(〃+1),19|(〃+2),依据整除的性质对这三个算式进行变

换：

从上面可以发觉2〃反5应为15、17、19的公倍数.

由于［15,17,191=4845,所以2/7-15=4845(2/:-!)(因为2/1-15是奇数)，可得

n=4845^-2415.

当攵=1时〃=2430,〃+1=2431,〃+2=2432,所以其中的一组自然数为2430、2431、

2432.

【例19】(2008年西城试验考题)从L2,3,……,n中，任取57个数，使这57个

数必有两个数的差为13,则n的最大值为多少？

【解析】被13除的同余序列当中,如余1的同余序列,1、14、27、40、53、66……，

其中只要取到两个相邻的，这两个数的差为13；假如没有两个相邻的数，则没

有两个数的差为13,不同的同余序列当中无行能有两个数的差为13,对于随

意一条长度为x的序列，都最多能取个数，使得取出的数中没有两个数

的差为13,即从第1个