初中数学自主招生难度讲义-7年级专题18简单的不定方程、方程组（解析版）

专题18简单的不定方程、方程组

阅读与思考

如果方程(组)中，未知数的个数多于方程的个数，那么解往往有无穷多个，不能唯一确定，这样的

方程(组)称为不定方程(组)．

对于不定方程(组)，我们常常限定只求整数解，甚至只求正整数解．加上这类限制后，解可能唯一

确定，或只有有限个，或无解．这类问题有以下两种基本类型：

1．判定不定方程(组)有无整数解或解的个数；

2．如果不定方程(组)有整数解，求出其全部整数解．

二元一次不定方程是最简单的不定方程，一些不定方程(组)常常转化为二元一次不定方程求其整数

解．

解不定方程(组)，没有固定的方法可循，需具体问题具体分析，经常用到整数的整除、奇数偶数、

因数分解、不等式分析、穷举、分离整数、配方等知识与方法．根据方程(组)的特点进行适当变形，并

灵活运用相关知识与方法是解不定方程(组)的基本思路．

例题与求解

【例1】满足19982m219972n2(0＜m＜n＜1998)的整数对(m，n)共有_______对．

(全国初中数学联赛试题)

解题思路：由方程特点，联想到平方差公式，利用因数分解来解答．

【例2】电影票有10元，15元，20元三种票价，班长用500元买了30张电影票，其中票价为20元的

比票价为10元的多()．

A．20张B．15张C．10张D．5张

(“希望杯”邀请赛试题)

解题思路：设购买10元，15元，20元的电影票分别为x，y，z张．根据题意列方程组，整体求

出的z－x值．

【例3】某人家中的电话号码是八位数，将前四位数组成的数与后四位数组成的数相加得14405，将前

三位数组成的数与后五位数组成的数相加得16970，求此人家中的电话号码．

(湖北省武汉市竞赛试题)

解题思路：探索可否将条件用一个式子表示，从问题转换入手．

【例4】一个盒子里装有不多于200粒棋子，如果每次2粒，3粒，4粒或6粒地取出，最终盒内都剩一

粒棋子；如果每次11粒地取出，那么正好取完，求盒子里共有多少粒棋子?

(重庆市竞赛试题)

解题思路：无论怎样取，盒子里的棋子数不变。恰当设未知数，把问题转化为求不定方程的正整数解．

【例5】甲组同学每人有28个核桃，乙组同学每人有30个核桃，丙组同学每

人有31个核桃，三组的核桃总数是365个．问：三个小组共有多少名同学?

(海峡两岸友谊赛试题)

解题思路：根据题意，列出三元一次不定方程，从运用放缩法求取值范围入手．

【例6】某中学全体师生租乘同类型客车若干辆外出春游，如果每辆车坐22人，就会余下1人；如果开

走一辆空车，那么所有师生刚好平均分乘余下的汽车．

问：原先租多少辆客车和学校师生共多少人?(已知每辆车的容量不多于32人)

解题思路：设原先租客车x辆，开走一辆空车后，每辆车乘坐k人，根据题意列出方程求解，注意

排除不符合题设条件的解．

能力训练

A级

5

1．若a24b2a4b0，则ab＝__________．

4

2x23y26z2

2．已知4x3y6z0，x2y7z0(xyz≠0)，则的值等于________．

x25y27z2

3．1998年某人的年龄恰等于他出生的公元年数的数字和，那么他的年龄是_________岁．

(“希望杯”邀请赛试题)

4．已知a，b，c为整数，且ab2006，ca2005．若a＜b，则abc的最大值为_____．

(全国初中数学竞赛试题)

5．x，y都是质数，则方程xy1999共有()．

A．1组解B．2组解C．3组解D．4组解

(北京市竞赛试题)

6．如图，在高速公路上从3千米处开始，每隔

4千米设一个速度限制标志，而且从10千米处开

始．每隔9千米设一个测速照相标志，则刚好在

19千米处同时设置这两种标志，问下一个同时设

置这两种标志的地点的千米数

是()．

A．32千米B．37千米C．55千米D．90千米

7．给出下列判断：

x3t

①不定方程2x3y0的整数解可表示为(t为整数)．

y2t

②不定方程2x4y5无整数解．

③不定方程2x3y1无整数解．

其中正确的判断是()．

A．①②B．②③C．①③D．①②③

8．小英在邮局买了10元的邮票，其中面值0.10元的邮票不少于2枚，面值O.20元的邮票不少于5枚，

面值0.50元的邮票不少于3枚，面值2元的邮票不少于1枚，则小英最少买了()枚邮票．

A．17B．18C．19D．20

(“五羊杯”邀请赛试题)

9．小孩将玻璃弹子装进两种盒子，每个大盒子装12颗，每个小盒子装5颗，若弹子共有99颗，所用

大小盒子多于10个，问这两种盒子各有多少个?

10．中国百鸡问题：鸡翁一，值钱五，鸡母一，值钱三，鸡雏三，值钱一，百钱买百鸡．问鸡翁、鸡母、

鸡雏各几何?

(出自中国数学家张丘建的著作《算经》)

11．已知长方形的长、宽都是整数，且周长与面积的数值相等，求长方形的面积．

(“希望杯”邀请赛试题)

5x4y7

12．已知k是满足1910k2010的整数，并且使二元一次方程组有整数解．问：这样

4x5yk

的整数k有多少个？

（“华罗庚金杯”竞赛试题）

B级

2

1．如果a，b，c满足a22b22c22ab2bc6c90，那么abc＝__________．

(“祖冲之杯”邀请试题)

2．已知x，y为正偶数，且x2yxy296，则x2y2＝_________．

3．一个四位数与它的四个数字之和等于1991．这个四位数是__________．

(重庆市竞赛试题)

4．城市数学邀请赛共设金、银、铜三种奖牌，组委会把这些奖牌分别装在五个盒中，每个盒中只装一

种奖牌．每个盒中装奖牌枚数依次是3，6，9，14，18．现在知道其中银牌只有一盒，而且铜牌枚数是

金牌枚数的2倍．则有金牌_____枚，银牌______枚，铜牌_____枚．

5．若正整数x，y满足x272y2，则这样的正整数对(x，y)的个数是()．

A．1个B．2个C．3个D．4个

6．有甲、乙、丙3种商品，单价均为整数，某人若购甲3件、乙7件、丙1件共需24元；若购甲4件、

乙10件、丙l件共需33元，则此人购甲、乙、丙各1件共需()元．

A．6元B．8元C．9元D．10元

xyz0

7．在方程组中，，，是不相等的整数，那么此方程组的解的组数为()．

333xyz

xyz36

A．6B．3C．多于6D．少于3

(“希望杯”邀请赛试题)

8．一个两位数中间插入一个一位数(包括0)，就变成一个三位数，有些两位数中间插入某个一位数后变

成的三位数是原来两位数的9倍，这样的两位数有()个．

A．1B．4C．10D．超过10

9．李林在银行兑换了一张面额为l00元以内的人民币支票，兑换员不小心将支票上的元与角、分数字看

倒置了(例如，把12．34元看成了34．12元)，并按着错的数字支付，李林将其款花去3．50元之后，

发现其余款恰为支票面额的两倍，于是急忙到银行将多领的款额退回，问：李林应退回的款额是多少元?

(“五羊杯”邀请赛试题)

10．某人乘坐的车在公路上匀速行驶，从他看到的某个里程碑上的数是一个两位数时起，一小时后他看

到的里程碑上的数恰好是第一次看到的数颠倒了顺序的两位数，再过一小时。他看到的里程碑上的数又

恰好是第一次看到的两位数之间添上一个零的三位数，问这三块里程碑上的数各是多少?

(“勤奋杯”竞赛试题)

11．已知四位数abcd满足a3b3c3d3110cd，求这样的四位数．

(“《数学周报》杯”全国初中数学竞赛试题)

1115

12．求方程的正整数解．

xyz6

(“希望杯”邀请赛试题)

专题18简单的不定方程、方程组

例13提示：(n-m)(n+m)=3995=1×5×17×47，(n-m)与(n+m)奇偶性相同，对3995的任一正整数分

解均可得到一个(m，n).

xyz30①

例2C设购买10元，15元，20元的电影票分别为x，y，z张.则，②-①

10x15y20z500②

×15得5(z-x)=50，解得z-x=10.

例3设此8位数为abcdefgh，将abc记为x，d记为y，efgh记为z.x，y，z均为自然数.即电话号码是100

000x+10000y+z，且100≤x≤999，0≤y≤9，1000≤z≤9999，

y1

10xyz14405

则，得1111y–x=285，由100≤x≤999，y≥0，得x826，

x10000yz16970

z6144

故电话号码是82616144.

例4提示：设盒子里共有x(x≤200)粒棋子，

则12a-1=11b=x(a、b为正整数)，

解得a=10，b=11，x=121.

例5设甲组学生a人，乙组学生b人，丙组学生c人，由题意得28a+30b+31c=365.

365

因28（a+b+c）＜28a+30b+31c=365.得a+b+c＜＜13.04，所以a+b+c≤13.

28

365

因31（a+b+c）＞28a+30b+31c=365.得a+b+c＞＞11.7，所以a+b+c≥12

31

因此a+b+c=12或13.

当a+b+c=13时，得2b+3c=1，此方程无正整数解；当a+b+c=12时，符合题意.

例6设原先租客车x辆，开走一辆空车后，每辆车乘坐k人，显然x≥2，23≤k≤32.依题意有：22x+1=k(x-1).

22x122x22232323

则k22.因为k为自然数，所以必是自然数，但23是质数，因数只

x1x1x1x1

有1和23，且x≥2，∴x-1=1或x-1=23.如果x-1=1，则x=2，k=45，不符合k≤32的题设条件.如果x-1=23，

则x=24，k=23，符合题意.这时旅客人数等于k(x-1)=23×23=529人.

A级

1

1..2.1

4

x8

3.18提示：设某人出生于19xy，则199819xy10xy，即11x+2y=88，解得.

y0

4.5013提示：由题中条件得a+b+c=a+4011，又因为a+b=2006，a＜b.故2a＜2006，a＜1003.又因为a

为正整数，故a的最大值为1002，于是a+b+c的最大值为5013.

5.B

6.C设置限速标志、照相标志的千米数分别表示为3+4x，10+9y（x、y为自然数），将问题转换为求

79yy3x13

不定方程3+4x=10+9y的正整数解，则x2y1，4｜（y+3），为所求的解.

44y5

7.A8.A9.大小盒子分别为2个，15个.

xyz100

10.设鸡翁、鸡母、鸡雏数目分别为x、y、z.则有z，消去z，得7x+4y=100，显然（0，

5x3y100

3

x4t

25）是方程的一个特解，所以方程的通解为（t为整数）.于是z=100-x-y=100+4t-25-7t=75-3t.

y257t

4t0

由x、y、z≥0且t为整数得257t0，解得t0,1,2,3，将t的值代入通解，得四组解为（x，y，

753t0

z）=（0，25，75），（4，18，78），（8，11，81），（12，4，84）．（0，25，75）应舍去．

2x2x244

11．设长方形的长宽高分别为x，y，则xy2x2y，y2，x2|4，

x2x2x2

x3或4或6，y6或4或3，故长方形面积为18或16．

354k

x

41354k41m

12．由方程组得，当①（其中m，n是整数）时，方程有整数解．消去上

5k285k2841n

y

41

m34t

面方程的k，得：5m4n7②，由②得：（其中t为整数）③将③代入①得

n25t

220

354k123164t，k2241t．解不等式19102241t2010，得：46t48，故有２

4141

个ｋ的值使原方程组有整数解．

B级

222

1．144提示：abbcc30．

2．10提示：xyxy96

3．1972设这个四位数为abcd，则1000a100b10cdabcd1991，

即1001a101b11c2d1991，a1，从而101b11c2d990，又11c2d最大为99+18=117．故

101b990117873，即b9，得11c2d81，进一步得c7,d2，故这个四位数为1972．

4．121424提示：由题目中“通牌枚数是金牌枚数的2倍”得知金牌与铜牌数的和为3的倍数．因

为银牌只有一盒，所以铜牌数和金牌数的和应为3，6，9，14，18中四个数的和．因此银牌数为14枚，

1

金牌数为（3+6+9+18）=12枚，铜牌数为24枚．

3

5．C提示：xyxy17223641861289．

6．A

7．A提示：有方程组得：xyz12．

8．B提示：设两位数为10a+b，中间插入的一位数为m，则9(10a+b)=100a+10m+b，10(a+m)=8b

9．原来支票的面额是14.32元，兑换员看错成了32.14元，应退回32.14-14.32=17.82元．

10．设第一次看到的两位数为xy，则以后两次看到的数分