初中数学自主招生难度讲义-8年级专题17等腰三角形的判定

专题17等腰三角形的判定

阅读与思考

在学习了等腰三角形性质与判定后，我们可以对等腰三角形的判定、证明线段相等的方法作出归纳

总结．

1．等腰三角形的判定：

⑴从定义入手，证明一个三角形的两条边相等；

⑵从角入手，证明一个三角形的两个角相等．

2．证明线段相等的方法：

⑴当所证的两条线段位于两个三角形，通过全等三角形证明；

⑵当所证的两条线段位于同一个三角形，通过等角对等边证明；

⑶寻找某条线段，证明所证的两条线段都与它相等．

善于发现、构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质为解题服务，是解几何题的一个常用技

巧．常见的构造方法有：平分线+平行线、平分线+垂线、中线+垂线．如图所示：

例题与求解

【例1】如图，在△ABC中，AB=7，AC=11，点M是BC的中点，AD是∠BAC的平分线，MF∥

AD，则CF的长为____________．

（全国初中数学竞赛试题）

解题思路：角平分线+平行线易构造等腰三角形，解题的关键是利用条件“中点M”．

A

F

BC

DM

【例2】如图，在△ABC中，∠B=2∠C，则AC与2AB之间的关系是（）

A．AC＞2ABB．AC＝2AB

C．AC≤2ABD．AC＜2AB

(山东省竞赛试题)

解题思路：如何条件∠B=2∠C，如何得到2AB，这是解本题的关键．

A

BC

【例3】两个全等的含300，600角的三角板ADE和三角板ABC，如图所示放置，E、A、C三点在

一条直线上，连结BD，取BD中点M，连结ME，MC，试判断△EMC的形状，并说明理由．

（山东省中考试题）

解题思路：从△ADE≌△BAC出发，先确定△ADB的形状，为判断△EMC的形状奠定基础．

B

M

D

EAC

【例4】如图，已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交

AC于F，求证：AF=EF．

（天津市竞赛试题）

解题思路：只需证明∠FAE=∠AEF，利用中线倍长，构造全等三角形、等腰三角形．

A

F

E

B

DC

【例5】如图，在等腰△ABC中，AB=AC，∠A=200，在边AB上取点D，使AD=BC，求∠BDC度

数．

（“祖冲之杯”竞赛试题）

解题思路：由条件知底角为300，这些角并不是特殊角，但它们的差却为600，600使我们联想到等

边三角形，由此找到切入口．

如图1，以BC为边在△ABC内作等边△BCO；如图②，以AC为边作等边△ACE．

AA

A

DD

DE

O

BC

B

B图1C

C图2

能力训练

A级

1．已知△ABC为等腰三角形，由顶点A所引BC边的高线恰等于BC边长的一半，则

∠BAC=__________．

2．如图，在Rt△ABC中，∠C=900，∠ABC=660，△ABC以点C为中点旋转到△A′B′C的位置，顶

点B在斜边A′B′上，A′C与AB相交于D，则∠BDC=_________．

A′

A9

A5

D9

D

BF

1

BEC

B′C

(第2题)(第3题)(第4题)

3．如图，△ABC是边长为6的等边三角形，DE⊥BC于E，EF⊥AC于F，FD⊥AB于D，则AD=_______．

（天津市竞赛试题）

4．如图，一个六边形的六个内角都是1200，其连续四边的长依次是1cm，9cm，9cm，5cm，

那么这个六边形的周长是____________cm．

（“祖冲之杯”邀请赛试题）

5．如图，△ABC中，AB=AC，∠B=360，D、E是BC上两点，使∠ADE=∠AED=2∠BAD，则图中

等腰三角形共有（）

A．3个B．4个

C．5个D．6个

4442244422

6．若△ABC的三边长是a，b，c，且满足abcbc，bacac，

c4a4b4a2b2，则△ABC（）

A．钝角三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形

（“希望杯”邀请赛试题）

7．等腰三角形一腰上的高等于该三角形某一条边的长度的一半，则其顶角等于（）

A．300B．300或1500C．1200或1500D．300或1200或1500

（“希望杯”邀请赛试题）

8．如图，已知Rt△ABC中，∠C=900，∠A=300，在直线BC或AC上取一点P，使得△PAB是等腰

三角形，则符合条件的P点有（）

A．2个B．4个C．6个D．8个

（江苏省竞赛试题）

A

C

AGD

E

CAB

BBDECF

第5题图第8题图第9题图

9．如图在等腰Rt△ABC中，∠ACB=900，D为BC中点，DE⊥AB，垂足为E，过点B作BF∥AC

交DE的延长线于点F，连接CF交AD于G．

⑴求证：AD⊥CF；

⑵连结AF，度判断△ACF的形状，并说明理由．

10．如图，△ABC中，AD⊥BC于D，∠B=2∠C，求证：AB+BD=CD．

（天津市竞赛试题）

A

B

CD

11．如图，已知△ABC是等边三角形，E是AC延长线上一点，选择一点D，使得△CDE是等边三

角形，如果M是线段AD的中点，N是线段BE的中点，求证：△CMN是等边三角形．

（江苏省竞赛试题）

D

M

B

N

ECA

12．如图1，Rt△ABC中，∠ACB=900，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交

CB于点F．

CC

FF

EEE′

BAB

ADDA′D′

图1图2

⑴求证：CE=CF；

⑵将图1中的△ADE沿AB向右平移到△A′D′E的位置，使点E′落在BC边上，其他条件不变，如

图2所示，试猜想：BE′与CF有怎样的数量关系？请证明你的结论．

（山西省中考试题）

B级

1．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，AB+BD=AC，则∠B：∠C的值=__________．

AA

B

BDCDEC

(第1题)(第2题)

2．如图，△ABC的两边AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E，若∠BAC+∠DAE=1500，则∠

BAC的度数是____________．

3．在等边△ABC所在平面内求一点P，使△PAB、△PBC、△PAC都是等腰三角形，具有这样性质

的点P有_________个．

4．如图，在△ABC中，∠ABC=600，∠ACB=450，AD、CF都是高，相交于P，角平分线BE分别

交AD、CF于Q、S，则图中的等腰三角形的个数是（）

A．2B．3C．4D．5

D

A

FN

PE

SEA2

QC

BAM

DCA1A3

AB

(第4题)第题

第5题(6)

11

5．如图，在五边形ABCDE中，∠A=∠B=1200，EA=AB=BC=DC=DE，则∠D=（）

22

A．300B．450C．600D．67.50

（“希望杯”竞赛试题）

0

6．如图，∠MAN=16，A1点在AM上，在AN上取一点A2，使A2A1=AA1，再在AM上取一点A3，

使A3A2=A2A1，如此一直作下去，到不能再作为止，那么作出的最后一点是（）

A．A5B．A6C．A7D．A8

7．若P为△ABC所在平面内一点，且∠APB=∠BPC=∠CPA=1200，则点P叫作△ABC的费尔马点，

如图1．

AAB′

P

BCBC

图1图2

⑴若点P为锐角△ABC的费尔马点，且∠ABC=600，PA=3，PC=4，则PB的值为_____．

⑵如图2，在锐角△ABC外侧作等边△ACB′，连结BB′．求证：BB′过△ABC的费尔马点P，且

BB′=PA+PB+PC．

（湖州市中考试题）

8．如图，△ABC中，∠BAC=600，∠ACB=400，P、Q分别在BC、AC上，并且AP、BQ分别是∠

BAC、∠ABC的角平分线，求证：BQ+AQ=AB+BP．

（全国初中数学联赛试题）

A

Q

C

BP

9．如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，M是BC的中点，过M作ME∥AD交BA延长线

1

于E，交AC于F，求证：BE=CF=(AB+AC)．

2

（重庆市竞赛试题）

E

A

F

B

DMC

10．在等边△ABC的边BC上任取一点D，作∠DAE=600，DE交∠C的外角平分线于E，那么△ADE

是什么三角形？证明你的结论．

（《学习报》公开赛试题）

1

11．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线l：yxm与x轴、y轴的正半轴分

2

别相交于点A、B，过点C(－4，－4)作平行于y轴的直线交AB于点D，CD=10．

⑴求直线l的解析式；

⑵求证：△ABC是等腰直角三角形；

⑶将直线l沿y轴负方向平移，当平移恰当的距离时，直线与x，y轴分别相交于点A′、B′，在直

线CD上存在点P，使得△A′B′P是等腰直角三角形，请直接写出所有符合条件的点P的坐标．

（宁波市江东区模拟题）

y

DB

x

OA

C

12．如图1，在平面直角坐标系中，△AOB为等腰直角三角形，A(4，4)．

⑴求B点坐标；

⑵如图2，若C为x轴正半轴上一动点，以AC为直角边作等腰直角△ACD，∠ACD=900，连接

OD，求∠AOD度数；

⑶如图3，过点A作y轴于E，F为x轴负半轴上一点，G在EF的延长线上，以EG为直角边作

AMFM

等腰Rt△EGH，过A作x轴垂线交EH于点M，连接FM，等式=1是否成立？若成立，请

OF

证明；若不成立，说明理由．

yyy

AAA

E

F

BxCBxBx

OOOM

DG

H

图1图2图3

专题17等腰三角形的判定

例1延长MF，BA交于E，延长FM至点P，使MP=MF，连BP，则△BMP≌△CMF，∴BP=CF.

∵AD平分∠BAC，AD∥FM，∠BAD=∠DAC=∠MFC=∠AFE=∠E=∠P，∴AE=AF，BE=BP，即

11

AB+AE=AB+AF=AB+AC-CF=CF，∴CF=(AB+AC)=(7+11)=9.

22

例2D

例3提示：△EMC为等腰直角三角形，连AM，易证：△ADE≌△BAC.∴AD=AB，

又∠DAB=90°.又∵M为BD中点，∴AM⊥DB且DM=BM=AM.

又∵∠MDE=∠MAC=105°，

∴△EDM≌△CAM.∴EM=MC，∠DME=∠AMC，

∴∠DME+∠EMA=∠AMC+∠EMA=90°.

∴△EMC为等腰直角三角形.

例4延长AD至G，使DG=AD，连接BG.

由△ADC≌△GDB，得AC=BG，AC∥BG.

∵BE=AC，∴BE=BG，得∠BED=∠BGD，

∴∠FAE=∠BGD=∠BED=∠AEF，

故AF=EF.

A

F

E

BDC

G

例5提示：结合图1，给出解答过程.

由图形的轴对称性知：△ABO≌△ACO，∴∠BAO=∠CAO=10°，∴∠ABO=∠ACO=20°，∴∠AOB=

∠AOC=150°.又∵BO=BC=CO=AD，∴△ACD≌△CAO，∴∠AOC=∠CDA=150°，故∠BDC=30°.

A级

1.90°或75°或15°2.72°3.24.37

5.D6.D提示：将三式相加7.D8.C

9.⑴先证△ACD≌△CBF，∴∠CAD=∠BCF.又∵∠CAD+∠CDG=∠BCF+∠CDG=90°，

∴∠CGD=90°，∴AD⊥CF.

⑵△ACF为等腰三角形.

10.提示：延长DB至E，使BE=AB，连结AE，证明∠E=∠C，AC=AE.

11.提示：证明△DCA≌△ECB、△DCM≌△ECN，∠NCM=60°.

12.⑴提示：先证明∠CEF=∠CFE.

⑵作EG⊥AC于G，证明△CEG≌△BE´D´，可得