《金融工程》 课件 第12-14章 期权的二叉树模型；随机积分与资产价格建模；Black-Scholes-Merton期权定价模型

第十二讲期权的二叉树模型1《金融工程》主要内容2

第一节

二叉树模型简介

第二节

单步二叉树模型

第三节

多步二叉树模型

第四节

二叉树模型的实际应用34

第一节

二叉树模型简介

引言51979年，J.C.Cox,S.A.Ross&M.Rubin–stein将二叉树模型用于期权定价中，迄今为止，这种模型已经成为金融界最基本的期权定价方法之一。AB1E0E1E3E2B0C0D0C1D1C2D2D3E4一、二叉树模型的基本假设6市场无摩檫（无交易费用和税收)市场是无套利的无风险利率为常数，可以无限制以无风险利率借贷允许卖空下一期的股票价格只取两种可能的值。二、二叉树模型的特点7模型相对简单容易理解风险中性定价与无套利定价的关系容易解释期权动态套期保值的思想一种期权定价的数值方法对欧式期权的定价与Black-Scholes公式的定价近似；为美式期权定价提供了便利；除了为期权定价还可以做别的；8

第二节

单步二叉树模型单期二叉树9

例12.1假设一种不支付红利股票目前的市价为20元，我们知道在3个月后，该股票价格要么是22元，要么是18元。假设现在的无风险年利率等于10%（连续复利），现在我们要找出一份3个月期协议价格为21元的该股票欧式看涨期权的价值。10（一）构造无风险组合定价期权建立一个包含衍生品头寸和基础资产头寸的无风险的资产组合。若数量适当，基础资产的赢利就会与衍生品的亏损相抵，瞬间无风险。无风险组合的收益率等于无风险利率。一.单期二叉树的无套利定价分析11构建一个由一单位看涨期权空头和Δ单位的标的股票多头组成的组合。为了使该组合在期权到期时无风险，Δ必须满足下式：

22D–118D22Δ

－1=18ΔΔ=0.25分析12该无风险组合的现值应为：由于该组合中有一单位看涨期权空头和0.25单位股票多头，而目前股票市场为20元，因此：

13二.单期二叉树的风险中性定价风险中性定价思想在风险中性世界中，我们假定该股票上升的概率为P，下跌的概率为1-P，则得：P=0.6266这样，根据风险中性定价原理，我们就可以给出该期权的价值：14在风险中性世界中，我们假定该股票上升的概率为P，下跌的概率为1-P，则得：P=0.6266这样，根据风险中性定价原理，我们就可以给出该期权的价值：风险中性定价思想三、推广到一般情形15假设一个无红利支付的股票，当前时刻t股票价格为S，基于该股票的某个期权的价值是f，期权的有效期是T，在这个有效期内，股票价格或者上升到Su，或者下降到Sd（d<exp(rT)<u）。当股票价格上升到Su时，我们假设期权的收益为fu，如果股票的价格下降到Sd时，期权的收益为fd。一般的例子（一）无套利定价法的思路16首先，构造一个由Δ股股票多头和一个期权空头组成的证券组合，使得该组合为无风险组合，即：Su

D–ƒuSdD–ƒd由此计算出该组合为无风险时的Δ值。17如果无风险利率用r表示，则该无风险组合的现值一定是（SuΔ-fu）e-rT,而构造该组合的成本是SΔ-f，在没有套利机会的条件下，两者必须相等。即SΔ-f=（SuΔ-fu）e-rT

，所以其中：（一）无套利定价法的思路启示18（1）计算公式中没有出现股票实际上涨或下跌的概率；(2)公式中没有描述投资者对于风险偏好程度的变量，说明可以被任何态度的投资者接受(3)期权价值仅与当前股价、未来股价波动性有关；（4）P，1-p在无套利市场中满足概率的性质，称为风险中性概率（risknerutralProbability）。(5)风险中性概率只依赖于股票价格的波动性和无风险收益（二）风险中性定价的思路19假定风险中性世界中股票的上升概率为P，由于股票未来期望值按无风险利率贴现的现值必须等于该股票目前的价格，因此该概率可通过下式求得：所以fufdfSu

SdSP1-P20（三）风险中性与套利定价内在统一的数学原理资产定价的基本定理：无套利假设等价于存在对未来不确定状态的某一等价概率测度，使得每一种金融资产对该等价概率测度的期望收益都等于无风险证券的收益率表明了无套利定价与风险中性定价的关系单期二叉树——练习21练习：求欧式看跌期权的价值，X=21T=3个月，r=0.1$18$22$20四、欧美式期权的单步二叉树定价22美式期权的单期定价针对美式期权，需要考虑提前执行的价值与不提前执行的价值哪一个是最优的，因此即使在单步的二叉树下美式与欧式的估值也是不同的美式看跌期权X=22的价值为：2欧式看跌期权X=22的价值为：1.46$18$22$2023总结：欧式期权的单期定价：美式期权的单期定价：24

第三节

多步二叉树模型一、两期二叉树模型25股价的变化如图： 每个步长为3个月，u=1.1，d=0.9，r=12%试计算执行价为X=21的欧式看涨的价值20221824.219.816.2（一）无套利定价—复制期权26通过股票和无风险资产组合，复制1单位期权产品的损益。思考：当二叉树步数增加时，delta是否会变化？27201.2823221824.23.219.80.016.20.02.02570.0ABCDEFB点处的delta值：A点处的delta值：结论：不同时期不同股价获得完全保值需要的股票数量是不同的，因此，现实的套期保值策略是一个动态调整的过程。两步二叉树的套利策略28如果这里实际的期权报价$1，套利策略是什么？最终获得的无风险利润是多少？策略0时刻：卖空0.51份股票，买入1份期权，将剩余收入0.51*20-1=9.2元存入银行。1时刻：a)股价上升为22，继续卖空0.22份股票（=0.73-0.51）,将所得收入0.22*22=4.84存入银行

a1)2时刻，股价为24.2，平仓所有头寸，获益：9.2*exp(0.12*0.5)+4.84*exp(0.12*0.25)+max(24.2-21,0)-24.2*(0.51+0.22)=0.29

a2)2时刻，股价为19.8，平仓所有头寸，获益：9.2*exp(0.12*0.5)+4.84*exp(0.12*0.25)-19.8*0.73=0.31时刻：b)股价下降为18，平仓0.51份股票空头（=0-0.51）,借入0.51*18=9.18元

b1)2时刻，无论股价为19.8还是16.2，都不执行，获益为：9.2*exp(0.12*0.5)-9.18*exp(0.12*0.25)=0.31即：无论涨跌，套利收益近似为：（1.2823-1）*exp(0.12*0.5)=0.30启示：多步二叉树模型下期权的套保问题31由两步二叉树的套利定价法知：Delta(D)为下一步期权价值变化与股票价值变化的比值，这个比值是在变动的，因此期权套保需要动态调整股票头寸，对于单步二叉树：Delta(D)

问答32远期合约的套期保值和期权的套期保值策略中，你看到什么差别？为何会产生这样的差别？二叉树作为一种数值方法，我们实际应用中可能需要用上百步甚至上千步去估值，你愿意用上述分析方式利用三步以上的二叉树为期权合约定价吗？（二）两步二叉树的风险中性定价33步骤：1.利用单步股价的变化确定风险中性概率2.利用衍生产品到期损益倒推定价，如果为美式期权在每一步做最优执行时刻的判断。34201.2823221824.23.219.80.016.20.02.02570.0ABCDEF欧式看涨期权的风险中性定价风险中性概率：（三）欧式期权的二叉树定价35欧式看跌期权的定价：201.0591220.40491824.2019.81.216.24.82.3793ABCDEFX=21 （四）美式期权的二叉树定价36美式看跌期权的定价：201.2686221824.2019.81.216.24.80.40493ABCDEF>1.0591=pX=21

练习：试计算美式看涨期权的价格，并比较美式看涨期权与欧式看涨期权间的关系。两期二叉树模型与delta动态保值37总结：欧式期权的二期定价：总结：美式期权的二期定价二、股票价格的多期二叉树模型38SSuSdSu2Sd2SudSu3Su4Su2dSud2Sd3Sd4Sud3Su3dSu2d2类似地可以通过倒推方式计算期权的价值主要内容39总结：欧式期权的多期定价：美式期权的多期定价：三步二叉树模型下期权的定价40例：假设标的资产为不付红利股票,其当前市场价为100元,无风险连续复利为5%，u=1.1,d=0.9,二叉树步长为1年，试计算该股票3年期的，协议价格为105元的欧式看涨期权的价值。100110901219981133.1108.989.172.9Pu=0.76,Pd=0.24股价的二叉树欧式期权的价值4211.8715.852.0221.122.81028.13.900欧式看涨期权价值为11.8743

第四节

二叉树模型的实际应用一、更实际的二叉树（CRR二叉树）44若到期时只有两种状态，可用单步二叉树模拟：SuSdSP1-P45若到期时只有三种状态，可用两步二叉树模拟：SSuSdSu2SudSd2ABCDEF46若到期时有n+1种状态，可用n步二叉树模拟：SSuSdSd2SudSun-1SunSdn-1SdnSudn-1Sun-1dSu247欧美式期权的定价定价过程通常采用倒推定价法首先得到每个结点的资产价格，然后在二叉树模型中采用倒推定价法，从树型结构图的末端T时刻开始往回倒推，为期权定价值得注意的是，如果是美式期权，就要在树型结构的每一个结点上，比较在本时刻提前执行期权和继续再持有到下一个时刻再执行期权，选择其中价值较大者作为本结点的期权价值。欧美式期权的定价48例12.10：

假设标的资产为不付红利股票,其当前市场价为100元,波动率为每年20%，无风险连续复利为10%，该股票6个月期的美式看跌期权协议价格为95元。1）求该期权的价值。2）求相同条款下美式看跌、欧式看涨、欧式看跌的价值参见欧美式期权二叉树定价.xls二、考虑红利率资产的二叉树模型

49Foroptionsonstockindices,currenciesandfuturesthebasicprocedureforconstructingthetreeisthesameexceptforthecalculationofp50TheProbabilityofanUpMove51二叉树可以用于：1)期权定价：欧式、美式期权、路径依赖期权（如回望期权、障碍期权、亚式期权等）;2)含权债券定价：可转债；3）敏感度分析4)信用风险度量：如公司债定价，CDS定价等；5）利率建模三、二叉树的其他应用（一）回望期权（lookbackoption）52固定执行价浮动执行价二叉树模型下回望期权的定价53S=100，d=0.9，u=1.1，执行价格X=105，无风险连续利率r=5%，利用3步二叉树计算到期日为3年的固定执行价的欧式回望看涨期权的价格。股价二叉树54Pu=0.76,Pd=0.24110901219981100133.1108.989.172.999108.989.1108.989.1回望期权的二叉树5513.7818.422.0423.974.762.82028.116553.9000执行价为105的回望看涨期权价值为13.78（二）二叉树为路径依赖产品的改进56如此复杂的二叉树在计算机上是不可实现的，降低计算复杂度的方法是改进二叉树模型。参见：1）《期权、期货及其他衍生产品》第20章，20.4节；2）《金融工程学》，郑振龙（第一版），第8章3）Hull,J.,andA.,White(1993).EfficientproceduresforvaluingEuropeanandAmericanpath-dependentoptions,JournalofDerivatives,1,21-31.本章计算要求571）能够利用至少3步的二叉树模型为任何已知损益公式的产品定价；2）能够对两步二叉树模型下，价格不合理的期权给出套利策略实现的全过程。例12.12（一个理财产品的估值）582012年12月，农银汇理公司推出一款结构化专户产品，仅针对100万元以上的客户，产品的封闭期为12个月。产品收益为：一年后客户获得本金以及额外收益，该额外收益条款为“若产品存续期结束之日，沪深300指数相比成立日没有下跌”，持有人可以获得7%的预期收益率，若指数跌破成立日，则投资者没有额外收益。据此分析：

若客户资金为100万，年初沪深300指数为2000点，无风险连续利率为3%，沪深300指数年波动率为20%。设指数在一年内的波动满足3步的二叉树模型，计算该结构产品在年初的无套利价值,并据此分析该产品条款设计是否合理。（不考虑违约风险）应用实践

美式期权定价与希腊字母计算：wind期权定价计算器及帮助文档可转债的定价：可转债定价模型在中国的具体实现--含matlab程序—长江证券（未必完全正确）60总结一、二叉树模型的优点与不足61优点：1.原理简单，容易理解和实现；2.解决了提前执行期权的定价问题；3.计算复杂度低，精确度高；不足：1.不适用于多因素模型，产生“维数灾难”；2.定价路径依赖产品局限性大；3.能够模拟的随机变量分布局限性大；二、二叉树模型的应用范围

62可以模拟的模型单因子模型，即只包含一个风险因素的模型，且模型的随机因素与正态分布相关，满足随机游走的性质。可以定价的产品依赖单个风险的证券（或证券组合）价格的金融产品：如标的资产是股票的各种期权（股票可以是无分红的，也可以是有分红的）；包含期权的债券产品，如可转债、可赎回债券、可回售债券等。产品价值的敏感性分析如期权希腊字母的计算ending63第十三讲随机积分与资产价格建模64《金融工程》65

主要内容第一节布朗运动与伊藤(Ito)公式第二节几何布朗运动6667

知识目标了解Black-Scholes公式的数学理论基础——随机积分的相关知识，包括一元和二元伊藤公式的定义和应用，布朗运动和几何布朗运动的定义、特征和在资产价格建模中的应用。68第一节布朗运动与伊藤(Ito)公式69引言1826年，英国植物学家布朗（RobertBrown）用显微镜观察悬浮在水中的花粉时发现，花粉的运动并不遵循某种规则的模式，而是呈现出一种永不停歇的无规则运动。后来，用布朗的名字来对这种无规则的运动进行命名，将其称为布朗运动。数学家维纳（NorbertWiener，1894-1964）首次给出了布朗运动这种随机过程在数学上的严格定义，因此布朗运动又被称为维纳过程。70一、布朗运动

71二、伊藤积分

72（一）简单函数的伊藤积分

73（一）简单函数的伊藤积分的性质

74（三）一般函数的伊藤积分

75（四）一般被积函数的伊藤积分的性质

76三、伊藤过程

77三、伊藤过程

78三、伊藤过程

79四、伊藤引理

80第二节

几何布朗运动81一、几何布朗运动的定义

82二、几何布朗运动的特性

83二、几何布朗运动的特性

84三、几何布朗运动的应用GBM被用来描述股票价格过程的原因只要初始值为正值，几何布朗运动描述的资产价格都为正马尔科夫性与有效市场的假设是相符的解析表达式为定价带来了便利收益率序列满足独立增量性和平稳增量性，与我们假设股票日收益率独立同分布是一致的GBM对金融资产价格的变动进行建模仍然存在以下缺点波动率是常数，不随时间变化而变化资产价格的收益率服从正态分布，没考虑尖峰厚尾特性标的资产的价格有时候也可能出现负值的情况85三、几何布朗运动的应用例13.2

假设某支股票的价格服从几何布朗运动，且该股票不存在任何形式的分红和股息派发，如果该股票收益率的年化波动率为24%，预期收益率为18%，该股票在当前的价格为200元，求一个月后该股票价格变化值的概率分布。86三、几何布朗运动的应用

87三、几何布朗运动的应用例13.3我们假设某支股票的价格服从几何布朗运动，不考虑股票支付红利的情形，如果该股票的预期收益率为10%，年化波动率为15%，该股票在当前的价格为150元，求标的资产价格3个月后价格取值的95%置信区间。88三、几何布朗运动的应用

89三、几何布朗运动的应用

90三、几何布朗运动的应用

91ending92第十四讲Black-Scholes-Merton期权定价模型及其应用93《金融工程》2025/4/894主要内容第一节标的资产价格建模第二节BSM期权定价公式第三节

波动率的概念和计算第四节BSM模型的扩展应用952025/4/896欧式期权定价——轶事期权定价是一件非常具有挑战性的任务。在20世纪的前面70多年里，众多经济学家做出无数努力，试图解决期权定价的问题，但都未能获得令人满意的结果。在探索期权定价的漫漫征途中，具有里程碑意义的工作出现在1973年——金融学家F.Black与M.Scholes发表了“期权定价与公司负债”的著名论文该论文推导出了确定欧式期权价值的解析表达式——Black-Scholes欧式期权定价公式，探讨了期权定价在估计公司证券价值方面的应用，更重要的是，它采用的动态复制方法成为期权定价研究的经典方法M.Scholes主要因为这一工作与R.Merton一道荣膺了1997年的诺贝尔经济学奖2025/4/897欧式期权定价——轶事巧合的是，国际上第一个期权交易所——芝加哥期权交易所于1973年4月底挂牌营业，略早于B-S公式的正式发表（5-6月号）两位作者最先把论文投给JPE，遭到了编辑的拒绝，而且没有得到审稿意见。拒绝的理由：金融太多，经济学太少他们于是向经济学与统计学评论投稿，同样在没有得到审稿意见的情况下遭到拒绝这一番波折导致他们检验B-S公式的论文发表在先98第一节标的资产价格建模

一、有效市场假说991965年，法玛（Fama）提出了著名的效率市场假说。该假说认为，投资者都力图利用可获得的信息获得更高的报酬；证券价格对新的市场信息的反应是迅速而准确的，证券价格能完全反应全部信息；市场竞争使证券价格从一个均衡水平过渡到另一个均衡水平，而与新信息相应的价格变动是相互独立的1001、弱式效率市场：证券价格变动的历史不包含任何对预测证券价格未来变动有用的信息，也就是说不能通过技术分析获得超过平均收益率的收益。2、半强式效率市场：证券价格会迅速、准确地根据可获得的所有公开信息调整，因此以往的价格和成交量等技术面信息以及已公布的基本面信息都无助于挑选价格被高估或低估的证券。3、强式效率市场假说：不仅是已公布的信息，而且是所有可能获得的有关信息都已反映在股价中，因此任何信息（包括“内幕信息”）对挑选证券都没有用处。根据众多学者的实证研究，发达国家的证券市场大体符合弱式效率市场假说。弱式有效市场假说暗含：1011.未来价格变动幅度与当前价格及之前价格都无关－－独立增量性未来价格只与当前价格有关，与当前价格之前的价格无关；－－马尔可夫性（简称马氏性，也称之为无记忆性）深证综指收盘价时序图102深证综指收盘价对数收益时序图103二、马尔可夫过程马氏过程是一类具有特殊性质的过程，它可以是：离散的随机过程：如我们的二叉树；连续的随机过程：如布朗运动(wiener过程)104三.独立同分布随机变量的和的分布105M0.25的分布直方图(Δt=0.01,模拟次数=1000)三.独立同分布随机变量的和的分布106M0.25的分布直方图(Δt=0.01,模拟次数=100000)三.独立同分布随机变量的和的分布107M0.25的分布直方图(Δt=0.0001,模拟次数=1000)三.独立同分布随机变量的和的分布108M0.25的分布直方图(Δt=0.0001,模拟次数=100000)四.布朗运动与股票价格相似性109股票价格VS布朗运动：弱势有效市场股票价格具有马氏性VS

布朗运动具有马氏性和独立增量性；股价走势具有连续性，VS

布朗运动具有连续轨道；假设股价的同时间长度的增长率独立同分布与布朗运动的平稳独立增量相符；大量独立同分布的随机变量加和必然呈现正态特征；VS布朗运动的增量具有正态特征直观比较110直观上讲，布朗运动的概念最初描述的是花粉颗粒在水中的运动（1826,英国植物学家布朗）；花粉由于相互碰撞和与介质水分子的碰撞做出不规则的运动路径；股票价格的波动来自于：投资者对股价的“碰撞”（类比于介质分子的碰撞）；股票的内在因素影响（市值大小，上市公司的行为、业绩，类比于花粉颗粒的大小，花粉的密度等）；市场因素的影响（如利率，印花税等，类比与水的温度变化、水杯的晃动）；因此在一定程度上与花粉颗粒的运动相仿。2025/4/8111仅仅使用标准布朗运动去研究股票价格存在欠缺：1)股价不是围绕0点的运动，其期望收益不为零；2)不同股票单位时间内的波动是不同的，不是千篇一律的1标准差.3)股票价格恒为正值四.布朗运动与股票价格相似性设在实际概率环境下，股票价格满足几何布朗运动，即：112五.股票价格的随机过程——GBM

geometricBrownianmotion

3.股票价格的随机过程GBM113由Ito公式，股票价格的对数过程即为广义Brown运动

114在无套利市场中，根据风险中性定价原理，应该成立

风险中性下的股价过程115故，在风险中性环境下，St的价格过程满足：股票价格的解析式为：风险中性下的股价过程即：

风险中性与实际概率下的股价关系116

117第二节期权的风险中性定价－Black-Scholes-Merton(BSM)期权定价公式一、BSM期权定价公式假设118股价过程为几何布朗运动（GBM）允许卖空交易无摩擦，即没有交易成本、税收等证券无限可分标的资产不产生红利不存在套利机会证券可以连续交易所有期限的无风险利率同为常数二.Black-Scholes-Merton公式的推导119120欧式看涨期权的B-S-M公式欧式期权定价公式122汇总：无收益资产的欧式期权定价公式三、应用123例14.1假设沪深300现货指数，沪深300看涨指数期权2022年11月21日的信息如下:S=3800X=3750T-t=0.5年r=0.025波动率＝0.20则：d1=0.253，d2=0.112，N(d1)=0.5999，N(d2)=0.5446C=SN(d1)-Xexp(-rT)N(d2)=262.7124例：考虑一支不付红利的股票，当前价格是20，无风险利率为12%，股价收益波动率为20%，现考虑以该股票为标的，到期期限为12个月，执行价格为21欧式看涨期权的定价。方法一、利用二叉树模型估计看涨期权的价格，参见excel方法二、利用Black-Scholes公式求解125练习1261、参数如例题，利用B-S公式求解执行价为21，期限为1年的欧式看跌期权的价值。2、盐湖钾肥07.6.14日股价为46.86,平均波动率为50%，无风险利率为3.06%，到期期限为0.025年，求以盐湖钾肥为标的，执行价为15.1元的钾肥JTP1认沽权证的价值.(N(－14.374)=0,N(-14.295)=0)127青海盐湖钾肥2007年6月1日公告(节选）

鉴于公司认股认沽权证钾肥JTP1的行权价格15.1元与公司正股“盐湖钾肥（代码：000792）”的二级市场价格的价差巨大，最近三个交易日钾肥JTP1认沽权证日换手率均超过1000％，如果截止2007年6月22日，公司正股收盘价在15.1元以上，钾肥JTP1将没有任何投资价值和行权价值，敬请广大本公司权证投资者注意投资风险和行权风险。

   本公告前一交易日，盐湖钾肥的收盘价格为40.75元，“钾肥JTP1”认沽权证的行权价格为15.1元，内在价值为0.000元。采用Black－Sholes公式，以本公告前一交易日盐湖钾肥收盘价格40.75元、盐湖钾肥股价波动率49.90%、无风险利率3.06%计算，“钾肥JTP1”认沽权证的理论价值为0.000元。128四、BSM模型的金融学理解与贡献129（一）BSM模型的金融学理解

四、BSM模型的金融学理解与贡献130（一）BSM模型的贡献与不足Black-Scholes模型为金融衍生品的定价奠定了坚实的理论基础其给出的欧式期权的解析定价公式提高了市场的定价效率，为场内交易的期权提供了合理的理论价值参考。Black&Scholes提出的动态套期保值的思想对于其他类型期权的定价，放松市场条件后的期权合理价格计算等都提供了重要的解决思路参考。Black-Scholes模型基于一系列假设条件在现实中并不总是成立；同时模型没有考虑市场的微观结构。Black-Scholes模型对于一些更复杂的路径依赖期权和提前行权的期权无法给出解析表达式，低于标的资产价格不满足几何布朗运动的情况也没有讨论。131第三节

波动率的概念和计算一.波动率的相关概念132波动率是金融资产价格的波动程度，是对资产收益率不确定性的衡量，用于反映金融资产的风险水平。但资产的实际波动率在市场中无法直接观测的，因此经常采取一些计算方法从标的资产价格或者衍生品价格信息中获取实际波动率的近似取值。二.历史波动率133

二.历史波动率134

135

三.交易天数与日历天数四、隐含波动率与VIX指数136交易者可以很容易从屏幕上获得某个看涨期权的信息：四个月后到期、执行价格为100、当前交易价格为6.51，其标的资产现价为101.5，短期利率是8%，我们能够以某种方式用到这些信息吗？137隐含波动率（impliedvolatility）是代入到Black-Scholes公式中作为标的资产的波动率，使得最终求出的期权理论价格等于市场价格。从某种意义上讲，这是市场对于期权整个生命周期中波动率的观点。138

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波动率微笑与波动率期限结构140波动率微笑曲线或者波动率偏斜曲线：波动率随着执行价格的变化而变化的模式波动率期限结构：相同执行价格、不同到期日的期权合约的隐含波动率构成的曲线。波动率曲面：既反映执行价格影响，又反映期限影响的波动率图形。期权的重要贡献之一就是提供了投资者对市场波动性的态度！！波动率微笑与波动率期限结构141图14.1波动率微笑示意图波动率微笑与波动率期限结构142波动率微笑与波动率曲面143产生波动率微笑的原因，可能来自以下几个方面：1.实际标的资产价格不服从对数正态分布。2.实际标的资产的价格可能产生跳跃。除此以外，投资者的交易偏好，市场价格涨跌的不对称性，如投资者的暴跌恐惧症也会导致不同执行价的期权隐含波动率有所差异。2025/4/8144波动率与VIX指数145第四节BSM模型的扩展应用一、有收益资产的期权定价

（一）有红利率标的资产的期权定价设期权有效期内连续红利率为q，类似远期价格确定，将B-S公式中的S0替换成S0e-qT，为（一）有红利率标的资产的期权定价例14.3.加曼－科尔哈根外汇期权定价公式148GarmanandKohlagen,1983

例14.4149设美元对人民币的即期汇率为1美元=7.0人民币，美元的无风险利率为3.5%（连续复利），人民币的无风险利率为1.5%（连续复利），美元兑人民币的汇率年波动率为10%，美元兑人民币汇率波动满足几何布朗运动，设存在6个月期，执行价格为美元兑人民币6.9的欧式看涨美元外汇期权，试计算该期权当前的价格。（以1美元为例）例14.4150

例14.5151假设某投资者现在持有一份欧式看跌期权合约，该合约将在1年后到期。其标的股票在期权持有期内连续支付股息，其年红利率为4%。该股票当前的价格为50元，期权执行价格为50元，股票价格的年化波动率为20