初中数学自主招生难度讲义-9年级专题13旋转变换

专题13旋转变换（录入：王云峰）

阅读与思考

在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一定的角度，这样的图形变换称为旋转，这个定

点叫旋转中心，转动的角度叫旋转角．

旋转变换不改变图形的形状和大小．通过旋转，图形上的每一点都绕旋转中心沿相同的方向转动同

样大小的角度．旋转变换前后的图形有下列性质：

（1）对应点到旋转中心的距离相等；

（2）对应点与旋转中心的连线所成的角等于旋转角；

（3）对应线段相等，对应线段的夹角等于旋转角，对应线段的垂直平分线都经过旋转中心．

例题与求解

【例1】如图，边长为1的正△A1B1C1的中心为O，将正△A1B1C1绕中心O旋转到△A2B2C2，使得

A2B2丄B1C1，则两个三角形的公共部分（即六边形ABCDEF）的面积为＿＿．

（“新知杯”上海市竞赛试题）

解题思路：S六边形ABCDEF＝S3S，解题的关键是寻找CB1，CB2，CD，C1D之间的关系．

A2B2C2B2CD

AA1

2A

F

BO

C2

B1E

C

DC1

B2

【例2】如图，已知△AOB，△COD都是等腰直角三角形，∠AOB＝∠CQD＝90°，N，M，Q，P分

别为AB，CB，CD，AD的中点．

求证：四边形NMQP为正方形．

解题思路：连结BD，AC，并延长AC交于点E，则△OAC可以看作是由△OBD绕点O逆时针旋转

90°得到的，且∠AED＝90°，这是证明本例的关键．

B

M

NE

C

Q

PD

A

O

【例3】如图，巳知在△ABC中，AB＝AC，P为形内一点，且∠APB＜∠APC．

求证：PB＞PC．（北京市竞赛试题）

解题思路：以A为中心，将△APB旋转一个∠BAC，使AB边与AC边重合，这时△APB到了△AP'C

的位置．

A

P

P

BC

【例4】点B，C，E在同一直线上，点A，D在直线CE的同侧，AB＝AC，EC＝ED，∠BAC＝∠

CED，直线AE，BD交于点F．

（1）如图1，若∠BAC＝60°，则∠AFB＝＿＿＿＿；如图2，若∠BAC＝90°，则∠AFB＝＿＿＿＿；

（2）如图3，若∠BAC＝，则∠AFB＝＿＿＿＿（用含的式子表示）；

（3）将图3中的△ABC绕点C旋转（点F不与点A，B重合），得图4或图5．在图4中，∠AFB

与∠的数量关系是＿＿＿；在图5中，∠AFB与∠的数量关系是＿＿＿．

请你任选其中一个结论证明．（武汉市中考试题）

D

DD

AA

FF

AF

BCEBCEBCE

图1图2图3

D

D

F

A

FBQ

A

CE

CE

B

图4图5

解题思路：从特殊到一般，在动态的旋转过程中，有两组不变的关系：△ABC∽△EDC，△BCD∽

△ACE，这是解本例的关键．

【例5】如图，已知凸五边形ABCDE中，AB＝BC＝CD＝DE＝EA，∠ABC＝2∠DBE．

求证：∠ABC＝60°．（北京市竞赛试题）

解题思路：将△ABE以B为旋转中心顺时针旋转∠ABC，使得AB与BC重合，落在△CBE'位置，

则△ABE≌△CBE′，AE＝CE′，BE＝BE′，∠CBE′＝∠ABE．

E

A

BD

C

E

【例6】如图，已知正方形ABCD内一动点E到A，B，C三点的距离之和的最小值为26，求此正

方形的边长．（广东省竞赛试题）

解题思路：本例是费马点相关的问题的变形，解题的关键是确定最小值时E点的位置，通过旋转变

换，把EA，EB，EC连结起来．

AD

E

BC

能力训练

A级

1．如图，巳知正方形ABCD中，点E在边DC上，DE＝2，EC＝1，把线段AE绕点A旋转，使点E落

在直线BC上的点F处，则F，C两点的距离为＿＿＿＿．（上海市中考试题）

B

ADE

PA

D

P

BC

BC

AC

第1题第2题第3题

2．如图，P是正△ABC内的一点，且PA＝6，PB＝8，PC＝10．若将△PAC绕点A逆时针旋转后，

得到△P'AB，则点P与点P'之间的距离为＿＿＿＿，∠APB＝＿＿＿＿．

（青岛市中考试题）

3．如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝2，BC＝3，∠BCD＝45°．将CD以点D

为中心逆时针旋转90°至ED，连结AE，则△ADE的面积是＿＿＿＿．

4．如图，在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，∠B＝50°，点D在边BC上，BD＝2CD．把△ABC绕着

点D逆时针旋转m（0＜m＜180）度后，如果点B恰好落在初始Rt△ABC的边上，那么m＝＿＿＿＿．

（上海市中考试题）

ACB

BBA

G

DF

K

DAH

CP

CB

DDEC

第4题第5题第6题

5．如图，将边长为1的正方形ABCD绕点A按逆时针方向旋转60°至AB'C'D′的位置，则这两个正

方形重叠部分的面积是＿＿＿＿．

（全国初中数学联赛试题）

6．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6cm，AC＝8cm．以斜边BC上距离点B6cm的点P为

中心，把这个三角形按逆时针方向旋转90°至△DEF，则旋转前后两个三角形重叠部分的面积为＿＿＿．

（黄冈市竞赛试题）

7．如图，将△ABC绕点C（0，1）旋转180°得到△A'B'C，设点A'的坐标为（a，b），则点A

的坐标为（）

A．（a，b）B．（a，b1）C．（a，b1）D．（a，b2）

（河南省中考试题）

y

A

B

A

A

Ox

C

PP

A

BBCBC

第7题第8题第9题

8．如图，已知P是等边△ABC内部一点，∠APB︰∠BPC︰∠CPA＝5︰6︰7．则以PA，PB，PC

为边的三角形的三个角的大小之比（从小到大）是（）

A．2︰3︰4B．3︰4︰5C．4︰5︰6D．不能确定

（全国初中数学通讯赛试题）

9．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，P是△ABC内一点，则（）

A．PA＋PB＋PC＜AB＋AC

B．PA＋PB＋PC＞AB＋AC

C．PA＋PB＋PC＝AB＋AC

D．PA＋RB＋PC与AB＋AC的大小关系不确定

（武汉市竞赛试题）

10．已知：如图1，O为正方形ABCD的中心，分别延长OA到点F，OD到点E，使OF＝2OA，

OE＝2OD．连结EF，将△FOE绕点O逆时针旋转角得到△F′OE′（如图2）．

E

FE

FAD

AD

OO

BCBC

图1图2

（1）探究A'E与BF′的数量关系，并给予证明；

（2）当＝30°时，求证：△AOE'为直角三角形．

（南通市中考试题）

11．在△ABC和△DEF中，AB＝AC，DE＝DF，∠BAC＝∠EDF＝，点M，N分别是BE，CF

的中点．

（1）若点A与点D重合，点E，F分别在AB，AC上（如图1），则AM与AN的数量关系是＿＿＿

＿，∠MAN与的数量关系是＿＿＿＿；

（2）将图1中的△DEF绕点A（D）旋转（如图2），第（1）问的两个结论是否仍成立？若成立，

请证明；若不成立，请说明理由．

BME

MBF

E

N

CNFA(D)CA(D)

图1图2

B级

1．如图，△ABC是边长为1的等边三角形，△BDC是顶角∠BDC＝120°的等腰三角形，∠MDN＝

60°，则△AMN的周长＝＿＿＿＿．

（重庆市竞赛试题）

Ay

C

M

N

BC

Ox

DBNMA

第1题第2题第3题

2．如图，在等腰Rt△ABC的斜边AB上取两点M，N，使∠MCN＝45°，记AM＝m，MN＝x，BN

＝n，则以线段x，m，n为边长的三角形的形状是（）

A．锐角三角形B．直角三角形

C．钝角三角形D．随x，m，n的变化而变化

（安徽省竞赛试题）

4

3．如图，直线y＝x4与x轴，y轴分别交于A，B两点，把△AOB绕点A顺时针旋转90°后

3

得到△AO'B'，则点B′的坐标是（）

A．（3，4）B．（4，5）C．（7，4）D．（7，3）

（丽水市中考试题）

4．如图，正方形ABCD中，已知AB＝3，点分别在BC，CD上，且∠BAE＝30°，∠DAF＝15°，

求△AEF的面积．

（“希望杯”邀请赛试题）

A

A

AD

FPD

BDB

CC

BC图①图②

E

第4题第5题

5．（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝60°，∠BCD＝120°．

求证：BC＋DC＝AC；

（2）如图2，在四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝60°，P为四边形ABCD内一点，且∠APD＝

120°，求证：PA＋PD＋PC≥BD．

（江苏省竞赛试题）

6．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，△ADE是正三角形，点D在边BC上，已知BD

︰DC＝2︰3，当△ABC的面积是50cm2时，求△ADE的面积．

（日本数学奥林匹克试题）

C

A

O

EP

BC

DAB

第6题第7题

7．如图，已知O是锐角三角形ABC内一点，∠AQB＝∠BOC＝∠COA＝120°，P是△ABC内任一

点．求证：PA＋PB＋PC≥OA＋OB＋OC．

（杭州市竞赛试题）

8．（1）如图1，已知正方形ABCD和正方形CGEF（CG＞BC），B，C，G在同一条直线上，M为

线段AE的中点．探究：线段MD，MF的关系；

（2）如图2，若将正方形CGEF绕点C顺时针旋转45°，使得正方形CGEF的对角线CE在正方形

ABCD的边BC的延长线上，M为AE的中点．试问：（1）中探究的结论是否成立？若成立，请证明；

若不成立，请说明理由．

（3）如图3，若将正方形CGEF绕点C顺时针旋转，M为AE的中点．试问：第（1）问中探究

的结论是否成立？

（大连市竞赛试题）

FAD

DF

FEA

MB

AMC

DBE

CM

BG

CE

图1GG

图2图3

9．已知正方形ABCD和等腰Rt△BEF，BE＝EF，∠BEF＝90°．按图1的位置，使点F在BC上，

取DF的中点G，连结EG，CG．

（1）探索EG，CG的数量关系和位置关系并证明；

（2）将图中△BEF绕点B顺时针旋转45°，再连结DF，取DF中点G（如图2），第（1）问中的结

论是否仍然成立？请你证明；

（3）将图1中△BEF绕点B转动任意角度（在0°～90°之间），再连结DF，取DF的中点G（如图

3），第（1）问中的结论是否仍成立？不必证明．

AD

AD

AD

G

G

GE

EBCE

BC

BC

FFF

图1图2图3

10．在平面直角坐标系中，已知O为坐标原点，点A（3，0），B（0，4）．以点A为旋转中心，把

△ABO顺时针旋转，得△ACD．记旋转角为，∠ABO为．

（1）如图1，当旋转后点D恰好落在AB边上时，求点D的坐标；

（2）如图2，当旋转后满足BC∥x轴时，求与之间的数量关系；

（3）当旋转后满足∠AOD＝时，求直线CD的解析式．

（天津市中考试题）

yy

CC

BBA

DD

P

OAxOAxBC

第11题

图1图2

第10题

11．如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝2AD，点P在△ABC内，且PA＝3，PB＝5，PC＝

2，求△ABC的面积．

（“《数学周报》杯”全国初中数学竞赛试题）

专题13旋转变换

例1如图，连接OB1，OB2，B1B2，则OB1＝OB2，∠OB1B2＝∠OB2B1.又∠OB1C＝30°＝∠OB2C，∴

∠CB1B2＝∠CB2B1，故CB1＝CB2.同理，B2D＝DC1.设CB1＝x，则CB2＝x，CD＝3x，DC1＝DB2＝2x，

1

于是＋＋＝，故＝－＝

x3x2x1xS六边形SABC3SBCD

33ABCDEF2222

3133333

3x3xx2.

424244

1111

例2∵N，M分别为线段AB，CB的中点，∴MN＝AC.同理MQ＝BD，PQ＝AC，PN＝BD.

2222

∵AC＝BD，∴MN＝MQ＝PQ＝PN，∴四边形NMQP为菱形.∵MN∥AC，MQ∥BD，∴AC⊥BD，∴∠

NMQ＝90°，∴菱形NMQP为正方形.

例3APM≌APC，AP＝AP，APB＝APC，PC＝PB.连接PP，由AP＝AP得

APP＝APP，而APB＜APC，即APC＜APC，∴PPC＜PPC，于是PC＞PC，

即PB＞PC.

111

例4（1）60°45°（2）90°－（3）∠AFB＝90°－∠AFB＝90°＋对∠AFB

222

1

＝90°－证明如下：∵AB＝AC，EC＝ED，∠BAC＝∠CED，∴△ABC∽△EDC，得∠ACB＝∠ECD，

2

BCAC

，∠BCD＝∠ACE，∴△BCD∽△ACE，得∠CBD＝∠CAE.∵∠AQF＝∠BQC，∠CBD＝∠

DCEC

180BAC1

CAF，∴∠AFB＝∠ACB＝90.

22

例5∵EBE＝ABC＝2DEB，∴EBD＝EBD.连接DE.∵BD＝BD，EBD＝EBD，

BE＝BE，∴EBD≌EBD，得ED＝ED＝CD＝CE，∴CDE为正三角形，DCE＝60°，

1

又BC＝CD＝CE’，则EBD＝DCE＝30°.∴ABC＝EBE＝2EBD＝60.

2

例6将△ABE绕B点逆时针旋转60°，得△FBG，连接GE，FC，则△BEG为等边三角形，GE＝BE，

∴FC≤FG＋GE＋EC，即FC≤EA＋EB＋EC，∵FC为定长，∴当E点落在FC上时，FC＝EA＋EB＋

EC为最小值.∵∠FBC＝150°，FB＝BC，∴∠BCF＝∠BFC＝15°，而∠GEB＝60°，∴∠EBC＝45°，

x

即E在正方形ABCD的对角线BD上.作FH⊥BC交CB延长线于H，设BC＝x，则FB＝x，FH＝，

2

3x3

HB＝x，在Rt△FHC中，由(26)2()2(xx)2，得x＝2或x＝－2（舍去），即正方

222

形的边长为2.

例6题图

A级

1.1或52.6150°3.14.80或1205.2-3提示:如图,过B'作MN//AD，分别AB,CD于M,N,点B’C’

331

交CD于K，则B’M=AB’sin60°=,B’N=1-,AM=,Rt△AKB≌Rt△AKD,∠KAB’=∠KAD=15°,

222

∠ADB’=75°,△ADK∽△DNB’,

DKAD1

,DK=2-3,重叠部分面积=2S△AKD=21(23)23

NB'DN2

12

6.过P作PM丄AC于M,PN丄DF于N，可证明四边形PMGN为正方形,PM=,S重叠=S正方形

5

122144

PMGN=().7.D8.A9.B提示:将△CPA绕点A逆时针旋转60°到△C’AP’,连结PP’,△APP’为

525

等边三角形.PB+PP’+P’C=PA+PB+PC＞AB+AC’=AB+AC.

10.(1)AE’=BF’.(2)证法较多，如取OE’中点G,连结AG.11.(1)AM=AN,∠MAN=.(2)第(1)问的结论仍成

立，理由如下:由△ABE≌△ACF得BE=CF,∠ABM=∠CAN,进一步可以证明△ABM≌△CAN.

B级

1.2提示:MN=BM+CN2.B提示:△ACM≌△BCD.∠ACM=∠BCD,CM=CD,∠MCN=∠NCD=45°,又

CN=CN,则△MNC≌△DNC,MN=ND=x,AM=BD=m,又∠DBN=45°+45°=90°,故m2+n2=x2.3.D

4.33提示:将△ADF'绕点A顺时针方向旋转90°,到△ABG.

的位置,则△AEF≌△AEG.∠AEF=∠AEG=∠FEC=60°,BE=1,EC=BC-BE=31,

1

EF=EG=2(31),S△AEF=S△ABG=EG·AB=33.

2

5.(1)提示:延长BC至E,使CE=CD连结DE,证明△ACD≌△BED.(2)将△ABD绕点A旋转60°到△ACB’,

连结B’D,B’P,则四边形AB’DP符合(1)的条件,于是B’P=PA+PD连结AC,则△ABD≌△

ACB’.BD=B’C,B’C≤PB’+PC=PA+PD+PC,从而BD≤PA+PD+PC.

6.直接解题有困难,△ABC绕点A逆时针旋转120°,240°拼成正△MBC(如图),则正△ADE