湖南省长沙市望城区第一中学2025届高三3月学情调研数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页湖南省长沙市望城区第一中学2025届高三3月学情调研数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.集合A=x−1≤x≤2,B=x∈Nx<2A.xx<2 B.0,1 C.−1,0,1 D.2.复数z1−i2022=1+i20252i2+i，其中i为虚数单位，则复数A.15 B.15i C.−3.如图，在四面体A−BCD中，点E，F分别是AB，CD的中点，点G是线段EF上靠近点E的一个三等分点，令AB=a,AC=b,A.13a+16b+164.已知Sn是等差数列an的前n项和，若a2+a4+a6A.3 B.2 C.1 D.−15.四色猜想又称四色问题、四色定理，是世界近代三大数学难题之一.四色定理的内容是“任何一张地图最多用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色.”如图，一矩形地图被分割成了五块，小刚打算对该地图的五个区域涂色，每个区域只使用一种颜色，现有4种颜色可供选择(4种颜色不一定用完)，满足四色定理的不同的涂色种数为

A.96 B.72 C.108 D.1446.如图所示，下列频率分布直方图显示了三种不同的形态．图(1)形成对称形态，图(2)形成“右拖尾”形态，图(3)形成“左拖尾”形态，根据所给图做出以下判断，不正确的是(

)A.图(1)的平均数=中位数=众数 B.图(2)的众数<中位数<平均数

C.图(2)的平均数<众数<中位数 D.图(3)的平均数<中位数<众数7.已知函数y=sinx⋅fx+2是定义域为R的偶函数，且fx+1=f7−x，当x∈0,2A.23 B.22 C.8.已知抛物线C:x2=2py(p>0)，O为原点，过抛物线C的焦点F作斜率为3的直线与抛物线交于点A，B，直线AO，BO分别交抛物线的准线于点C，D，则ABA.2 B.3 C.2 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知函数fx=sin2x+A.fx的图象关于直线x=π6对称

B.fx的图象关于点π3,0对称

C.fx在−π310.已知a≠0,a,b∈R.设命题p：过点1,1恰可作一条关于y=ax3+bx的切线.以下为命题p的充分条件的有A.b+a=1 B.b−a=1 C.a=eb 11.若平面点集，满足：任意点x,y∈M，存在正实数t，都有tx,ty∈M，则称该点集为“t阶集”，则下列说法正确的是(

)A.若M={x,y|y=2x}是“t阶集”，则t=1

B.若M={x,y|y=2x}是“t阶集”，则t为任意正实数

C.若M={x,y|x2≤4y}三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.在以O为中心，F1、F2为焦点的椭圆上存在一点M，满足MF1=213.公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，发现0.618就是黄金分割，这是一个伟大的发现，这一数值也表示为a=2sin18∘，若a2+b=4，则14.在▵ABC中，AB=AC，点D在线段BC上，AB⊥AD，BD=3，CD=1，点M是▵ABC外接圆上任意一点，则AB⋅AM最大值为

．四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)已知函数f(x)=x3−a(1)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；(2)求函数f(x)的极值．16.(本小题12分)已知：斜三棱柱ABC−A1B1C1中，BB1⊥AC，AA1与面ABC所成角正切值为2，AA1(1)求证：AC⊥EB；(2)F为棱AA1上一点，且二面角A−BC−F为30∘17.(本小题12分)在矩形ABCD中，点E在线段CD上，且AB=5,CE=3,∠AEB=π(1)求BC；(2)若动点M,N分别在线段EA,EB上，且▵EMN与▵EAB面积之比为2+1:4，试求18.(本小题12分)已知事件A,B满足0<PA(1)若P(AB)P(B)+P(AB(2)PAB19.(本小题12分)设点A为双曲线C:x2−y23=1的左顶点，直线l经过点(−1,2)，与C(1)求直线AP,AQ的斜率之和;(2)设在射线AQ上的点R满足∠APQ=∠ARP，求直线PR的斜率的最大值．

参考答案1.B

2.A

3.A

4.B

5.D

6.C

7.B

8.A

9.BCD

10.BD

11.ABC

12.613.−114.3+315.(1)由题设f′x=3xfx=x所以点1,f1处的切线方程为y=x−1，即x−y−1=0(2)由(1)f′x由f′x>0，有x<0或x>23，由故在区间−∞,0,23,+∞上所以fx的极小值为f2316.(1)证明：取线段AC的中点M，连接EM、BM，在斜三棱柱ABC−A1B1C1中，所以，AC//A1C因为E、M分别为A1C1、AC所以，EM//AA又因为AA1//BB1，则EM//B因为AB=BC，M为AC的中点，则BM⊥AC，因为EM∩BM=M，EM、BM⊂平面BEM，所以，AC⊥平面BEM，因为EB⊂平面BEM，所以，EB⊥AC．(2)解：由(1)可知，AC⊥平面EMBB过点E在平面BB1EM内作EO⊥BM因为AC⊥平面BB1EM，EO⊂平面B又因为EO⊥BM，BM∩AC=M，BM、AC⊂平面ABC，则EO⊥平面ABC，所以，直线AA1与平面ABC所成的角为所以，tan∠EMO=EOOM因为EM=EO2+O因为AB=BC=22AC=2所以，AB2+B因为M为AC的中点，所以，MB=1以点O为坐标原点，Ox、OB、OE的方向分别为x、y、z轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，则A2,−1,0、B0,1,0、M0,−1,0、CME=0,1,2，则即点A12,0,2，同理可得点B1设AF=λAA则CF=CA+设平面BCF的法向量为m=则m⋅CB=2x+2y=0m⋅CF=4x+λy+2λz=0所以，平面BCF的一个法向量为m=易知平面ABC的一个法向量为n=因为二面角A−BC−F为30则cosm,n因为0≤λ≤1，解得λ=8617.(1)过E作EH⊥AB于H，设BC=m，易知AH则tan∠AEH=2m整理得到m2−5m−6=0，解得m=6或m=−1(舍)，所以(2)由(1)易知AE=36+4=2又S▵EMN得到ab=152+22所以MN≥15，当且仅当a=b时取等号，故MN18.(1)因为AB∪AB=B,AB∩AB=⌀，所以由PABPB+P而PA由PA=1−PA=1−PAB(2)一方面，PAB又因为AB⊆B另一方面，P=PAB综上所述，有PAB19.(1)由题知A(−1,0)．由于平移不改变斜率，作平移变换x′=x+1y′=y则A点的坐标变为A(0,0)，点(−1,2)的坐标变为(0,2)双曲线C方程变为x′−1设点x′,y′与A点连线的斜率为k，则k=y①式两边同除以x′2，得1−2由题知，直线PQ不过点A(0,0)，所以设直线PQ:m因为直线PQ过点P(0,2)，所以2n=1，