2024-2025学年云南省昆明市高二下册第一次联考数学检测试卷（附解析）

2024-2025学年云南省昆明市高二下学期第一次联考数学检测试卷本试卷分和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第I卷第1页至第3页，第Ⅱ卷第3页至第6页.考试结束后，请将答题卡交回.满分150分，考试用时120分钟.第I卷（选择题，共58分）注意事项：1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的学校、班级、姓名、考场号、座位号、准考证号在答题卡上填写清楚.2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.若集合，，则（）A. B. C. D.【正确答案】C【分析】利用幂函数的性质求解不等式得到，再利用交集的定义求解即可.【详解】令，解得，则，因为，所以，故C正确.故选：C.2.设，则的共轭复数的虚部为（）A. B.2 C. D.【正确答案】B【分析】利用复数的运算性质结合共轭复数的定义求解即可.【详解】由题意得，由共轭复数性质得，虚部为2，故B正确.故选：B.3.经过，两点的直线的方向向量为，则的值为（）A.3 B. C.2 D.【正确答案】A【分析】利用斜率公式和单位向量的性质建立方程，求解参数即可.【详解】由题意可知，解得，故A正确.故选：A.4.在平面直角坐标系中，已知向量，，且，则的值为（）A. B. C. D.【正确答案】B【分析】根据向量平行的坐标条件列式计算即可.【详解】因为，，所以，又，，所以，解得.故选：B.5.若为圆的弦的中点，则直线的方程是（）A. B.C. D.【正确答案】C【分析】求出直线的斜率，由垂径定理得到，利用两直线垂直斜率关系可以求出直线的斜率，利用点斜式写出直线方程，最后化为一般式方程.【详解】由题意知直线的斜率存在，且∴，∵，∴，直线的方程为，即，故选：C.6.已知，且，则（）A. B. C. D.【正确答案】D【分析】对于A，由单调性可判断，对于B，取，可判断，对于C，取可判断，对于D，由函数在上是减函数可判断.【详解】A.函数在上不是单调函数，例如当，时，，但此时，所以A选项错误；B.当，时，满足，但此时，所以B选项错误；C.当，，无意义；当时，比如，，，所以C选项错误；D.因为函数在上是减函数，已知，根据减函数性质，可得，即，所以D选项正确，故选：D.7.在空间向量中，我们给出了定义向量的“外积”运算规则：对于空间向量和，.已知，，平面的法向量，直线的方向向量，则直线与平面的位置关系是（）A.平行 B.垂直C.直线在平面内 D.相交但不垂直【正确答案】D【分析】由求出平面的法向量，利用空间向量的垂直和共线的坐标性质判断平面的法向量与直线的方向向量之间的关系，判断直线与平面的位置关系.【详解】因为，，所以平面的法向量为，由题意可知，则，说明与不垂直.由，说明与不平行，与既不垂直也不平行，所以直线与平交但不垂直，故选：D.8.已知点，分别是椭圆左、右焦点，若直线椭圆相交于，两点，且，则椭圆的离心率为（）A. B.C. D..【正确答案】C【分析】联立直线方程与椭圆方程求得，再由即可求解.【详解】将直线方程代入椭圆的方程，可得.所以，，，，，，，.又，，故选：C.二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）.9.给出下列命题，其中正确的命题有（）A.已知为空间的一个基底，若，则也是空间的基底B.已知直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线C.若直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线与平面所成角的正弦值为D.若，则与的夹角是钝角【正确答案】AC【分析】对于选项A：已知与不共面，依据向量共面知识，可直接判断此条件对应结论正确.对于选项B：算出，由向量垂直判定，得.直线方向向量垂直平面法向量时，直线与平面有平行或在平面内两种情况，所以该选项错误.

对于选项C：直线与平面所成角和直线方向向量与平面法向量夹角有关，即.通过计算得出，该选项正确.对于选项D：由，根据向量数量积公式，知与夹角范围是，夹角可能为，不能确定夹角情况，该选项错误.【详解】，则与共面，，与不共面，所以A正确；，，或，所以B错误；记直线与平面所成角为，，所以C正确；当时，与的夹角也可以为，所以D错误，故选：AC.10.已知函数，则下列结论正确的是（）A.函数的值域为B.函数的图象关于点对称C.若函数在上单调递增，则的取值范围为D.将图象上各点纵坐标保持不变，横坐标伸长为原来的2倍，再将所得图象上各点向右平移个单位长度，得到的图象，则【正确答案】ACD【分析】通过三角恒等变形得，通过求的值域可判断A；通过代入验证法可判断B；由在上单调递增，列不等式组可判断C；求利用三角函数的平移变换和伸缩变换得到函数的图象可判断D.【详解】函数，对于A，值域，故A正确；对于B，，所以函数的图象不关于点对称，故B不正确；对于C，函数，在上单调递增，当时，，则，解得，故C正确；对于D，将图象上各点纵坐标保持不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到的图象，再将所得图象上各点向右平移个单位长度，得到的图象，故D正确，故选：ACD.11.已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于、两点，为坐标原点，则下列说法正确的是（）A.B.若点，则的最小值为4C.的最小值为9D.若抛物线的准线与轴的交点为，则.【正确答案】BCD【分析】设直线的方程为，，，联立直线与抛物线方程，消元，列出韦达定理，根据数量积的坐标表示判断A；根据抛物线的定义判断B，根据焦半径公式及基本不等式判断C，求出，即可判断D.【详解】抛物线的焦点为，准线方程为，设直线的方程为，，，由，则，所以显然成立，，，对于A：，故A错误；对于B：如图，过点作准线的垂线，垂足为，由抛物线定义，当且仅当、、三点共线时取等号，故B正确；对于C：，由A知，，当且仅当，时“=”成立，此时，，故C正确；对于D：设，，，则，，D正确，故选：BCD.第Ⅱ卷（非选择题，共92分）注意事项：第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效.三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知双曲线的左、右焦点分别为，，点是双曲线上的点，且，，则双曲线的方程为_____.【正确答案】【分析】根据双曲线的定义和性质，通过已知条件建立方程组求出双曲线方程中的参数、的值，进而得到双曲线方程.【详解】设双曲线的方程为，且焦距为.依题意得，，.因此双曲线的方程为.故答案为.13.已知圆的面积为，则_______.【正确答案】【分析】先将圆的一般方程化为圆的标准方程，求出圆的半径，再结合给定条件与圆的面积公式建立方程，求解参数即可.【详解】因为，所以，则圆的标准方程为，得到，因为圆的面积为，所以，解得，符合，满足题意.故14.在正四棱台中，，，该正四棱台的外接球的表面积为，则该正四棱台的表面积为______.【正确答案】或【分析】设正四棱台上下底面所在圆面的半径分别为，，设球心到上下底面的距离分别为，，由，可得，，进而求得棱台侧高，即可求解.【详解】设外接球的半径为，由，得，设正四棱台上下底面所在圆面的半径分别为，（根据正方形外接圆半径与边长关系），设球心到上下底面的距离分别为，，由，可得，，则正四棱台的高或，侧面梯形的高或，正四棱台的表面积，或正四棱台的表面积.故或四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.一个不透明的盒子中装有大小和质地相同的6个小球，其中1个红球、3个蓝球、2个白球.（1）从中随机抽取1个，求抽到红球或蓝球的概率；（2）若采用有放回方式连续抽取2次，每次随机取1个，求两次都抽到白球的概率.【正确答案】（1）（2）【分析】（1）结合题意直接利用古典概型概率公式求解即可.（2）先求出每次抽到白球的概率，再结合独立事件的概率公式求解即可.【小问1详解】总共有6个球，其中红球1个，蓝球3个，抽到红球或蓝球的情况数为种，则由古典概型概率公式得抽到红球或蓝球的概率.【小问2详解】由题意得总共有6个球，则每次抽到白球的概率为，因为是有放回抽取，两次抽取相互独立，所以两次都抽到白球的概率.16.在中，内角，，所对的边分别为，，，.（1）求；（2）若，，求的面积.【正确答案】（1）（2）分析】（1）运用正弦定理进行边角互化，结合和角公式化简，得到，得解.（2）运用正弦定理得到，结合条件求出，结合等边三角形面积公式计算.【小问1详解】已知在中，，由正弦定理边角互化得到，则，因为，所以，那么，故，展开得，即，得到，因为，所以，等式两边同时除以，可得.则，又因为，所以【小问2详解】已知，，由正弦定理，将，代入可得，即，所以，又因为，所以，即，由于，所以，所以，可知是等边三角形，，根据三角形面积公式，将代入可得.17已知直线与圆交于，两点.（1）写出直线恒过的定点，并求出过点且与圆相切的直线方程；（2）求出满足“的面积为”的的所有值.【正确答案】（1），；（2）.【分析】（1）求出直线恒过的定点，判断该定点与圆的位置关系求出切线方程.（2）利用点到直线距离公式求出弦长，表示出三角形面积求出值.【小问1详解】直线，对任意实数，当时，恒成立，所以直线恒过定点；而定点在圆上，所以过点且与圆相切的直线只有一条，方程为.【小问2详解】圆圆心为，半径，圆心到直线的距离，，，解得或或或，所以所求的所有值为.18.在如图所示的多面体中，四边形是平行四边形，平面，，且，.（1）求证：平面；（2）求二面角的正弦值；（3）在棱上是否存在点，使得直线与所成角的余弦值为，若不存在，请说明理由；若存在，求线段的长.【正确答案】（1）证明见解析（2）（3）存在，1【分析】（1）取的中点，连接，，证明四边形是平行四边形，则，再根据线面平行得判定定理即可得证；（2）以点为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可；（3）设，由题意可得，进而可得出答案.【小问1详解】如图，取的中点，连接，，因为，，所以且，所以四边形是平行四边形，所以且，又因为且，所以且，所以四边形是平行四边形，所以，因为平面，平面，所以平面；【小问2详解】因为，，所以，所以，因为平面，，所以平面，所以，，两两垂直，以，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图，则，，，，所以，，，设平面的一个法向量为，则令得，，设平面的一个法向量为，则，令，则，所以，所以二面角的正弦值为；【小问3详解】假设在棱存在点，使得直线与所成角的余弦值为，设，则，又，所以，即，所以，解得或（舍去），因此适合条件的点存在，且线段的长为1.19.已知点，分别是椭圆的左、右焦点，椭圆的离心率为，点为椭圆上的一动点，且的最大值为3，过的直线与椭圆交于不同的两点，.（1）求椭圆的方程；（2）若，求直线的方程；（3）在椭圆上是否存在点，使得四边形是平行四边形，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.【正确答案】（1）（2）（3）存在，【分析】（1）根据椭圆的性质和已知条件列出方程组，求解出椭圆的基本参数、、，进而得到椭圆方程；（2）先设出直线方程，然后联立直线与椭圆方程，利用韦达定理得到和的值，再根据向量垂直的性质列出方程，求解出直线方程中的参数，从而得到直线方程.（3）要判断椭圆上是否存在点使四边形MAOB是平行四边形并求坐标.先根据已知得出线段AB中点坐标.

利用平行四边